一堂立几习题课的教学设计

第一篇：一堂立几习题课的教学设计

一堂立几习题课的教学设计

房之华

【专题名称】中学数学教与学 【专 题 号】G35

【复印期号】1999年05期

【原文出处】《中学数学研究》(南昌)1999年03期第8～10页 【作者简介】房之华，苏州大学附属中学 215006

数学习题课是容易上但又很难上好的课。一堂出色的习题课，应当是融知识的复习与能力的培养为一体，充分挖掘习题潜在的智力功能，去激发学生学习数学的兴趣，培养学生的思维能力和勇于探索的精神。变被动的学习为主动的进取，通过自身的力量去获取知识，形成良好的学习习惯。因此，我们在习题课的教学方案设计时，要花一番功夫。若只为解题而解题，一堂课容纳大量的习题，势必造成学生在学习上的消化不良。更重要的是，既发挥不了习题的作用，又扼杀了学生智力的开发和能力的培养。这就要求我们在设计习题课的教案时，要精心设计，全面考虑。下面给出一堂习题课的案例，供同行参考和评析。

课题：一道立几命题的证明与探究

教学目的：通过本堂课的教学，熟练掌握证明直线与直线垂直的方法，学会探索解题思路的方式手法，善于挖掘习题的智力功能，养成解题后反思的习惯，灵活应用知识于解题之中。

教学过程：

一、问题的解决

（课堂一开始用投影仪将问题放映到黑板上）

[问题]如图，在正方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]中，棱长为a,M、N分别为AD[，1]和A[，1]C[，1]的中点，求证：AD⊥MN。

思维从问题开始，教师引导学生探索其解题思路。

师：若联想异面直线所成角的定义，本题该怎样证明呢？

生：须先寻找AD与MN所成的角，然后证明AD与MN成90°角。

师：怎样寻找角呢？

生：联想异面直线所成角的定义，如图1，分别取DD[，1]、C[，1]D[，1]的中点E、F，连结ME、EF、FN，构造平行四边形MNFE，则∠FEM就是AD与MN所成的角。

由线面垂直的关系，容易证明∠FEM=90°。

师：还可以怎样找角？

生：过MN上一点M（或N）在面AD[，1]内作ME∥AD交DD[，1]于点E，则E为DD[，1]的中点，故∠EMN为AD与MN所成的角。（如图2）

师：若采用此法，该怎样证明？

生：可构造三角形MNE，使用余弦定理或勾股定理的逆定理证明。

师：这种证法有什么缺点？

生：计算太繁。

师：若联想三垂线定理，该怎样思考呢？

生：必须构造三垂线定理的模型，寻找MN在某一个平面上的射影，方法又有多种：

其一：（如图3）连结AC，过N作NF⊥AC，则NF⊥平面AC，同理过M作ME⊥AD，得ME⊥平面AC，故EF为MN在底面AC上的射影，从而问题便转化为证明AD⊥EF。通过观察，只要证明△AEM≌△AEF即可，这由已知条件容易证得。

其二：（如图4）过N作NE⊥A[，1]D，则NE⊥平面AA[，1]D[，1]D，连ME，则ME为MN在平面AA[，1]D[，1]D上的射影。从而只要证明AD⊥NE，即证A[，1]D[，1] ⊥NE即可。这由△A[，1]EN≌△D[，1]EM不难证得。

其三：也可以过M作ME⊥A[，1]D[，1]，证明AD⊥EN，即证A[，1]D[，1] ⊥EN即可。

学生还可能会给出其它构造图形的方法。

师：若联想到线面垂直的定义，该如何思考呢？

生：必须经过AD或MN中的一条作一个平面，设法证明线面垂直即可。如图5，过MN作平面EGFH，只要证明AD⊥平面EGFH即可。只要证明AD垂直平面EGFH内两条相交直线即可。

二、问题的变换 解题后的探究是培养学生创造能力的重要手段，在学生给出上述问题的证明之后，继续引导学生将问题进行变换，探索变换后新问题解决的门径，从而培养思维的灵活性与深刻性。

师：如果把题设中M、N分别为AD[，1]和A[，1]C[，1]的中点的条件变换为AM=A[，1]N，那么AD与MN还互相垂直吗？请同学们思考。（要求学生在独立思考的基础上进行讨论）

