第一篇：谈数学中的对称美与应用.
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谈数学中的对称美与应用 蒋红梅
(达县师范高等专科学校数学系,四川达州635000 【摘 要】讨论了数学中的对称美,并给出若干应用。【关键词】数学美;对称性;对称美
[中图分类号]O120
[文献标识码]A
[文章编号]1008-4886(200405-0014-03
古代哲学家普洛克拉斯曾说:“哪里有数学,哪里就有美。”作为科学语言的数学,具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点,即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美,即数学美。数学美的内容非常丰富,贯穿于整个数学学科中的方方面面。数学的研究对象是数、形、式、向量、矩阵等,就它的表现形式,可以概括为对称美、简洁美、奇异美和统一美。数学教育中,教师有意识地揭示数学中的对称美,可以培养学生的美感和解决问题的能力。数学图形中的对称美是数学美的 重要体现
“为什么把车轮做成圆的?”这个有趣的问题就体现出数学的对称美。对称美,是指组成某种事物或对象的两个部分的对等性,是统一性的特殊表现。几何图形的对称美是对数学对称美最通俗直观的解释。在几何图形中,平行四边形是中心对称的,等腰三角形是轴对称的,圆关于圆心是对称的,关于直径也是对称的;正方形关于其中心是对称的;球形则最为特殊,它既是中心对称,又是轴对称,也是面对称的图形。正如毕达哥拉斯所说:“一切立体图
形中最完美的是球形,一切平面图形中最完美的是圆。”
[1] 又如《解析几何》中的圆柱、圆锥、旋转曲面、椭球面等这些图形都有鲜明的对称性,直观地给人以美的享受。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称,才构成了美丽的图案,精美的建筑,巧夺天工的生活世界,也才给我们带来丰富的自然美,多彩的生活美。
2数学中的对称美是数学美的基本内容
对称是数学美的基本内容,它给人们一种圆满而匀称 的美感与享受,其实质是数学中对立统一的概念、运算、命
题、图形等在结构与形式方面的体现。几何中的对称图形与其变换是明显对称的,从简单的圆、椭圆、心脏线到各类几何变换群都具有鲜明的对称性,[2]这些对称性是数学形式美的表现,它直观给人以美的享受。然而数学中还有更多的是基本概念、定理、法则的对称性,是数学内容美的表现。
在小学数学中,奇数与偶数,合数与质数,约数与倍数,整数与分数,和与差等都有一种很强的对称美感。几何图形里,三角形中的角与对边,平行四边形的两对边等,都迸发着对称美的光辉。圆被称为最美的平面图形,因为圆具有最多的同一性和对称性。二项式的展开式
(a +b n =C 0n a n +C 1n a n-1b +……+C n-1n ab n-1+C n n b n 中C 0n =C n n ,C 1n =C n-1n ,C 2n =C n-2 n ……,也显出一种对称美。在代数中,三角函数公式sin(α+β=sin αcos β+ cos αsin β,实数a 与-a 互为相反数,复数a +bi 与a-bi
互为共轭复数,这也有着明显的对称性,而古人发现的“杨辉三角”
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其形式上所具有的对称美是那么的和谐统一,无不让人叹为观止。又如代数中的对称多项式、行列式中的对角形行列式、矩阵中的对称矩阵、线性空间等,都是一种均衡的对称美。
在几何图形中还有一些深层的对称美,如:一条线段关于它的中点对称,这条线段若左端点的坐标为0,右端 1Ξ
[收稿日期]2004—04—29 [作者简介]蒋红梅(1978— ,女,四川大竹人,达县师范高等专科学校数学系助教,研究方向:基础数学。第14卷第5期达县师范高等专科学校学报(自然科学版
2004年09月V ol.14 N o.5 Journal of Daxian T eachers College(N atural Science Edition Sep.2004 点的坐标为1,那么中点在0.5处。又如:似乎黄金分割点(在ω=0.618处不是对称点,但若将左端点记为A ,右端
