不等式基本问题梳理(期末用)

第一篇：不等式基本问题梳理(期末用)

不等式基本知识梳理

一、不等式的基本性质：

1、①对称性；传递性；③移项原理；推论④同向不等式可加性；⑤变向原理；

推论1°⑥正的同向不等式可乘性；推论2°⑦正的不等式可乘方；

⑧正的不等式可开方；⑨绝对值的三角不等式；推论⑩|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a1|+…+|an|

2、重要方法及对应的题型：

（1）比较大小：①求差后配方：高调P2例1（1）、P413；②求差后分解因式：高调P411；14；③求差后分子有理化：高调P2例2；④求差后分类讨论：高调P3例3；思考

3、P9例3；⑤求商法：高调P9例

1、例2；⑥乘方后比较被开方数：高调P6例

3、思考3；P106。⑦对于选填题，还可用特值法：高调P48、9①、P8 1、6； P286。⑧利用函数的性质：P104、12。

（2）性质的应用：①判断命题的正误：高调P5例

1、思考

1、P10 1、11。②证明不等式：高调P7例4、5；思考4。③求范围：高调 P7例

6、思考

5、P9例

4、P107。（3）不等式的应用：高调 P3例4。

二、均值不等式：

1、n

a2a2111

n

a1a2a3aa1a2ana2

12n

n

n



n

a1a2an

调几算平，从小到（当且仅当a1=a2=……=an时取等号）

2、重要方法及对应的题型：

（1）比较大小：高调 P11—12例

1、例

2、思考2。

（2）证明不等式：高调 P13例4、5、思考4；P1414；P19例

1、思考1。（3）求特殊式子或函数的最值：

①换元法：高调 P15例

1、思考1；P16例3（1）。②相乘展开法：高调 P17例4（1）、思考4（1）P187、8。P214、8③凑配系数法：高调 P17例4（2）、思考4（2）。④利用双钩函数：高调 P16例3（2）、思考3。P186⑤多次同向放缩：高调P20例

2、思考2。（4）求范围：高调P17例4（3）思考4（3）、P1812、P2111。（5）恒成立：高调P20例

3、思考

3、P212。

（6）不等式的应用：高调 P17例

5、P1814、P2113。P24例

4、P257。P53例5，课本P13——14例4。

三、不等式的证明方法：

1、比较法：高调 P22——23例

1、例

2、例3。P2511、课本P322、4。

2、综合法：①利用均值不等式：高调 P22思考

1、P2510、课本P29例

1、P328、P332、利用a2+b2+c2≥ab+bc+ac：高调 P26例

1、例2，思考1、2；P268。

③利用柯西不等式：高调 P188，高调 P216，高调 P2510、P34例

2、课本P335。

3、分析法：课本P16例7，P17练习3，高调 P29例

1、思考1；P30例

2、思考2。

4、向量法：利用向量的性质，||||||，或||||≤||≤||||；高调 P31例

5、P51思考4。

5、利用函数的单调性或三角代换：高调P33例1，思考1，P5111；课本P12例

2、P189。

四、不等式的解法及应用：

1、整式不等式：高调 P37例

1、思考1；P38例

2、思考2；P39思考4（2）、P403、14；P45例1。

2、分式不等式：高调P39例

4、P482、4、5、6。

3、无理不等式：高调P46例

3、例5。（注意用图像法）

4、指对数不等式：高调P47例4，思考4、5，P4811、12、13。

5、换元法解不等式：高调P437、10，P47思考5，P4812、13。

6、应用：①与二次有关的问题：高调P38例3及思考3；高调P52例2、3。②解不等式的问题：高调P39例5，思考5，P4016，高调P542。③不等式解集的端点是对应方程的根：高调P42例

2、思考1（4）、2（1）。P485。

五、含绝对值的不等式：

1、解法：①零点分段讨论，高调P41例1（3），思考1（3）。②平方法：高调P41例1（4）。

③图像法：高调P41例1，P42思考2（2）。

2、证明：高调P50例3，思考3，P5110。

3、绝对值不等式等号成立条件的应用：高调P49例1，思考1（2）④，P511。

4、恒成立：高调P50例2，思考2，P518。

第二篇：王克勤：调查性报道基本问题梳理

调查性报道基本问题梳理

王克勤

以捍卫公众利益或公民权利为己任，以揭发政治权力与市场权力违法犯罪等种种黑幕为途径，由媒体独立调查完成的调查性报道目前越来越为中国新闻界，也包括整个中国社会所认可与肯定。

在更多的媒体致力于调查性报道、更多青年记者致力于调查性报道的今天，对于调查性报道的基本问题进行一些必要的梳理，很有必要。为此，作为一名长期致力于调查性报道的老记者，我在此谈谈个人的见解与想法。