通过学生的探索，可得出如下的结论：

生：把特殊情形变换为一般情形，结论仍然成立。证明的方法同前面大致一样。

若采用图1的思路，在证明EM=FN时，不是根据中位线定理或全等三角形，而是利用平行线截线段成比例定理证之。

若采用图3的思路，在证明AD⊥EF时，可通过△AEF与△AEM相似证得。

若采用图4的思路，在证明A[，1]D[，1] ⊥EM时，可通过△A[，1]NE与△D[，1]ME相似证得。

若采用图5的思路，在证明AD⊥平面EGFH时，可通过△AEM∽△A[，1]HN证得。

（通过对问题的探讨，可以发现，前者是后者的特殊情形，后者具有一般性。而且问题的本身渗透着辩证的思想：“动中有静”。即动点M、N在面对角线AD[，1]与A[，1]C[，1]上运动时，只要满足A[，1]N⊥AM，则AD与MN的关系是不变的。）

师：若M、N为AD[，1]与A[，1]C[，1]上的任意两点，则AD与MN所成角的范围是多少？请同学们思考。（教师给予适当的提示：用动态的思想，通过直觉思维打开解题思路）

生：通过观察，若把N固定在A[，1]点上，让M从点A运动到点D[，1]，则发现直线AD与MN所成的角从90°逐渐减小到0°，故AD与MN所成角的范围是0°≤α≤90°。

三、问题的功能

1.深化概念的理解和应用

通过对上述问题的研究可进一步复习立几与平几中的许多概念。如：两条异面直线所成的角；线线垂直与平行、线面垂直与平行、面面垂直与平行的判定定理和性质定理；三垂线定理及逆定理；三角形全等与相似的判别方法；平行四边形的有关性质等等。虽然只是一道题，但是涉及到的知识面很广，在授课过程中，有意识引导学生复习相关的概念，并做到灵活应用，深化理解。

2.寓能力培养于解题过程之中 在证明过程中，多处用到了构造的思维方式。如构造平行四边形，构造直角三角形，构造三垂线定理的模型，构造平面，构造直角梯形等。这是建模思想在解题中的应用，从而可以培养学生创造性的思维能力。

化归的思想在证题过程中表现得尤为突出。如将证明线线垂直的问题向两条异面直线所成的角为90°转化；向共面的两条直线垂直的问题转化；向射影转化；向线面垂直的问题转化；向代数问题转化，利用余弦定理或勾股定理等去解决。通过转化，使问题变得明朗化、简单化。

本课从一个简单的问题出发，由浅入深，由易到难地变换出更多的命题让学生去探讨，一方面可以复习到更多的知识点，另一方面可以培养学生勇于探索的精神，同时使学生的思维品质得到训练。

在探索问题的过程中，采用了动态的思想研究图形的变化规律，在“动”中求“静”，需要仔细的观察，通过对图形的观察和想象，可以培养学生的观察能力、空间想象能力、直觉思维能力和树立学生的辩证唯物主义的哲学思想。

本课的教学方法采用的是启导探索法。在教师的启发引导下，由学生自己探索问题的结论。让学生走上讲台，讲解和讨论问题。这样做充分发挥了学生的主体作用，调动了他们学习数学的积极性，激发了他们学习数学的兴趣。

第二篇：立几判断题2005

几何判断题:

