线性代数教案-第二章 线性变换与矩阵（5篇范例）

第一篇：线性代数教案-第二章 线性变换与矩阵

第二章 线性变换与矩阵

代数学最基本的研究对象是代数系统本身的结构和不同代数系统之间的联系.上一章,对线性空间这种最重要和最基本的代数系统作了比较深入的研究.本章讨论线性空间之间的联系,即线性空间之间的映射,而很多时候这种映射被称为变换.一、教学目标与基本要求

线性变换和矩阵 掌握线性变换的概念及性质，以及逆变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示方法，掌握矩阵线性空间的概念以及矩阵的乘法，了解矩阵的转置及分块，掌握方阵的逆的概念及其求法，了解矩阵的初等变换及初等方阵的概念

（一）重要内容及定理

1．线性变换概念及其性质

设V,W是两个线性空间.一个V至W的线性映射T,就被称为V至W的线性变换.定义2.1.1集合{x|xV且T(x)θ}被称为线性变换T的零空间(或称为T的核),记为N(T).定理2.1.1T的值域T(V)W是W的一个子空间.T映V的零元素为W的零元素.定理2.1.2若V是有限维的,则T(V)也是有限维的,且有

dimN(T)dimT(V)dimV

即一个线性变换的零维与秩之和等于其定义域的维数.定义2.1.2设S,T是任意的V至W的线性变换,c是任意实数.按如下方式定义线性变换的加法和数乘:

(ST)(x)S(x)T(x).(cT)(x)cT(x).这里x是V中任意元素.容易验证,按此定义的线性变换的加法和数乘,使全体V至W的线性变换构成之集成为一个线性空间,将其记为L(V,W).定义2.1.3设U,V,W是任意三个集合.T:U→V,S:V→W是两个映射,复合映射ST:U→W按如下方式定义:(ST)(x)S[T(x)],任意xU.映射的复合显然不满足交换律.但满足结合律,即若T:U→V,S:V→W, R:W→X,则有

R(ST)(RS)T.定义2.1.4对映射T:V→V按如下方式定义其幂: T0I,TnTTn-1(n≥1取整数)这里I是恒等映射.2．逆 变 换

定义2.2.1给定集合V,W及映射T:V→W.映射S:T(V)→V被称为T的左逆,如果对任何xV,有S[T(x)]x.此时,若用IV记V中的恒等映射,则有

STIV.映射R:T(V)→V被称为T的右逆,如果对任意yT(V),有T[R(y)]y.此时,若用IT(V)记T(V)中的恒等映射,则有

TRIT(V).定义2.2.2设T:V→W是1-1映射,则T有唯一左逆(它同时是T的右逆),将其记为T此时称T是可逆映射,并称T11.为的T逆.定理2.2.1 一个映射T:V→W最多有一个左逆.若T有左逆S,则S也是T的右逆.定理2.2.2若映射T:V→W是单射,则T必有左逆.反之亦真.定理2.2.3设V,W是线性空间,TL(V,W),则下列命题等价:(1)T是V和T(V)间的1-1映射.(2)T是可逆映射,其逆T1:T(V)→V是线性变换.(3)T(x)θ蕴涵xθ.换言之,零空间N(T)只含V的零元素.定理2.2.4设V,W是线性空间,V是有限维的(设dimVn),TL(V,W).则下列命题等价:(1)T是V和T(V)间的1-1映射.(2)若{e1,,T(ek)}是T(V)中独立集.,ek}是V中独立集,则{T(e1),(3)dimT(V)n.(4)若{e1,,T(en)}是T(V)的一组基.,en}是V的一组基,则{T(e1), 线性变换的矩阵表示

定理2.3.1设{e1,,en}是n维空间V的一组基,u1,,un是线性空间W中任意n个元素.则唯一存在线性变换T:V→W, 使

,n.(2.3.1)T(ek)uk,k1,而且,此变换对任意xnxekk1nkV,有

T(x)xkuk.k1定理2.3.2设V是n维线性空间, {e1,,en}是V的一组基；W是m维线性空间, {w1,,wm}是W的一组基.T:V→W是线性变换,[aik]是T在给定基下的矩阵表示.则对任意xxekk1nkV,若设

T(x)yiwi, i1m则 yiak1nik,m.xk，i1,定理2.3.3设V和W是有限维线性空间,dimVn,dimWm,TL(V,W),rdimT(V)是T的秩.则存在V中一组基{e1,,en}及W中一组基{w1,,wm},使

,r, T(ei)wi,i1,,n.T(ei)θ,ir1, 矩阵线性空间

定义2.4.1设A[aik],B[bik]是两个同型矩阵,c是任意数.矩阵A与B的和(记为AB)及数c与矩阵A的乘积(记为cA或Ac)定义为

AB[aikbik],cAAc[caik].重要结论：设V和W是两个线性空间,dimVn,dimWm,V和W的基已经取定.则线性空间L(V,W)与线性空间Mm,n是同构的 矩阵乘法

定义2.5.1设A[aij]mp及B[bij]pn是任意两个mp及pn矩阵.则矩阵A与矩阵B的乘积AB定义为[cij]mn,这里

,m；k1,,n.cijaikbkj,i1,k1p6 矩阵的转置及分块

定义2.6.1给定矩阵A[aij]mn.称第i行第j列元素为aji的nm矩阵为A的转置矩阵,记为A.定义2.6.2设A[aij]为n阶方阵.若有AA,即A的元素满足aijaji

TT(i,j1,,n),则称A为对称阵.7 方阵的逆矩阵的初等变换和初等方阵

定义2.7.1设A是一个n阶方阵.若另有n阶方阵B使得BAEn,则称A是非奇异方阵,并称B是A的左逆.(1)对调两行(对调i,j两行,记着Rij).(2)以数k0乘某一行中所有元素(第i行乘k,记着kRi).(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行相应元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记着RikRj).定理2.7.2设A是一个mn矩阵,对A施行一次行初等变换,相当于以相应的m阶初等方阵左乘A；对A施行一次列初等变换, 相当于以相应的n阶初等方阵右乘A.定理2.7.3设A是可逆方阵,则存在有限个初等方阵F1,F2,…, Fl,使 AF1F2Fl.（二）领会

1． 领会线性变换的定义；

2． 领会线性变换与矩阵的关系；

3． 领会线性变换空间与同型矩阵空间的同构。

（三）运用

1． 会判定是否是线性变换； 2． 会求在一个线性变换的矩阵； 3． 会矩阵的运算；

4． 会利用分块矩阵运算；

二、教学内容及学时分配：

第一节线性变换概念及其性质 2学时 第二节逆 变 换

2学时

第三节线性变换的矩阵表示

2学时 第四节矩阵线性空间 2学时 第五节矩阵乘法

2学时 第六节矩阵的转置及分块 2学时

第七节方阵的逆矩阵的初等变换和初等方阵

2学时

三、教学内容的重点及难点：

1． 线性变换；

2． 线性变换与矩阵的关系； 3． 初等变换及求逆；

四、教学内容的深化和拓宽：

1． 矩阵的深刻背景； 2． 初等变换求逆的应用；

五、思考题与习题 2 5(3)8

9(2)26

25

16

第二篇：Matlab 与线性代数教案

Matlab 与线性代数

一、Matlab 入门：

1.启动、退出、运行： 2.窗口介绍： 3.基本符号： =：赋值符号

[ ]：数组定义符号 , 区分列 函数参数分隔符;区分行 取消运行显示 % 注释标记

: 具有多种应用功能

4.matlab的变量(区分大小写): 预定义变量: ans

pi 相关命令: format(显示格式 rat long short)

who whos clear

5.M 文件（纯文本文件，扩展名为.m）建立 修改 保存 运行

二、Matlab 与线性代数的基本运算

1.矩阵的输入

数字矩阵：A=[1 2 3;3 2 1]

