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导数专题一、单调性问题
【知识结构】
【知识点】
一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；
二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.三、分类讨论的思路步骤：
第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；
第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；
第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；
第四步、（列表）根据第五步的草图列出，随变化的情况表，并写出函数的单调区间；
第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值.四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：
1.最高次项系数是否为0；
2.导函数是否有极值点；
3.两根的大小关系；
4.根与定义域端点讨论等。
五、求解函数单调性问题的思路：
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为或恒成立；
（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；
（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法
（1）参变分离；
（2）导函数的根与区间端点直接比较；
（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。
七、求解函数单调性问题方法提炼：
（1）将函数单调增（减）转化为导函数恒成立；
（2），由（或）可将恒成立转化为（或）恒成立；
（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。
【考点分类】
考点一、分类讨论求解函数单调性；
【例1-1】（2015-2016朝阳一模理18）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．
【答案】（Ⅰ）函数的定义域为．．
（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（2）当时，令，得．
当时，函数为减函数；
当时，函数为增函数．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为．
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，所以在区间上，显然函数在区间上恒大于零；
（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以．
依题意有，解得，所以．
（3）当时，即时，在区间上为减函数，所以．
依题意有，解得，所以．
综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．
（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，切线方程为．
因为切线过点，则．
即．
………………①
令，则
．
（1）当时，在区间上，单调递增；
在区间上，单调递减，所以函数的最大值为．
故方程无解，即不存在满足①式．
因此当时，切线的条数为．
（2）当时,在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的最小值为．
取，则．
故在上存在唯一零点．
取，则．
设，则．
当时，恒成立．
所以在单调递增，恒成立．所以．
故在上存在唯一零点．
因此当时，过点P存在两条切线．
（3）当时，显然不存在过点P的切线．
综上所述，当时，过点P存在两条切线；
当时，不存在过点P的切线．
【例1-2】（2015-2016海淀一模理18）已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
(Ⅲ)
求证：直线不是曲线的切线.【答案】（Ⅰ）函数的定义域为，当变化时，的变化情况如下表：
递减
极小值
递增
函数在上的极小值为，所以的最小值为
（Ⅱ）解：函数的定义域为，由（Ⅰ）得，所以
所以的单调增区间是，无单调减区间.（Ⅲ）证明：假设直线是曲线的切线.设切点为，则，即
又，则.所以,得，与
矛盾
所以假设不成立，直线不是曲线的切线
【练1-1】（2015-2016西城一模理18）已知函数，且.(Ⅰ)
求的值及的单调区间；
(Ⅱ)
若关于的方程存在两个不相等的正实数根，证明：.【答案】（Ⅰ）对求导，得，所以，解得.故，.令，得.当变化时，与的变化情况如下表所示：
0
0
↘
↗
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.（Ⅱ）解：方程，即为，设函数.求导，得．
由，解得，或.所以当变化时，与的变化情况如下表所示：
0
↘
↗
所以函数在单调递减，在上单调递增.由，得.又因为，所以.不妨设（其中为的两个正实数根），因为函数在单调递减，且，所以.同理根据函数在上单调递增，且，可得，所以，即
.【练1-2】（2011-2012石景山一模文18）已知函数.（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）
…………1分
由已知，解得.…………3分
（II）函数的定义域为.（1）当时,，的单调递增区间为；……5分
（2）当时.当变化时，的变化情况如下：
+
极小值
由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是.…………8分
（II）由得，…………9分
由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立.即在上恒成立.…………11分
令，在上，所以在为减函数.,所以.…………14分
【练1-3】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由；
（Ⅲ）求函数的单调区间.【答案】函数的定义域：..（Ⅰ）当时，..有，即切点（1,3），.所以曲线在点处切线方程是，即.（Ⅱ）若，..令，得（舍），.－
＋
↘
极小值
↗
则.所以函数不存在零点.（Ⅲ）
.当，即时，－
＋
↘
极小值
↗
当，即时，的单调增区间是，；
当，即时，＋
－
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
当，即时，＋
＋
↗
↗
＋
－
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
综上时，的单调增区间是;减区间是.当时，的单调增区间是,;减区间是.当时，的单调增区间是;
当时，的单调增区间是，;减区间是.【练1-4】（2015-2016丰台期末文20）设函数的图象与直线相切于点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）∵函数的图象与直线相切于点，∴，．
∵，∴
解得．
∴．
（Ⅱ），令，得或；
令，得．
∴的单调递增区间为，；单调递减区间为．
…8分
（Ⅲ）记在上的值域为,在上的值域为，∵对于，使得，∴．
由（Ⅱ）得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，∴．
∵，∴．
①
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为或，的最大值为或．
∵，且，∴或，∴或，即或．
又∵，∴．
②
当时，在上单调递增，上单调递减，∴的最小值为或，的最大值为
．
∵，且，∴，∴，即．
综上所述：或．
【练1-5】（2015-2016朝阳二模文20）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)
函数的定义域为,.（1）
当时，,令，解得，则函数的单调递增区间为
令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）
当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为；
令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）
当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为.（4）
当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为，；
令，解得，则函数的单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（Ⅱ）依题意，在区间上.，.令得，或.若，则由得，函数在()上单调递增.由得，,函数在()上单调递减.所以，满足条件；
若，则由得，或；
由得，.函数在(),上单调递增,在上单调递减.，依题意，即，所以；
若，则.所以在区间上单调递增，不满足条件；
综上，.【练1-6】（2015-2016房山二模文19）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。
【答案】（Ⅰ）,定义域为，令
极小值
所以的增区间为，减区间为。
（II）因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根
设，即无零点。
当时，显然无零点，符合题意；
当时，令
极小值，显然不符合题意；
当时，令
极大值，所以时，符合题意
综上所述：
【练1-7】（2015-2016朝阳一模文19）已知函数.（Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)若，函数的定义域为，.则曲线在点处切线的斜率为.而，则曲线在点处切线的方程为
（Ⅱ）函数的定义域为，.（1）当时，由,且此时，可得.令，解得或，函数为减函数；
令，解得，但，所以当，时，函数也为增函数.所以函数的单调减区间为，单调增区间为，.（2）当时，函数的单调减区间为，.当时，函数的单调减区间为，.当时，由，所以函数的单调减区间为，.即当时，函数的单调减区间为，.（3）当时，此时.令，解得或，但，所以当，时，函数为减函数；
令，解得，函数为增函数.所以函数的单调减区间为，，函数的单调增区间为.…………9分
（Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，所以不存在极值点;
（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，在上为减函数.若函数在区间上存在极值点，则，解得或,所以.综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.【练1-8】（2015-2016东城期末理19）已知函数．
（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试求的单调区间；
（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时，，．
方程为．
（Ⅱ），．
当时，对于，恒成立，所以
Þ；
Þ
0.所以
单调增区间为，单调减区间为
．
（Ⅲ）若在内有极值，则在内有解．
令
Þ
Þ
.设,所以,当时，恒成立，所以单调递减.又因为，又当时，,即在上的值域为,所以
当时，有解.设，则，所以在单调递减.因为，,所以在有唯一解.所以有：
0
0
递减
极小值
递增
所以
当时，在内有极值且唯一.当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．
综上，的取值范围为．
【练1-9】（2015-2016大兴期末理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当
时，所以，函数在点处的切线方程为
即：
(Ⅱ)函数的定义域为：
当时，恒成立，所以，在和上单调递增
当时，令，即：，,所以，单调递增区间为，单调减区间为.（Ⅲ）因为在上恒成立，有
在上恒成立。
所以，令，则.令则
若，即时，函数在上单调递增，又
所以，在上恒成立；
若，即时，当时，单调递增；
当时，单调递减
所以，在上的最小值为，因为所以不合题意.即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为
又因为，所以恒成立
综上知，的取值范围是.考点二、已知函数单调求参数范围；
【例2-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数,.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；
（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)
（Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或
当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:
+
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
要使有三个零点,故需,即,解得
所以的取值范围是.【例2-2】（2015-2016朝阳期中文19）已知函数，．
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，证明.【答案】（I）函数的定义域为.因为.又因为函数在单调减，所以不等式在上成立.设，则，即即可，解得.所以的取值范围是.（Ⅱ）当时，.令，得或（舍）.当变化时，变化情况如下表：
0
+
极小值
所以时,函数的最小值为.所以成立.【练2-1】（2015-2016海淀期中文18）已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处切线的斜率为，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）因为，所以曲线经过点，又，所以，所以.当变化时，的变化情况如下表
0
0
极大值
极小值
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为
.（Ⅱ）
因为函数在区间上单调递增，所以对成立，只要在上的最小值大于等于0即可.因为函数的对称轴为，当时，在上的最小值为，解，得或，所以此种情形不成立
当时，在上的最小值为，解得，所以，综上，实数的取值范围是.【练2-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数
（1）求曲线：在处的切线的方程；
（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；
（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。
【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为
（2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立
1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值
令，有
所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。
2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值
由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为
（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点
即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0
因此恒大于0，所以舍去
2、当时，解得，1
0
+
0
减
极小值
增
极大值
减
易知，而当时，所以在只存在一个零点。
3、当时，解得，1
0
+
减
极小值
增
当时，所以若只有一个零点，必须有
即，综上所述，的取值范围为和
【练2-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中．
（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范
围；
（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；
（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．
【答案】函数定义域，．
（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则
（Ⅱ）当时，,．
（ⅰ）令，得．
令,得，所以函数在单调递增．
令,得，所以函数在单调递减．
所以，．
所以成立．
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以．
设所以．
令，得．
令,得，所以函数在单调递增，令,得，所以函数在单调递减；
所以，即．
所以，即．
所以，方程没有实数解．
【练2-4】（2015-2016海淀期中理18）已知函数，曲线在点处的切线为．