调查性报道是揭露黑幕的深度报道

调查性报道，是职业新闻记者通过独立、深入、细致、全面的侦查式、访问式调查，所完成的一种揭露被某些人或某些组织故意掩盖、损害公众利益或公民权利行为内幕的深度报道，又称之为揭黑报道、揭发报道、揭丑报道、扒粪报道。

调查性报道涉及的领域及其广泛，政治、经济、社会、法治、文化、环保等领域均有适合调查性报道的选题。但是监督对象应该是特定的，即权力集团与资本集团，而不是对于普通公民不适当行为的揭发。

调查性报道的核心特征有三：一是捍卫公众利益或公民权利，二是揭露黑幕，三是记者独立调查。缺少其中的任何一条都不能称之为调查性报道。

另外，调查性报道应该是深刻而全面的报道。一般而言，调查性报道是独立文体的深度报道的一种。既然属于深度报道，必须有深度报道的基本特性。所谓深度报道的特性，核心在两个关键词：“深刻”、“全面”。不对事件或问题发生的原因进行深度挖掘，并充分反映问题背景信息者，不能称其为深刻；不对事件或问题进行全面立体的展现，尤其是问题产生的诸多关联因素进行立体分析与解构者，不能称其为全面。此即深度报道。而当下许多青年记者所做“深度报道”，在我看来不过是长篇报道，仅仅是将浮在表面的有意思的故事展示给读者，不能说不好看，但许多读者不知道作者讲了什么，也不明白为什么发生这样的事情，发生这样事件的背景与关联因素有哪些。因此，这样的报道不能称之为深度报道。而调查性报道是所有深度报道中最应该具有“深刻”、“全面”特征的报道样式。

根据所报道问题的类型不同，调查性报道可分三类：突发事件类调查报道、专题问题类调查报道、历史真相类调查报道。

突发事件类调查报道是媒体针对新近发生的一些具有重大影响力的突发事件进行的深度挖掘与真相调查，它是一种对动态问题的调查报道，也是目前调查性报道的主体。例如，2003年《南方都市报》的《被收容者孙志刚之死》、2005年我在《中国经济时报》发表的《河北“定州村民被袭事件”调查》，均属于此类报道。

专题问题类调查报道是媒体针对某一专题问题（包括社会热点、难度、疑点、焦点问题）进行的深度调查性报道，是一种静态问题的调查报道，这类报道能够最充分地实现公众知情权，为公众提供解疑释惑的服务。例如我在《中国经济时报》2002年发表的《北京出租车业垄断黑幕》、2010年发表的《山西疫苗乱象调查》就属于此类报道。

历史真相类调查报道是媒体对于重大的历史事件真相的再调查，揭出历史事件真实原貌，这也是一种静态问题的调查报道。俄罗斯作家索尔仁尼琴的《古拉格群岛》、中国记者杨继绳的《墓碑》、《文艺春秋》发表的《田中角荣研究­—金脉和人脉》，均属此类。

中国调查性报道呈“驼峰状”发展趋势

宽泛意义上所讲的调查性报道在中国大约有100年的历程，与美国调查性报道诞生的时间相吻合。最早的政治黑幕揭发者，有1903年被慈禧下旨活活杖毙的沈荩；还有同样终年于31岁的黄远生，1915年12月25日在美国旧金山市都板街广州楼菜馆门口被枪杀，做记者仅4年。

但是按照专业主义的角度看，真正严格定义上的调查性报道在中国大约也仅仅十多年的历程。我以为当从1998年《财经》杂志的创办算起。《财经》与这个时期同样致力于揭发黑幕的中央电视台《新闻调查》一起将调查性报道定位在“捍卫公众利益”、“揭发黑幕”、“记者独立调查”这样三个核心特征上，并以此为选题的要件，尤其是《新闻调查》当时的选题要求必须是揭发黑幕的，这是最为核心的要求。

经过十多年的跌宕起伏的发展，中国调查性报道的发展轨迹呈现为“驼峰状”波浪式发展情景，我将之分为四个时期。

首先是成长期：1998年《财经》杂志创办至2002年，标志着调查性报道在中国兴起。

第一个高峰期在2003年，以《南方都市报》孙志刚事件报道以及中央电视台评选出中国八大风云记者为主要标志。八个风云记者除军事记者冀惠彦外，其他均是揭黑记者。

第一个低谷期始于2004年，有关部门针对全国性的舆论监督情形，出台了不得跨地区跨行业监督的“两跨文件”，2005年、2006年调查性报道滑坡。

第二个高峰期在2007年，《财经》杂志发表了《谁的鲁能》揭发了当下转型中国“黑箱私有化”背景下，个别人“合法”瓜分国有资产的黑幕。

第二个低谷期在2008年和2009年，北京奥运会、建国60周年为各大媒体报道的主旋律，调查性报道进入第二个低谷期。

第三个高峰期在2010年，上半年与下半年分别出现了《山西疫苗乱象调查》以及《南方都市报》的《安元鼎：北京截访“黑监狱”调查》，因此把中国调查性报道再度推向一个高峰。

