数学大学中常用不等式

第一篇：数学大学中常用不等式

数学大学中常用不等式,放缩技巧

一：

一些重要恒等式

ⅰ：1+2+…+n=n(n+1)(2n+1)／6

ⅱ: 1+2+…+n=(1+2+…+n)

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2a=sin2a／2sina

ⅳ:

e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）

cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)

cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

n

n+1

n+133

222

2sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

ⅵ:欧拉等式 e=-1(i是虚数，是pai)

ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word

∏i

∏编）

二 重要不等式 1:绝对值不等式

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)

2：伯努利不等式

（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式

(∑ aibi)≤∑ai∑bi2

4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱

5;(a+b)≤2max(︱a︱,︱b︱)

(a+b)≤a+ b(0

1)

6:(1+x)≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； npp

ppp

pp

p

p

p 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;

3：n！<【(n+1/2)】n+1

n

n

n-1 4：n>(n+1)n！≥2

n 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝

6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x

8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n

<4 四：一些重要极限

(书上有，但这些重要极限需熟背如流)

第二篇：大学中常用的不等式

大学中常用不等式,放缩技巧 一： 一些重要恒等式

ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（11）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ ai bi)2≤∑a2i∑b2i 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp(0

1)6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n

4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n 6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x 8：（1+1/n）n<4 3

第三篇：大学数学中不等式的证明方法

龙源期刊网 http://.cn

大学数学中不等式的证明方法

作者：吴莹

来源：《学园》2013年第01期

【摘 要】不等式在科学研究中的地位很重要，但对不等式的证明有些同学无从下手，用什么方法是个难题，所以本文对大学数学中遇到的不等式的各种证明方法进行归纳总结，并给出了相应的例子。

【关键词】数学归纳法 导数 单调性 中值定理 最值 积分

【中图分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2013）01－0076－02

第四篇：考研数学中的不等式证明

考研数学中的不等式证明

陈玉发

郑州职业技术学院基础教育处450121

摘要：在研究生入学考试中，中值定理是一项必考的内容，几乎每年都有与中值定理相关的证明题．不等式的证明就是其中一项．在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可使一些不等式的证明简化．

关键词：考研数学不等式中值定理幂级数

（作者简介：陈玉发，男，汉族，出生于1969年5月工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士，从事数学教育研究．邮编：450121）

微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，在研究生入学考试中，几乎每年都会有与中值定理相关的证明题．不等式就是其中一项。下面就考研数学中的不等式证明谈一下中值定理的应用． 在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可以使一些不等式的证明过程得到简化．下面就历年考研数学中的不等式证明题谈一下．

例1（1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）

(2)设bae，证明ab ba

xa对此不等式的证明，一般我们会想到构造辅助函数，f(x)ax，f(a)0，然后证明

在xa时，f(x)0．这个想法看似简单，而实际过程非常繁琐，有兴趣的读者可以试着证明一下．下面笔者给出几个简便的证明．

证：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：abbabalogabbalnb lna

lnblna lna

lnblnalna baa

1lna，其中eablnabaa

1

1lna，其中eab． a

原命题得证．

证：Ⅱ 利用微分中值定理，abeblnaalnb









blnb alnablnblna1 alnab1b1ln alnaab1b1(lnln1)alnaablnln1lna（微分中值定理）1a

1

lna，（1b）a

原命题得证．

证明Ⅲ 利用幂级数展开：

设bax，原不等式等价于

aaxa (ax)aaaax(a)x

xa(1

而 xa)，a

ln2a2a1lnaxx2!xlnnanxn!，xxa(a1)x2a(a1)(an1)xn(1)a1a()()． aa2!an!a

a(a1)(an1)n由于x0，ae，所以lna1，lna．通过比较以上两个级数可知原na

不等式成立．

对于不等式a(1

一下．

例2（1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）xxa)的证明仍可以利用拉格朗日中值定理证明，有兴趣的读者可以自己证a

设f(x)0，f(0)0，证明对任何x10,x20，有f(x1x2)f(x1)f(x2)． 证：不妨设x1x2，f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x1)

f(x1x2)f(x2)f(x1)f(0)(x1x2)(x2)x10

f(1)f(2)，x21x1x2，02x1x2，显然21，而f(x)0，所以f(x)单调递减．原不等式得证．

例3（1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）

论证：当x0时,(x21)lnx(x1)2 ．(x21)lnx

证：(x1)lnx(x1)(x1)21 22

(x1)lnx1 x1

(x1)lnx(11)ln11，（柯西中值定理）x1

ln(1)