或 A=[1, 2, 3;3, 2, 1] 或 A=[1 2 3 2 1]

符号矩阵(显示出来元素之间有逗号): 定义符号变量 sym syms

用法：(1).sym(‘[a,b,c;b,c,a]’)或 sym(‘[a b c;b c a]’)

(2).syms a b c

A=[a b c;b c a]

2.产生特殊矩阵的函数：

zeros(m,n)zeros(n)

ones(m,n)ones(n)eye(n)

magic(n)rand(m,n)randn(n)% 产生（0,1）区间均匀分布的随机矩阵

3.相关命令：

round(A)% 表示对矩阵A中所有元素进行四舍五入 length(A)% 返回A的长度（列数）size(A)% 返回Ａ的尺寸，行数 列数 A(i,j)% 引用矩阵A的第i行第j列元素

4.矩阵的基本运算

(1).+-*.*

(2).转置 A’

(3).方阵的幂：A^3

5.求向量组的极大无关组

A[1,2,3 ]

(1).U=rref(A)% U为A的行最简形

(2).[U,s]=rref(A)% U为A的行最简形, s为首非零元所在列组成的向量

(3).rrefmovie(A)% 返回A的行最简形，且给出每一步化简过程

6.求线性方程组的解

情形1。Ax=b，其中A为n阶可逆阵

法1： x=inv(A)*b 或 x=A^(-1)*b

法2： U=rref([A,b])% 返回值U为矩阵的行最简形，最后一列即为解x。

情形2。Ax=0, 其中A 为m*n 矩阵，R(A)=r

法1：U=rref(A), 选定自由变量，得到一组基础解系

法2：z=null(A)

% z的列向量为Ax=0的一组标准正交基。

情形3。Ax=b, 其中A 为m*n 矩阵, 求通解

U=rref([A,b])从最后一列找特解，前n列找导出组的基础解系，然后按格式写

出Ax=b的通解。（或先写出以U为增广矩阵的同解方程组也可。）

6x13x22x33x44x554x12x2x32x43x54

例子: .4x2x3x2xx0234512xx7x3x2x112345(4).(5).(6).(7).方阵行列式 det(A)方阵的秩 rank(A)方阵的逆 inv(A)或 A^(-1)矩阵的除法 左除 右除/

AB=C

则 A=C/B B=AC 输入：A=[6 3 2 3 4;4 2 1 2 3;4 2 3 2 1;2 1 7 3 2];

b=[5 4 0 1]’;

U=rref([A,b])10得到：U001/2000010000103/417/203/22 603/20取x2,x5为自由变量，令x20,x50得Ax=b的特解*2

60

1/23/410x210分别令和得导出组的基础解系为：10，21

x50107/2013x24x5x112x3x5或：导出组Ax=0的同解方程组：，x2,x5为自由变量，分别令x47x521/23/410x21,x50和x20,x51得导出组的基础解系为：10，21。

07/2017.求矩阵的特征值与特征向量

(1).d=eig(A)% d为矩阵A的特征值构成的向量

(2).[V,D]=eig(A)% D为A 的特征值构成的对角阵，V 的列为A的单位特征向

量，与D中的特征值对应，满足：AVDV8.Schmidt 正交化方法

B=orth(A)% B的列向量为A的列空间的一组标准正交基，换句话说，B的列是

A的列向量的正交标准化，满足B*Beye(rank(A))。

9.用正交变换化二次型为标准形

先写出所给二次型的矩阵A，则A为实对称矩阵，[V,D]=eig(A)% D 为A的特征值构成的对角阵，V的列向量为A的正交单位特征

向量，次序与D的元素对应。满足VAVDVT1'1，即AVVD。

AV。

第三篇：线性代数教案

第一章

线性方程组的消元法与矩阵的初等变换

教学目标与要求

1.了解线性方程组的基本概念

2.掌握矩阵的三种初等变换 教学重点

运用矩阵的初等变换解一般的线性方程组 教学难点

矩阵的初等变换

§1.1 线性方程组的基本概念

一、基本概念

定义：m个方程n个未知数的线性方程组为如下形式：

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn(1)am1x1am2x2amnxnbm称(1)为非齐次线性方程组；当b1b2bm0时则称为齐次线性方程组。方程组(1)

a12a22am2a1na2n为系amna11a21TA的一个解为：x(c1,c2,,cn)（或称为解向量）；此时称am1a11a12a1na21a22a2n数矩阵，称Bam1am2amn

二、线性方程组的消元法

b1b2为增广矩阵。bm2x1x23x31例1：解线性方程组4x12x25x34

2x2x6312x1x23x312x1x23x312x1x23x31解：4x2x32，x2x35，x2x35；

xx54xx23x18232332x1x23x312x1x2192x118x19

x2x35，x21，x21，x21

x6x6x6x63333从上面可以看出，整个消元过程和回代过程都只与x1,x2,x3的系数有关，且仅用了以下3种变换：①交换两行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行变换）。

故我们隐去x1,x2,x3,，得到一个数字阵（即矩阵B），对B进行初等行变换：

213121312131B425404120115

2026011504121213121019213011501150101 003180016001620018100901010101 0016001612131009其中0115称为行阶梯形矩阵，0101称为行最简形矩阵。

003180016

三、小结

例1告诉我们求解一般的线性方程组的基本方法：对其增广矩阵B进行3种初等行变换，把它变为行阶梯形矩阵，再最终变成行最简形矩阵，然后从中读出所需的解。

四、一般解和通解

x12x2x32x41例2：解方程组2x14x2x3x45

x2x2xx42341解：

212112121121211B241150033300333

12214003330000012121120120011100111 0000000000即x12x2x42x122x2x4，亦即一般解为，其中x2,x4为自由未知量。

x3x41x31x4x122c1c2xc21令x2c1,x4c2，得方程组的通解为

x31c2x4c2注意：自由未知量的取法并不唯一。

a11x1a12x2a1nxn0axaxax02112222nn2、定理：在齐次线性方程组中，若mn（即方程

am1x1am2x2amnxn0的个数小于未知数的个数），则它必有非零解。

五、习题

P11 T1(2)

T2

§1.2 矩阵的初等变换

一、矩阵及其初等变换

1、定义：称由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的数表

a11a21Aam1a12a22am2a1na2n为矩阵，简记为A(aij)mn。amn

二、矩阵的初等行(列)变换

①交换两行(列)； ②某行(列)乘k倍；

③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。

三、矩阵的标准形

定理：任意一个mn的矩阵A，总可以经过初等变换（包括行变换和列变换）化为如10下的标准形：F00000001000Er0100即AmnFO00000000O O其中1的个数r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。

四、习题

P18

T1(4)(5)

T2(1)

T3 P19 总复习题：T3

T4

第二章

行列式

教学目标与要求

1.会用对角线法则计算二阶行列式和三阶行列式

2.理解排列、逆序数的概念，掌握n阶行列式的定义及其重要性质 3.理解并会灵活运用行列式的展开公式，掌握范德蒙德行列式的结论 4.掌握克拉默法则及其应用 教学重点