点记为B ,黄金分割点记为C ,则 BC C A =C A AB;而且C 关于中点的对称点D 也是AB 的黄金分割点,因为AD DB =DB BA;再进
一层看,D 又是AC 的黄金分割点;C 是DB 的黄金分割 点。类似地一直讨论下去,这可视为一种连环对称。数学中不少概念与运算,都是由人们对于“
对称”问题的探讨派生出来的。比如,和—差,对数运算—指数运算,微分—积分,分解—组合,平行—相交,正比例—
反比例,线性相关—线性无关……一分为二地成对出现,显得稳定、和谐、协调、平衡,真是奇妙动人。数学中大量的恒等变行,如多项式的因式分解、分式的通分、约分、三角函数的简化以及各种方程的同解变形等,都显示了对称美,给人一种对比而相互照应的美感。
对偶定理可看作是较高层次的对称,同样给人一种美的感受。集合运算中的对偶原理:A ∪B =A ∩B ,A ∩B =
A ∪
B ,就其内容和形式来说都很优美。射影几何中著名 的迪沙格定理:若两个三角形对应顶点的连线共点,则对应边的交点共线。若把“点”和“线”对偶地变动,即得对偶定理:若两个三角形对应边的交点共线,则其对应点的连线共点。射影几何正是把点和线视为对称的设想下建立起来的,可见,对称性在数学发现和创造中具有重要的美学因素。《规划论》中的对偶原理也可以看作是较高层次的对称,为我们解决对偶问题提供了一种解题方法———对
偶单纯形法。
[3] 3数学中对称美的应用
3.1 数学中对称美在几何中的应用
在几何中,我们利用数学中的对称性,建立适当的坐
标系,可以使运算简单,所得的曲线曲面的方程简洁明了。比如椭圆(如下图: 图1图2(图1:任意建立坐标系,图2:取两定点F 1,F 2所在直 线为X 轴,线段F 1F 2的垂直平分线为Y 轴,建立直角坐 标系
比较之下,我们发现:图1让我们漫无头绪,图2中,我们看到图形的对称美,萌发了解题的思路。设F 1(-c , 0、F 2(c ,0,M(x ,y 为椭圆上的任意一点,由定义可以 得到曲线的方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0。在三维立体空间
中,我们将图2中的椭圆绕X 轴旋转,得到长形旋转椭球面。而在方程x 2 a 2+y
2b 2=1(a >b >0中保留坐标X 轴不
变,用±y 2+z 2代替y ,便得椭圆绕X 轴旋转的曲面方 程:x 2 a 2+y 2 b 2+z 2 b 2=1。由此可见,数学中的对称性不仅推 动了数学的发展,而且使数与形结合得更紧密。3.2 数学中的对称美在定积分中的应用[4] 在计算旋转体、立体图形的体积时,我们运用数学中的对称性使计算简捷。比如圆锥体(图3: 图3 设圆锥体的高为h ,底圆半径为r ,由图可知圆锥体关于x 轴对称,于是我们可以将它看作是由平面图形0≤y
≤r h x ,x ∈[0,h ]绕x 轴旋转一周而得。截面面积函数π(r h
x 2是连续函数,从而在[0,h ]上可积,所以其体积为V =π∫h 0(r h x 2dx =13 πr 2h。3.3 数学中的对称美在规划论中的应用
在现代生活中,我们常常遇到这样的问题:⑴利用有限的资源(人力、物力、财力去完成最大的任务,⑵利用最少的资源完成规定的任务。这两类问题就是《规划论》中的对偶问题,我们把问题⑴视为原问题,问题⑵视为原问题的对偶问题,由于它们具有对称性,我们要求原问题的最大值,就是求对偶问题的最小值;要求对偶问题的最小值,就是求原问题的最大值。当原问题的约束条件不等式的个数比决策变量的个数多时,用求解对偶问题代替原问
题的求解,可使计算量大大减少。
孔子曾说:“知之者不如好之者,好之者不如乐之者。”如果教师能在教学中采用“寓教于乐”的形式,学生的学习积极性将会大大的调动起来。而“乐”的前提是“美”,所以“寓教于乐”实际上是“寓教于美”。因此,在数学教育中,教师应该挖掘数学中对称美的因素,引导学生去发现、欣