（Ⅰ）若直线的斜率为，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数是区间上的单调函数，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
因为直线的斜率为
所以
所以
所以
令解得
所以当和时，当时，所以的单调增区间为和，单调减区间为
（Ⅱ）要使在上单调
只需或在恒成立
（1）在恒成立等价于，即
解得
（2）在恒成立，当时，即，解得（舍）或（舍）
当时，即，解得
综上所述
考点三、已知函数不单调求参数范围；
【例3-1】已知函数.当时，若在区间上不单调，求的取值范围.【答案】解法一：∵
令，解得，因为在区间上不单调，所以区间上存在极值点，所以，或
即，或
所以或
∴.解法二:∵
因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点.令，解得，区间长为，∴在区间上不可能有个零点.所以
即：
∵，∴，又∵，∴.【例3-2】已知函数，若在区间上不单调，求的取值范围
【答案】
考点四、已知函数存在单调区间求参数范围；
【例4-1】设函数，.若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围.【答案】解法一：
设，依题意，在区间上存在子区间使得不等式成立.注意到抛物线开口向上，所以只要，或即可
由，即，得，由，即，得，所以，所以实数的取值范围是.解法二：，依题意得，在区间上存在子区间使不等式成立.又因为，所以.设，所以小于函数在区间的最大值.又因为，由解得；
由解得.所以函数在区间上递增，在区间上递减.所以函数在，或处取得最大值.又，所以，所以实数的取值范围是.【例4-2】（2010-2011朝阳二模理18）设函数，.（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
【答案】
【练4-1】已知函数，．函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．
【答案
当时，令，解得
则在上单调递增区间，满足题意.当时
当，即时，在上单调递减(舍）
当，即，且时
令，解得：，当时，则在上单调递增区间，满足题意
当时，要使在上存在单调递增区间，则，即，解得
所以
综上所述得：的取值范围为：
解法二：
在上存在单调递增区间等价于在存在区间使成立，即存在使成立
设
当时，则
所以，的取值范围为：
考点五、两个函数在具有相同的单调性求参数范围；
【例5-1】（2012-2013西城一模文18）已知函数，其中．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）的定义域为，且
．
………………2分
①
当时，故在上单调递增．
从而没有极大值，也没有极小值．
………4分
②
当时，令，得．
和的情况如下：
↘
↗
故的单调减区间为；单调增区间为．
从而的极小值为；没有极大值．
…………6分
（Ⅱ）解：的定义域为，且
．
…………8分
③
当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．
………………9分
④
当时，在上单调递减．
当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．
……………11分
当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．
综上，的取值范围是．
…………13分
【例5-2】已知函数，其中．若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．
【答案】的定义域为，当，在单调递减，当时，在单调递减，单调递增,的定义域为，且
．
当时，显然，从而在上单调递增．
此时在上单调递增，符合题意．
当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．
当时，令，得．
和的情况如下表：
↘
↗
当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意．
当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．
综上，的取值范围是．
导数专题二、极值问题
【知识点】
一、函数的极值定义
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值，记作极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．
极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。
可导函数的极值点必定是它的驻点。但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，例如,点是它的驻点，却不是它的极值点。
极值点上的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。
极值问题主要建立在分类讨论的基础上，二、求函数的极值点和极值注意事项：
1.求极值或极值点，必须点明是极大还是极小。若没有另一个，要说明没有。
2.要知道如何判断是否存在极值或者极值点。
3.如果已知极值或者极值点，求参数的时候，最后结果需要检验。
4.极值点是导函数的根，如果有两个根，要在合适的时候想到伟达定理。
三、求函数极值的三个基本步骤
第一步、求导数；
第二步、求方程的所有实数根；
第三步、考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值．
【考点分类】
考点一、分类讨论求函数极值（点）；
【例1-1】（2015-2016海淀一模文19）已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)求函数的零点和极值；
(Ⅲ)若对任意，都有成立，求实数的最小值.【答案】
（Ⅰ）设切线斜率为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即。
（Ⅱ）令，解得。当时，；时，所以函数零点有且只有一个，为1.令，即解得。当时，；当时，所以函数在处取得极小值，无极大值。
（Ⅲ）由（II）知，当时，；时，且在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值。且。，所以只需。所以。所以的最小值为1。
【例1-2】（2010-2011朝阳二模理18）设函数，.（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
（Ⅲ）求函数的极值点.【答案】
考点二、已知函数极值（点）情况求参数范围；
【例2-1】（2015-2016朝阳一模文19）已知函数.（Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)若，函数的定义域为，.则曲线在点处切线的斜率为.而，则曲线在点处切线的方程为
（Ⅱ）函数的定义域为，.（1）当时，由,且此时，可得.令，解得或，函数为减函数；
令，解得，但，所以当，时，函数也为增函数.所以函数的单调减区间为，单调增区间为，.（2）当时，函数的单调减区间为，.当时，函数的单调减区间为，.当时，由，所以函数的单调减区间为，.即当时，函数的单调减区间为，.（3）当时，此时.令，解得或，但，所以当，时，函数为减函数；
令，解得，函数为增函数.所以函数的单调减区间为，，函数的单调增区间为.…………9分
（Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，所以不存在极值点;
（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，在上为减函数.若函数在区间上存在极值点，则，解得或,所以.综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.【例2-2】（2015-2016东城期末理19）已知函数．
（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试求的单调区间；
（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时，，．
方程为．
（Ⅱ），．
当时，对于，恒成立，所以
Þ；
Þ
0.所以
单调增区间为，单调减区间为
．
（Ⅲ）若在内有极值，则在内有解．
令
Þ
Þ
.设,所以,当时，恒成立，所以单调递减.又因为，又当时，,即在上的值域为,所以
当时，有解.设，则，所以在单调递减.因为，,所以在有唯一解.所以有：
0
0
递减
极小值
递增
所以
当时，在内有极值且唯一.当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．
综上，的取值范围为．
【练2-1】（2015-2016房山二模理18）已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，若在区间上有两个极值点，求实数的取值范围。
【答案】（Ⅰ）当时，定义域为
令，得
0
递增
递减
极小值
递增
（Ⅱ），因为
所以令，只需
设，若在区间上有两个极值点，则在区间上有两个零点
要使在区间上有两个零点，的唯一根必须在区间
所以令，得，且
解得：
【练2-2】已知函数，（为常数）.若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】
由题意可知，解得
所以，实数的取值范围为.【练2-3】已知函数，其中且.若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】在上有且仅有一个极值点，在上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得，即，解得或，综上，的取值范围是.【练2-4】已知函数，其中且.（Ⅰ）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；
（Ⅱ）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）由已知可得.，又
在处的切线方程为.令，整理得.或，与切线有两个不同的公共点.--7分
（Ⅱ）在上有且仅有一个极值点，在上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得，即，解得或，综上，的取值范围是.【练2-5】（2013-2014海淀二模文18）已知函数，其中且.（Ⅰ）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；
（Ⅱ）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）由已知可得.---------------------------------1分，---------------------------------2分
又
在处的切线方程为.---------------------------------4分
令，整理得.或，-----------------------------------5分，----------------------------------------6分
与切线有两个不同的公共点.----------------------------------------7分
（Ⅱ）在上有且仅有一个极值点，在上有且仅有一个异号零点，---------------------------9分
由二次函数图象性质可得，-------------------------------------10分
即，解得或，----------------------------12分
综上，的取值范围是.-------------------------------13分
【练2-6】（2009-2010年北京高考文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求的取值范围。
【答案】由
得
因为的两个根分别为1,4，所以
（*）
（Ⅰ）当时，又由（*）式得
解得
又因为曲线过原点，所以
故
（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。
由（*）式得。
又
解
得
即的取值范围
考点三、已知函数极值求参数值；
【例3-1】已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）的定义域为.，即
.令，解得：或.当时，故的单调递增区间是.当时，随的变化情况如下：
极大值
极小值
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，随的变化情况如下：
极大值
极小值
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.（Ⅱ）当时，的极大值等于.理由如下：当时，无极大值.当时，的极大值为，令，即
解得
或（舍）.当时，的极大值为.因为，所以
.因为，所以的极大值不可能等于.综上所述，当时，的极大值等于.【例3-2】已知函数在处有极值10，求的值.【答案】
依题意得方程组
解得.当a=-3,b=3时，令得x=1.(-∞,1)
(1,+∞)
+
0
+
↗
无极值
↗
显然不合题意，舍去.当时，令得或.x
（1，+∞）
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
在处有极小值10，合题意，∴.导数专题三、最值问题
【知识结构】
【知识点】
一、求解函数最值问题的步骤：
对于函数的最值问题主要建立在前面的极值问题的基础上；一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
第一步、求函数在内的极值；
第二步、将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、主要的问题类型：
1.分类讨论求函数最值；
2.已知函数最值情况求参数范围；
3.已知函数最值求参数值；
4.其他的情况转化为最值问题；
【考点分类】
考点一、分类讨论求函数最值；
【例1-1】（2015-2016东城一模文19）
已知函数，（1）若在处取得极值，求的值；
（2）求在区间上的最小值；
（3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立.【答案】（1）定义域为，因为函数在处取得极值，所以有，解得
（2）
1）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为
2）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为
3）当时，-
0
+
减
极小值
增
所以在该区间的最小值为
综上所述，当时，在的最小值为1；
当时，在的最小值为.（3）由已知得，所以在时，恒有
若要证明当时，恒有成立，只需证明，即证明恒成立.令
令，有
当时，恒有，所以当时，所以，所以在时，单调递减，因此恒成立，所以，当时，恒有成立.【例1-2】（2014-2015丰台一模理18）设函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：；
（Ⅲ）当时，求函数在上的最大值．
【答案】（Ⅰ）当时，，所以．
因为，即切线的斜率为，所以切线方程为，即
．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知．
令，则．
当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以当时，函数最小值是．命题得证.（Ⅲ）因为，所以．
令，则．
当时，设，因为，所以在上单调递增，且，所以在恒成立，即．
所以当，在上单调递减；
当，在上单调递增．
所以在上的最大值等于，因为，不妨设()，所以．
由（Ⅱ）知在恒成立，所以在上单调递增．
又因为，所以在恒成立，即．
所以当时，在上的最大值为．
【练1-1】（2015-2016西城期末文19）已知函数，其中是自然对数的底数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求函数的最小值.【答案】（Ⅰ）解：因为，所以．
令，得．
当变化时，和的变化情况如下：
↘
↗
故的单调减区间为；单调增区间为．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得的单调减区间为；单调增区间为．
所以当，即时，在上单调递增，故在上的最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为；
当，即时，在上单调递减，故在上的最小值为.所以函数在上的最小值为
【练1-2】（2015-2016海淀期末文18）已知函数与函数在点处有公共的切线，设.（I）
求的值
（Ⅱ）求在区间上的最小值.【答案】（I）因为所以在函数的图象上
又，所以
所以
（Ⅱ）因为，其定义域为
当时，所以在上单调递增
所以在上最小值为
当时，令，得到(舍)
当时，即时，对恒成立，所以在上单调递增,其最小值为
当时，即时,对成立，所以在上单调递减，其最小值为
当,即时,对成立,对成立
所以在单调递减,在上单调递增
其最小值为
综上，当时，在上的最小值为
当时，在上的最小值为
当时,在上的最小值为.【练1-3】（2015-2015丰台一模理18）已知函数，.(Ⅰ)若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；
(Ⅱ)当，且ab=时，求函数的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值.【答案】(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，1
则，3