1.n阶行列式的重要性质

2.n阶行列式展开公式的运用以及范德蒙德行列式的结论

3.克拉默法则的运用 教学难点

1.n阶行列式的重要性质及其展开公式 2.克拉默法则的运用

§2.1 二阶和三阶行列式 一、二阶行列式

a11x1a12x2b1a11a12

1、引例：对于线性方程组（1），其系数矩阵为A a21x1a22x2b2a21a22

用消元法解得 (a11a22a12a21)x1b1a22b2a12（2）

(a11a22a12a21)x2b2a11b1a21a12a11a22a12a21称为二阶行列式，记DAdetA

a12a11b1，D2 a22a21b22、定义：Da11a21a22a11a12b1Dx1D1那么（2）可以表示为，其中D，D1aab2DxD212222从而x1 二、三阶行列式 D1D,x22。DDa11x1a12x2a13x3b1a11a12axaxaxb1、定义：对于三元线性方程组211a222222332，记Aa21axaxaxba331a32311322333a11称DAdetAa21a13 a23，a33a12a22a32a13a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a33a

31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 为三阶行列式。

a112、三对角线法则（记忆）：Da21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31

三、习题

P25 T1(2)(3)(5)

T2

T3

§2.2 n阶行列式的定义和性质

一、排列与逆序数

1.定义1：由1,2,,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。（n级排列共有n!个）定义2：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作。)402107（奇排列）例：(25431；)1412108（偶排列）

(5243。

定理：对换改变排列的奇偶性；在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有

二、n阶行列式的定义

n!个。21.定义：n阶矩阵A(aij)nna11a21am1a12a22am2a1na2n，则n阶行列式定义如下： amna11 DAa12a1np1p2pna21an1a22a2nan2ann(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn

这里，表示对1,2,,n这n个数的所有排列p1p2pn求和。即n阶行列式是指n!项取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。

2、例：（常用结论）

a11（1）

a11a22ann0a11a22ann0n(n1)2a12a1na11000 a22a2na210annan1a22an2ann1（2）2(1)12n

n3、n阶行列式的等价定义

定理：D12(1)ai1j1ai2j2ainjn；其中1为行标排列i1i2in的逆序数，2为列标排列j1j2jn的逆序数。

三、行列式的性质

设n阶矩阵A(aij)nn的行列式为DA，则D有如下性质：

T①AA；

②交换两行（列），则D变号；

③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。

特别地，若某行（列）为0，则D0；若某两行（列）成比例，则D0。④拆和：若D中某行（列）的元皆为两项之和，则D等于两个行列式的和。⑤某行（列）乘k倍加至另一行（列），则D不变。

123例：②如211111211234234；③如33932113

***123123④如456123333；

112112112111111111111⑤如23340120120120 45345012000

注意：计算行列式的常用方法：(1)利用定义；

(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的值；(3)利用展开公式(下一节)。

四、习题

P36

T1

T4

T5(3)(4)(8)

T6(1)

§2.3 行列式的展开公式

一、余子式与代数余子式

1、定义：在n阶行列式det(aij)中，划去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原来的顺序所构成的n1阶行列式称为aij的余子式，记作Mij；又记Aij(1)ijMij，称Aij为aij的代数余子式。

142.如：***中，a111的余子式为M11412，代数余子式为 23411234A11(1)11M11M11，a214的余子式为M21412，代数余子式为

341A21(1)21M21M21，二、展开公式

定理：n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。即可按第i行展开

Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)

或可按第j列展开

Da1jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,,n)

14如：3221433214431A112A123A134A141A114A213A312A41 21

2、讲解P42例2和例3

三、范德蒙德行列式

1x1Dnx12x1n1 1x22x2n1x21x32x311xn2xn1ijn(xjxi)

n1n1x3xn推论：行列式某行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

ai1Aj1ai2Aj2ainAjn(ij)或

a1iA1ja2iA2janiAnj(ij)

11例证：如3222433314441A112A123A134A14a21A11a22A12a23A13a24A140

21四、习题

P46

T2(3)(4)(5)

§2.4 克拉默法则

一、克拉默法则

定理1：含有n个未知数x1,x2,,xn与n个方程的线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn

2

(1)

an1x1an2x2annxnbn

称(1)为非齐次线性方程组；当b1b2bn0时称为齐次线性方程组。

如果线性方程组(1)的系数行列式DA0（这里A(aij)nn），那么(1)有唯一解，且解为xjDjD(j1,2,,n)，其中Dj(j1,2,,n)是把D中第j列元素用方程组右端的常数项替代后所得到的n阶行列式。

推论：

(1)如果线性方程组(1)无解或至少有两个不同的解，那么它的系数行列式D0。

(2)如果齐次线性方程组的系数行列式D0，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式D0。

注意：用克拉默法则解线性方程组的两个条件：①方程个数等于未知数个数；②系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系。它主要适用于理论推导。

二、习题

P50

T2 T3 ；

P51 总复习题：T1 T2 T3

T6

第三章

矩阵

教学目标与要求

1.理解矩阵的概念，掌握矩阵的3种运算(加法、数乘、乘法)，以及它们的运算律

2.熟记几种特殊矩阵(单位阵、对角阵、数量矩阵、三角阵、转置矩阵、对称和反对称阵)及其性质，掌握方阵行列式的性质

3.掌握伴随矩阵和逆矩阵的定义及其性质，熟悉逆矩阵的运算规律 4.了解分块矩阵的运算律，以及常用结论

5.理解初等矩阵与初等变换之间的关系，掌握初等变换求逆矩阵的方法 6.掌握矩阵的秩的概念及其性质，会用初等变换求矩阵的秩 教学重点

1.矩阵乘法的运算律和方阵行列式的性质

2.逆矩阵和伴随矩阵的运算性质，以及初等变换法求逆矩阵

3.矩阵的秩的性质，以及初等变换法求矩阵的秩 教学难点

1.逆矩阵的概念，以及求逆的方法 2.矩阵的秩的概念，以及求秩的方法

§3.1 矩阵的概念及其运算

一、矩阵的概念

1、定义：称由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的数表

a11a21Aam1a12a22am2a1na2n为矩阵，简记为A(aij)mnAmn。amn矩阵的相等：AmnBmnaijbij(i1,2,,m;j1,2,,n)

b1b2行矩阵（行向量）：A(a1,a2,,an)；列矩阵（列向量）：A

bn

二、矩阵的运算

1、矩阵的加法

定义1：设A(aij)mn，B(bij)mn，则AB(aijbij)mn

注意：两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算。

矩阵的加法满足下列运算律(设A,B,C都是mn矩阵)：(1)交换律：ABBA；

(2)结合律：(AB)CA(BC)(3)负矩阵A(A)0，规定减法运算：ABA(B)

2、矩阵的数乘

a11a21定义2：数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为Aam1a12a1na22a2nam2amn；

矩阵的数乘满足下列运算律(设A,B都是mn矩阵，,为数)：(1)()A(A)；

(2)()AAA；(3)(AB)AB；

(4)1AA；(5)A00或A0

3、矩阵的乘法

定义3：设A(aij)ms，B(bij)sn,那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个mn矩阵C(cij)mn，其中

cijai1b1jai2b2jaisbsjaikbkj(i1,2,,m;j1,2,,n)

k1s记为CmnAmsBsn（A的列数等于B的行数）。

例1：求矩阵A4242与B36的乘积AB与BA。12 解：AB41632242 1612368

BA424002AB 361200例1说明：矩阵的乘法不满足交换律，即一般地ABBA。若ABBA，则称方阵A与B可交换。矩阵的乘法满足下列运算律：

(1)结合律：(AB)CA(BC)

