数学常用不等式5篇

第一篇：数学常用不等式

一：一些重要恒等式

1：

2：

3：

4：

5：三角中的等式（在大学中很有用）

6:欧拉等式二重要不等式 1:绝对值不等式

(e是自然对数的底，i是虚根单位）

(别看简单，常用)

2：伯努利不等式

(xi符号相同且大于-1)

特例 :3：柯西不等式

当且仅当x=0时等号成立

4:

5：

6:切比雪夫不等式

若，则

若，则三：常见的放缩(均用数学归纳法证)

1：

2：

3： 4：

5：

6：对数不等式（重要）

7：8:均值不等式我不说了（绝对的重点）

9：四：一些重要极限重要的等价量(书上有，但这些重要极限需熟背如流)

第二篇：七年级数学不等式课件

教学目标:

通过对具体实例的学习，使学生能够了解生活中的不等量关系，理解不等式的概念，知道什么是不等式的解，为以后学习不等式的解法奠定基础.知识与能力:

1.通过对具体事例的分析和探索，得到生活中不等量的关系.2.通过理解得到不等式的概念，从而使学生经历实际问题中数量的分析、抽象过程，体会现实中有各种各样错综复杂的数量关系.3.了解不等式的意义，知道不等式是用来刻画生活中的数量关系的.4.知道什么是不等式的解.过程与方法:

1.引导学生分析具体事例，从对具体事例的分析中得到不等量关系.2.引导并帮助学生列出不等式，分析不等式的成立条件.3.通过分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.4.通过习题巩固和加深对概念的理解.情感、态度与价值观:

1.通过学生的分析和抽象过程使他们体会现实中错综复杂的数量关系，然后从而培养其抽象思维能力.2.通过分组讨论学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性，培养学生的团体协作精神，使学生获得合作交流的学习方式.3.通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育.4.通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳、整理，尝试对有理数进行分类，然后体验教学活动充满着探索性和创造性.教学重、难点及教学突破

重点:不等式的概念和不等式的解的概念.难点:对文字表述的数量关系能列出不等式.教学突破:由于学生在以前已经对数量的大小关系和含数字的不等式有所了解，但还没有接触过含未知数的不等式，在学生分析问题的时候注意引入现实中大量存在的数量间的不等关系，研究它们的变化规律，使学生知道用不等式解决实际问题的方便之处.在本节的教学中能够在组织学生讨论的过程中适当地渗透变量的知识，让学生感受其中的函数思想，并引导学生发现不等式的解与方程的解之间的区别.在处理本节难点时指导学生练习有理数和代数式的知识，准确“译出”不等式.教学过程：

一.研究问题：

世纪公园的票价是:每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗?

那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢

二.新课探究：

分析上面的问题:设有x人要进世纪公园,①若x≥30，应该如何买票?②若x<30,则又该如何买票呢?

结论：至少要有多少人进公园时，买30张票才合算?

概括：

1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号>,<,≥,≤.2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.3、不等式的分类：⑴恒不等式：-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1.⑵条件不等式：x+3>6,a+2>3,y-3>-5.三、基础训练.例

1、用不等式表示：⑴a是正数;⑵b不是负数;⑶c是非负数;⑷x的平方是非负数;⑸x的一半小于-1;⑹y与4的和不小于3.注：⑴不等式表示代数式之间的不相等关系，与方程表示相等关系相对应;

⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系.例

2、用不等式表示：⑴a与1的和是正数;⑵x的2倍与y的3倍的差是非负数;⑶x的2倍与1的和大于—1;⑷a的一半与4的差的绝对值不小于a.例

3、当x=2时，不等式x-1<2成立吗?当x=3呢?当x=4呢?