总体观察，严格定义上的中国调查性报道这十多年来呈现以下态势：1.越来越多的记者投身揭黑报道；2.越来越多的媒体介入揭黑报道；3.越来越多的好报道、好栏目在中国出现；4.调查性报道专业化程度越来越高；5.全社会越来越重视与尊重调查报道记者。

选题确定要紧扣重点、难点和疑点

要写出一篇好的调查性报道，首要条件便是获得有价值的新闻线索。获取新闻线索的路径主要有线人报料、公开的报道、同行推荐、内参及政府的相关文件、相关会议、网络信息（著名的公众BBS、部分博客等）、亲朋间信息交流、读者来信，等等。

对线索的判断，是做好选题的前提条件。一般来说，线索首先应具有公共性。公众所关注与感兴趣的难点、疑点、重点、焦点问题，或者关注者范围广的热门话题等，往往都是调查性报道选择的题材。在选择调查性报道的题材时要紧紧抓住公众普遍关心的热点、难点、疑点问题，挖掘新闻背后的新闻，事实背后的事实，剖析事理，切中时弊，直逼要害，能起到振聋发聩的作用。

其次是重要性。重要性的强弱取决于“新闻报道的主题将以某种方式对多少人的生活产生影响”。对读者影响越多、直接影响越大、产生的影响越迅速，则新闻价值越大。

故事性和独家性的要求不可忽视。选题必须关注题材的曲折性、冲突性、显著性、异常性（荒诞性）、人情味，这是从受众阅读角度的一个重要考量。而且最好独此一家的报道，如果大家都做过，那就要做到别人做不到的深度，发现别人不能发现的内幕。

另外，时效性同样是考量调查性报道的一个要件。对历史题材而言，只要有深度，无论是怎样的调查，对于大众传媒而言，都是新闻。

采访的过程是寻找证据的过程

“骂一个人是流氓不是本事，证明一个人是流氓才是本事。”情绪没有任何力量，真正有力量的是事实与证据。我们所进行的调查采访与查找文字材料的工作其实都是为了取得证据。调查性报道的真谛就是追问、求证，通过不断地追问、求证，找到最能说明事实真相的证据。

因此，调查性报道成败的关键在采访调查。一个好的调查性报道其工作量配置应该是：10%用于选题遴选；75%用于采访调查；10%用于思考梳理；5%用于新闻写作。

一名记者要做好调查性报道，首先必须坚持不断研究。所有成功的调查性报道工作过程，其实都是专题研究的过程，调查性报道不仅仅是侦察、访问、核实，更多的是对于大量已知或未知情况的不断研究与分析工作。而做好调查前的背景资料的搜集研究，是完成整体调查采访的基础，只有如此，才能制订出周密的采访计划，并梳理出事情的主要问题之所在。

采访必须坚持现场原则，这是刚性要求，即深入到新闻事件现场求证采访，没有在事件现场的求证过程，一般谈不上是真正的调查性报道。在信息来源方面，即每篇调查报道中，准确信源不能少于6个，即事件中的正方、反方、中立方均应该采访到；其他相关各方应该采访到；事情关联的相关各级机关努力采访到。任何一个人都可能会是有偏见的，所以单一的信源就可能出现偏颇或不准确，即偏听则暗，兼听则明。要全面立体的呈现事实，只有进行众多的采访与核实，才能够尽可能的呈现出一个更加逼近真相的事实来。

精确的报道才是客观的报道。对于各方面的说法与情况介绍都要寻找证据，以求证其真实性、准确性。揭发报道常常面临各种各样的反扑，为了确保记者自己的安全，也要确保证据齐全。有了铁的证据，才能够呈现事实的真相。在寻找证据过程中，我个人认为，物证高于书证，书证高于人证。对于调查中所获得的证据，要妥为保管，必要时请专业机构做证据保全。相关证据至少保存两年，因为现行民事诉讼的时效是两年。

要求写出的每一个字都有证据支撑，要求提供证据的人按指印，而且要有录音、录像。记者要将所有的证据复制之后，把第一手证据全部交到编辑部，编辑部拿到所有证据之后，再考虑编发稿件。总之，不能为了好读而牺牲与影响新闻的真实性与准确性，否则就是本末倒置！

准确和平实——调查性报道写作基本要求

准确是调查性报道写作的首要要求。记者要抱定“宁可丧失部分新闻时效，也要确保事实准确；宁愿不登，也要准确”的决心，对不能确定的事实，一定要舍得放弃；对于关键事实，一定要核实、核实再核实；一篇文章的直接引语不能少于10处，要客观展示当事人的原话，做到原汁原味，也就是说：要求无一字一句无出处。