(2)(AB)(A)BA(B)(3)分配律：A(BC)ABAC，(BC)ABACA

例2：举例说明下列命题是错误的（1）若A0，则A0；

2（2）若AA，则A0或AE； 2（3）若AXAY，且A0，则XY。

11101010

解：（1）A（2）A（3）AX11；00；00,Y01。



三、方阵的幂及方阵多项式

1、定义：设A是n阶方阵，则A1A,A2AA,,Ak1AkA

klklklkl方阵的幂满足的运算律：(1)AAA；(2)(A)A

2、方阵多项式

设f(x)a0xma1xm1am1xam(a00)为m次多项式，A为n阶方阵，则 称f(A)为方阵A的多项式。f(A)a0Ama1Am1am1AamE仍为一个n阶方阵，四、习题

P61 T2(3)(4)(5)(8)

T3

T4

T6

§3.2 特殊矩阵与方阵行列式

一、特殊矩阵

1、单位矩阵

10En01000010，性质：EAAEA 01nn0

2、对角矩阵

020diag(1,2,,n)

0nmm

性质：[diag(1,2,,n)]mdiag(1,m2,,n)，m为正整数。

3、数量矩阵

00EE00

4、三角矩阵

00，性质：EAAEA a12a1na11a22a2na21或0annan

1性质：Aa11a22ann

5、转置矩阵 a110A000a220 an2ann如果A(aij)mn，则AT(aij)nm。

性质：(1)(A)A；

(2)(AB)AB；

(3)(A)A；

(4)穿脱原理：(AB)BA

6、对称矩阵和反对称矩阵

TT设A(aij)nn，如果AA，则称A为对称矩阵；如果AA，则称A为反对称TTTTTTTTTT矩阵。

二、方阵行列式

性质：①ABABBA（A,B都是n阶方阵）

n

②AA n

③kAknA

三、伴随矩阵

定义：n阶行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵

A11A12A1n称为A的伴随矩阵。

A21An1A22An2

A2nAnnn1*

例1：试证：（1）AAAAAE；

（2）当A0时，AA

证明：（1）因为

a11a21*故AAan1A,ijai1Aj1ai2Aj2ainAjn(i,j1,2,,n)

0,ija12a1nA11A21An1A00a22a2nA12A22An20A0AE an2annA1nA2nAnn00A同理可得A*AAE。

（2）对A*AAE两边取行列式，得AAAE

*

即 AAAEA，所以当A0时，AAnnn1。

四、习题

P69 T1

T2

T6

T7

T8(2)

§3.3 逆矩阵

一、逆矩阵

1、定义：对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使

ABBAE

则称A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记为BA。

2、可逆的判定定理

定理：方阵A可逆A0；当A可逆时，A11 A，其中A为A的伴随矩阵。

AE。证明：必要性.因为A可逆，即存在A，使AA111

1故AAAAE1，所以A0

充分性.由§3.3的例1可知 AAAAAE；因为A0，故有

A11AAAE AA1A。

A按照逆矩阵的定义，即有

A1注意：当A0时，称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵。可见，可逆矩阵就是非奇异矩阵。同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法——伴随矩阵法（公式法）。

13、推论：若ABE（或BAE），则BA。

证明：ABABE1，故A0，从而A存在，于是

1BEB(A1A)BA1(AB)A1EA1

二、逆矩阵的运算律

方阵的逆矩阵满足下列运算律：

①若n阶方阵A可逆，则A也可逆，且(A)②若A可逆，数0，则A可逆，且A1111A；

1A1；

1③若A,B均为n阶可逆方阵，则AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且ABAC，则BC； ⑤若A可逆，则A也可逆，且(A)T； B1A1（穿脱原理）

T1(A1)T；

⑥若A可逆，则A也可逆，且(A*)1(A1)*；

⑦若A可逆，则(A*)T(AT)*；

1⑧若A可逆，则AA1*

⑨若A,B均为n阶可逆方阵，则(AB)*B*A*（穿脱原理）

证明： ①因为AA1E，由推论可知，(A1)1A

②因为A1A1AA1E，由推论可知，A11A1

1③(AB)(B1A1)A(BB1)A1AEA1AA1E，由推论有，(AB)11④因为A可逆，则AABAAC，即EBEC，故BC

B1A1

⑤AT(A1)T(A1A)TETE，由推论有，(A)⑥因为A可逆，故A1T1(A1)T

1*AA1A，且AAE，从而(A*)1A； AAAA

1又A(A)(A)A11*1*A1E，即(A1)*AA1E1A A

所以(A)*1(A1)*。

T*TT11T⑦因为(A*)T(AA1)TA(A1)T，(A)A(A)A(A)

所以(A)(A)

111⑧因为AAE1，即AA1，所以A*TT*11A A⑨由ABAB0可知，AB也可逆。又(AB)(AB)*ABE，所以(AB)*AB(AB)1ABB1A1BB1AA1B*A*

ab1例

1、问Acd满足什么条件时可逆，并求A。

解：Aadbc，Acdb，当Aadbc0时，A可逆； a且

A

11db adbcca例

2、设A是三阶方阵，且A解：(3A)118A*11*，求(3A)18A 271112A18AA1A1A1 333(1)A1(1)3A11 3327A1

例

3、解矩阵方程2571913X411 解：X25171935719113411124111

三、习题

P75 T2

T3(3)

T6

T7

T9

23 §3.4 分块矩阵和初等矩阵

一、分块矩阵

设AnnOA1OB1，BnnOA2O，其中Ai与Bi(i1,2)是同阶的子方块，则 B2O A2B2O 1A21A2 OA1B1①ABOA1k③AOkA1B1；

②ABOA2B2OA11O1；

④AkOA21O⑤AA；

⑥A12A2A1O1AO1

二、初等矩阵

1、定义：由n阶单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵。

2、三种初等变换对应三种初等矩阵

(1)交换第i行和第j行；

对应En(i,j)(2)第i行乘k倍；

对应En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行；

对应En(i,j(k))

24例

1、将A13化为标准形。

解：A2413131310B 1324020101则

0100113101/22110AB 0112即 E2(1,2(3))E2(2())E2(2,1(2))E2(1,2)AB

3、初等变换与初等矩阵的关系

定理1：设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等矩阵。

三、初等变换求逆矩阵

定理2：对任意一个mn矩阵A，总存在有限个m阶初等矩阵P1,P2,,Ps和n阶初等矩阵Ps1,Ps2,,Pk，使得P1PsAPs1PkO

ErOFmn Omn定理3：对于n阶可逆矩阵A，总存在有限个n阶初等矩阵P1,,Ps,Ps1,,Pk，使得P1PsAPs1PkEnn

定理4：设A为可逆矩阵，则有限个初等矩阵P1,P2,,Pk，使得AP1P2Pk 推论：mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使

PAQB，记为AB。（等价关系具有反身性、对称性、传递性）

因此，由定理3可知，方阵A可逆AE

由定理4可知，方阵A可逆AP,2,,k为初等矩阵)1P2Pk(Pi,i

1由推论可知，AB存在可逆矩阵P,Q，使PAQB1、求逆方法的推导：

111由定理4的AP1P2Pk，得

PkP2P1AE

（1）1111（1）式两端分别右乘A，得

PkP2P1EA

（2）



1上述两式表明，用一样的初等行变换将A变成E的同时，会将E变成A。

2、求逆矩阵的基本方法

初等变换法：(A|E)初等行变换(E|A1)或（3、解矩阵方程AXB或XAB（A可逆）

初等变换法：(A|B)初等行变换(E|A1B)或()（四、习题

P91 T1

T2(1)(2)

T3

1AE)初等列变换(1)EAAB初等列变换E)BA1§3.5 矩阵的秩

一、k阶子式的概念

2m,n})，其交叉处的k个元素定义：在mn矩阵A中，任取k行k列(1kmin{按原来的位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。