h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，即,解得或6
(Ⅱ)记(x)=，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),ab=，所以，(x≠-a)，令，得，或,因为，所以，故当，或时，当时，函数(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，,，①
当，即时,(x)在[-2,-1]单调递增,(x)在该区间的最小值为，②
当时,即,(x)在[-2,单调递减,在单调递增，(x)在该区间的最小值为，③当时,即时,(x)在[-2,-1]单调递减,(x)在该区间的最小值为，综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为.（不综述者不扣）
【练1-4】（2013-2014延庆一模理18）已知函数.(Ⅰ)
讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，求函数在区间的最小值.【答案】函数的定义域为，1
(Ⅰ)，4
（1）当时，所以在定义域为上单调递增；
（2）当时，令，得（舍去），当变化时，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减，在区间上单调递增；
（3）当时，令，得，（舍去），当变化时，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减，在区间上单调递增.（Ⅱ）由(Ⅰ)知当时，在区间单调递减，在区间上单调递增.（1）当，即时，在区间单调递减，所以，；
（2）当，即时，在区间单调递减，在区间单调递增，所以，（3）当，即时，在区间单调递增，所以.【练1-5】（2013-2014东城期末理18）已知，函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值．
【答案】（Ⅰ）当时，，所以，.2
因此．
即曲线在点处的切线斜率为.4
又，所以曲线在点处的切线方程为，即．6
（Ⅱ）因为，所以．
令，得．
①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．
②若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值．
③若，则当时，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值．
综上可知，当时，函数在区间上无最小值；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．
【练1-6】（2014-2015西城二模理18）已知函数，其中．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】的定义域为，且
．
当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即
．
（Ⅱ）解：方程的判别式为．
（ⅰ）当时，所以在区间上单调递增，所以在区间
上的最小值是；最大值是．6
（ⅱ）当时，令，得，或．
和的情况如下：
↗
↘
↗
故的单调增区间为，；单调减区间为．
①
当时，此时在区间上单调递增，所以在区间
上的最小值是；最大值是．
②
当时，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是
．
因为，所以
当时，在区间上的最大值是；当时，在区间上的最大值是．
③
当时，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是；最大值是．
综上，当时，在区间上的最小值是，最大值是；
当时，在区间上的最小值是，最大值是；
当时，在区间上的最小值是，最大值是；
当时，在区间上的最小值是，最大值是．
【练1-7】（2014-2015丰台一模文19）已知函数,.(1)设函数,且求a,b的值;
(2)当a=2且b=4时,求函数的单调区间,并求该函数在区间(-2,m]
()上的最大值.【答案】(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a},则,因为所以解得,或
(Ⅱ)记(x)=,则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),因为a=2,b=4,所以(x≠-2)，令,得,或,当,或时，当时，函数的单调递增区间为,单调递减区间为,①当-2 【练1-8】（（2013-2014大兴一模文18）已知函数.(I)求函数的单调区间; (Ⅱ)当时,求函数在区间上的最小值.【答案】定义域为R (Ⅰ)①当时，则的单调增区间为 ②当时,解得，解得，则的单调增区间为,的单调减区间为 ③当时,解得，解得，则的单调增区间为,的单调减区间为 (Ⅱ) ①当时,即 当时,在上是减函数,在上是增函数,则函数在区间[-2,0]上的最小值为 ②当时,即 当时,在上是增函数,则函数在区间[-2,0]上的最小值为 综上: 当时,在区间[-2,0]上最小值为 当时,在区间[-2,0]上最小值为 考点二、已知函数最值情况求参数范围； 【例2-1】（（2015-2016昌平期末文20）已知函数． (Ⅰ) 求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）证明：当时，； （Ⅲ）设，若存在最大值，且当最大值大于时，确定实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：定义域为，.由题意，，所以函数在点处的切线方程为.（Ⅱ）证明：当时，可转化为 当时，恒成立.设，所以.当时，所以在上为减函数，所以，所以当时，成立.（Ⅲ）设，定义域为，所以.⑴当时，对于任意的，所以在上为增函数，所以无最大值，即不符合题意.⑵当时，令，即，则.所以，变化如下： 0 + 0 ↗ 极大值 ↘ 因为.所以成立，即，令，所以，即在上为增函数.又因为，所以当时，.所以，时，命题成立.综上，的取值范围为.【例2-2】（2015-2016东城一模文20）已知函数 .(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)讨论的单调性; (III)若存在最大值,且,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)当时,..所以.又,所以曲线在点处的切线方程是,即.(Ⅱ)函数的定义域为,.当时,由知恒成立,此时在区间上单调递减.当时,由知恒成立,此时在区间上单调递增.当时,由,得,由,得,此时在区间内单调递增,在区间内单调递减.(III)由(Ⅱ)知函数的定义域为,当或时,在区间上单调,此时函数无最大值.当时,在区间内单调递增,在区间内单调递减,所以当时函数有最大值.最大值.因为,所以有,解之得.所以的取值范围是.【练2-1】（15-2016大兴区一模理18）已知函数，． (Ⅰ)求函数的单调区间； (Ⅱ)函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（I），.由，得，或.①当，即时，在上，单调递减； ②当，即时，在上，单调递增，在上，单调递减.综上所述：时，的减区间为； 时，的增区间为，的减区间为.（II）（1）当时，由（I）在上单调递减，不存在最小值； （2）当时，若，即时，在上单调递减，不存在最小值； 若，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，且当时，所以时，.又因为，所以当，即时，有最小值；，即时，没有最小值.综上所述：当时，有最小值；当时，没有最小值.考点三、已知函数最值求参数值； 【例3-1】（2015-2016朝阳期中文20）已知函数(其中，),函数的导函数为，且． (Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)若函数在区间上的最小值为，求的值． 【答案】因为，所以． 因为，所以． 所以． (Ⅰ)当时，时，所以曲线在点处的切线方程为． 即． (Ⅱ)由已知得，所以． （1）当，即时，令得，或； 令得，． 所以函数在和上单调递增，在上单调递减． 所以函数在区间上单调递增． 所以函数在区间上的最小值为． 解得．显然合题意． （2）当时，即时，恒成立，所以函数在上单调递增． 所以函数在区间上单调递增． 所以函数在区间上的最小值为． 解得．显然不符合题意． （3）当时，即时，令得，或； 令得，． 所以函数在和上单调递增，在上单调递减． ①若，即时，函数在区间上单调递减． 所以函数在区间上的最小值为． 解得．显然合题意． ②若，即时，函数在在上单调递减，在上单调递增． 此时，函数在区间上的最小值为． 解得．显然不合题意． 综上所述，或为所求． 【例3-2】（2015-2016朝阳期中18）已知函数(其中是常数，)，函数的导函数为，且． (Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)当时，若函数在区间上的最大值为，试求的值． 【答案】因为，所以． 因为，所以，即． (Ⅰ)当时，．又，所以曲线在点处的切线方程为． 即． (Ⅱ)由已知得． 所以． 因为，． 因为，所以． 令得，； 令得，或． 所以函数在上单调递增，在和上单调递减． ①若，即时，函数在区间上单调递增． 所以函数在区间上的最大值为． 解得．显然符合题意．此时，． ②若，即时，函数在上单调递增，在上单调递减． 所以函数在区间上的最大值为． 又因为，所以，． 所以． 所以． 不满足函数在区间上的最大值为 综上所述，为所求． 【练3-1】（2015-2016海淀一模理18）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.(I) 当时，求的单调区间； (II) 若在上的最大值为，求的值.【答案】（I）因为所以2 因为函数在处取得极值 当时，，随的变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 所以的单调递增区间为,单调递减区间为 (II)因为 令,因为在处取得极值，所以 当时，在上单调递增，在上单调递减 所以在区间上的最大值为，令，解得 当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以，解得 当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以，解得，与矛盾 当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或.【练3-2】（2013-2014朝阳一模理18）已知函数，． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若函数在区间的最小值为，求的值． 【答案】函数的定义域是，． （Ⅰ）（1）当时，故函数在上单调递减． （2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减． （3）当时，令，又因为，解得． ①当时，所以函数在单调递减． ②当时，所以函数在单调递增． 综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为． （Ⅱ）（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去． （2）当时，由（Ⅰ）可知，①当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得． ②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去． ③当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去． 综上所述，． 导数专题四、零点问题 【知识结构】 【知识点】 一、零点的定义：定义： 一般地，如果函数在处有实数根，即，则叫做这个函数的零点.1.函数值为零时的值； 2.函数为零时，方程的解； 3.函数的图象与轴交点； 4.两个函数的交点； 二、零点问题主要包括的题型包括： 1.是否有零点； 2.判断零点个数； 3.已知零点求参数 三、函数零点的判定： 方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点 【考点分类】 考点一、分类讨论求零点个数； 【例1-1】（2014-2015年朝阳一模理18）已知函数，． （Ⅱ） 当时，讨论函数的零点个数.【答案】（Ⅱ）,.（1）当时，时，为减函数;时，为增函数.所以在时取得最小值.（ⅰ）当时，由于，令，则在上有一个零点； （ⅱ）当时，即时，有一个零点； （ⅲ）当时，即时，无零点.（ⅳ）当时，即时，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(3) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例1-2】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数． （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【答案】令，.令，则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.所以若，则无零点；若有零点，则． 若，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点； 又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.切线方法： 综上所述，当时，无零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点.【练1-1】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数的单调区间.【答案】函数的定义域：..（Ⅰ）当时，..有，即切点（1,3），.所以曲线在点处切线方程是，即.（Ⅱ）若，..令，得（舍），.－ ＋ ↘ 极小值 ↗ ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则.所以函数不存在零点.（Ⅲ） .当，即时，－ ＋ ↘ 极小值 ↗ 当，即时，＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当，即时，＋ ＋ ↗ ↗ 当，即时，综上时，的单调增区间是;减区间是.当时，的单调增区间是,;减区间是.当时，的单调增区间是; 当时，的单调增区间是，;减区间是.【练1-2】（2015-2016西城期末文20）已知函数，直线 ： .（1）求函数的极值； （2）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线； （3）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由。 【答案】（1）（x≠0） ∴ 令，得x=1，列表，得： x （0，1） （1，+∞） 0 + 极值 ∴在x=1处，有极小值为。 （2）假设是一条切线，设切点为。 ∴ 有 将②代入①中，得 即 不成立 ∴ 对于任意，直线都不是曲线的切线。 （3）解法一、令 整理得 令 ∴，∴ g（x）是一个减函数。 令g（x）=0得x=-1，∴ 有当x＜0时，g（x）＜2，且x，g（x）-∞； 当x＞0时，g（x）＞2，且x，g（x）+∞； ∴ 当k=2时，没有交点；当k≠2时，有一个交点。 解法二、令，有，当时，恒正，即无零点。 当时，即在时恒正，无零点。 当时，为减函数，取，有； 当时，而，此时，所以有一个零点，即曲线与直线有一个交点。 当时，当时，恒正，无零点； 当时，为增函数，取，有； 当时，而，此时； 因此，在有一个零点，即曲线与直线有一个交点。 综上所述，当 时，曲线与直线没有交点；当 时，曲线与直线有一个交点。 【练1-3】（2015-2016大兴期末文19）已知函数． （Ⅰ）求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）设实数使得恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）设，求函数在区间上的零点个数． 【答案】（Ⅰ） 曲线在点处的切线方程为 (Ⅱ)设，则 令，解得： 当在上变化时，的变化情况如下表： + 0 ↗ ↘ 由上表可知，当时，取得最大值 由已知对任意的，恒成立 所以，得取值范围是。 (Ⅲ)令得： 由(Ⅱ)知，在上是增函数，在上是减函数.且，所以当或时，函数在上无零点； 当或时，函数在上有1个零点； 当时，函数在上有2个零点 【练1-4】（2013-2014西城期末理18）已知函数，其中是自然对数的底数，.（Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.【答案】（Ⅰ）解：因为，所以． ……………… 2分 令，得． ……………… 3分 当变化时，和的变化情况如下： ↘ ↗ ……………… 5分 故的单调减区间为；单调增区间为．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数有且仅有一个零点.……………… 7分 理由如下： 由，得方程，显然为此方程的一个实数解.所以是函数的一个零点.……………… 9分 当时，方程可化简为.设函数，则，令，得． 当变化时，和的变化情况如下： ↘ ↗ 即的单调增区间为；单调减区间为． 所以的最小值.………………11分 因为，所以，所以对于任意，因此方程无实数解． 所以当时，函数不存在零点.综上，函数有且仅有一个零点.