注：⑴检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立.⑵代入法是检验不等式的解的重要方法.学生练习：课本P42练习1、2、3.四、能力拓展

学校组织学生观看电影，某电影院票价每张12元，50人以上(含50人)的团体票可享受8折优惠，现有45名学生一起到电影院看电影，为享受8折优惠，必须按50人购团体票.⑴请问他们购买团体票是否比不打折而按45人购票便宜;

⑵若学生到该电影院人数不足50人，应至少有多少人买团体票比不打折而按实际人数购票便宜.解：⑴按实际45人购票需付钱_________ 元，然后如果按50人购买团体票则需付钱50×12×80%=480元，所以购买团体票便宜.⑵设有x人到电影院观看电影，当x_____时，按实际人数买票______张，需付款_______元，而按团体票购票需付款________元，如果买团体票合算，那么应有不等式________________，由①得，当x=45时，上式成立，让我们再取一些数据试一试，将结果填入下表：

x12x比较480与12x的大小48<12x成立吗?

由上表可见，至少要__________人时进电影院，购团体票才合算.五、小结:

⑴不等式的定义，不等式的解.⑵对实际问题中探索得到的不等式的解，然后不仅要满足数学式子，而且要注意实际意义.六、作业课本P42习题8.1第1、2、3题.补充题：

1.用不等式表示：

(1)与1的和是正数;(2)的与的的差是非负数;

(3)的2倍与1的和大于3;(4)的一半与4的差的绝对值不小于.(5)的2倍减去1不小于与3的和;(6)与的平方和是非负数;

(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)减去5的差的绝对值不大于

2.小李和小张决定把省下的零用钱存起来.这个月小李存了168元，然后小张存了85元.下个月开始小李每月存16元，小张每月存25元.问几个月后小张的存款数能超过小李?(试根据题意列出不等式，并参照教科书中问题1的探索，找出所列不等式的解)

3.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元，然后从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元，(1)设从乙仓库调往A县农用车辆，用含的代数式表示总运费W元;(2)请你用尝试的方法，探求总运费不超过900元，共有几种调运方案?你能否求出总运费最低的调运方案.

第三篇：高三数学均值不等式

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3.2 均值不等式 教案

教学目标：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用

教学重点：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理

利用均值定理求极值

教学过程

一、复习：

1、复习不等式的性质定理及其推论

1：a>b2：3：a>b(1)：a+b>c(2)：

4、若(1)、若(2)、若(3)、若23aⅱ）a2b22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,bⅲ）3以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使C作垂直于直径

2AB的弦DD′,那么CDCACB，即CDab

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这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C与圆，显然，它不小于CD，即2

2心重合；即a=b应用例题：

例

1、已知a、b、c∈R，求证：

不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。

例

2、若

a,例3证明：∵222∴abcabbcca 例

4、已知a,b,c,d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得abcdacbd

0,0.2

2由不等式的性质定理4的推论1，得

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(abcd)(acbd)abcd.4即(abcd)(acbd)4abcd

归纳小结

定理：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取“”号).22、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键。巩固练习

P71 练习A，P72 练习B。

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第四篇：2013高考数学均值不等式专题

均值不等式归纳总结

ab(ab

2)2ab

222(当且仅当ab时等号成立）

(1)当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值

例：求下列函数的值域

1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx

211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x· 2＝6∴值域为6，+∞）2x 2

1(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥x1x＝2； x

1x·－2 x11当x＜0时，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧

技巧一：凑项

例:已知x，求函数y4x24514x5的最大值。

4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)对4x2要进行拆、凑项，x

54,54x0不是常数，所以，y4x2

1154x4x554x12313 1。当且仅当54x54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数

例1.当时，求yx(82x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0

x

32，求函数y4x(32x)的最大值。

2x32x9

解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222

当且仅当2x32x,即x技巧三： 分离常数 例3.求y

x7x10

x

13

0,时等号成立。42

(x1)的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1

时取“＝”号）。

技巧四：换元法

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

y

(t1)7(t1）+10

t

=

t5t

4t

t4t5

59（当t=2

当,即t=时,y即x＝1时取“＝”号）。

Ag(x)

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

B(A0,B0)，g(x)恒正

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)的单调性。

例：求函数y因t0,t

x

ax

x52的值域。

t(t

2)，则y

1t

t

1t

(t2)