新闻专业的基石是真实，而平白朴实的语言是最能够实现真实准确表达的语言，平实是调查性报道写作的语言要求，记者要学会保守地、谨慎地写作，写新闻永远不能文学化、情绪化，更不能慷慨激昂、随意宣泄。

150年前，即1861年美联社记者戈贝赖特便说过：“我们的行当是传播事实。我的指导原则不允许我就我所传播的事实做任何评论，我只限于报道事实。从事调查性报道的记者，坚持用超然客观的姿态写作，即“机器人写作”—保持置身事件之外的陌生人心态写作，只限于陈述事实，不得有任何评论；不能为了追求可读性而牺牲与影响新闻的真实性与准确性。客观准确地展示事实乃是记者的本分，写作新闻要求有律师的严谨做派，要有强大的逻辑链条，写作时要学会留有余地，我们距离真相永远是有距离的。

任何时候，记者要想到自己交出来的稿件就是最后的终稿、成品，是公开与读者见面的。不要有任何依赖思想，想象自己就是编辑。要知道被监督对象连你的标点符号都要研究，他们会挖地三尺，一定要挖出你的问题，没问题都要找出问题的。

为了保护自己，也要做得更加专业才是。可以说，中国的新闻专业主义是逼出来的。

（本文刊载于《法治新闻传播》2011年第2辑）

第三篇：用均值不等式证明不等式

用均值不等式证明不等式

【摘要】：不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位．本文介绍了用均值不等式证明几个不等式，我们在证明不等式时，常用到均值不等式。要求我们要认真分析题目，本文通过几个国内外竞赛数学的试题，介绍用均值不等式证明初等不等式的基本方法及技巧。

【关键词】：均值不等式；不等式；方法；技巧

均值不等式

设 a1、a2、、an 是 n 个 正数，则不等式H(a)G(a)A(a)Q(a)称为均值不等式[1]．其中

H(a)

n

1a

11a

2

1an，G(a)

a1a2a1aan，A(n)

a1a2an

n

22，2

Q(n)

a1a2an

n

、an 的调和不等式，几何平均值，算术平均值，均方根平均分别称为 a1、a2、值．

例1设a1、a2、…、an均为正，记

(n)n（a1a2an

n



a1a2an)

试证：(n)(n1)，并求等号成立的条件．

证明由所设条件，得

(n)(n1)

=n（a1a2an

n



n

a1a2an)(n1)（a1a2an

1n1



n1

a1a2an1)

=a1a2annna1a2an(a1a2an1)(n1)n1a1a2an1

=an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n，n1

(a1a2an1)n1，有 将G(a)A(a)应用于n个正数：an，（a1a2an1）



n1个

an(n1)(a1a2an1)n1

n

(a1a2an)n，即

an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n．

所以(n)(n1)，当且仅当an(a1a2an1)立．

n1，即ann1a1a2an时等号成1

此题不只是公式的直接应用．代表了均值不等式中需要挖掘信

、an 的一类题． 息找a1、a2、例2设xyz0，求证：6(x3y3z3)2(x2y2z2)3． 证明当xyz0时不等式显然成立．

除此情况外，x、y、z中至少有一正一负．不妨设xy0，因为

z(xy)，所以

I6(xyz)6[xy(xy)]6[3xy(xy)]54xyz

．

若由此直接用G(a)A(a)(n3)，只能得到较粗糙的不等式

I54xyz54（xyz

2)2(xyz)，3222

3如果改用下面的方法，用G(a)A(a)，便得

I54xyz

222

216

xy2



xy2

z

xyxy2z

(2z22xy)3，2163

再注意到x2y2(xy)22xyz22xy，因而2z22xyx2y2z2，于是即得欲证的不等式．

此题解题的关键在于构造a1、a2、、an通常需要拓宽思路多次尝试，此类也属均值不等式的常考类题． 例3设x0，证明：2

x

2

x

22

x

．(第16届全苏数学竞赛试题[2])

证明此不等式的外形有点像均值不等式． 由G(a)A(a)，得

x2

x

x

2

x

22

x

2

x

22，又

x2

x

1111

(x12x4)2x6，即得要证的不等式．

结语

有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较常见的不等式是有好处的)；有些不等式还要用数学归纳法来证明等等．而且在一个题目的证明过程中，也往往不止应用一种方法，而需要灵活运用各种方法．因此，要培养和提高自己的证题能力。