………………13分 【练1-5】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【答案】（Ⅰ） …………………1分，所以切线的方程为，即． …………………3分 （Ⅱ）令则 ↗ 最大值 ↘ …………………6分，所以且，，即函数的图像在直线的下方． …………………8分 （Ⅲ）令，.令，则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.所以若，则无零点；若有零点，则．………………10分 若，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.综上所述，当时，无零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点.…………………13分 【练1-6】（2014-2015东城高一模理18）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极值，求的值； （Ⅱ）若在区间上单调递增,求的取值范围； （Ⅲ）讨论函数的零点个数.【答案】（Ⅰ）因为，由已知在处取得极值，所以.解得，经检验时，在处取得极小值.所以.……3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，.因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立.即在区间上恒成立.所以.……8分 （Ⅱ）因为，所以，.令得，令，..当时，在上单调递增，时，在上单调递减.所以.综上：当时，函数无零点，当或时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.考点二、已知函数存在零点情况求参数范围； 【例2-1】（2015-2016房山二模理18）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。 【答案】（Ⅰ） 令 得 变化情况 + 减 增 所以 函数在区间为减函数，在区间为增函数 （Ⅱ）解法一（分离参数法）： 主要的步骤如下： 1写定义域：求出函数的定义域 2分离参数：将等式转化为参数放在等号一边，等号另外一边为一个函数g（x） 3画图象：准确画出g（x）的图象 4移直线：将直线y=b的直线由上往下移动观察交点个数 下面是每一步的注意事项： 1写定义域：一定要先写出函数的定义域 2分离参数：分离参数的时候也要注意对等式变化的时候定义域的改变 3：画图像：这里涉及到画出准确函数图像的注意事项 A：首先通过求导研究函数的单调性（在定义域范围内） B：画出各极值点 C：画断点（定义域内取不到的值的走势）-----找渐近线1 D:画正负无穷处的点----------找渐近线2 E：将各处用光滑的曲线连接起来 4：移直线：移动的时候看交点要注意所取点空心和实心。 解法一（分离参数法）：直线与曲线没有公共点，等价于 方程无实数解，不是该方程的解，所以等价 方程无解 设 则 令 得 在区间上，在区间上，在区间上 所以 在上递增，在上递减，在上递减 所以，当时，取得极大值 当无限增大时，无限趋近于1 所以的值域为 方程无解，则的取值范围为 解法二：构造新函数法（略） 解法三（转化为过某一定点直线和曲线的交点）： 因为直线与曲线没有公共点，所以方程，即无实数解 所以直线与曲线没有公共点，设过点的直线与曲线相切于点 因为，所以直线的斜率 所以直线的方程为 因为直线过点，所以，所以 因为直线与曲线无交点 所以，即 【例2-2】（2015-2016海淀期末文19）已知函数，其中.当时，求函数的单调区间和极值； 若关于的方程有解，求实数k的取值范围.【答案】由题可知函数定义域为： 当时，令得。 当变化时，和的变化如下表： X — 0 + 极小值 ∴的单调递增区间为：的单调递减区间为： ∴在时存在极小值： 由题意得，方程有解即为有解，令，令得 （1）当时，令得 令得 在上单调递减，在上单调递增 ∴ ①当时，,函数有一个解。 ②当时，且 （2）当时，恒成立，在上恒减 且当时，综上所述：。 【练2-1】（2015-2016丰台期末理18）已知函数.（Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）若存在实数，且，使得，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ），令得，.x 0 + 0 _ 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴函数的极大值为； 极小值为.(Ⅱ) 若存在，使得，则 由（Ⅰ）可知，需要（如图1）或（如图2）.（图1） （图2） 于是可得.【练2-2】（2015-2016石景山期末文20）已知函数,.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【练2-3】（2015-2016丰台二模文19）设函数． （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）若函数在区间上存在唯一零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ），（1）若，则在区间上，单调递增.所以当时，的单调递增区间为，没有极值点.（2）若，令，即，解得，因为函数在区间是递增函数，所以在区间内，单调递减；在区间内,单调递增.所以当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为所以当时，函数有极小值为.（Ⅱ）（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递增，因为，令，得.所以当时，在区间上上存在唯一零点.（2）当时，由（Ⅰ）可知，为函数的最小值点 因为，若函数在区间上上存在唯一零点，则只能是： ①，或②.由①得；由②得.综上所述，函数在区间上上存在唯一零点，则或.【练2-4】（2015-2016海淀二模文19）已知函数 （1）当时，求函数的单调区间; （2）若关于的不等式在上有解，求的取值范围； （3）若存在，使得既是函数的零点，又是函数的极值点，请写出此时的值.（只需写出结论）.【答案】（1）当时，令，从而和时，时 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。 （Ⅱ）要使在上有解，只要在上的最小值小于等于.因为，令，得到.当时，即时，在区间上单调递增，为上最小值 所以有，即，解得或，所以有； 当时，即时，在区间上单调递减，在上单调递增，所以为上最小值，所以有，即，解得，所以.综上，得.法二：（Ⅱ）要使在上有解，只要在上的最小值小于等于.因为，所以当，即时 满足题意，当时，因为，令，得到，因为，所以在区间上的单调递增，所以在区间上的最小值为，所以，根据上面得到，矛盾.综上，.（Ⅲ） 【练2-5】（2015-2016丰台二模理18）设函数.（Ⅰ）当时，求函数在区间内的最大值； （Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）当时，与、之间的关系如下表： + 0 增函数 极大值 减函数 函数在区间内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点，---4分 最大值.（Ⅱ） （1）当时，显然在区间内没有两个零点，不合题意.(2)当时，.①当且时，函数区间上是增函数，所以函 数 区间上不可能有两个零点，所以不合题意； ②当时，在区间上与、之间的关系如下表： + 0 增函数 极大值 减函数 因为，若函数区间上有两个零点，则，所以，化简.因为，,所以.综上所述，当时，函数在区间内有两个零点.【练2-6】（2015-2016房山一模理18）已知函数，其中 （Ⅰ）当，求函数的极大值； （Ⅱ）若在区间上仅有一个零点，求实数的取值范围是。 【答案】（Ⅰ）a=-2时，f（1）= a – = -（-2）-1为极大值1。 （Ⅱ） 当 时，f（x）在所以f（1）=0 即-a-1=0，a=-1。或者 但无解舍 当 由f(1)=-a-1<0知 只需f（e）>0 解得 所以，f（x）在（0，1）上递增，（1，e）上递减，且 f（1）此时（0，e）上不可能有零点 综上a=-1或者 【练2-7】（2015西城二模文）已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，证明：存在实数，使得对任意的，都有成立； （Ⅲ）当时，是否存在实数，使得关于的方程仅有负实数解？当时的情形又如何？(只需写出结论) 【答案】（Ⅰ）解：当时，函数，求导，得，………………2分 因为，………………3分 所以函数的图象在点处的切线方程为.………………4分 （Ⅱ）证明：当时，的定义域为.求导，得，………………5分 令，解得，………………6分 当变化时，与的变化情况如下表： + 0 0 + ↗ ↘ ↗ ………………8分 所以函数在，上单调递增，在上单调递减.又因为，当时，；当时，所以当时，；当时，.记，其中为两数，中最大的数，综上，当时，存在实数，使得对任意的实数，不等式 恒成立.………………10分 （Ⅲ）解：当与时，不存在实数，使得关于实数的方程仅 有负实数解.………………13分 考点三、已知函数不存在零点求参数范围； 【例3-1】（2015-2016石景山一模文19）已知函数． （Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）证明：当时，； （Ⅲ）当时，方程无解，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ），令解得，易知在上单调递减，在上单调递增，故当时，有极小值 （Ⅱ）令，则，由（Ⅰ）知，所以在上单调递增，所以，所以.（Ⅲ）方程，整理得，当时，.令，则，令，解得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以时，有最小值，而当越来越靠近时，的值越来越大，又当，方程无解，所以.【例3-2】（2013-2014海淀期末理18）已知关于的函数 （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）若函数没有零点，求实数取值范围.【答案】（Ⅰ），.------------------------------------------2分 当时，,的情况如下表： 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，当时，函数的极小值为.-----------------------------------------6分 （Ⅱ）.①当时，的情况如下表： 0 ↘ 极小值 ↗ --------------------------------7分 因为,------------------------------8分 若使函数没有零点，需且仅需，解得,-------------------9分 所以此时； -----------------------------------------------10分 ②当时，的情况如下表： 0 ↗ 极大值 ↘ --------11分 因为,且,---------------------------12分 所以此时函数总存在零点.--------------------------------------------13分 综上所述，所求实数的取值范围是.【练3-1】（2013-2014朝阳一模文18）设函数，，记.（Ⅰ）求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）当时，若函数没有零点，求的取值范围.【答案】(I)，则函数在处的切线的斜率为.又，所以函数在处的切线方程为,即 ………………4分 （Ⅱ），（）.①当时，在区间上单调递增； ②当时，令，解得；令，解得.综上所述，当时，函数的增区间是； 当时，函数的增区间是，减区间是.………………9分 （Ⅲ）依题意，函数没有零点，即无解.由（Ⅱ）知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，由于，只需，解得.所以实数的取值范围为.…………………………………………………13分 综上所述，所求实数的取值范围是.【练3-2】（2014-2015通州期末理18）已知函数，（Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若方程没有实数根，求取值范围． 【答案】（Ⅰ）因为函数，所以………………… 1分 （1）当时，所以的递增区间是，无递减区间.…… 3分 （2）当时，令，得，令，得 所以的递增区间是，递减区间是 …………………… 5分 综上，当时，的递增区间是，无递减区间，当时，的递增区间是，递减区间是 （Ⅱ）（1）当时，在上显然无零点，所以方程没有实数根.…………………… 6分 （2）当时，在上单调递增，因为，所以 所以在上有零点.所以方程有实数根.…………………… 8分 （3）当时，的递增区间是，递减区间是，所以是的极小值，也是的最小值.所以没有实数根等价于 …………………… 11分 所以所以 所以所以.…………………… 12分 综上，的取值范围是 …………………… 13分 考点四、证明函数零点情况； 【例4-1】（2015-2016海淀期末理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中） 【答案】（Ⅰ）因为,所以，当时，.令，得，所以随的变化情况如下表： 极大值 极小值 所以在处取得极大值，在处取得极小值.函数的单调递增区间为，,的单调递减区间为 （Ⅱ）证明：不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，即函数在区间上的最大值小于等于1.因为，令，得.因为时，所以.当时，对成立，函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最大值为,所以不等式在区间上无解； 当时，随的变化情况如下表： ↘ 极小值 ↗ 所以函数在区间上的最大值为或.此时,，所以 .综上，当时，关于的不等式在区间上无解.【例4-2】（2015-2016房山一模文19）已知函数，（I）求曲线在处的切线方程； （II）求的单调区间 （III）设，其中，证明：函数仅有一个零点 【答案】（I） 其中，所以曲线在处的切线方程 （II）的定义域为，令，解得 令，解得 所以，的单增区间为，单减区间为 （III），定义域为 又 ① 当时，恒成立，即在上单调递增 又 即 可知函数仅有一个零点 ② 时，令，解得或 令，解得 所以，在，上单调递增，在上单调递减 又 又，可知在有一个零点，即函数仅有一个零点 综上所诉，函数仅有一个零点 【练4-1】（2015-2016房山一模文19）已知函数，（I）求曲线在处的切线方程； （II）求的单调区间 （III）设，其中，证明：函数仅有一个零点 【答案】（I） 其中，所以曲线在处的切线方程 （II）的定义域为，令，解得 令，解得 所以，的单增区间为，单减区间为 （III），定义域为 又 ① 当时，恒成立，即在上单调递增 又 即 可知函数仅有一个零点 ② 时，令，解得或 令，解得 所以，在，上单调递增，在上单调递减 又 又，可知在有一个零点，即函数仅有一个零点 综上所诉，函数仅有一个零点 考点五、函数交点问题； 【例5-1】（2015-2016东城期末文19）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的方程； （Ⅱ）若曲线与轴有且只有一个交点，求的取值范围； （Ⅲ）设函数，请写出曲线与最多有几个交点.（直接写出结论即可） 【答案】（Ⅰ）当时，.当时，又，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得.当时，此时在上单调递增.当时，当时，所以当时，曲线与轴有且只有一个交点； 当时，令，得.与在区间上的情况如下： 极大值 若曲线与轴有且只有一个交点，则有，即.解得.综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点.（Ⅲ）曲线与曲线最多有4个交点.【例5-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【练5-1】（2015-2016西城期末理18）已知函数 (,为自然对数的底数).（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值； （Ⅱ）求函数的极值； （Ⅲ）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值． 【答案】(Ⅰ)由,得.又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得.(Ⅱ),①当时，为上的增函数,所以函数无极值.②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上,当时,函数无极小值 当,在处取得极小值,无极大值.(Ⅲ)当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时，又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.又时，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.解法二: (Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.(Ⅲ)当时,.直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解.①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.②当时,方程(*)化为.令,则有.令,得,当变化时,的变化情况如下表: 递减 递增 当时，同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解,解得的取值范围是.综上,得的最大值为.