1，但t1t

1t

解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故

y

52。

5所以，所求函数的值域为,。

2



技巧六：整体代换 例：已知x0,y0，且解：x0,y0,19

x

1x



9y

1，求xy的最小值。

16。

19y9x

10610161，xyxy

xyxyy

当且仅当

yx



9xy

时，上式等号成立，又

1x



9y

1，可得x4,y12

时，xymin

变式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,yR且ab

x

y

1，求xy的最小值

技巧七：消元法

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y 的最小值.ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不

等式的途径进行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥

ttt

t＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥ ab

令u则u2＋22 u－30≤0，－2 ≤u≤32

≤2，ab≤18，∴y≥

18点评：①本题考查不等式

ab2



ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；



②如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到

ab与ab

之间的关系，由此想到不等式

ab

2

ab（a,bR），这样将已知条件转



换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.技巧八：平方法

已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，很简单

3x 2y2 3x）22y）2 x＋2y ＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋3x ·y ＝10＋23x y ≤10＋3x)2·y)2

a＋b

a 2＋b 2，本题

＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W20 ＝5变式:

求函数y

y2

x

52)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

44(2x1)(52x)8

y2

又y

0，所以032

当且仅当2x1=52x，即x

时取等号。

故ymax



评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2

bc

abbcca

2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3.已知a、b、cR，且abc1。求证：

11

1118 abc

1分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“

2”连乘，又111abca

a

a

a，可由此变形入手。

bca

a

11a

abc1。

解：b、cR，a、1

a

a。

同理11

b

b

1c

c

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当1118

3abcabc

时取等号。

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

9xky

1

解：令xyk,x0,y0,1x



9y

1，

xykx



9x9yky

1.

10k



ykx



1

10k

2

3k

。k

16，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a

b1,P

lgalgb,Q

(lgalgb),Rlg（ab2)，则P,Q,R的大小关系

是.分析：∵a

Q

b1 ∴lga0,lgb0

（lgalgb)

ab2)lg

lgalgbp

lgabQ

Rlg(ab

∴R>Q>P。

练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）y

x3x1

x,(x0)（2）y2x

1x3,x3

(3)y2sinx2．已知0

1sinx,x(0,)（4）ysinx

2sinx,x(0,)

x

x

1，求函数y的最大值.；3．0，求函数y的最大值.3.若实数满足ab2，则3a4.若log4xlog4

y2，求

3

b

1x



1y的最小值.并求x,y的值.5.已知x，y为正实数，且x 2＋ ＝1，求1＋y 2 的最大值.26.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.7.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.y 2

第五篇：人教版数学不等式解读

人教版数学不等式解读

课程目标：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

一、知识结构

大纲教材中，一元二次不等式安排在集合之后、简易逻辑之前，作为初中一元一次不等式的自然延伸和新高一的起步内容之一，而课标教材把一元二次不等式安排在模块5，根据浙江省高中新课程实施意见，应在高二（上）学习；二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题从大纲教材解析几何部分的一个单元移到模块5；删除一元高次、分式不等式，把绝对值不等式移到选修4－5，把不等式证明也移到选修4－