11111111例：A1234，1,0等都是A的一个2阶子式。

12000000kk可知，mn矩阵A的k阶子式共有Cm个。Cn

二、矩阵的秩

定义：矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记为R(A)。若R(A)r，则A中至少有一个r阶子式不为0，且所有r1阶子式都为0。

三、矩阵秩的性质

m,n} ① 1R(A)min{② R(A)R(A)

③ R(A)rA的行阶梯形含r个非零行A的标准形FO④ 若A~B则R(A)R(B)（矩阵的初等变换不改变矩阵的秩）

⑤ 若P,Q可逆，则R(PAQ)R(A)

⑥ max{A,B}R(A,B)R(A)R(B)；

特别地，当B为列向量b时，有R(A)R(A,b)R(A)

1⑦ R(AB)R(A)R(B)

⑧ R(AB)min{R(A),R(B)}

⑨ 若AmnBnsO，则R(A)R(B)n

例

1、设A为n阶矩阵A的伴随矩阵，证明 *TErO OR(A)nn,R(A*)1,R(A)n1

0,R(A)n1

证明：

**(1)当R(A)n时，则A可逆，即A0；由AAAE知AAn10。故A*可逆，从而R(A)n

(2)若R(A)n1，则AAAE0。故R(A)R(A)n，R(A)nR(A)1。又由R(A)n1知矩阵A中至少有一个n1阶子式不为零，也就是说A中至少有一个元素不为零。所以R(A)1，从而有R(A)1。

*(3)若R(A)n1，则A的任意一个n1阶子式都为零。故A0，即R(A)0。

********21113例

2、求A42232的秩

21561211132111321113解：422320045400454

215610045200006

故R(A)3

12例

3、已知矩阵A1212a32314的秩为3，求a的值

01153554a3112a311200112a200112a2解：A 0111a20111a201152a200063a0a31120111a2

因为R(A)3，所以63a0，即a2 00112a200063a0

四、习题

P96 T2

T3(2)

T7

T8

P97 总复习题：T1 T2

T3

T4

T5

第四章

线性方程组理论

教学目标与要求

1.掌握齐次和非齐次线性方程组解的判定定理和解的结构定理

2.理解向量组的线性相关与线性无关的概念，以及它们的判定方法

3.掌握向量组的秩和最大无关组的概念，会求向量组的秩

4.理解基础解系的概念，会求齐次与非齐次线性方程组的通解 教学重点

1.齐次与非齐次线性方程组解的判定定理以及通解的求法 2.向量组线性相关与线性无关的判定方法

3.向量组的最大无关组的求法和秩的求法 教学难点

1.齐次与非齐次线性方程组解的判定方法

2.向量组秩的概念及其求法

3.基础解系的概念及其求法

§4.1 线性方程组有解的条件

一、线性方程组解的判定

1、非齐次线性方程组

定理1：对于非齐次线性方程组Amnxb（1），则

① 有唯一解R(A)R(A,b)n

② 有无穷多解R(A)R(A,b)n

③ 无解R(A)R(A,b)

2、齐次线性方程组

定理2：对于齐次线性方程组Amnx0（2），则 ① 仅有零解R(A)n ② 有非零解R(A)n

推论：当mn时，Annx0有非零解R(A)nA0

定理3：矩阵方程AXB有解R(A)R(A,B)

二、线性方程组的解法

x12x23x30例

1、求下列线性方程组的通解2x15x23x30

x8x041301090123012解：253001300130

1008023800980100810900108/3

0130018/90018/9x18x4x18

x8/382x2x4，令x41，得通解为：k(kR)x8/933

1x84x3x49

例

2、问取何值时，下列线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

x1x22x3

1x1(21)x23x31

x1x2(3)x32122解：A213011(1)(1)3001由克拉默法则知，当0,1,1时，方程组有唯一解。

当0时，B002101310101310021000031003100因R(A)2，R(B)3，R(A)R(B)，所以方程组无解。

1121112当1时，B133110210

11230004因R(A)2，R(B)3，R(A)R(B)，所以方程组无解。

11211121当1时，B1131001011010010114100200000因R(A)R(B)23，所以方程组有无穷多解。

即xxx11k112x0，令x2k，得其通解为：x2k（kR）3x30

三、习题

P106 T1 T2 T3(2)T4 T5 T6 T7

312105

2

§4.2 向量组的线性相关性

一、n维向量及其线性运算

1.定义：由n个数a1,a2,,an组成的有序数组称为n维向量。称n1矩阵

a1a2a为n维列向量；其转置aTa1,a2,,an称为n维行向量。其中ai称为a的第ian个分量(i1,2,,n)。

2.运算

①n维向量的相等；②零向量；③负向量；④加法；⑤数乘

二、向量组的线性组合

1.向量组

定义：由若干个同维的列向量(或行向量)所组成的集合，称为一个向量组。

2.向量组与矩阵

a1ja2j(j1,2,,n)为矩阵A的列设A(aij)mn，则A1,2,,n，其中jamj12向量组；或A，其中iai1,ai2,,ain(i1,2,,m)为矩阵A的行向量组。

m3.向量组与线性方程组

一个线性方程组Amnxb可以写成：x11x22xnnb

4.向量组的线性组合

定义：设向量组A:1,2,,m，对于数k1,k2,,km，我们称k11k22kmm为向量组A的一个线性组合，k1,k2,,km称为这个线性组合的系数。

5.线性表示

给定向量组A:1,2,,m和向量b，若存在一组数1,2,,m，使得

b1122mm 则称向量b是向量组A的线性组合，也称向量b可以由向量组A线性表示。

例：任何一个n维向量aa1,a2,,an都可以由n维单位向量组：

Te1(1,0,0,,0)T，e2(0,1,0,,0)T，，en(0,0,,0,1)T

线性表示。即aa1e1a2e2anen。

显然，向量b能由向量组A线性表示，也就线性方程组：x11x22xnnb有解。

6.定理1：向量b能由向量组A:1,2,,m线性表示的充要条件是R(A)R(A,b)，其中A(1,2,,m)。

三、向量组的线性相关与线性无关

设齐次线性方程组Amnx0，写成向量形式：x11x22xnn0。若它有非零解，即存在一组不全为零的数k1,k2,,kn，使得k11k22knn0。因此，我们引入如下概念。

1.线性相关与线性无关

定义：设有n维向量组A:1,2,,m，如果存在一组不全为零的数k1,k2,,km使

k11k22knn0

则称向量组A线性相关；否则称它线性无关。

注意：（特殊情形）

① 只有一个向量a的向量组线性相关a0

② 两个向量a,b的向量组线性相关ab(即两向量共线：对应分量成比例)③ 三个向量线性相关：几何意义是三个向量共面。

④ 含有零向量的向量组一定线性相关。

定理2：向量组1,2,,m(m2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示。

定理3：设向量组A:1,2,,m构成矩阵A(1,2,,m)，则向量组A线性相关的充要条件是R(A)m；向量组A线性无关的充要条件是R(A)m。

推论1：当向量的个数等于向量的维数时，向量组A线性相关的充要条件是A0；向量组A线性无关的充要条件是A0。

推论2：m(mn)个n维向量组成的向量组一定线性相关。推论3：任一个n维向量组中线性无关的向量最多有n个。

定理4：

(1)设向量组A:1,2,,m线性无关，而向量组B:1,2,,m,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示法是唯一的。

(2)若向量组1,2,,r线性相关，则向量组1,2,,r,r1,,n(nr)必线性相关；反之，若向量组1,2,,r,r1,,n(nr)线性无关，则向量组1,2,,r必线性无关。（部分相关，整体相关；整体无关，部分无关。）