【练5-2】（2014-2015丰台期末理18）已知函数． （Ⅰ）求函数的极小值； （Ⅱ）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）函数的定义域为R． 因为，所以 ． 令，则． 0 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以 当时函数有极小值． ………………6分 （Ⅱ）函数． 当时，所以要使与无交点，等价于恒成立． 令，即，所以 ． ①当时，满足与无交点； ②当时，而，所以，此时不满足与无交点． ③当时，令，则，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，． 由 得，即与无交点． 综上所述 当时，与无交点． 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 【知识结构】 【知识点】 求解函数的恒成立问题和存在性问题首先转化为函数的最值问题，主要的方法提炼： 一、已知不等式恒成立，求参数取值范围：分参法； （1）分离参数，使不等式转化为（）恒成立； （2）求导函数； （3）找出的最大（小）值（）； （4）解不等式（），得出参数取值范围． 二、已知不等式恒成立，求参数取值范围：讨论法； （1）构造新函数，使不等式转化为（）恒成立； （2）求导函数，判断函数的单调性； （3）找出的最小（大）值（）； （4）解不等式（），得出参数取值范围． 【考点分类】 考点一、单变量单函数的不等式型；，即求，即求 【例1-1】（2015-2016朝阳期中文19）已知函数，． （Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围； （Ⅱ）当时，证明.【答案】（I）函数的定义域为.因为.又因为函数在单调减，所以不等式在上成立.设，则，即即可，解得.所以的取值范围是.（Ⅱ）当时，.令，得或（舍）.当变化时，变化情况如下表： 0 + 极小值 所以时,函数的最小值为.所以成立.【例1-2】（2015-2016海淀二模理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （Ⅲ）若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.（只需直接写出结果）． 【答案】（Ⅰ）时且，令则或；令则，递增区间为和；递减区间为。 （Ⅱ）在有解，在有解，令，则在有解，即，且，① 当即时 在上递增，在上递减，在上递增，Ⅰ．若，则，则，则在上递减，在上递增，则恒成立，满足条件。 Ⅱ．若，则，则，则在上递增，则，，又，② 当即时，在上递增，在上递增，由Ⅱ知与矛盾，③ 当即时，在上递增，由Ⅱ知与矛盾，综上所述：． （Ⅲ）。 【练1-1】（2015-2016东城一模理18）设函数，． （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）求证：当时，． 【答案】（Ⅰ）当时，则，则.令得 － + ↘ ↗ 所以 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，． （Ⅱ）因为，所以恒成立，等价于恒成立． 设，得，当时，所以 在上单调递减，所以 时，． 因为恒成立，所以． （Ⅲ）当时，等价于． 设，． 求导，得． 由（Ⅰ）可知，时，恒成立． 所以时，有． 所以 ． 所以在上单调递增，当时，． 因此当时，． 【练1-2】（2015-2016东城二模文20）设函数 （1）若，求在区间上的最大值； （2）设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切； （3）若对任意的，均有成立，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，+ 0 单调增 极大值 单调减 所以在取得最大值，（2）设切点坐标为，有，以及 联立化简得到，易知为单调递增函数 因此，与直线有且只有一个交点，因此切点只有一个，因此，当时，过点有且只有一条直线与曲线相切。 （3）易知当时，满足条件 当时，1）当时，满足条件 2）当时，有，整理得到 因此有，因为，所以，所以 3）当时，有 令，有 设，有，当时，因此当时，所以当时，单调递增，最小值为，因此 综上所述，的取值范围为 【练1-3】（2013-2014朝阳二模理18）已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）由已知得． 因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以．所以． 所以． ……………3分 （Ⅱ）函数的定义域是，． （1）当时，成立，所以的单调增区间为． （2）当时，令，得，所以的单调增区间是； 令，得，所以的单调减区间是． 综上所述，当时，的单调增区间为； 当时，的单调增区间是，的单调减区间是． ……………8分 （Ⅲ）当时，成立，． “当时，恒成立” 等价于“当时，恒成立．” 设，只要“当时，成立．” ． 令得，且，又因为，所以函数在上为减函数； 令得，又因为，所以函数在上为增函数． 所以函数在处取得最小值，且． 所以． 又因为，所以实数的取值范围． ……………13分 （Ⅲ）另解： （1）当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以． 所以当时，有成立． （2）当时，可得． 由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立． （3）当时，可得． 由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且． 当时，要使成立，只需，解得．所以． 综上所述，实数的取值范围 【练1-4】（2010-2011海淀一模文18）已知函数.（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间； （Ⅱ）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（I）因为，…………………2分 当，令，得，…………………3分 又的定义域为，随的变化情况如下表： 0 极小值 所以时，的极小值为1 .…………………5分的单调递增区间为，单调递减区间为； …………………6分 （II）解法一： 因为，且，令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.…………………7分 （1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即 …………………9分 （2）当，即时，① 若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若，即时，则有 极小值 所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即.…………………13分 综上，由(1)（2）可知：符合题意.…………………14分 解法二：若在区间上存在一点，使得成立，即，因为,所以，只需 …………………7分 令，只要在区间上的最小值小于0即可 因为，令，得 …………………9分 （1）当时： 极大值 因为时，而，只要，得，即 …………………11分 （2）当时： 极小值 所以，当 时，极小值即最小值为，由，得，即.…………………13分 综上，由(1)（2）可知，有 .…………………14分 【练1-5】（2013-2014房山一模文18） 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）∵f（x）=ex（x+1），∴f′（x）=ex（x+1）+ex=ex（x+2），∴f′（0）=e0•（0+2）=2，又f（0）=1，∴曲线曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为： y-1=2（x-0），即2x-y+1=0； （Ⅱ）令f′（x）=0，得x=-2，当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表： x （-∞，-2） （-2，0） f′（x） 0 + f（x） ↘ 极小值 ↗ ∴f（x）在（-∞，-2）上递减，在（-2，0）上递增，∴f（x）在（-∞，0）上的最小值是f（-2）=-e-2． ∴-e-2＞k，即k＜-e-2． ∴k的取值范围是（-∞，-e-2）． 【练1-6】（2015-2016朝阳二模文20）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围.【答案】(Ⅰ) 函数的定义域为,.（5） 当时，,令，解得，则函数的单调递增区间为 令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（6） 当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为； 令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（7） 当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为.（8） 当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为，； 令，解得，则函数的单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （Ⅱ）依题意，在区间上.，.令得，或.若，则由得，函数在()上单调递增.由得，,函数在()上单调递减.所以，满足条件； 若，则由得，或； 由得，.函数在(),上单调递增,在上单调递减.，依题意，即，所以； 若，则.所以在区间上单调递增，不满足条件； 综上，.考点二、单变量双函数的不等式型；，构造新函数，即求；，构造新函数，即求； 【例2-1】（2015-2016昌平期末文20）已知函数． （Ⅰ）求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）证明：当时，； （Ⅲ）设，若存在最大值，且当最大值大于时，确定实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：定义域为，.由题意，，所以函数在点处的切线方程为.（Ⅱ）证明：当时，可转化为 当时，恒成立.设，所以.当时，所以在上为减函数，所以，所以当时，成立.（Ⅲ）设，定义域为，所以.⑴当时，对于任意的，所以在上为增函数，所以无最大值，即不符合题意.⑵当时，令，即，则.所以，变化如下： 0 + 0 ↗ 极大值 ↘ 因为.所以成立，即，令，所以，即在上为增函数.又因为，所以当时，.所以，时，命题成立.综上，的取值范围为.【例2-2】（2015-2016丰台一模理18）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值.【答案】（Ⅰ）设切线的斜率为 因为，切点为.切线方程为，化简得：.（Ⅱ）要证： 只需证明：在恒成立，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时 在恒成立 所以.（Ⅲ）要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在恒成立 因为== ①当时，不满足题意 ②当时，令，则或（舍）.所以时，在上单调递减； 时，在上单调递增； 当时 当时，满足题意 所以，得到的最小值为 【练2-1】（2015-2016石景山一模理18）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值． 【答案】 （Ⅰ），． 所以切线方程为． （Ⅱ）令，则，当时，设，则 所以在单调递减，即，所以………6分 所以在上单调递减，所以，所以． （Ⅲ）原题等价于对恒成立，即对恒成立，………9分 令，则． 易知，即在单调递增，所以，所以，故在单调递减，所以． 综上所述，的最大值为 ． 【练2-2】（2015-2016大兴期末文19）已知函数． （Ⅰ）求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）设实数使得恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）设，求函数在区间上的零点个数． 【答案】（Ⅰ） 曲线在点处的切线方程为 (Ⅱ)设，则 令，解得： 当在上变化时，的变化情况如下表： + 0 ↗ ↘ 由上表可知，当时，取得最大值 由已知对任意的，恒成立 所以，得取值范围是。 (Ⅲ)令得： 由(Ⅱ)知，在上是增函数，在上是减函数.且，所以当或时，函数在上无零点； 当或时，函数在上有1个零点； 当时，函数在上有2个零点 【练2-3】（2015-2016东城二模理18）已知 （I）求的单调区间 （II）当时，求证：对于恒成立； （III）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围。 【答案】（I）的定义域是，令，得：，（舍） + 0 单调增 极大值 单调减 （II）设，由题意只需证明：即可。，可得，在上，且在单调递减，所以对于恒成立，得证。 （III）由（II）得： 当时，所以，又因为当时，所以，则此时没有满足条件的当时，令 则，令，因为，又因为，所以，存在满足题意。 综上，的取值范围是。 【练2-4】（2015-2016朝阳二模理18）已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，试求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当时,，． ． 则，而． 所以曲线在点(1,)处的切线方程为，即． （Ⅱ）依题意当时，曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，等价于当时，恒成立． 设，． 所以． （1）当，即时，当时，为单调减函数，所以． 依题意应有 解得所以． （2）若，即时，当，为单调增函数，当，为单调减函数． 由于，所以不合题意． （3）当，即时，注意到，显然不合题意． 综上所述，． 【练2-5】（2013-2014海淀一模理18）已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值； (Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】，-----------------------------------2分 因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且.----------------------------------4分 解得，-----------------------------------5分 （Ⅱ）法1： 对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即∀x,R，恒成立，--------------------------------------6分 令，----------------------------------------7分 ①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； ----------------------------------------8分 ②若,，由得，----------------------------------------9分的情况如下： 0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以的最小值为，-------------------------------------------12分 所以实数b的取值范围是； 综上，实数b的取值范围是． --------------------------------------13分 法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即 ∀x,R，恒成立，-------------------------------------------6分 令，则等价于∀，恒成立，令，则，-----------------------------------------7分 由得，----------------------------------------9分的情况如下： 0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以的最小值为，------------------------------------------12分 实数b的取值范围是． --------------------------------------------13分 【练2-7】（2015-2016西城一模文19）已知函数，且 (Ⅰ)求的解析式 (Ⅱ)若对于任意，都有，求m的最小值 (Ⅲ)证明：函数的图像在直线的下方.【答案】对求导，得，所以，解得，所以.（Ⅱ）解：由，得，因为，所以对于任意，都有.设，则 .令，解得.当x变化时，与的变化情况如下表： 极大值 所以当时，.因为对于任意，都有成立，所以 .所以的最小值为.（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”，即要证，所以只要证.由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）.所以只要证明当时，即可.设，所以，令，解得.由，得，所以在上为增函数.所以，即.所以.故函数的图象在直线的下方.【练2-8】（2015-2016东城一模文19） 已知函数，（1）若在处取得极值，求的值； （2）求在区间上的最小值； （3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立。 