赏、创造数学美,从而培养和发展学生的数学美感,促进学生创新素质的发展。5 1蒋红梅:谈数学中的对称美与应用2004年第5期 参考文献: [1]张双德,王呈义.数学教育学[M].山东:石油大学出版社,1993.[2]梅向明,刘增贤,林向岩.高等几何[M].北京:高等教育出版社,1998.[3]何 聪.规划论[M].成都:四川大学出版社,2001.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.[责任编辑 王良成] T alking about Symmetrical Aesthetics in Mathematics and Its Application J I ANG H ong2mei(Department of Mathematics,Daxian T eachers C ollege,Dazhou S ichuan635000,China Abstract:In this paper we study the symmetrical beauty of mathematics,and give its applications.K ey words:Mathematics beauty;symmetrical;symmetrical beauty.(上接第7页
[5]Feng W,Webb S.R.L,S olvability of a m-point boundary value problem with nonlinear growth[J].Math.Anal.Apll,1997,212(2:467~480.[6]Ma R.Y,P ositive s olutions of a nonlinear three-point boundary value problem[J].E lectronic journal of differential equa2 tions,1999,34(1:1~8.[7]吴红萍.二阶三点方程组的正解存在性[J].数学杂志,2002,22(4:435~438.[8]郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,1985.[9]郭大钧,孙经先,刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M].济南:山东科学技术出版社,1995.[责任编辑 何 聪] The Existence and Multiplicity of Positive Solutions for a Class
of Second-Order P-Laplacian Operator Systems CHE N Shun2qing(Department of Math,Daxian T eachers C ollege,Dazhou S ichuan635000,China Abstract:In this paper,we show the existence and multiplicity of positive s olution for a class second-order p-laplacian operator system via the fixed point theorem on cone.K ey words:P-Laplacian operator;cone;fixed point;positive s olutions systems 61 2004年第5期蒋红梅:谈数学中的对称美与应用
第二篇：感受轴对称图形中的对称美
感受轴对称图形中的对称美(苏教国标版三年级下册)内容摘要：教学中有机地对学生进行美育，数学本身就是一种文化数学，在小学数学中蕴含着丰富的美学资源，数学美具有科学美的一切特征，而且还具有艺术美的某些特征，在我们的日常生活中处处可见数学中的美，如轴对称图形的对称美。在教学时，教师可以去创设美的情境，让学生在情境中感受图形的对称美，让学生在阅读和欣赏时体会数学的和谐美，揭示数学中的内涵美，并激发学生创造对称美的作品。
关键词：轴对称图形，数学美，形式美，对称美