1、平行于同一直线的两直线平行（）

2、垂直于同一直线的两直线平行（）

3、平行于同一平面的两直线平行（）

4、垂直于同一平面的两直线平行（）

5、垂直于同一直线的两个平面平行（）

6、经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行（）

7、经过直线外一点有且只有一个平面和已知直线平行（）

8、经过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行（）

9、经过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直（）

10、经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行（）

11、一条直线和已知平面平行，那么它和这个平面内的任意直线平行（）

12、一条直线和已知平面垂直，那么它和这个平面内的任意直线垂直（）

13、一个平面和另一个平面平行，那么其中一个平面内直线和另一个平面平行（）

14、一个平面和另一个平面垂直，那么其中一个平面内任意直线和另一个平面垂直（）

15、经过平面外两点有且只有一个平面和已知平面垂直（）

16、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（）

17、对角线互相平分的四边形是平行四边形（）

18、四边相等的四边形是菱形（）

19、四角相等的四边形是矩形（）

20、四边相等四角相等的四边形是矩形（）

21、四个角都是直角的四边形是矩形（）,三个角都是直角的四边形是矩形（）

22、异面直线的公垂线有且只有一条（）

23、若两条直线与第三条直线成等角，则这两条直线平行（）

24、和两条异面直线都垂直的两直线是异面直线（）

25、一条直线和平行四边形两边相交，则它一定落在平行四边形所在的平面内（）

26、一个角的两边和另一个角的两边互相垂直，则这两个角相等或互补（）

27、一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补（）

28、和两条异面直线都相交的两直线是异面直线（）

29、过已知平面外一点平行于该平面的直线在过该点和已知平面平行的平面内（）

30、过一点和已知直线垂直的直线在过该点和已知直线垂直的平面内（）

31、一条直线和平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的斜影垂直（）

32、两个平面互相平行，则一个平面内的直线的另一个平面相交或平行（）

33、直线和平面所成的角比它和平面内经过交点的直线和它所成的角小（）

34、过二面角棱上一点，分别在平面内引射线，它们所成的角最小时，这个角叫做二面角的平面角（35、过二面角棱上一点，分别在平面内的两条射线，如果它们所成的角等于二

二面角的平面角，则这两条射线都垂直于棱（）

36、如果直线上两点到平面距离相等，则直线和平面平行（）

37、两条平行线分别在两平面内，则这两直线的距离就是两平面的距离（）

38、两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线的距离就是两平面的距离（）

39、同垂直于同一平面的两个平面平行（）

40、过两条异面直线外一点，有且只有一个平面与两条异面直线平行（）

41、有且只有一个平面到到两条异面直线的距离相等（）

42、一个平面和两个平面相交，且交线平行，则这两个平面平行（）

43、若一条直线平行于一个平面，则垂直于已知平面的直线必垂直于这条直线（）

44、若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面（）

45．异面直线a,b所成的角是30,则过一定点A与a,b所成的角都等于15的直线有条，与两条 a,b所成的角都等于55的直线条，与a,b所成的角都有等于75的直线有 与a,b所成的角都等于80的直线有条，与a,b所成的角都等于90的直线有条。）

第三篇：勾股定理习题课教学设计

勾股定理复习教案

课题：勾股定理习题课

授课类型：复习课

日期：3月17日

一、教学目标：

1.会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。

2.经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。

二、教学重点：勾股定理及逆定理的综合应用

三、教学难点：利用方程解决翻折问题

四、教学方法：例题讲解法

五、典型例题

（一）勾股定理及逆定理的综合应用

1.（1）如图，分别以Rt △ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则S1，S2，S3之间的关系为。．

（2）以△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，如果S1 +S3=S2 则此三角形是 三角形。

S

S

S2.教材29页13题

（二）利用方程解决翻折问题

3.如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上，求CD的长。

A

C´

B C

D

（三）勾股定理的应用

4.一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的长方体木箱中，能放进去吗？（长方体的高垂直于底面的任何一条直线）5.教材29页14题

（四）最短路程-展开图

六、家庭作业 1.教材39页9题

2.设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a,b及h.求证：

111 a2b2h23.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________。

七、教学反思

第四篇：习题课教学设计

第八课 走进文化生活习题课教学设计

政治组

杨永晶

【教学目标】：

1、知识目标：通过有针对性的习题课教学活动，让学生初步认识到文化生活客观题与主观题的一般步骤和基本规律；

2、能力目标：通过学生交流讨论，整体协作共同提高答题能力；

3、情感、态度、价值观：经过“从试题中来，到试题中去”的学习环节，使学生懂得解答每个试题也要把握其内在生命和灵魂的道理。尤其是针对本课习题，提高学生甄别落后与腐朽文化的能力，为树立高度的文化自觉和文化自信奠定基础。