【答案】（1）定义域为，因为函数在处取得极值，所以有，解得 （2） 1）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为 2）当时，在单调递增，所以该区间上的最小值为 3）当时，- 0 + 减 极小值 增 所以在该区间的最小值为 综上所述，当时，在的最小值为1； 当时，在的最小值为。 （3）由已知得，所以在时，恒有 若要证明当时，恒有成立，只需证明，即证明恒成立。 令 令，有 当时，恒有，所以当时，所以，所以在时，单调递减，因此恒成立，所以，当时，恒有成立。 【练2-9】（2015-2016大兴期末理18）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当 时，所以，函数在点处的切线方程为 即： (Ⅱ)函数的定义域为： 当时，恒成立，所以，在和上单调递增 当时，令，即：，,所以，单调递增区间为，单调减区间为.（Ⅲ）因为在上恒成立，有 在上恒成立。 所以，令，则.令则 若，即时，函数在上单调递增，又 所以，在上恒成立； 若，即时，当时，单调递增； 当时，单调递减 所以，在上的最小值为，因为所以不合题意.即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为 又因为，所以恒成立 综上知，的取值范围是.【练2-10】（2012-2013海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； （Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【答案】（I）当因为,…………………2分 若函数在点处的切线与函数在点 处的切线平行，所以，解得 此时在点处的切线为 在点 处的切线为 所以 …………………4分 （II）若，都有 记，只要在上的最小值大于等于0 …………………6分 则随的变化情况如下表： 0 极大值 …………………8分 当时，函数在上单调递减，为最小值 所以，得 所以 …………………10分 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，为最小值，所以，得 所以 ………………12分 综上，………………13分 【练2-11】（2015-2016昌平期末理18）已知函数.（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求切点的坐标； （Ⅱ）求证：当时，；（其中） （Ⅲ）确定非负实数的取值范围，使得成立.【答案】定义域为，.由题意，所以，即切点的坐标为.（Ⅱ）证明：当时，可转化为 当时，恒成立.设，所以原问题转化为当时，恒成立.所以.令，则（舍），.所以，变化如下： 0 + 0 ↗ 极大值 ↘ 因为，所以.当时，成立.（Ⅲ）解：，可转化为 当时，恒成立.设，所以.⑴当时，对于任意的，所以在上为增函数，所以，所以命题成立.当时，令，则，⑵当，即时，对于任意的，所以在上为增函数，所以，所以命题成立.⑶当，即时，则（舍），.所以，变化如下： 0 0 + ↘ 极小值 ↗ 因为，所以，当时，命题不成立.综上，非负实数的取值范围为.考点三、双变量双函数的不等式型；； ； 。 【例3-1】（2015-2016西城二模文15）已知函数 （I）若，求a的值 （II）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围 【答案】 (Ⅰ)证明：函数的定义域，由题意，有意义，所以，求导，得 所以 解得 (Ⅱ)解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”.①当时，由得无最小值，符合题意.②当时，令，得或 随着的变化，与的变化情况如下表： 0 不存在极小 不存在所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.因为当时，当时，.所以.所以当时，不存在使得.综上所述：的取值范围为.【例3-2】（2015-2016海淀一模文19）已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)求函数的零点和极值； (Ⅲ)若对任意，都有成立，求实数的最小值.【答案】 （Ⅰ）设切线斜率为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即。 （Ⅱ）令，解得。当时，；时，所以函数零点有且只有一个，为1.令，即解得。当时，；当时，所以函数在处取得极小值，无极大值。 （Ⅲ）由（II）知，当时，；时，且在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值。且。，所以只需。所以。所以的最小值为1。 考点四、双变量双函数的绝对值不等式型； （一）（1）对于任意的，，等价于且； （2）对于任意的，，等价于或者； （3）对于任意的，，等价于； （二）（1）若存在，存在，使得，等价于且； （2）若存在，存在，使得，等价于或者； （3）若存在，存在，使得，等价于； （三）（1）对于任意的，存在，使得，等价于且； （2）对于任意的，存在，使得，等价于或者； （3）对于任意的，若存在，等价于； 【例4-1】（2011-2012海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.【答案】（Ⅰ）当时，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，当时，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.（Ⅱ） 任意，使恒成立的实数的最小值为 【例4-1】（2016湖北理21）设是函数的一个极值点。 （Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间； （Ⅱ）、设。若存在使得成立，求的取值范围。 【答案】（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.当a<－4时，x2>3＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0，f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0，f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4))，f (3)]，而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须 （a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0 【例4-2】【2013届山西省第四次四校联考】已知函数 （I）若函数在上是减函数，求实数的最小值； （2）若，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．…1分 所以当时，．………………2分 又，………4分 故当，即时，． 所以于是，故a的最小值为． …………………………6分 （2）命题“若使成立”等价于 “当时，有”． 由（1），当时，． 问题等价于：“当时，有”． ………………………8分 当时，≤0,在上为减函数，则=，故． ………10分… 当0<时，>0,由于在上为增函数，故的值域为，即． 由的单调性和值域知，唯一，使，且满足： 当时，为减函数；当时，为增函数； 由=，． 所以，与矛盾，不合题意． 综上，得． …………………………12分 【例4-3】【2013～2014年衡水中学高三上学期二调】已知函数； （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数单调递增区间； （3）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围.【例4-4】（2015-2016年昌平二模理18）已知函数，且曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线.设.（I）求的值，及的关系式； （II）求函数的单调区间； （III）设，若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】（I）因为函数，所以函数，.又因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，即 （II）由已知，.所以.设，所以，R，所以在上为单调递增函数.由（I）得，所以，即0是的零点.所以，函数的导函数有且只有一个零点0． 所以及符号变化如下，- + ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（III）由（II）知当 时，是增函数.对于任意，都有等价于，等价于当时，因为，所以在上是增函数，又，所以.【练4-1】（2013房山二模理）已知函数().(Ⅰ)当时,求函数的单调区间; (Ⅱ)当时,取得极值.（1）若,求函数在上的最小值; （2）求证:对任意,都有.【答案】（Ⅰ） …………1分 当时，解得或,解得 ……………2分 所以单调增区间为和，单调减区间为………3分 （Ⅱ）①当时，取得极值，所以 解得（经检验符合题意） ……………4分 + 0 0 + ↗ ↘ ↗ 所以函数在，递增，在递减.……5分 当时，在单调递减，………………6分 当时 在单调递减，在单调递增，.………………7分 当时，在单调递增，……………………8分 综上，在上的最小值 ……………………9分 ②令 得（舍） 因为 所以 ……………11分 所以，对任意，都有 【练4-2】（2012-2013房山二模文18）已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数在上的最小值； （Ⅲ）求证：对任意，都有.【答案】（Ⅰ） ……………1分 由已知得即 ……………2分 解得： …………………………3分 当时，在处函数取得极小值，所以 （Ⅱ），.- 0 + 减 增 所以函数在递减，在递增.……………………4分 当时，在单调递增，.………………………5分 当时，在单调递减，在单调递增，.…………………………6分 当时，在单调递减，…………………………7分 综上 在上的最小值 ………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，.令 得 因为 所以 ……………11分 所以，对任意，都有 【练4-3】（2013-2014年东城零模文18）设函数 （Ⅰ）设，证明：在区间内存在唯一的零点； （Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当 ． 又当，． ．．．．．．6分 （Ⅱ）当时，． 对任意 上的最大值 与最小值之差,据此分类讨论如下： （ⅰ），． （ⅱ），． （ⅲ），． 综上可知，． ．．．．．．14分 考点五、双变量双函数的等式型； （一）对任意的，存在，使得，则的值域是值域的子集，即； （二）存在，存在，使得，则的值域是值域有非空交集，即 【例5-1】（2015-2016丰台期末文20）设函数的图象与直线相切于点． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）∵函数的图象与直线相切于点，∴，． ∵，∴ 解得． ∴． （Ⅱ），令，得或； 令，得． ∴的单调递增区间为，；单调递减区间为． …8分 （Ⅲ）记在上的值域为,在上的值域为，∵对于，使得，∴． 由（Ⅱ）得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，∴． ∵，∴． ① 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为或，的最大值为或． ∵，且，∴或，∴或，即或． 又∵，∴． ② 当时，在上单调递增，上单调递减，∴的最小值为或，的最大值为 ． ∵，且，∴，∴，即． 综上所述：或． 【例5-2】（2014-2015海淀二模文19）已知函数，其中.（Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若对任意的，总存在，使得，求实数值.【答案】（Ⅰ） ………………2分 当时，对，所以的单调递减区间为； ………………4分 当时，令，得.因为 时，；时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.………………6分 （Ⅱ）用分别表示函数在上的最大值，最小值.当且时，由（Ⅰ）知：在上，是减函数.所以 .因为 对任意的，，所以对任意的，不存在，使得.………………8分 当时，由（Ⅰ）知：在上，是增函数，在上，是减函数.所以 .因为 对，，所以 对，不存在，使得.………………10分 当时，令.由（Ⅰ）知：在上，是增函数，进而知是减函数.所以,，.因为 对任意的，总存在，使得，即，所以 即 所以，解得.………………13分 综上所述，实数的值为.【练5-1】（2008天津文10）10．设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为（B） A． B． C． D． 【练5-2】（2008天津理16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 .a=2 考点六、其他的函数单调性问题、极值问题、最值问题、零点问题转化为恒成立问题和存在性问题； 【例6-1】（（2015-2016房山二模文19）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。 【答案】（Ⅰ）,定义域为，令 极小值 所以的增区间为，减区间为。 （II）因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根 设，即无零点。 当时，显然无零点，符合题意； 当时，令 极小值，显然不符合题意； 当时，令 极大值，所以时，符合题意 综上所述： 导数专题六、渐近线和间断点问题 【知识结构】 【知识点】 对于函数的渐近线问题和间断点问题是函数问题中的特殊类型，渐近线问题主要是涉及到函数在无穷处的极限值会等于定值，这样的函数类型主要类型有如下的形式； 几种特殊函数的渐近线: 1.时； （1）（幂函数的增长快于对数函数增长）； （2）（高阶增长快于低阶增长）； （3）（指数函数增长快于幂函数和对数函数增长） 2.时； （1）（高阶增长快于低阶增长）； （2）（可转化为形式） 【考点分类】 考点一、函数的渐近线问题； 【例1-1】（2015-2016海淀一模文20）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的零点和极值； （Ⅲ）若对任意，都有成立，求实数的最小值.【答案】（Ⅰ）因为，.所以..因为，所以曲线在处的切线方程为...（Ⅱ）令，解得，所以的零点为..由解得，则及的情况如下： 0 极小值 .所以函数在时,取得极小值 .（Ⅲ）法一： 当时，.当时，..若，由（Ⅱ）可知的最小值为，的最大值为，.所以“对任意，有恒成立”等价于 即，解得.所以的最小值为1.法二： 当时，.当时，..且由（Ⅱ）可知，的最小值为，.若，令，则 而，不符合要求，所以.当时，,所以，即满足要求，综上，的最小值为1..法三： 当时，.当时，..且由（Ⅱ）可知，的最小值为，.若，即时，令则任取,有 所以对成立，所以必有成立，所以，即.而当时，,所以，即满足要求，而当时，求出的的值，显然大于1，综上，的最小值为1.【例1-2】（2016-2017海淀期中理19）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）求证：当时，函数存在最小值.【答案】 【例1-3】（2009-2010西城一模理19） 已知函数，其中，其中 （I）求函数的零点； （II）讨论在区间上的单调性； （III）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存 在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）解，得，所以函数的零点为.（Ⅱ）函数在区域上有意义，令，得，因为，所以，.当在定义域上变化时，的变化情况如下： ↗ ↘ 所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.（Ⅲ）在区间上存在最小值.证明：由（Ⅰ）知是函数的零点，因为，所以，1 由知，当时，1 又函数在上是减函数，且，所以函数在区间上的最小值为，且，所以函数在区间上的最小值为，计算得.【练1-1】（2009-2010西城一模文20）已知函数其中。 （I）若函数存在零点，求实数的取值范围； （II）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。 【答案】（I）或； （II），得或，在，单调增加；在单调减少，此时，存在最小值.的极小值为，根据的单调性，在区间上的最小值为.解=0，得的零点为和，结合，可得在区间和，因为，所以； 并且，即.所以，当时，存在最小值，最小值为.【练1-2】（2011-2012西城二模理19）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：当时，． 由，得曲线在原点处的切线方程是． （Ⅱ）解：． ① 当时，． 所以在单调递增，在单调递减． 当，． ② 当时，令，得，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 故的单调减区间是，；单调增区间是． ③ 当时，与的情况如下： ↗ ↘ ↗ 所以的单调增区间是；单调减区间是，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，时不合题意． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值． 设为的零点，易知，且．从而时，；时，． 若在上存在最小值，必有，解得． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值． 若在上存在最大值，必有，解得，或． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 综上，的取值范围是.【练1-3】（2008-2009海淀二模18）已知：函数（其中常数）.（Ⅰ）求函数的定义域及单调区间； （Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）函数的定义域为..由，解得.由，解得且． ∴的单调递增区间为，单调递减区间为，.（Ⅱ）由题意可知，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立.若即时，x a+1 0 + ↘ 极小值 ↗ ∴在上的最小值为． 则，得． 若即时，在上单调递减，则在上的最小值为． 由得（舍）． 综上所述，． 例7.（12西城二模理科19）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围． 【答案】当时，． 由，得曲线在原点处的切线方程是． （Ⅱ）解：． ① 当时，． 所以在单调递增，在单调递减． 当，． ② 当时，令，得，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 故的单调减区间是，；单调增区间是． ③ 当时，与的情况如下： ↗ ↘ ↗ 所以的单调增区间是；单调减区间是，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，时不合题意． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值． 设为的零点，易知，且．从而时，；时，． 若在上存在最小值，必有，解得． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值． 若在上存在最大值，必有，解得，或． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 综上，的取值范围是． 考点二、函数的间断点问题； 【例2-1】（2015-2016西城二模理18）设,函数； （1）若函数在（0，f(0)）处的切线与直线y=3x-2平行，求a的值 （2）若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围； 【答案】（Ⅰ）证明：函数的定义域，由题意，有意义，所以.求导，得.由题意，得，解得.验证知符合题意.（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”． ① 当时，由，得无最小值，符合题意． ② 当时，令，得 或 .随着x的变化时，与的变化情况如下： 不存在0 ↘ 不存在↗ 极大 ↘ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 9分 因为当时，当时，所以只要考虑，且即可． 当时，由在上单调递减，且，得，所以存在，使得，符合题意； 同理，当时，令，得，也符合题意； 故当时，对于定义域内的任意，总存在使得成立． ③ 当时，随着x的变化时，与的变化情况如下表： 0 不存在↘ 极小 ↗ 不存在↘ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 因为当时，当时，所以． 所以当时，不存在使得． 综上所述，a的取值范围为.【例2-2】（2015-2016西城二模文19）已知函数 （1）若，求a的值 （2）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围 【答案】(Ⅰ)证明：函数的定义域，由题意，有意义，所以，求导，得 所以 解得 (Ⅱ)解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”.①当时，由得无最小值，符合题意.②当时，令，得或 随着的变化，与的变化情况如下表： 0 不存在极小 不存在所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.因为当时，当时，.所以.所以当时，不存在使得.综上所述：的取值范围为.【练2-1】（2012-2013海淀期末理18）已知函数 （I） 当时,求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间.【答案】当时，又，所以在处的切线方程为 （II） 当时，又函数的定义域为 所以的单调递减区间为 当 时，令，即，解得 当时，所以，随的变化情况如下表 无定义 0 极小值 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 当时，所以，随的变化情况如下表： 0 无定义 极大值 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，【练2-2】（2012-2013门头沟一模文16）已知函数，其中． （Ⅰ）在处的切线与轴平行，求的值； （Ⅱ）求的单调区间． 【答案】（Ⅰ）． 依题意，由，得． 经检验，符合题意． （Ⅱ）① 当时，． 故的单调减区间为，；无单调增区间． ② 当时，． 令，得，． 和的情况如下： ↘ ↗ ↘ 故的单调减区间为，；单调增区间为． ③ 当时，的定义域为． 因为在上恒成立，故的单调减区间为，；无单调增区间． 【练2-3】（2012-2013西城期末理18）已知函数，其中． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设．若，使，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）① 当时，． 故的单调减区间为，；无单调增区间． ② 当时，． 令，得，． 和的情况如下： ↘ ↗ ↘ 故的单调减区间为，；单调增区间为． ③ 当时，的定义域为． 因为在上恒成立，故的单调减区间为，；无单调增区间． （Ⅱ）解：因为，所以 等价于，其中． 设，在区间上的最大值为． 则“，使得 ”等价于． 所以，的取值范围是．。 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 【知识结构】 【知识点】 一、超越函数的定义 超越函数：指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如对数函数，指数函数等就属于超越函数。 二、判断超越函数零点存在性的方法 1.图像 根据基本初等函数的图像是否存在交点判断。 2.特殊点 带入特殊点判断：如 0，1，-1，e等 3.单调性与切线 利用单调性和切线判断 4.极限 通过函数的极限判断 特殊点的取法与目的【考点分类】 考点一、利用特殊点法求解（无参数的超越函数） 含有的函数：常取等 含有的函数：常取等 终极目的：消参，有理化，最终简单化 【例1-1】求的零点。 【例1-2】求的零点。 考点二、取特值法解不等式（含参，可以参变分离） 【例2-1】（2015-2016朝阳一模理18）已知函数． （Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由． 解：设切点为，则切线斜率，切线方程为． 因为切线过点，则． 即． 令，则 ． 当时,在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的最小值为． 令>0,解得 取，则． 故在上存在唯一零点． 不等式放缩部分（解法探究） 标答 取，则 ． 设，则． 当时，恒成立． 所以在单调递增，恒成立．所以． 故在上存在唯一零点． 因此当时，过点P存在两条切线． （3）当时，显然不存在过点P的切线． 综上所述，当时，过点P存在两条切线； 当时，不存在过点P的切线．…………………………………………………13分 考点三、利用切线求解； 【例3-1】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数． （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【答案】令，.令，则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.所以若，则无零点；若有零点，则． 若，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点； 又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.切线方法： 综上所述，当时，无零点； 当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点.考点四、利用函数放缩求解； 【例4-1】（2014-2015年朝阳一模理18）已知函数，． （Ⅱ） 当时，讨论函数的零点个数.解：（Ⅱ）,.（1）当时，时，为减函数;时，为增函数.所以在时取得最小值.（ⅰ）当时，由于，令，则在上有一个零点； （ⅱ）当时，即时，有一个零点； （ⅲ）当时，即时，无零点.（ⅳ）当时，即时，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(4) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． （ⅰ）令，得． 令,得，所以函数在单调递增． 令,得，所以函数在单调递减． 所以，． 所以成立． （ⅱ）由（ⅰ）知，所以． 设所以． 令，得． 令,得，所以函数在单调递增，令,得，所以函数在单调递减； 所以，即． 所以，即． 所以，方程没有实数解． 【练1-1】（2015-2016东城一模理18）设函数，． （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）求证：当时，． 【答案】（Ⅰ）当时，则，则.令得 － + ↘ ↗ 所以 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，． （Ⅱ）因为，所以恒成立，等价于恒成立． 设，得，当时，所以 在上单调递减，所以 时，． 因为恒成立，所以． （Ⅲ）当时，等价于． 设，． 求导，得． 由（Ⅰ）可知，时，恒成立． 所以时，有． 所以 ． 所以在上单调递增，当时，． 因此当时，． 【练1-2】（2013-2014朝阳二模理18）已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）由已知得． 因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以．所以． 所以． ……………3分 （Ⅱ）函数的定义域是，． （1）当时，成立，所以的单调增区间为． （2）当时，令，得，所以的单调增区间是； 令，得，所以的单调减区间是． 综上所述，当时，的单调增区间为； 当时，的单调增区间是，的单调减区间是． ……………8分 （Ⅲ）当时，成立，． “当时，恒成立” 等价于“当时，恒成立．” 设，只要“当时，成立．” ． 令得，且，又因为，所以函数在上为减函数； 令得，又因为，所以函数在上为增函数． 所以函数在处取得最小值，且． 所以． 又因为，所以实数的取值范围． ……………13分 （Ⅲ）另解： （1）当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以． 所以当时，有成立． （2）当时，可得． 由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立． （3）当时，可得． 由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且． 当时，要使成立，只需，解得．所以． 综上所述，实数的取值范围 【练1-3】（2013-2014海淀一模理18）已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值； (Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】，-----------------------------------2分 因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且.----------------------------------4分 解得，-----------------------------------5分 （Ⅱ）法1： 对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即∀x,R，恒成立，--------------------------------------6分 令，----------------------------------------7分 ①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； ----------------------------------------8分 ②若,，由得，----------------------------------------9分的情况如下： 0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以的最小值为，-------------------------------------------12分 所以实数b的取值范围是； 综上，实数b的取值范围是． --------------------------------------13分 法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即 ∀x,R，恒成立，-------------------------------------------6分 令，则等价于∀，恒成立，令，则，-----------------------------------------7分 由得，----------------------------------------9分的情况如下： 0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以的最小值为，------------------------------------------12分 实数b的取值范围是． --------------------------------------------13分 【练1-4】若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】分析：若设，由知，对应分三种情况讨论．若分离参数，则轻易解决． 解：原不等式等价于．当时，显然成立； 当时，因为，所以，则有恒成立，只需． 因为,当，即时取“=”，即，所以． 评注：对二次函数在闭区间上的最值问题是最容易引起“讨论”的．本题求解过程中求的最小值要注意验证取等号的条件． 【练1-5】（2012-2013西城第一学期期末18）已知函数，其中． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设．若，使，求的取值范围． 【答案】分析：第二问，存在性问题，可以转化成函数在给定区间上的最值问题，但是类似这样的问题，咱们都有经验，分离变量会比较简单，但是在实际教学中，很多学生并不能很好的接受这种想法。为什么？分离变量是一种思想方法，还是一种解题技巧？ 我们可以这样审视这类问题：给了一个变量的范围，求另一个变量的范围，事实上，就是两个变量的依赖关系，于是可以把所求变量表示成已知变量的函数，从函数出发看待这类问题，分离变量就自然了，于是该题就有了如下简洁的解法： （Ⅱ）解：因为，所以 等价于，其中． …………9分 设，在区间上的最大值为．…………11分 则“，使得 ”等价于． 所以，的取值范围是． ………………13分 小结：存在性问题、恒成立问题采用分离变量的方法常常比较容易，但是这种方法的教学不能当成一种技巧进行教学，应该揭示这种解法的本质，其本质就是变量的依赖关系即函数关系，分离变量，实际上是把两个变量之间的隐函数关系，变成显函数关系，进而转化成不含参变量的函数，从而使得问题的解决避免分类讨论，变得简单。 【练1-6】（2012-2013朝阳期末18）已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（这里的第三问也是一个存在性问题，可做练习巩固） 【练1-7】（2006天津理11）已知函数的图象与函数（且)的图象关于直线对称,记,若在区间上是增函数,则实数的取值范围是（）.A.B.C.D.【答案】 考点二、主参换位（主辅元转换），避免分类讨论； 【例2-1】设不等式对满足的一切实数都成立，求的取值范围． 【答案】分析：受思维定势影响，易看成关于的不等式．其实变换一个角度，以为变量可避免分类讨论，只要关于的函数在区间恒为负值即可． 解：由题意，可设，即在内恒成立，因为为关于的一次函数，故有． 评注：将关于的不等式转化为关于的一次不等式，虽然仍需要解关于的一元二次不等式组，但已经成功地避开了复杂的分类讨论，将问题中的参数“消灭”了．这种转变问题视角的方法，对简化运算十分有益． 【例2-2】（2012-2013通州期末19）已知函数 （Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值； （Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值． 【答案】分析：该题（Ⅱ）初步转化为 对任意，都成立 多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是关于a的一次函数，又给出，于是进而看成关于x的二次函数，于是问题获解。 