在全面推选素质教育的今天，审美教育受到了人们的广泛重视。正如苏霍姆林斯基所说：“教育，如果没有美，没有艺术，那是不可思议的。”如今各学科开展了大量的美育活动，然而在数学方面的美育活动却很少。数学作为教育中的一门重要学科，能够缺少美的教育吗？其实小学数学中蕴含着丰富的美学资源，著名数学家田刚院士曾说过：“数学的美体现在结论的简单和明确。数学就像是一个花园，没进门时你根本看不到它的漂亮，可一旦走进去，就会感觉它真美。” 数学的美是“冷而严肃的”，是理性的美，空间形式、数量关系、数字的奥秘„„这些都为数学提供了极其丰富的内容，使它处处充满美的情绪，美的感受，美的表现，美的创造。在数学教学中，揭示这些美，也只有在教师的精心设计中，在学生不断的探索挖掘中，才能真正体会数学的美，才能引起学生对数学美的赞叹，激发创造美的热情，培养学生的数学美感，提升学生的数学才能，因此,我以《美丽的轴对称图形》为例展开教学研究，体现为以下几方面特点：
一、创设情境,感受“对称美”
美好的事物和美的愉悦享受，是人们日常生活中不可缺少的重要因素。在教学中体展示各种美丽的对称图形，能创设一个美的情境，让学生在美的情境受到美的熏陶，能激发学生的学习兴趣，使学生的整个学习过程处于一种愉快的情境中，对于提高学生的想象力和创造力具有极大的作用。课始，我把学生带进秋天的童话情境当中:秋天的枫林深处，满地落叶，两只蝴蝶翩翩起舞；林中一座房子，小路边停放着一辆小汽车。师问：“这些图案美吗？请说一说理由。”当学生说出“这些图形左右两边都是一样”时，教师让学生拿出蝴蝶、枫叶、房子、小车，自己动手折一折，验证对称。教师适时出示蝴蝶、枫叶、房子、小车的特写镜头，让学生再仔细观察，进一步感知这些图形左右两边都是一样的。学生在折蝴蝶等纸片的过程中，发现了对称图形的折痕，教师让学生各取名称。教师对学生起的名字给予肯定，向学生说明在数学中我们规定这条线为“对称轴”，指几名学生找出蝴蝶等纸片的对称轴，教师选取了一种图形（蝴蝶），用课件演示了对称轴的画法。接着老师指出对称图形还有雄伟壮丽的天安门、美丽迷人的艾菲尔铁塔，庄严肃穆的天坛、历史悠久的故宫等中外名胜古迹；还有红双喜字、树叶„„随着一幅幅美丽画面的不断变换，师说：“正因为有了这么多对称与不对称，才让我们的世界如此五彩缤纷、美丽动人。”学生的眼睛亮了起来，赞叹之声此伏彼起，“真是太美了！”学生已经真真切切地感受到了对称图形的美，让学生深切地感受到因为它们是轴对称图形，所以它们给人们美的享受。数学中对称美在这里体现得淋漓尽致。
美丽的画面，优美的意境，给学生以美的享受，感受数学的美，使得轴对称图形在学生头脑中留下初步的印象。让学生理解了对称美的价值。
二、探究学习，认识“对称美”
数学课程标准指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。苏霍姆林斯基认为：自然界里许多美的事物，如果不事先指给孩子们看、讲给孩子们听，他们自己是不会留意的。这就要求我们教师能发掘数学的美，并逐渐引领学生进入美的天堂。在教学中不但要学生欣赏课本中的数学美，更重要的是把它引入生活实践中，欣赏数学之美，培养学生在实践中认识数学的美。因此，课堂中创设有助于学生自主探究的情境，通过对图形的折、画，初步感受沿一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，为探索轴对称图形的知识打下基础，又让学生很快剪出一个具有这些特点的简单图形。学生通动手实践，具备了一定的动手实践能力和造型能力，而且他们思维活跃，对待事物特别感兴趣，有丰富的想象力和创造愿望。教学中要充分利用学生已有的智能储备和生活经验，承认学生的能力差异通过游戏愉快的发现、感知、创造表现活动，关注学生的个性发展和整体提高。新课程尤其倡导要培养学生的个人意识和团结协作能力，在多维互动的学习中实现自主、合作、探究的学习方式，因此在教学中通过组内成员之间的互相交流，激发学生思维的碰撞，从而促使他们不断深入的探究解决学习中出现的问题。老师接着引申：数学中，对称美具有重要的地位，在几何图形中蕴含对称美，与我们的生活密不可分。
如轴对称图形在学生动手操作的过程中水到渠成，而学生有了自己的观察和体验，同时在小组学习中培养了合作能力和动手能力，就能很容易地总结出轴对称图形和对称轴的概念，从而进一步认识对称美。
三、实践应用，体验“对称美”