(3)若m个n维向量1,2,,m线性相关，同时去掉其第i个分量(1in)得到的m个n1维向量也线性相关；反之，若m个n1维向量1,2,,m线性无关，同时增加其第i个分量(1in)得到的m个n维向量也线性无关。

四、习题

P116 T1(3)(4)T2 T3 T4(1)(2)T5 T6 T7 T8 T9(1)(3)

§4.3 向量组的秩

一、向量组的等价

定义1：设有向量组A:1,2,,m；向量组B:1,2,,s，若向量组A中的每一个向量都能由向量组B线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示。如果向量组A和向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

命题1：若A,B为有限个列向量组成的向量组，则向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵方程BAX有解。

命题2：若矩阵A经过初等行(列)变换变成B，则矩阵A的列(行)向量组与矩阵B的列(行)向量组等价。

定理1：设向量组A:1,2,,m和向量组B:1,2,,s均为列向量组成的向量组，则向量组B能由向量组A线性表示的充要条件为R(A)R(A,B)

推论：向量组A:1,2,,m和向量组B:1,2,,s等价的充要条件是

R(A)R(B)R(A,B)

其中A和B是向量组A和向量组B所构成的矩阵。

讲教材P118例1

二、向量组的秩 1.最大无关组

定义2设向量组A0:1,2,,r是向量组A:1,2,,m(mr)的一个部分组，若(1)向量组A0:1,2,,r线性无关；

(2)A中的任意向量均可由向量组A0:1,2,,r线性表示； 则称A0:1,2,,r为A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）。

显然，最大无关组一般不唯一；任意向量组都与它的最大无关组等价。

2.最大无关组的求法

定理：矩阵的初等行变换不改变(部分或全部)列向量之间的线性关系； 矩阵的初等列变换不改变(部分或全部)行向量之间的线性关系。

注意：上述定理提供了求向量组最大无关组的方法 定理2：设向量组B:1,2,,r可由向量组A:1,2,,s线性表示，(1)若向量组B线性无关，则rs；(2)若rs，则向量组B线性相关。

推论1：两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量。推论2：两个等价的向量组的最大无关组含有相同个数的向量。推论3：一个向量组的任意两个最大无关组所含向量个数相等。

3.向量组的秩

定义3：向量组的最大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩。

定理2'：若向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。

三、矩阵的秩与向量组的秩的关系

定理3：对矩阵A(aij)mn，则 R(A)A的行秩A的列秩。即矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量组的秩。

四、矩阵的秩的性质

性质1：R(AB)R(A)R(B)

性质2：R(AB)min{R(A),R(B)}

性质3：若P,Q可逆，则R(PAQ)R(PA)R(AQ)R(A)

五、习题

P124 T1

T2

T3

T9

§4.4 线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

1.解的性质

对于齐次线性方程组

Amnx0

(1)性质1：若1,2都是Ax0的解，则12也是Ax0的解。性质2：若是Ax0的解，则k也是Ax0的解。

2.解的结构

定义1：设1,2,,k是Ax0的非零解，且满足

(1)1,2,,k线性无关；

(2)Ax0的任一个解都可由1,2,,k线性表示，即c11c22ckk 则称1,2,,k是齐次线性方程组Ax0的基础解系；且Ax0的通解可表示为如下形式：c11c22ckk(c1,c2,,ck为任意常数)。

定理1：若n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩R(A)rn，则Ax0的基础解系恰含有nr个线性无关的解向量。

讲教材P128 例1和例2

二、非齐次线性方程组解的结构

1.解的性质

对于非齐次线性方程组

Amnxb

(2)性质1：若1,2都是Axb的解，则12是Ax0的解。

性质2：若是Ax0的解，是Axb的解，则是Axb的解。

2.解的结构

*定理2：设是非齐次线性方程组Axb的一个解，1,2,,nr是对应的导出组Ax0的基础解系，则Axb的通解为

*k11k22knrnr

其中k1,k2,,knr为任意常数。

讲教材P132 例3和例4

三、习题

P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 总复习题：T1 T2 T4 T5 T6至T13

第五章 特征值和特征向量

矩阵的对角化

教学目标与要求

1.理解内积和正交向量组的概念，掌握施密特正交化方法和正交矩阵的性质 2.理解特征值与特征向量的定义，掌握它们的性质及其求法 3.理解相似矩阵的定义，掌握相似矩阵的性质

4.掌握矩阵可对角化的条件，熟悉实对称矩阵的对角化方法 教学重点

1.施密特正交化方法的运用 2.特征值与特征向量的求法 3.实对称矩阵的对角化方法 教学难点

1.施密特正交化方法

2.特征值与特征向量的性质及其求法 3.实对称矩阵的对角化方法

§5.1 预备知识

一、向量的内积

定义1：设有n维向量xx1,x2,,xn，yy1,y2,,yn，令

TTx,yx1y1x2y2xnyn，称x,y为向量x与y的内积。

内积的性质：

(1)x,yy,x

(2)x,yx,y

(3)xy,zx,zy,z

(4)x,x0，当且仅当x0时等号成立

定义2：令xx,x22x12x2xn，称为n维向量x的长度（或范数）。当x1时，称x为单位向量。

向量的长度具有以下性质：

(1)非负性：x0

(2)齐次性：

定义3：当x0，y0时，称arccosxx

(3)三角不等式：xyxy

(4)柯西不等式：x,yxy

x,yxy为n维向量x与y的夹角。

定义4：当x,y0时，称向量x与y正交。

定义5：若一个向量组中任意两个向量都正交，则称此向量组为正交向量组。若正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称此向量组为规范正交向量组或标准正交向量组。

定理1：若n维向量1,2,,r是一组两两正交的非零向量，则1,2,,r线性无关。

二、施密特正交化方法 施密特正交化方法是将一组线性无关的向量1,2,,r，化为一组与之等价的正交向量组1,2,,r的方法。令

2,1；；

1,11,,r,r1。rrr11r221,12,2r1,r1r111； 22

讲教材P147 例2和例3

三、正交矩阵

定义6：如果方阵A满足AAAAE（即Acos例如：En，sinAT），则称A为正交矩阵。

01/21/2sin，2/61/61/6都是正交阵。cos1/31/31/3TT1

定理2：A为正交矩阵A的行(列)向量组为规范正交向量组。即

1,ijATAEiTj(i,j1,2,,n)（其中A(1,2,,n)）

0,ij

定理3：设A,B都是n阶正交方阵，则

(1)A1；(2)A,A,AB也是正交方阵。

定义7：若P为正交矩阵，则线性变换yPx称为正交变换。

四、习题

P149 T1(2)T2(2)T3 T4 T5

§5.2 特征值和特征向量

T

1一、特征值与特征向量的概念

定义1：设A是n阶方阵，如果存在数和非零列向量x，使得Axx，称为方阵A的特征值，非零列向量x称为A的属于特征值的特征向量。

特征方程：Axx(AE)x0 或者(EA)x0

(AE)x0有非零解AE0特征矩阵：(AE)或者(EA)

EA0

a11特征多项式：AEa12an2a1na2n()

a21an1a22annnn1aaan1an0[a0(1)n]

二、求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤

(1)求出特征方程()AE0的全部根1,2,...,n，即是A的特征值；(2)对于每个特征值i求解线性方程组AiEx0，得出的基础解系就是A的属于特征值i的特征向量；基础解系的线性组合就是A的属于特征值i的全部特征向量。