【例2-3】设，当时，恒成立，求的取值范围。 【答案】分析：该题初步转化为对任意恒成立，求的取值范围 多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是关于a的一次函数，于是进而看成关于x的二次函数，于是问题获解。 例2-4.（2010崇文一模理）设奇函数上是增函数，且，若函数 对所有的都成立，当时，则t的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 【知识点】将题目中的零点问题，通过转化成初等函数的图形之间的位置关系问题，然后利用公切线的变化求出。 考点一、无零点 【例 1-1】（16年房山二模文科）已知函数 （Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。 【解析】因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根 设，即无零点。 当时，显然无零点，符合题意； 当时，令 极小值，显然不符合题意； 当时，令 极大值，所以时，符合题意 综上所述： 【练 1-1】（13年福建文）已知函数().(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【解析】当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时，又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.又时，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.考点二、一个零点 【例 2-1】（13年朝阳一模理）已知函数,其中.(Ⅱ)若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围.【解析】①当时,由(Ⅰ)可知,函数的单调递减区间为,在单调递增.所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或解得或.②当时,由(Ⅰ)可知,(ⅰ)当时,函数在上单调递增; 且,所以在上有且只有一个零点.(ⅱ)当时,函数在上单调递减,在上单调递增; 又因为,所以当时,总有.因为,所以.所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点.综上所述,或或时,在上有且只有一个零点 【练 2-1】（2012年房山一模18）已知函数． （III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【解析】当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点． ………10分 当时，由（II）问知，又，为的一个零点． ……11分 若在恰有两个零点，只需 即 ………13分 【练 2-2】（13年昌平二模理科）已知函数 (Ⅱ)求在区间上的最小值; (III)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.【解析】可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.当时,要使在区间上恰有两个零点,则 ∴ 即,此时,.所以,的取值范围为 考点三、两个零点 【例 3-1】已知函数.（III）讨论函数在区间上零点的个数.【解析】 【练 3-1】（15年海淀期末文科）已知函数.（Ⅲ）问集合（且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论） 考点四、线上下线问题 【例 4-1】（13年北京高考理科）设L为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求L的方程； 方程为 (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.【练 4-1】（14年海淀一模理科）已知曲线.(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【解析】对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即 ∀x,R，恒成立，令，则等价于∀，恒成立，令，则，由得，的情况如下： 0 0 + 极小值 所以的最小值为，实数b的取值范围是． 导数专题十、极值点偏移问题 【例1】已知函数有且仅有两个不同的零点，则（B） A．当时，B.当时，C.当时，D.当时，【例2】设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（D） A．当时,B．当时,C．当时,D．当时,【例3】设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（B） A．当时,B．当时,C．当时,D．当时,【例4】（2010东城二模）已知函数． (Ⅰ) 若函数在上为单调增函数，求的取值范围； (Ⅱ) 设，且，求证：． 解：(Ⅰ) ．………………………………………3分 因为在上为单调增函数，所以在上恒成立． 即在上恒成立． 当时，由，得． 设，． ． 所以当且仅当，即时，有最小值． 所以． 所以． 所以的取值范围是．…………………………………………………………7分 (Ⅱ)不妨设，则． 要证，只需证，即证． 只需证．……………………………………………………………11分 设． 由(Ⅰ)知在上是单调增函数，又，所以． 即成立． 所以．………………………………………………………………14分 【例5】（2010天津）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，证明：当时，.（Ⅲ）如果，且，证明：.解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X () () f’(x) + 0 f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内增函数，所以>,即>2.【例6】（2011辽宁）已知函数 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，证明：当 时，； （Ⅲ）若函数的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：.解：（I） （i）若单调增加.（ii）若 且当 所以单调增加，在单调减少.………………4分 （II）设函数则 当.故当，………………8分 （III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为 不妨设 由（II）得 从而 由（I）知，………………12分 【例7】（2013湖南文）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）证明：当 时，.解: (Ⅰ) .所以,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) f(-x)即可...【例8】（2016新课标I）已知函数有两个零点.(I)求的取值范围； (II)设是的两个零点，证明： 解：（Ⅰ）． （i）设,则,只有一个零点． （ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增． 又，取满足且,则,故存在两个零点． （iii）设,由得或． 若,则,故当时，因此在上单调递增．又当时，所以不存在两个零点． 若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时，所以不存在两个零点． 综上,的取值范围为． （Ⅱ）不妨设,由（Ⅰ）知，在上单调递减,所以等价于,即． 由于,而,所以 ． 设,则． 所以当时，而,故当时,． 从而,故． 【例9】已知函数.（1）若，求函数在上的零点个数； （2）若有两个零点，证明： 【例10】设函数． （1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值； （3）若方程有两个不相等的实数根，求证：． 【例11】设函数，其图象与轴交于，两点，且x1＜x2． （1）求的取值范围； （2）证明：（为函数的导函数） 【例12】已知函数，（1）若，求证：函数有极值； （2）若，且函数与的图象有两个相异交点，求证： 【例13】已知函数，求证：有唯一零点的充要条件a=e 【例14】函数的图像与x 轴交于不同的两点、，求证： 【例15】已知函数 （Ⅰ）（Ⅱ）略 （Ⅲ）当 时，函数的图像与x 轴交于不同的两点、，且，又 是的导函数。若正常数α、β满足条件。证明： 导数专题十一、构造函数解决导数问题 【知识框架】 【考点分类】 考点一、直接作差构造函数证明； 两个函数，一个变量，直接构造函数求最值； 【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（） （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围． 【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； （Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围． 【练1-2】已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【练1-3】已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值； (Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方； 【练1-5】.已知函数； （1）当时，求在区间上的最大值和最小值； （2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围。 【练1-6】已知函数； （1）求的极小值； （2）如果直线与函数的图像无交点，求的取值范围； 答案： 考点二、从条件特征入手构造函数证明 【例2-1】若函数 在上可导且满足不等式，恒成立，且常数，满足，求证：。 【例2-2】设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（） A.B.C.D.【练2-1】设是上的可导函数，，求不等式的解集。 【练2-2】已知定义在的函数满足，且，若，求关于的不等式的解集。 【练2-3】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则下列关于的大小关系正确的是（）D A.B.C.D.【练2-4】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（）C A.B.C.D.【练2-5】 设是上的可导函数，且，求的值。 【练2-6】函数为定义在上的可导函数，导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是（） A.B.C.D.【练2-7】已知函数为定义在上的可导函数，导函数为，当时，且，若存在，使，求的值。 （二）关系式为“减”型 （1），构造； （2），构造； （3），构造； （注意对的符号进行讨论） 考点三、变形构造函数 【例3-1】证明：对任意的正整数，不等式都成立。 【例3-2】已知函数； （1）求函数的单调区间与极值； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 【练3-1】设为曲线在点处的切线。 （1）求的方程； （2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方； 【练3-2】已知函数； （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）当时，求证：； 【练3-3】已知函数，其中； （1）求的单调区间； （2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值； 【练3-4】，（1）讨论的单调情况； （2）设，对．求证：． 【练3-5】已知函数； （1）求的单调区间； （2）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点，求证： 考点四、消参构造函数 【例4-1】已知函数和的图像有公共点，且在点处的切线相同； （1）若点的坐标为，求的值； （2）已知，求切点的坐标。 【例4-2】（2009全国卷2理22）设函数有两个极值点，且 （Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性； （Ⅱ）证明： 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(5) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(6) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(7) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(8) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(9) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(10) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． 不等式放缩：，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(2)当时，时，为增函数;时，为减函数； 时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值..当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.且时，所以此时有一个零点.(11) 当时，在上恒成立，所以为增函数.，且（从右侧趋近0）时，； 时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点； 有两个零点.【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数.（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.所以 .当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以 当时，.所以 .所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 .综上所述，的取值范围是.因为，所以 .特值探究 令.则.不等式放缩： 因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.由得：.所以 .因为,所以，.所以 .【例4-3】（2014-2015海淀二模理18） 已知函数.（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线.导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化.【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论； 【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数，.（Ⅰ）若在处取得极小值,求的值； （Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ） 由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.（Ⅲ）,故,得或 当时，在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需,即,解得 所以的取值范围是.【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程； （2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围； （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。 【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。 2、当恒成立时，即恒成立，恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根，令，有只有一个零点，1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得，1 0 + 0 减 极小值 增 极大值 减 易知，而当时，所以在只存在一个零点。 3、当时，解得，1 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即，综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围； （Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：； （ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,．
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