知识源于生活，并最终服务于生活，尤其是小学数学，在生活中都能找到其原型。我们也一直提倡“数学生活化”，这就要求教师在教学时，要立足学生生活环境，将学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物作为教学活动的切入点，使他们从实际中体验数学之美，学生便能迅速地进入最佳的学习状态，身临其境地去分析问题和解决问题。实践对于知识的理解、掌握和熟练运用起着推动作用，只有亲身体验，用数学知识进行实践，进行应用，才能激发学生学习数学的欲望，提高学生的数学素养，培养学生的数学应用意识，真正体验数学美的价值所在。我把数学练习设计在有趣的数学情境，让学生进行“智力闯关”：
1、第一关：“比比谁的眼力好！”——判断哪些是轴对称图形，并画出对称轴，第一关中的图形是简单的对称图形；
2、第二关：“聪明的你找一找！”——找出长方形、正方形、五角星和圆形各有多少条对称轴，由于圆的对称轴有无数条，要引导学生通过有限次的操作，发现规律；
3、第三关：“智慧的你做一做”—— 让学生根据对称轴画出另一半，对称轴有水平方向的，也有竖直方向的，需要学生应用轴对称图形的性质。可以先让学生通过讨论、交流探索画的方法，如果学生有困难，教师可以提示学生要画出某条线段的轴对称图形，只要画出该线段两个端点的对称点，再连起来，就是该条线段的对称图形；
4、“请你当设计师”——设计一个轴对称图形。通过分层的练习，放手让学生多动手、多思考、多实践，让学生的多种感官都参于学习，使思维在操作中得到发展，并逐步形成实践求知的意识。
我在教学中给学生提供自我表现、自我创造的空间，使学生更加深刻地理解“对称”。展示作品同时也让学生感受到成功的喜悦，对轴对称图形的认识体验就更深了。
四、课外延伸，升华“对称美”。
古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，那里就有美。”在数学教学中，只要我们稍加发掘，就不难发现数学的这一重要特征。我让学生找生活中的轴对称图形，让他们体验到生活中到处都是数学，对称是美的一种表现形式，并形成用数学的眼光观察事物的意识和兴趣，从而增强学习动力，产生积极的数学情感。老师引申：绘画中的追求对称美，太阳、树木、蝴蝶等；语文中也利用对称手法来体现音韵美和节律美，如诗词的排比、对仗、对偶；音乐中也追求对称美，如节律、旋律。再让学生随着美妙的音乐声，走进数学百花园，欣赏各种自然界、艺术中和生活中对称，并让学生谈谈自己的感受。这样，在教学法中不断挖掘，帮助学生感受数学中的美，让学生去欣赏数学中的美，并数学的美回归生活。
总之，数学美无处不在，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的。我们数学教师在教学过程中要自觉地把数学美反映出来，表现出各种数学美，以期不断地感染学生，改变学生对数学枯燥无味的成见，让学生学习数学不再枯燥，让他们认识到数学也是一个五彩缤纷的美的世界，在美的意境中受到感染，熏陶。美的课堂教学，可以让学生主动、积极地参与教学的全过程，从中体验知识的内在美，从而主动地去追求美的事物。所以教师要认真体会小学数学教材中的内涵美，从审美角度设计教学，引导学生在实践中去感受、欣赏、表现、创造数学美，感受轴对称图形中的对称美，从而产生学习数学的兴趣，将学生带入一个美轮美奂、充满对称美的世界，感受轴对称图形中的对称美。
第三篇：例谈初中数学中的美
例谈初中数学中的美
丘北县八道哨中学 李志
摘要：《数学课程标准解读》强调要让学生领会数学之美，作为数学教师在教学过程中适时渗透美的知识和进行数学审美教学是很必要的。本人结合教学实践，谈谈自己对初中数学中美的认识和理解。让学生在数学学习中发现美、体验美、创造美。
关键词： 初中数学、美、数学之美
数学，是人们从现实生活中总结出来的，经过不断地升华和发展的知识结晶，它既是一门科学，也是一门艺术，它处处呈现着美感。朱光潜指出：“什么是美？美是心借物的形象来表现情趣，是合规律性与合目的性的统一。”美又是自由的形式：完好、和谐、鲜明、真与善、规律性与目的性的统一，就是美的本质和根源（李泽厚语）。数学美是一种客观存在,是自然美在数学中的反映。数学美主要表现在其简洁性、和谐性和奇异性。
1、数学美的简洁性
数学能把复杂的问题抽象为简单问题，给人一种精神上的美的享受。1.1阿拉伯数字“0123456789”的发明使人们计数变得很简单、很方便。
我国古代最具代表性的计数方法有：结绳计数,绳子每打一个结代表一个或一次,以此类推。筹码计数,每一筹码代表1,或10,或100,等,以此类推。显然上面的计数方法操作起来不方便不简捷。