【教学难点、重点】：引导学生学会发现、学会交流、学会领悟、学会归纳;找准题设切入口，归纳总结答题技巧。【教学手段】：多媒体设备

【教学流程】：明确目标—习题演练—师生说题—总结归纳—巩固强化 【教学课时】：1课时

【教学过程】： 【夯实基础】：请同学们回顾第八课《走进文化生活》的知识体系。（学生自主完成，过程略）【习题一组练习】多媒体展示略。以小组为单位，进行习题探究，师生互动，启发学生探究命题立意，归纳总结，通过变式训练拓展提升，考查考生获取和解读信息的能力，调动和运用知识分析问题的能力。（教师配合学生做多媒体展示。）【变式训练1】多媒体展示略

【习题二组练习】多媒体展示略。以小组为单位，进行习题探究，师生互动，启发学生探究命题立意，归纳总结，通过变式训练拓展提升，考查考生获取和解读信息的能力，调动和运用知识分析问题的能力，难度中等。（教师配合学生做多媒体展示。）【变式训练2】多媒体展示略 【习题三组练习】：（多媒体展示主观题），以小组为单位，进行习题探究，师生互动，启发学生探究命题立意，归纳总结，考查考生获取和解读信息的能力，调动和运用知识分析问题的能力，描述和阐释事物的能力。【变式训练3】多媒体展示略 【归纳总结】：学生自主总结关于解答客观题的技巧与方法，教师以多媒体设备辅助展示。【巩固强化 综合拓展】多媒体展示材料、问题略。

【小试牛刀】学生自主思考，全面分析，详尽作答，展示自己的解答过程。【归纳总结】：学生自主总结关于解答主观题的技巧与方法，教师以多媒体设备辅助展示。【提升领悟】：纪念长征胜利80周年

【过程评价】：师生互评，生生互评 【教学反思】：1.应在以后的教学中注意把握时间；2.针对高二的学生，在总结教学方法技巧环节，教师的语言表述应更具象，使其更容易理解；3.习题的安排顺序应有梯度，循序渐进。

第五篇：习题课教学设计(终稿)_2

习题课教学设计（终稿）

一、教材依据：

采用义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）八年级上册，第十一章复习题11拓广探索第12题改编“中线”为“高”。

二、设计思想：

1、教学指导思想：

体现新课程标准的基本理念，以生为本，有效地发挥学生的主体、教师的主导作用。

2、教材分析：

全等三角形的证明是初二几何学习的重要内容之一，这节课探究的是如何从运动的角度来看待三角形全等证明的问题，通过类比迁移的思想，使学生在学习过程中，进一步提高学数学、用数学的能力。在教学中有针对性地对学生进行数学思想方法――由特殊到一般的数学思想方法的渗透，这有利于学生数学思维能力的提高。通过本节课的学习，将对今后学好几何证明打下一定的基础。

3、设计理念：

（1）、让学生通过主动参与、自主探究、合作学习的过程，经历动手、动脑，学会观察、发现、分析、概括的学习方法，创设问题情境，激发学生思维的主动性。

（2）、注重知识的产生、转化和迁移的过程，强调对问题的分析、处理，渗透数学思想。（3）、给学生提供探索和交流的空间，培养学生的数学思维，同时增强师生间的情感交流。

（4）引导学生从实际问题转化为数学问题，回顾所学的知识，并利用所学知识解决问题，从而快乐的学习数学，这对于学生今后的学习有着积极的意义。

三、学情分析：

学生在全等三角形的证明己有一定的认识，学生在一般情况下，对简单的几何证明不会有什么问题，但在特定的条件下，证明两次三角形全等，还有点困难这有一个学生学习上数学思维的转变过程。由于我校学生主要来自农村，学生的学习素养普遍较低，教学中面对大多数学生，因此，教学起点不易定得太高，而选择引导学生从特殊到一般的数学思想方法，就是想通过剪纸活动去探寻证明途径，降低教学难度，这也完全符合学生的认知规律。

四、学习目标：

1、知识技能：经历探索三角形全等条件的过程，掌握三角形全等的“角边角”“HL”判定方法，培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力在具体情境中。

2、过程与方法：学会从特殊到一般的数学思想方法，使学生能熟练运用全等三角形四种基本判定方法和HL定理去进行几何证明的学习和应用。通过对此例的学习，感受运动在知识的学习和知识技能的提高中的作用，经历由“静”到“动”的思维变化的过程，从而发展学生的思维能力、拓展学生的思维空间，更新他们僵化的思维观念。