讲教材P152 例3和例4

三、特征值与特征向量的性质

性质1：设A是n阶方阵，则A与A有相同的特征值。性质2：设是方阵A的特征值，k,mN，则(1)是方阵A的特征值；

(2)f()a0a1am是f(A)a0Ea1AamA的特征值。

性质3：设n阶方阵A(aij)nn的n个特征值为1,2,...,n，则(1)

mmkkTaii1i1nnii，其中

ai1niitr(A)称为A的迹；

(2)iA

i1n

证明： 由特征值的定义可得

a11

a12a1na2n ()AEa21an1a22an2ann

(a11)(a22)(ann)

(1)nn(1)n1(a11a22ann)n1

由题设可知 ()AE(1)(2)(n)

(1)nn(1)n1(12n)n1(12n)比较多项式同次幂的系数可得

a11a22ann12n，A(0)12n

推论：A0 0是A的特征值；A可逆A0A不含零特征值。

讲教材P154 例5和例6

性质4：1,2,,m是方阵A的互异特征值，其对应的特征向量依次为

p1,p2,,pm，则向量组p1,p2,,pm线性无关。

四、习题

P157 T1

T2

T3

T4

§5.3 相似矩阵

一、相似矩阵的概念

定义1：设A,B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使PAPB，则称矩阵A与B相似，记为A~B，可逆矩阵P称为相似变换矩阵。

相似矩阵的基本性质：

1、(1)反身性：对任意方阵A，都有A~A

(2)对称性：若A~B，则B~A

(3)传递性：若A~B，B~C，则A~C

2、定理1：若A~B，则

① A与B有相同的特征多项式和特征值；

② AB； ③ R(A)R(B)；

mm④ A与B也相似（m为正整数）；

1⑤ tr(A)tr(B)

二、矩阵可对角化的条件

定义：n阶方阵A可以相似于一个对角矩阵，则称A可对角化。

定理2：n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量。

推论：n阶方阵A有n个互异的特征值A可对角化。

定理3：n阶方阵A可对角化A的每个k重特征值对应有k个线性无关的特征向量（或R(AE)nk）。即A的几何重数nR(AE)等于代数重数k。

讲教材P160 例1和例2

三、小结

n阶方阵A对角化的步骤：

(1)解特征方程AE0，求出A的全部特征值1,2,...,s，其中i是ni重特征值（i1,2,,s），sni1in。

(2)对每个i，解齐次线性方程组AiEx0，得基础解系i1,i2,...,ini；(3)令P(11,12,,1n1,21,22,,2n2,,s1,s2,,sns)，则PAP，其中diag(1,,1,2,,2,,s,,s)，这里i的个数为ni个（i1,2,,s）。

四、习题

P162 T1

T2

T3

T4

T5

T6

§5.4 实对称矩阵的相似矩阵



1一、实对称矩阵的特征值性质

定理1：实对称矩阵的特征值都是实数。

定理2：实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定理3：设是n阶实对称矩阵A的r重特征值，则R(AE)nr，即对应特征值恰有r个线性无关的特征向量。

二、实对称矩阵的相似理论

定理4：任意实对称矩阵A都与对角矩阵相似。即实对称阵一定可以对角化。

1T定理5：设A是n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使PAPPAP。其中diag(1,2,,n)，且1,2,...,n是A的n个特征值。

三、实对称矩阵对角化方法

n阶实对称矩阵A对角化的步骤：

(1)解特征方程AE0，求出A的全部特征值1,2,...,s，其中i是ni重特征值（i1,2,,s），sni1in。

(2)对每个i，解齐次线性方程组AiEx0，得基础解系i1,i2,...,ini；(3)利用施密特正交化方法将i1,i2,...,ini正交化，得正交向量组i1,i2,...,ini，再单位化得规范正交向量组i1,i2,...,ini（i1,2,,s）；

(4)令P(11,12,,1n1,21,22,,2n2,,s1,s2,,sns)，则P为正交矩阵，且P1APPTAP，其中diag(1,,1,2,,2,,s,,s)，这里i的个数为。ni个（i1,2,,s）

讲教材P164 例1和例2

四、习题

P167 T1

T2

T4 P167 总复习题：T1 T2 T3 T4 T5 T6；

T8 T9 T10 T11

T12 T13 T14 T15 T16

第六章 特征值和特征向量

矩阵的对角化 教学目标与要求

1.理解二次型及其秩的相关概念，了解矩阵的合同关系

2.掌握二次型的标准形，以及用配方法、正交变换法和初等变换法化二次型为标准型

3.理解惯性定理和二次型的规范形，掌握二次型正定的判别方法 教学重点

1.用正交变换法化二次型为标准型 2.二次型正定的判别方法 教学难点

1.用正交变换法化二次型为标准型 2.二次型正定的判别方法

§6.1 二次型及其矩阵表示 一、二次型及其矩阵表示

定义1：含有n个变量的二次齐次函数：

22f(x1,x2,...,xn)a11x12a22x2annxn 2a12x1x22a13x1x32an1,nxn1xn称为二次型。当aij全为实数时，f称为实二次型。

为了便于用矩阵讨论二次型，令aijaji，则二次型为：

f(x1,x2,...,xn)a11x12a12x1x2a1nx1xn2 a21x2x1a22x2a2nx2xn.................................................2 an1xnx1an2xnx2annxn

a11a21记

Aan1a12a22an2i,j1anijxixj

a1nx1a2nx2x，，xannnT则二次型f(x1,x2,,xn)xAx，其中A为对称矩阵。

由此可见，对称矩阵A与二次型f是一一对应关系，故称对称矩阵A为二次型f的矩阵，也称二次型f为对称矩阵A的二次型，R(A)也称为二次型f的秩。

讲教材P173 例1和例2

二、线性变换 x1c11y1c12y2c1nynxcycycy22112222nn

定义2：称为由变量x1,x2,,xn到变量y1,y2,,yn.................................................xncn1y1cn2y2cnnyn的一个线性变量替换，简称线性变换。

c11c21其中，矩阵Ccn1c1nc22c2n称为线性变换的矩阵。cn2cnnc12x1y1x2y2记x，y，则线性变换可用矩阵形式表示：xCy。

xynn若C0，则称线性变换xCy为非退化的(或满秩变换)；否则，称为退化的(或降秩变换)。若C是正交矩阵，则称线性变换xCy为正交变换。因此，我们有

f(x)xTAx(Cy)TA(Cy)yTCTACyyTBy，其中BCTAC，而且 BT(CTAC)TCTATCCTACB

三、矩阵的合同

1．定义3：设A,B为两个n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C，使得CACB，则

TB。称矩阵A与B合同，记为：A~B（合同）定理：若A~，则AB（等价），且R(A)R(B)。

2．合同的性质

A

① 反身性：对任意方阵A，都有A~B，则B~A

② 对称性：若A~C B,B~C，则A~③ 传递性：若A~3．定理：任何一个实对称矩阵A都合同于一个对角阵（是以A的n个特征根为对角元的对角阵），即存在可逆矩阵C，使得CAC。

四、习题

P175 T1

T3

T4

§6.2 二次型的标准形

T一、二次型的标准形

222定义：形如d1x1的二次型称为二次型的标准形。d2x2dnxn

二、化二次型为标准形

（1）配方法

对任意一个二次型fxTAx，都可用配方法找到满秩变换xCy，将f化为标准形。步骤：若f中含变量项xi的平方项，则先将所有含xi的项合并在一起配成完全平方，依次类推直到都配成完全平方项；若f中不含任何平方项，则令x1y1y2,x2y1y2，xkyk，使f中出现平方项，再按照前面的思路进行配方。