1.2科学记数法能使人们在书写较大或较小的数学时变得很简洁。
北师大版七年级数学讲到的科学记数法，无不让学生体会到数学的简洁美。科学记数法: 把一个绝对值大于10(或者小于1)的数记为a10n1a10的形式。例如：5600000000000＝5.61012；－0.00000000013＝－1.31010等。1.3负数的引入让人们表示意义相反的量变得简单、明了。
人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如,在记帐时有余有亏；在计算粮仓存米时,有时要记进粮食,有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑用相反意义的数来表示。于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。在实际生活中，我们经常用正数和负数来表示意义相反的两个量。在用电视摇控器时，加大3格声音表成“+3”，减小5格声音表成“－5”。数学中的简洁美，它包含着鲜明性和准确性，抽象性和概括性，它不仅仅是艺术上的简洁，同时更大是科学上的简洁，数学中处处充满了这种美，同时，它也是古往今来许许多多的数学家的崇高追求。
2、数学美的和谐性
所谓和谐,是指事物之间按一定规律联系,匀称,有一定秩序以及明确的变化规律。和谐美,实质上就是以严格的数量关系表示出来的和谐性。和谐是宇宙完美的体现,毕达哥拉斯指出:“整个世界就是一个数,就是数的和谐。” 数学中的和谐美不仅体现在其知识体系的和谐统一,相当一部分的数学运算过程也能让我们充分领略到数学独特的和谐美。2.1黄金分割
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1。如图，用C点分割线段,使整体AB与较大部分BC之比,等于较大部分BC与较小部分AC之比。其中C点叫黄金分割点。ACB有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28分，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。
建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。黄金分割确实是一个奇妙的规律，只要符合这个分割的物体和几何图形，都使人感到和谐、悦目。如图翩翩起舞的芭蕾舞演员，给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉。2.2 轴对称图形
北师大版七年级数学（下）生活中的轴对称。在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。在日常生活中和在艺术作品中，“对称”有更多的含义，常代表着某种平衡、比例和谐之意，而这又与优美、庄重联系在一起。如五角星、正三角形、飞机的两翼等等。
中国民间剪纸中的折叠剪纸原理就是应用轴对称性质。折叠剪纸在生产、生活中有着广泛的应用，如制作玩具、模型以及室内装潢和环境布置等，都经常用到这种手工艺。
2.3数学的和谐美表现在它的对称匀衡
从外形直观方面看，有图形的对称美。从数形结合看有对应美：实数与数轴上的点一一对应，函数关系与图形；从互逆关系上有对称美：互逆定理、互逆运算）、解题方法（如分析法与综合法）、推理方法等；图形的全等，图形的相似，甚至一个个简单的等式，无不呈现对称匀衡，协调统一。
数学中的和谐美，不仅反映了客观世界的和谐统一，而且更体现人的主观世界的和谐统一。我们在教学过程中，不断地发掘、揭示、感受，既要注意整体联系，又要揭示各部分之间的关系，给出数学知识系统图。让师生一起在学习数学的过程中逐步了解、认识、欣赏以及追求和创造这种和谐美。
3、数学美的奇异性
奇异性是数学美的一个重要特性。奇异性包括两个方面的内容：一是奇妙，二是变异。数学中不少结论巧妙无比，令人赞叹，正是因为这一点数学才有无穷的魅力。变异是指数学理论拓广或统一性遭到破坏后，产生新方法、新思想、新概念、新理论的起点。变异有悖于人们的想像与期望，因此更引起人们的关注与好奇。凡是新的不平常的东西都能在想像中引起一种乐趣，因为这种东西会使人的心灵感到一种愉快的新奇，满足他的好奇心，从而得到原来不曾有过的一种观念。