5、1－2（文）、2－2（理）。

二、教学要求──立足基础、螺旋上升，促进主动学习、激励自主发展

1．基本要求

（1）了解不等式（组）的实际背景。

（2）理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

（3）会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研

究含有不等关系的实际问题。

（4）了解不等式一些基本的性质。

（5）了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，理解一元二次

不等式的概念。

（6）理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系。

（7）理解并掌握解一元二次不等式的过程。

（8）会求一元二次不等式的解集。

（9）掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想。

（10）了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程。

（11）理解二元一次不等式（组）及其解集的概念。

（12）了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的概念及其实、虚线的含义。

（13）会用二元一次不等式（组）表示平面区域。

（14）了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行域、可行解、最优解的概念。

（15）掌握简单的二元线性规划问题的解法。

（16）了解基本不等式的代数、几何背景及其证明过程。

（17）理解算术平均数、几何平均数的概念。

（18）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

（19）通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值。

2．发展要求

（1）理解并掌握不等式的基本性质。

（2）体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用。

（3）一元二次不等式解法及应用。

（4）能把一些简单的实际问题转化成二元线性规划问题并加以解决。

（5）掌握基本不等式应用及其使用的条件。

三、课标教材特点分析

1．教学内容

通过前后移动、左右拆分等动作试图把体现和刻画不等关系的意义、价

值、方法和思想的有关内容进行了一次整编，使得内容上 “形式的大拼盘”在不等关系和不等思想这个层次上得到“实质性的统一”。从多角度（实际背景、几何意义、代数算理、不等思想等）体现课程标准基础性、发展性、应用性和思想性的要求。

2．教学要求

（1）在解不等式方面，课标教材有二个特点：基本要求进一步降低、重视直观合情推理。在大纲教材删除指、对数不等式和根式不等式之后又删除了一元高次不等式、分式不等式，绝对值不等式移到选修4－5（选修IB之一，不作高考要求）；在课标教材的例题中，解一元二次不等式前都是先研究相应的一元二次方程的根、二次函数的图象，这是大纲教材所不及的。

（2）在不等式证明方面采取分步到位、螺旋上升的策略，但现阶段浙

江省高考对不等式证明的要求是降低的。虽然在选修1－2（文）、2－2（理）的推理与证明中提出用综合法与分析法是选修IA之一，作为浙江高考要求；但选修4－5中不等式选讲中不等式证明的常用方法及柯西、排序、均值不等式及其应用，还介绍了数学归纳法与贝努利不等式，这些内容是选修IB之一，不作为浙江高考要求。另外，基本不等式只要求了解其代数、几何背景及证明过程，应用上只要求用于求简单的最值问题。

3．教学意义

数学是思维的体操，不等式作为大纲教材的一个重点和难点，在培养学

生演绎推理能力方面起到重要作用，但大纲教材在推理的技巧性和严密性上多层次人为的过度强调，在演绎推理难度上不断提升，往往使得学生成为思维的机器，而不是思维的主人。课标教材强调合情推理和演绎推理并重，强调不等式的背景和实际应用，把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述优化问题的一种数学模型，而不是从数学到数学的纯理论，使思维成为自然的可能，将使学生成为思维的主人。

练；强调学生体验知识的形成过程，淡化一些技巧性的要求；强调

利用图象的直观性和合情推理，淡化纯演绎推理。

3.1不等关系与不等式

这一节让学生从大文化和实际背景认识不等关系的普遍性，如章头图及其说 明诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”（这首苏东坡的《题西林壁》的后二句大家更熟悉：不识庐山真面目，只缘身在此山中）；具体要求也和原教材有很大的不同，原教材作为研究不等式的理论基础，先结出实数大小比较的基本原理，再归结出五大定理和几个推论，部分还结出了证明。而课标教材也先结出实数大小比较的基本原理，但把五大定理和几个推论整理为不等式的八大性质，并只作一些简要的说明，并强调这些关于不等式的事实和性质是解决不等式问题的依据，所以在教学中，我们不必在这些性质的证明中化过多的时间，而应该着眼于通过实际背景、几何意义、具体例子来说明这些性质的合理性，对一些不等式的推断作一些分析验证；在此过程中更要重视学生的参与，师生在实际背景、几何意义、具体例子的共同作用下接受合情推理及其结论，尽可能减少学习过程中被迫无奈的成分（包括教师作为成人已具有的，而学生未具备的文化背景和经验）。另外，我个人认为引入不等关系和性质的实际背景、具体例子和性质本身都可以根据实际情况（当地学生情况和我省模块1－4－5－2－3的现实）作一些必要的调整，如问题1的内容（点到平面的距离）、章头图的形式（人教A版用熔岩峰岭图、上海教材用城市道路和高楼图）、八条性质的设置（如减对称性，增倒数性质）。