参考文献

[1]陈传理等编．数学竞赛教程 [M]．北京：高等教育出版设，1996，(10)：

133-134．

[2]常庚哲等编．高中数学竞赛辅导讲座[M]．上海：上海科学技术出版社，1987．38-49

第四篇：不等式·用综合法证明不等式

不等式·用综合法证明不等式

教学目标

1．掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定理，并能运用它们证明一些不等式．

2．了解综合法的意义．

3．通过对定理及其推论的推导、证明、应用，培养学生运用综合法进行推理论证的能力．

教学重点和难点

用综合法证明定理及推论的教学． 教学过程设计

（一）新课引入

师：我们已学过用比较法（求差、求商）证明不等式，它是一种最基本、最常用的方法．请完成以下练习．

1．证明：x2＋2＞2x（x为实数）．

2．请问：x2＋1与2x的大小关系是什么？并证明你的结论．（教师巡视学生的解题情况，请学生将不同的解法板演到黑板上）1．证法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．

证法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，则x2＋2＞2x．

师：两位同学的证明都正确，他们都是根据a2≥0（a≥R）．在证法上有区别吗？请大家思考．

2．答：x2＋1≥2x．

证法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x． 证法2：由（x-1）2≥0，① 知x2-2x＋1≥0，则x2+1≥2x． ② 师：同学们得到的结论几乎是一致的，是x2+1≥2x．主要证法已列在黑板上，请大家思考：这些证明是否正确？所采用的方法是什么？

生：都正确．证法一是求差比较法，证法二是„„

师：一时答不出也没关系，证法一用的是求差比较法，至于证法二，我们不妨先问问写出证法二的同学是怎么想出来的．

生：我一看到是两个“平方项”与它们的两倍“交叉项”比大小，就首先想到了平方公式，这个完全平方一定是非负的；然后再根据不等式性质，就得到了结论；最后就按这个思路进行的证明．

师：他是从已经成立的事实出发，经过正确推理，得到要证的结论．也就是说他是以公式①为基础，运用不等式的性质推出②式，这种利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法通常叫做综合法．

对于综合法大家并不陌生，初中的平面几何题大多是用综合法加以证明的． 今天我们一起研究如何用综合法证明不等式（板书课题）．

（二）用综合法证明不等式 1．综合法

师：我们已经知道用综合法证明需要一些已经证明过的不等式作为基础，因此我们应先证明出一些最重要、最基本的不等式．

2．定理推导

师：通过刚才的两道小题，我们不难得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左边展开，得a2-2ab＋b2≥0，则a2＋b2≥2ab．这就是课本P8中介绍的定理1．我们采用的是综合法，课本中是用求差比较法加以证明的．

（把课前准备好的课本中的这段证明投出来供大家一起阅读．此处需实物投影仪）

证明：a2＋b2-2ab=（a-b）2．

当a≠b时，（a-b）2＞0；当a=b时，（a-b）2=0． 所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab．

师：值得我们注意的是这是带有“=”的不等式，取“=”这种特殊情况应予以重视．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要条件是什么？ 生：是a=b．

师：充要条件通常用“当且仅当”来表达，“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以定理1表述为：

定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）．（板书）

师：这个定理的功能是什么？功能往往源于它的结构．

生：公式a2＋b2≥2ab的一边是和的形式，另一边是积的形式．我想功能大概是：和可以缩小变成积，积可以放大变成和．

师：虽然语言欠准确，但其含意是对的．这个定理非常重要，且用途广泛，但由于各项都是二次的，使用时不太方便，谁有办法将它们的次数降下来？

师：大家都同意他的作法吗？有什么不同意见吗？

师：同学们思考问题已越来越严谨了，的确，从学生甲的方法应得到学生乙的结论，学生丙提到的条件是不可缺少的．由于有这个条件，的情况单独提出来，做为定理1的推论．

“＝”号）．（板书）

生丁：我与学生甲的想法不同．既然定理1的a2＋b2≥2ab对任意

师：学生丁的想法更自然，他直接利用定理得到推论，这个推论十 的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数． 3．定理的初步应用

师：看到这个问题，你的第一想法是什么？ 生：使用定理加以证明．

师：若想定理帮忙，首先要看是否符合定理的条件．

师：再看是否符合定理的结构．

师：实际上，我们是用定理1的推论进行证明的．

（教师把证明过程板演到黑板上）师：使用定理时，应特别注意：等号何时成立，不过这只要看定理是怎么形成的就可以了．

4．定理的推广

师：我们已研究得到两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这个结论可以推广到3，4，„，n（n∈N+）个正数，在中学只要掌握到三个正数的相应结论．请问应是什么？

生：应该是：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 师：用符号语言应如何表述？请写到黑板上．（学生书写在黑板上）