3.12惨案之谜
公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派认为宇宙中的一切事物都可以用“数”来表示。不过他们说的“数”是指正整数或整数之比。他的学生希帕苏斯认为：“2既不是整数，也还是整数之比，应当是一种未被认识的新数”。他并没有保守秘密，很快就将这个真相公之于众，宣布了“数统治宇宙”的破灭。可怜的他在与伙伴们乘船时被人扔进了地中海„„
北师大版八年级数学（上），我们在学习勾股定理时，当设正方形的边长为1，那么它的对角线为怎样表示呢？从而引入了无理数的概念。无理数：无限不循环小数。正是因为无理数，才将数和图形真正统一到一起，进而为后来的解析几何奠定了基础，而解析几何，是人们用数学来分析研究世界的基础。
3.2初中的几何图形可以赋予一定的意义
数学中处处存在着美，我们常见的几何图形——圆，给人柔和、圆润、光滑之感受；三角形有稳定感；抛物线轻快流畅；平行线表现安稳；中心对称图形、轴对称图形以及等式、相似形、全等形等都体现了对称匀衡。
3.3奇妙的回文数
请看下面的算式：
11×11=121 12×12=144，21×21=441； 111×111=12321 13×13=169，31×31=961；
1111×1111=1234321 102×102=10404，201×201=40401；
11111×11111=123454321 103×103=10609，301×301=90601； „„ „„
数学中的奇异性与统一性在一定意义上是相互对立、相互补充的。因为奇异性意味着出乎于平凡(或常识),是对原先所达到的统一性的破坏,并去追求更大的统一。
总之，数学并不像有些人认为的那般枯燥乏味，它不是长篇的定理公式的累积，而是一种美的学科。在中国书香四溢的文学背景下，数学也闪烁着不一样的光辉。
参考文献：
[1]邹瑾、杨国安。开心数学（2003年7月第一版），哈尔滨工业大学出版社，13-15.[2]吴振奎、吴旻。数学中的美（2004年9月第二版），上海教育出版社，244－246 [3]孙晓天。数学课程标准解读（2003年7月），北京师范大学出版社，3-6 [4]伊夫斯。数学史概论（2009年5月第二版），哈尔滨工业大学出版社，20-26 [5]张景中。好玩的数学（2004年10月），科学出版社，50－57
第四篇：对称美秩序美教案
一、教材分析：
《对称美、秩序美》是九年义务教育苏少版课程标准第五册16课的内容，属于“设计•应用”学习领域的范畴。在整个小学美术教材中处于第二学段的学习活动，本节课是在学生发现、感受对称美、秩序美的基础上，进行创造性的表现。因此，在教学过程中，教师应充分考虑教学内容与学生的实际情况，利用发现美的游戏调动学生的学习积极性；利用多媒体辅助教学，让学生直观、形象地理解对称美、秩序美的规律。
二、教学目标：
认知目标：了解对称知识，掌握镜面对称、平移对称及旋转对称的特征，并能区分各种对称图例。
操作目标：能表现出不同形式的对称，并尽量展现特有的秩序美感。
情感目标：将感受到的对称美、秩序美延伸到生活学习中，做一个遵守秩序的小公民。
三、教学重点：
通过欣赏生活中的景物范例，了解、认识对称的秩序美，并在生活中感受秩序美。
四、教学难点：
如何用剪纸的方法表现对称美、秩序美。课时：1课时
五、课前准备：
教具准备：多媒体课件、视频展示台、彩纸、剪刀等。学具准备：剪刀、纸、彩笔、等。
六、教学过程设计：
一、导入：
谈话导入：同学们，从小，我们在公共场所，排队买票、等车候车，上下楼梯、爸爸妈妈和老师们都会要求我们要遵守秩序，这样方便了我们的生活，也避免了危险，相信同学们知道秩序在我们生活中的重要性，其实啊，秩序还有一个很重要的作用，大家想知道是什么吗？
二、认识秩序美
1、（幻灯片）对比不规则图片有序排列前后的不同，引申到去发现生活中有秩序的事物。
谈话：这些不规则的图片经过变一变，请同学们讨论一下，现在的图片给你们什么感受呢？很显然，当这个不规则的图片被整齐排列之后，原本杂乱无章的画面变的有序很多，也舒服很多，所以秩序也可以使杂乱无章的画面变的美丽，整齐能带来美，就是“秩序美”（揭题）
2、感受生活中的秩序美（幻灯片）
细心的同学们会发现在我们生活当中，好多运用这样的事物，你能说说有哪些吗？