（2）正交变换法

定理：任给二次型f(x)xTAx，总存在正交矩阵Q，使QTAQQ1AQ，其中diag(1,2,,n)，1,2,,n是A的全部特征值。

22即存在正交变换xQy使f化为标准形：（其中1,2,,n1x122x2nxn是对称矩阵A的全部特征根）

讲书上P176 例1

（3）初等变换法

由于任意对称阵A都存在可逆矩阵C，使CAC为对角阵；由于C是可逆阵，故可表

TTTT示一系列初等矩阵的乘积。设CP1P2PS，则CPsP2P1，因此

TCTACPsTP2TP1AP1P2Ps

①

T

CP1P2PSEP1P2PS

②

①式表示对实对称矩阵A施行初等列变换的同时也施行相应的行变换，将A化为对角阵；②表示单位阵E在相同的初等列变换下就化为C。即（三、习题

P181

T1

T3

T4

§6.3 惯性定理和二次型的正定性

A)合同变换()EC

一、惯性定理和规范形

定理1：设实二次型fxTAx的秩为r，有两个实满秩线性变换xCy及xPz，222使得 fk1y1kpy2,2,,r)

（1）pkp1yp1kryr(ki0,i12222及

f1z1qzqq1zq,2,,r)1rzr(i0,i1则pq；且称p为二次型f的正惯性指数，rp为二次型f的负惯性指数。

对二次型f的标准形（1）式再作满秩线性变换

(y1,,yr,yr1,,yn)Tdiag(11,，1,,1)(t1,,tr,tr1,,tn)T k1kr2222则有ft1tptp1tr，称之为二次型f的规范形。

惯性定理的等价表述：任意一个秩为r的实二次型f都可以经过满秩线性变换化为规范形，且其规范形是唯一的。即规范形中正项的个数p与负项的个数rp都是唯一确定的。

定理2：实对称阵A与B合同A与B的正负惯性指数相同

A与B的规范形相同R(A)R(B)，且A与B的正惯性指数相同 二、二次型的正定性

定义1：设实二次型f(x)f(x1,x2,,xn)xTAx，若对任意x0，都有f(x)0，则称f为正定二次型，并称其对称矩阵A为正定矩阵。三、二次型正定的判别方法

定理3：设A是n阶实对称矩阵，则

fxTAx正定（或A正定）A的n个特征值全为正；

f的标准形的n个系数全为正f的正惯性指数pn； 存在可逆矩阵P，使APTPA与单位矩阵合同； A的各阶顺序主子式全为正，即

a11a1na11a120

a110，0，，a21a22an1ann讲教材P184 例3

四、习题

P185 T1(1)(3)

T2(3)

T3

T4

T5

T6 P186 总复习题： T4

T5

T6

T7 ；

T9

T12

T13

第四篇：可逆矩阵教案

§1.4 可逆矩阵

★ 教学内容：

1.2.3.4.★ 教学课时：100分钟/2课时。

★ 教学目的：

通过本节的学习，使学生

1.理解可逆矩阵的概念；

2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法； 3.熟悉可逆矩阵的有关性质。

★ 教学重点和难点：

本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。可逆矩阵的概念； 可逆矩阵的判定；

利用转置伴随矩阵求矩阵的逆； 可逆矩阵的性质。

★ 教学设计：

一

可逆矩阵的概念。

1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。

2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得ABBAE则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为A。

3.可逆矩阵的例子：

（1）例1 单位矩阵是可逆矩阵；（2）例2 A11010，B，则A可逆； 1111100（3）例3 对角矩阵A020可逆；

003111110（4）例4 A011，B011，则A可逆。

0010014.可逆矩阵的特点：

（1）可逆矩阵A都是方阵；

（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A和A是同阶方阵；

1（3）可逆矩阵A的逆A也是可逆矩阵，并且A和A互为逆矩阵；（4）若A、B为方阵，则ABEAB。二

可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆

1.方阵不可逆的例子：

11111

例5 A不可逆；

00

例6 A12不可逆； 242.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆

（1）引入转置伴随矩阵

1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论

ai1As1ai2As2D,is

(i1,2,n,，)ainAsn0,isD,jt(j1,2,anjAnt0,jtA21A22A2nAn1AAn20Ann00A0,n)； a1jA1ta2jA2t

2）写成矩阵乘法的形式有：

a11a21an1a12a22an2a1nA11a2nA12annA1n00AE A

3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设Aij式是A(aij)nn的行列式中aij的代数余子式，则

A11A*A12A1n称为A的转置伴随矩阵。

（2）转置伴随矩阵求逆：

1）AAAE； *A21A22A2nAn1An2 Ann

2）定理1.4.1 A可逆的充分必要条件是A0（或A非奇异），且

A11*A； A

3）例7 判断矩阵A12是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。35223

4）例8 设A110，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。

121三

可逆矩阵的性质

1.性质1(A1)1A；

2.性质2(AB)1B1A1；

3.性质3(A)1(A1)；

4.性质4(kA)

5.性质5 A1111A； k1； An1

6.性质6 AA

7.(AB)1*；

A1B1。

11，B3，求(2BA)。2

例9 设A，B均为三阶方阵，且A四

可逆的应用——解矩阵方程

例10 设方程AA2EO，证明：A2E可逆，并求其逆。

第五篇：线性代数教案第一章

线性代数教案第一章 第一章 行列式（12学时）

教学时数：12学时

教学目的与要求：理解并掌握行列式的概念和性质，行列式按行（列）展开定理，行列式的计算，克莱姆法则解方程组。

教学重点：行列式的性质，行列式按行（列）展开，克莱姆法则解方程组。教学难点：行列式按行按列展开。本章主要阅读文献资料：

1.吴赣昌主编，《线性代数》(第4版)，中国人民大学出版社，2008年2月。2.戴斌祥主编，《线性代数》，北京邮电大学出版社，2005年10月。3.陈维新主编，《线性代数》（第二版），科学出版社，2010年8月。

4.赵树嫄主编，《线性代数学习与考试指导》，中国人民大学出版社，2008年5月。

教学内容：

第一节 二阶与三阶行列式

一．二阶行列式

引入新课：

我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。

在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为

（1）

用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当

时，有

（2）这就是二元方程组的解的公式。但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。

（一）定义：我们称记号

为二阶行列式，它表示两项的代数和：

即定义

（3）

二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，从右上角到左下角两个元素相乘取负号，即

－ ＋

由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D表示，即有

如果将D中第一列的元素a11，a21 换成常数项b1，b2，则可得到另一个行列式，用字母D1表示，于是有

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x1 的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a a b2，12，22 换成常数项b1，可得到另一个行列式，用字母D2表示，于是有

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a11b2-b1a21，这就是公式（2）中x2的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为

其中D≠0

例1 计算51=5×2-（-1）×3=13 32例2 设D231

问：(1)当λ为何值时D=0(2)当λ为何值时D≠0 解：D231=23

(1)当λ=0或3时，D=0(1)当λ≠0且λ≠3时，D≠0

二.三阶行列式

含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为

（1）

还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当

时，有

（2）

这就是三元方程组的解的公式。这个公式更不好记，为了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。

（二）定义： 我们称记号

为三阶行列式。三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号，即

（3）

由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D来表示，即有

同理将D中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常数项得到另外三个三阶行列式，分别记为

于是有

就可以

按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（2）中x1，x2，x3 的表达式的分子，而系数行列式D是它们的分母。

123例3 405

106解：原式=-58 例4 实数a，b满足什么条件时

ab0ba00 101ab0解：ba0a2b2

a，b为实数，若要a2b20，则a，b需同时等于零。

a10例5 1a0＞0的充分必要条件是什么？

411a10a10解：1a0=a21，即a＞1时，1a0＞0，411411a10所以1a0＞0的充分必要条件a＞1 411作业：课本35页，1,2,3,4,5