3、情感态度与价值观：（1）、经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，通过学生的观察、思考，引导学生了解数学思想方法对学习的重要性，树立学好数学的信心。

（2）、通过课堂学习培养学生敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神在对几何问题的分析、处理和解决过程中，充分认识几何证明的语言表达的规范性和逻辑思维的严谨性，有利于培养学生严肃、认真的学习态度。

重 点：经历对三角形全等条件的分析与画图验证的过程，能用“角边角”“HL”定理去判定两个三角形全等。

难 点：把一般三角形全等问题，转化为直角三角形全等问题。教学方法：探索发现法、小组讨论法。

课前准备：准备有关的纸张、剪刀和作图工具、多媒体，学生预习本节小结部分内容。

五、教学过程设计

（一）剪纸操作，引入新知

问题1：两个三角形有两边和它们的夹角对应相等这两个三角形全等吗？两个直角三角形有斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

学生活动1：任意画一个△ABC，再画一个△A1B1C1，使A1B1=AB，∠B1=∠B，B1C1=BC（即使两边和它们的夹角对应相等）。把画好的△A1B1C1剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

学生活动2：任意画一个Rt△ABC，再画一个Rt△A1B1C1，使A1B1=AB，A1C1=AC（即使斜边和一条直角边对应相等）。把画好的△A1B1C1剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

学生主动参与，互助学习，小组内学生相互协作完成作图剪图。

教师活动：教师巡视，观察各小组学习、交流情况，对学习困难的学生和小组进行指导，提问小组学生或学生代表。

师生共同归纳：板书：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”;斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL”。

（二）创设情景、探索新知

问题2：证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等。

学生活动3：以活动2三角形为基础，用橡皮筋和长图钉构成△ABD和△A1B1D1点C是点D在BC边上左右移动后的动点，点C1是点D1在B1C1边上左右移动后的动点，三角形的高AD不变且垂直于BC边，三角形的高A1D1不变且垂直于B1C1边观察这样变化后当B1C1=BC时，△ABC和△A1B1C1全等吗？

学生活动： 学生小组合作、交流和讨论。各组谈他们的做法和想法，听取教师的点评引导。

教师活动：教师在多媒体上演示活动3，并巡视观察各小组学习、交流情况，对学习困难的学生和小组进行指导。

问学生能得出什么结论？教师引导学生回到问题2的结论并加以肯定。

教师引导学生把问题2改写成已知求证形式，而作图分三种情况分三个大组按所作的图形加以证明。已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，A1B1=AB，B1C1=BC，AD,A1D1分别是 △ABC和△A1B1C1的边BC和B1C1上的高，且 AD=A1D1.求证：△ABC≌△A1B1C1.（如图）

学生活动：学生分小组讨论，通过讨论、归纳，既有助于训练学生概括归纳能力，又有助于学生在归纳概括过程中把所学的三角形的判定方法条理化、系统化。注意证明书写规范。

组长派组员去黑板上展示各组的证明结果，并讲给全班同学听，重在讲思路。讲完以后全班同学都可以进行点评，或阐述自己不同的思路。

师生共同归纳：

师生共同分析后由教师用多媒体投影仪在银幕上展示解题过程。(略)

（三）小结与反思

回顾本节我们学习的过程，同学们可学到了哪些新知识？在学习的过程中，你有怎样的收获？学生应根据本节课的教学内容和过程进行回忆。

引导学生反思学习和解决问题的过程，大胆发表见解，教师对学生的体会和进步给予肯定和鼓励。

在本节的学习中，学生对图形的动态变化的证明是比较容易接受的，因此改一点Ｄ（Ｄ1）为动点，证明中所出现的三种不同状态都可以很容易得到证明。很多学生都能体会到动态观点的学习有助于学生对数学学习认识上的提高，促进学生严谨科学对待数学学习，培养学生严肃、认真的学习态度都是十分有益的。因此，教师在教学中应该及时帮助学生提高这样的认识，这样才能加深和扩展学生对数学的理解。

这节课根据教学内容选择恰当的教学方式来指导学生进行有效的学习，在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值这三个维度方面的目标都有所体现。在如何关注学生的学，如何提高学生的学习能力方面都进行了探究，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力，促使学生进行有效的学习。

（四）布置作业：

Ｐ27

复习题11第12题