师：如何证明呢？ 生：„„

使式子看起来较为复杂，能否做适当变形使之简化呢？

师：想得好，它有条件吗？ 生：有．同样是a，b，c∈R+．

师：这个命题大家能证明出来吗？一时不能完全证出来也没关系，想出多少说多少．

生甲：我觉得证a3＋b3＋c3≥3abc更容易点．它能拆成a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由条件只要证出a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即可．

生乙：这三个分着不可能证出来，不过合起来的2a2＋2b2＋2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易证出．

师：虽然他们还没能把命题证出，但从他们的发言中我们得到了一点启发：三次的问题转化为二次的解决． 生丁：我证出来了．（学生口述，教师板书）

证明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，则a2-ab＋b2≥ab． 所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2．

同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2． 三式相加，得

2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2 =b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab =2abc+2abc+2abc ＝6abc．

故a3+b3＋c3≥3abc．

师：证得漂亮，你是怎么想出来的？

生丁：我觉得证这个题目只能根据已知条件和定理1及推论．证题时我又借鉴了他们俩的经验，对a3，b3，c3的降次转化工作不是一个、成．

师：他还有两处处理得很好．一处是：a2-ab＋b2≥ab；另一处是对三式相加后的式子的重组．很明显，他是在努力创设条件、充分利用定理证题．这个问题是用什么方法加以证明的？

生：综合法．

师：刚才的证明过程不仅帮我们把问题得以解决，而且还帮助我们加深了对综合法的认识，从中可体会到应如何使用综合法证题． 证明此题还有其它办法吗？ 生：我是用求差比较法证的．（学生口述，教师板书）证明：由于a3+b3+c3-3abc =（a＋3）3+c3-3a2b-3ab2-3abc =（a＋b＋c）[（a＋b）2-（a＋b）c＋c2]-3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2-ac-bc＋c2-3ab] =（a＋b＋c）（a2+b2＋c2-ab-ac-bc）

又a，b，c∈R＋，则a＋b＋c＞0．

由（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0，知（a-b）2+（b-c）2＋（c-a）2≥0．

进而a3＋b3＋c3-3abc≥0．即a3＋b3＋c3≥3abc．

师：正确，而且思路很清晰．这个思路你是怎么想出来的？

生：我是一看到这个题目就想用比较法的．我本以为作差后，能因式分解，再用条件或定理1，就可断定式子的符号，题目也就证出来了，但我第一次两两分组就不成功，没分解出来．再试时，我看a3，b3，c3，3abc这四项都是3次的，就先凑出与之齐次的（a＋b）3再配平，结果就出来了．

师：数学中很多时候也是需要试一试、拼拼凑凑的． 其实，课本中采用的就是这种证法．

这同样是带有“=”的不等式，我们仍需研究其“=”成立的充要条件．从刚才的证明过程看，“=”出现在（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2≥0中，这是显然有：当且仅当a=b，b=c，c=a同时成立，即a=b=c时等号成立． 至此，我们已得到了定理2及其推论．（教师板书）

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取“=”号）．

时取“=”号）．

师：这个定理及推论同样是非常重要而且广泛的．它的证明方法远不只上述这些，推论也可直接证得，同学们不妨课下试一试．

（三）小结

（引导学生归纳总结）

1．已学过的不等式证明方法：比较法、综合法． 2．用综合法证明不等式的依据是什么？（1）已知条件和不等式性质；（2）基本不等式：

“＝”号）．

3．综合法与比较法的内在联系．

本节课的课前两个练习与两个定理的证明都是既用了比较法，又用了综合法，这引起了我们对二者内在联系的思考． 由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明．

摆在我们面前的问题恐怕是方法的选择．方法选择不当，不是证不出来就是难度加大；方法合理使用，会使题目难度大大下降．因此我们不要学过某种方法就抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法．

显然，对于需用基本不等式证明的问题，直接用结论要比再从头证一遍容易很多．

4．注意：

（1）定理使用的条件．

只有a2＋b2≥2ab是对任意实数a，b都成立，其余都要求在正数范围内．（2）定理中“=”号成立的条件．

（四）布置作业

《高级中学课本·代数·下册（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11练习1，2．

补充题：

（1）已知：a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．

课堂教学设计说明

这节课是本章（第五章、不等式）的重点．在这堂课中不仅要讲授证明不等式的一种方法——综合法，而且还要介绍两个基本而又重要的不等式定理及推论．在这二者关系的处理上，我们发现：要使用综合法证明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作为基础，而证明得到它们时又可采用综合法．因此，我们在课前设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用初中已很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使生没有想到，教师点拨起来也并不困难．而后顺着学生用综合法的需要，介绍了4个基本不等式，在它们的证明过程中，使用综合法，帮助学生掌握如何用综合法证明不等式．