1，（介于1与x之间）

1ln0． 当1时，上式显然成立；当01时，我们可以证明，

命题得证．

例4（2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第三题）

(15)设eabe2，证明lnblna

22224(ba)． 2e4ln2bln2a4证：lnblna2(ba)2 e(ba)e

142ln2，(eabe2)e

1

ln2，2e

因为eabe2，所以，lnelne222． eee

所以，原不等式成立．

例5（2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（17）题）

证明：当0ab时，bsinb2cosbbasina2cosaa．

证：令f(x)xsinx2cosxx

bsinb2cosbbasina2cosaa

f(b)f(a) 0

f(b)f(a)0 ba

f()cossin0，0ab

令f(x)xcosxsinx，f()0，f(x)cosxxsinxcosxxsinx0，0axb，所以在(0,)内，f(x)单调减少，即f(x)0．

原命题得证．

例6（2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第(17)题

(1)比较1

0lnt[ln(1t)]ndt与tnlnt的大小,说明理由。01

解：因为lnt[ln(1t)]n

tnlnt[ln(1t)]n tn

[ln(1t)nln(1t)ln(10)n][]（拉格朗日中值定理）tt0

()1，0t1，1n



所以lnt[ln(1t)]tlnt。即nn1

0lntt)]dtn10tnlnt。

例7（2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（18）题）

1xx2

cosx1，(1x1)．证明：xln1x2

证：原不等式等价于：

x2

x[ln(1x)ln(1x)]1cosx 2

xx2

（仅当x0时取等号）x[ln(1x)ln(1x)]2sin222

[ln(1x)ln(1x)]1（当x0时）2xxx2sin222

11111，（柯西中值定理，其中0x1），sinx

21，0x1 2(sin)(1)x

因为(sin)(12)22x，所以不等式成立．

利用同样的方法可以证明当1x0时，不等式成立．

综上所述，原不等式成立．

xx例8 证明：当x0时，xe1xe．

证：当x0时，ex1xxe1xe1e xxx

exe0

1ex，（利用柯西中值定理）x0

1eex，其中0x．

原不等式成立．

例9 证明：当0x

2时，sinxtanx2x．

证明：sinxtanx2xsinxtanx2 x

sinxtanx(sin0tan0)2 x0

cossec22（柯西中值定理）1

cossec22，因为

cossec2所以，原不等式成立．

中值定理是证明不等式时常用的一个非常有效的工具．我们习惯于构造辅助函数，利用单调性来证明不等式．而函数的单调性还是通过拉格朗日中值定理进行证明的．因此，利用单调性证明不等式的基础还是微分中值定理．以上几例体现了中值定理在证明不等式时的效果．

2，

第五篇：数学归纳法中不等式类解法

数学归纳法中不等式类解法

数学归纳法的思想比较特殊，原理是用类似于“多骨诺米牌效应”的方法，从n=1，n=2推到所可以达到的终点，从而推出式子的正确性。也正是如此，数学归纳法在遇到不等号且一边为常数时使用k→k+1的推理便不适用了，因为k成立已推不出k+1成立，原因是等号是精确值，而不等式是范围。下面用题目体会一下。

证明：1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2（n为正整数）证明：1.当n=1时，左边=1<2=右边，明显成立

2.假设当n=k(k为正整数)时，等式成立，有

1+1/4+1/9+……+1/（k*k）<2

(当n=k+1时，注意到左边加了一个大于0的数，但右边没有加，这是明显证明不了的，这时方法就是在左边减上一个含有n的数(对应小于)，右边数小了，若成立，即可推原式也成立。)

但是应该加什么呢？其实加的关键就是加了之后把加的数移到左边，式子变成单调递 减的式子，关键之处需仔细体会。

重新证明: 1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2-1/n 1.略

2.这时你会发现，n=k时把1/n移右为1+1/4+1/9+……+1/（n*n）+1/n<2 n=k+1时为1+1/4+1/9+……+1/（n*n）+1/(n+1)(n+1)+1/(n+1)而1/n>[1/(n+1)(n+1)+1/n]，由此第二步证明成功。

由1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2-1/n即可得 1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2

得证。

本方法关键在于选择加减的数，使其从k到k+1时数会反而变小（小于）/变大（大于），只要做多两题，到时候自然解决。