3.2一元二次不等式及其解法

在大纲教材中，集合和逻辑联结词之后简易逻辑和函数之前安排了借助二次 函数解决二次不等式有关问题，究其用意，一是让使学生进一步完善二次函数这一中学里最重要的函数的认识结构，并在理解抽象的函数概念时有一个具体的函数模型；二是巩固有关集合的基本概念；三是巩固并熟悉使用“或”、“且”二个逻辑联结词，并为学习“简易逻辑”打好基础；四是为下一章研究某些函数的定义域、值域、单调性作准备。课标教材为了防止师生在学习集合和函数概念时，借助二次不等式对函数的定义域、值域、单调性等细小问题进行大量繁琐的所谓重点训练，而忽视对函数概念的本质的理解、忽视对函数性质的讨论、忽视函数的实际应用，故课标教材采取了釜底抽薪的方法，把二次不等式放到必修5。但已经参与实验的教师中，特别是在一些多次使用传统教材的教师中，有许多人对此提出质疑，我认为这主要是受使用大纲教材（把二次不等式放在集合与函数之

间）的经验和习惯性的影响。对此，我有二个建议：部分现阶段一时难以适应的老教师，在尽可能实现课标教材设计意图的情况下可以暂时沿用以往的办法来处理；学生数学基本能力和思想（主要是本节内容学习过程中的蕴含的有关能力，如实际背景抽象出数学模型的能力、数形结合的能力、从直观到理性和从特殊到一般的认识能力）较好的班级也可以暂时沿用以往的办法来处理。但我们应努力改变这种情况。

人教A版先通过一个上网费用问题引入一元二次不等式的概念，让学生了解 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，理解一元二次不等式的概念。然后借助具体二次函数的图象研究二次函数的零点和一元二次方程根的关系，并观察当一点P在二次函数图象上移动（即点P的横坐标x变化）时，其纵坐标y有什么变化？进而归纳出一般一元二次不等式的解法，最后让学生自主完成求解一般一元二次不等式的过程的程序框图。从实际背景到数学模型，从直观感受到理性认识，从特殊到一般，这种处理符合学生的认知规律，有助于学生认清知识的形成过程，加深对知识的理解，更重要的是在此过程中学生能有体验的感受，往往使学生领悟到数学的思想方法。故教学中要重体验淡模式、重应用淡技巧、重背景控难度。总之，要重视理解并掌握解一元二次不等式的过程，突出数形结合的思想，理解二次函数、方程、不等式的关系，达到求一元二次不等式的解集的基本要求即可，相关内容在选修4－5中将进一步讨论。

3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

不等关系在日常生活、现实生产、科学实验中大量存在，如上网时间费用、刹车距离与车速关系、资源利用、人力调配、生产安排等问题。不等式是用来刻画不等关系的优化工具，二元一次不等式（组）刻画区域的准确性和可活动性使之成为解决二元线性规划问题的有效工具。本节安排了线性规划及其实习作业内容，教学中要立足于实际问题是数学问题的源泉，解决实际问题是数学研究的主要目的之一；同时，由于浙江省先安排上模块5，后上模块2，故高一教学时应作适当调整，一种是把整节切割到直线方程之后，另一种是适当补充直线方程有关内容（如倾斜角、斜率等），我倾向选择后一种方案（主要基于二点理由：倾斜角、斜率比较直观，三角函数已学），主要理由是遵循教材设计意图（不等关系）；另外，多元条件极值是有一定难度的，教学中不应再过多展开，要让学生通过自主研究理解掌握基本解法即可，如可让学生自主探究完成二元一次不等式表示的平面区域（象探究一元二次不等式的解法一样，经历观察、尝试、思考等探究的过程）；最后，要帮助学生实现从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），这是本节的难点。

3.4基本不等式：abab

首先，我们应明确，本节的重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，从 不同角度探索它的证明过程（证明意识的培养），难点是利用之求最大（小）值，一般不等式证明不是本节的重点和难点，选修1－2（文）、2－2（理）、4－5中将会继续研究；其次，基本不等式只限于二元；第三，教学中应突出用基本不等式解决简单问题，特别是实际问题（如周长、面积、造价等）的最大（小）值；第四，不要有意设置一些特殊问题去强调所谓“一正、二定、三相等”。