从教学设计上，我们力图从学生的需要出发，适时地设计一系列问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的公式、方法能用、会用，而不是只支离破碎地记住了一些名词和公式． 表面上看，本节练习不够，但实际上，定理2及推论的证明正是最好的练习．构思这个证明，起点要高、思维跨度要大．这正是锻炼学生思维，培养学生推理论证能力的绝对机会．我们认为：最好的习题就是定理本身的推证过程．这里又是本节的一个难点，在此花点功夫、适当展开是应当的；同时学生对用综合法证明不等式会有更深刻的体验．因此讲透它比做几个练习更有意义． 对于几何证法、三角证法等基本不等式的证明方法，由于担心会冲淡学生对综合法的认识，在本节中并未提及．

在课堂教学过程中，学生有可能直接证出定理2的推论，这也无妨．一般来讲，它同样是要用到两项的结论（定理1或其推论）去证的．课上应就学生的实际，顺其自然．

第五篇：不等式·用综合法证明不等式

不等式·用综合法证明不等式·教案

教学目标

1．掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定理，并能运用它们证明一些不等式． 2．了解综合法的意义．

3．通过对定理及其推论的推导、证明、应用，培养学生运用综合法进行推理论证的能力．

教学重点和难点

用综合法证明定理及推论的教学． 教学过程设计

（一）新课引入

师：我们已学过用比较法（求差、求商）证明不等式，它是一种最基本、最常用的方法．请完成以下练习．

1．证明：x2＋2＞2x（x为实数）．

2．请问：x2＋1与2x的大小关系是什么？并证明你的结论．（教师巡视学生的解题情况，请学生将不同的解法板演到黑板上）1．证法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．

证法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，则x2＋2＞2x． 师：两位同学的证明都正确，他们都是根据a2≥0（a≥R）．在证法上有区 别吗？请大家思考． 2．答：x2＋1≥2x．

证法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x． 证法2：由（x-1）2≥0，① 知x2-2x＋1≥0，则x2+1≥2x． ②

师：同学们得到的结论几乎是一致的，是x2+1≥2x．主要证法已列在黑板上，请大家思考：这些证明是否正确？所采用的方法是什么？ 生：都正确．证法一是求差比较法，证法二是„„

师：一时答不出也没关系，证法一用的是求差比较法，至于证法二，我们不妨先问问写出证法二的同学是怎么想出来的．

生：我一看到是两个“平方项”与它们的两倍“交叉项”比大小，就首先想到了平方公式，这个完全平方一定是非负的；然后再根据不等式性质，就得到了结论；最后就按这个思路进行的证明．

师：他是从已经成立的事实出发，经过正确推理，得到要证的结论．也就是说他是以公式①为基础，运用不等式的性质推出②式，这种利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法通常叫做综合法． 对于综合法大家并不陌生，初中的平面几何题大多是用综合法加以证明的． 今天我们一起研究如何用综合法证明不等式（板书课题）．

（二）用综合法证明不等式 1．综合法

师：我们已经知道用综合法证明需要一些已经证明过的不等式作为基础，因此我们应先证明出一些最重要、最基本的不等式． 2．定理推导

师：通过刚才的两道小题，我们不难得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左边展开，得a2-2ab＋b2≥0，则a2＋b2≥2ab．这就是课本P8中介绍的定理1．我们采用的是综合法，课本中是用求差比较法加以证明的．

（把课前准备好的课本中的这段证明投出来供大家一起阅读．此处需实物投影仪）证明：a2＋b2-2ab=（a-b）2．

当a≠b时，（a-b）2＞0；当a=b时，（a-b）2=0． 所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab．

师：值得我们注意的是这是带有“=”的不等式，取“=”这种特殊情况应予以重视．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要条件是什么？ 生：是a=b．

师：充要条件通常用“当且仅当”来表达，“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以定理1表述为：

定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）．（板书）师：这个定理的功能是什么？功能往往源于它的结构．

生：公式a2＋b2≥2ab的一边是和的形式，另一边是积的形式．我想功能大概是：和可以缩小变成积，积可以放大变成和． 师：虽然语言欠准确，但其含意是对的．这个定理非常重要，且用途广泛，但由于各项都是二次的，使用时不太方便，谁有办法将它们的次数降下来？

师：想得好，它有条件吗？ 生：有．同样是a，b，c∈R+．

师：这个命题大家能证明出来吗？一时不能完全证出来也没关系，想出多少说多少． 生甲：我觉得证a3＋b3＋c3≥3abc更容易点．它能拆成a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由条件只要证出a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即可．

生乙：这三个分着不可能证出来，不过合起来的2a2＋2b2＋2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易证出．

师：虽然他们还没能把命题证出，但从他们的发言中我们得到了一点启发：三次的问题转化为二次的解决． 生丁：我证出来了．

（学生口述，教师板书）证明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，则a2-ab＋b2≥ab．

所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2． 同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2． 三式相加，得