学生交流，师生交流，欣赏画面。（整齐的自行车、阅兵队伍、整齐的树林，一幢幢相似的楼房，还有很多新华书店当中排列有序的书本）….3、过渡小结：当事物按照一种规律井然有序的存在叫做秩序。
三、深入体验秩序美（按各自不同规律的排列秩序）
1、展示图“大自然中的秩序美”（幻灯片）向日葵的花瓣——圆形排列 蝴蝶的翅膀——左右相反方向生长 彩虹——弧形排列
四、学习“对称美”
导语：刚才大家发现没有，有人说蝴蝶是对称的，实际上刚才的几幅图有秩序美的画面，他们都是对称的，今天老师就来和同学们一起研究下“秩序美中的对称美。”（第二次揭题）
同学们，讨论一下，你知道这幅画面中，有哪些对称形式吗？幻灯片出示：蝴蝶、雪花、竹子
1、分析蝴蝶图片中对称的形式
镜面对称：蝴蝶的花纹左右完全一样，可以折叠重合，它具有左右或上下对称的特点，像这样的对称叫镜面对称。
（交流）想想生活中有哪些事物具有这样的特点呢？
2、分析竹节图片中对称的形式
平移对称：当画面中这段竹节，平行移动到一定的间隔，并且图形完全重复的时候，会给人一种连贯流畅的感觉，我们将之称为“平移对称”
3、分析雪花图片中对称的形式
旋转对称：一片非常美丽的雪花，其中的一片与其他的一摸一样，如果老师将雪花旋转一下，发现雪花的位置完全一样，也就是当一个圆形事物被旋转后，其形状保持不变，我们便称之为“旋转对称”
（交流）想想生活中又有哪些事物具有这样的特征呢？
4、小结知识点：刚才我们学了哪3种对称形式？
5、巩固：游戏“连一连”倒影的风景画，体育场的座椅、电风扇面
6、情感领域：想一想如果生活中没有了秩序，会怎么样呢？ 十字路口交通秩序、公交车站台上下车秩序。做一个遵守秩序的小公民。
五、制作：
1、谈话：对称美、秩序美，以各种形式存在，今天我们就用剪纸的形式来表现。
2、讨论：引导学生说说，怎样来剪出镜面对称。指名示范：把纸对折，再画，再剪。
3、讨论：引导学生说说，怎么样来剪出旋转对称。
教师示范要点：对折，再对折，找到中心点，再对折，折的越多，花瓣就越多。
4、根据学情做现场指导 如何让花瓣外形有变化
如何让花瓣富于形式美，提醒学生运用学过的知识“点线面“
5、作业评价：自评、互评、点评 四 拓展知识（幻灯片）
对称美、秩序美以各种表现方式存在生活中，如果说大自然是一位顶级的艺术家，他创造了那么多“对称美、秩序美。”那么，我们人类更是充满智慧，因为人类向大自然学习，在各个领域创造出更多的美。欣赏幻灯片
第五篇：对称的美教案
县优质课教案
小学四年级美术下册第9课：对称美
庙湾一小：李智慧
人教版小学四年级下册美术第9课：对称美
庙湾一小：李智慧
教学目标：
1、使学生了解对称的原理在艺术创作中的运用。
2、用适合自己的方法，创作一组对称的人物或动物。
3、体验创作的乐趣。
教学重点: 学会表现对称的人物或动植物。
教学难点: 用自己适合的方法创作对称的物体。
教学准备: 范作、纸、剪刀、水粉颜料、排笔等。
教学过程：
一、欣赏导入
多媒体展示轴对称图形若干，学生观察讨论几幅图画所具有的共同点是什么？
生自由发言后师总结：物体相同部分有规律的重复，就是对称。
对称图形有单个形体的对称：如蝴蝶、剪刀等，也有两个以上的双物体相互对称，它们就像双胞胎一样。
板书课题：9:对称美
二、指导示范
观察课文图片，它们是各自分别三用什么方法表现的？
1、对折剪
2、对折印
3、对折画
除了以上几种创作方法以外，你还有什么创作对称作品的好方法吗？
1、复印
2、泥塑
3、刻印
回忆你生活中的那些情况下看到过双形体对称的图形，你会选择哪种方式表现你所看到的图形？
1、照镜子
2、耳环
3、双人跳水
4、水中的倒影
师示范对折印作品一幅，指导学生注意对折印方法使用时注意水分的把握。
三、创作
师过渡;下面，请同学们开动你奇思妙想的脑思维，灵巧神奇的双手创造出一幅属于独一无二的对称美术作品吧！
出示作业指导
1、选定主题和方法
2、设计主题、造型。
3、注意颜料使用时水分的掌握。
4、请小心使用剪刀等利刃工具，注意安全。
5、不要乱扔杂物，请保持教室整洁。
生自由创作作品，师巡视指导。
作品展示，师生共评。
拓展：对称图形，双形体作品欣赏。
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