2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2 =b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab =2abc+2abc+2abc ＝6abc．

故a3+b3＋c3≥3abc．

师：证得漂亮，你是怎么想出来的？

生丁：我觉得证这个题目只能根据已知条件和定理1及推论．证题时我又借鉴了他们俩的经验，对a3，b3，c3的降次转化工作不是一个、师：他还有两处处理得很好．一处是：a2-ab＋b2≥ab；另一处是对三式相加后的式子的重组．很明显，他是在努力创设条件、充分利用定理证题．这个问题是用什么方法加以证明的？ 生：综合法．

师：刚才的证明过程不仅帮我们把问题得以解决，而且还帮助我们加深了对综合法的认识，从中可体会到应如何使用综合法证题． 证明此题还有其它办法吗？ 生：我是用求差比较法证的．（学生口述，教师板书）证明：由于a3+b3+c3-3abc =（a＋3）3+c3-3a2b-3ab2-3abc =（a＋b＋c）[（a＋b）2-（a＋b）c＋c2]-3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2-ac-bc＋c2-3ab] =（a＋b＋c）（a2+b2＋c2-ab-ac-bc）

师：正确，而且思路很清晰．这个思路你是怎么想出来的？

生：我是一看到这个题目就想用比较法的．我本以为作差后，能因式分解，再用条件或定理1，就可断定式子的符号，题目也就证出来了，但我第一次两两分组就不成功，没分解出来．再试时，我看a3，b3，c3，3abc这四项都是3次的，就先凑出与之齐次的（a＋b）3再配平，结果就出来了．

师：数学中很多时候也是需要试一试、拼拼凑凑的． 其实，课本中采用的就是这种证法．

这同样是带有“=”的不等式，我们仍需研究其“=”成立的充要条件．从刚才的证明过程看，“=”出现在（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2≥0中，这是显然有：当且仅当a=b，b=c，c=a同时成立，即a=b=c时等号成立． 至此，我们已得到了定理2及其推论．（教师板书）

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取“=”号）．

师：这个定理及推论同样是非常重要而且广泛的．它的证明方法远不只上述这些，推论也可直接证得，同学们不妨课下试一试．

（三）小结

（引导学生归纳总结）

1．已学过的不等式证明方法：比较法、综合法． 2．用综合法证明不等式的依据是什么？（1）已知条件和不等式性质；（2）基本不等式：

3．综合法与比较法的内在联系．

本节课的课前两个练习与两个定理的证明都是既用了比较法，又用了综合法，这引起了我们对二者内在联系的思考．

由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明． 摆在我们面前的问题恐怕是方法的选择．方法选择不当，不是证不出来就是难度加大；方法合理使用，会使题目难度大大下降．因此我们不要学过某种方法就抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法．

显然，对于需用基本不等式证明的问题，直接用结论要比再从头证一遍容易很多． 4．注意：

（1）定理使用的条件．

只有a2＋b2≥2ab是对任意实数a，b都成立，其余都要求在正数范围内．（2）定理中“=”号成立的条件．

（四）布置作业

《高级中学课本·代数·下册（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11练习1，2． 补充题：

（1）已知：a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．

课堂教学设计说明

这节课是本章（第五章、不等式）的重点．在这堂课中不仅要讲授证明不等式的一种方法——综合法，而且还要介绍两个基本而又重要的不等式定理及推论．在这二者关系的处理上，我们发现：要使用综合法证明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作为基础，而证明得到它们时又可采用综合法．因此，我们在课前设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用初中已很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使生没有想到，教师点拨起来也并不困难

后顺着学生用综合法的需要，介绍了4个基本不等式，在它们的证明过程中，使用综合法，帮助学生掌握如何用综合法证明不等式．

从教学设计上，我们力图从学生的需要出发，适时地设计一系列问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的公式、方法能用、会用，而不是只支离破碎地记住了一些名词和公式．

表面上看，本节练习不够，但实际上，定理2及推论的证明正是最好的练习．构思这个证明，起点要高、思维跨度要大．这正是锻炼学生思维，培养学生推理论证能力的绝对机会．我们认为：最好的习题就是定理本身的推证过程．这里又是本节的一个难点，在此花点功夫、适当展开是应当的；同时学生对用综合法证明不等式会有更深刻的体验．因此讲透它比做几个练习更有意义．

对于几何证法、三角证法等基本不等式的证明方法，由于担心会冲淡学生对综合法的认识，在本节中并未提及．

在课堂教学过程中，学生有可能直接证出定理2的推论，这也无妨．一般来讲，它同样是要用到两项的结论（定理1或其推论）去证的．课上应就学生的实际，顺其自然． 至于n个正数的有关结论，根据教育部98年颁布的《删减意见》对此不作要求，故在本案中也未涉及．