高中物理竞赛讲座讲稿：静力学,力和运动

第一篇：高中物理竞赛讲座讲稿：静力学,力和运动

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高中物理竞赛辅导（2）

南京师范大学物理系列化 陈烈佐

静力学 力和运动

共点力的平衡

n个力为共点力，如图1所示。

作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡状态的条件是：合力为零。

同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称

（1）

用分量式表示：

（2）

[例1]半径为R的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为，绳圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，最后停留在平衡位置。考虑重力，不计摩擦。①设平衡时绳圈长，求k值。②若求绳圈的平衡位置。，www.xiexiebang.com

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您身边的高考专家 的支力，上球的压力，这四个力都通过该球球心，并位于同一平面内，如图3(b)所示。

解：以A球为隔离体，把它所受的力分解为水平分量和垂直分量。

以上球为隔离体

联立以上三式解出：。

当下面四球之间的相互作用为零，即N=0，得。如时，下面四球将互相分离。又

由图形（b）看出。

代入（2-4）式得。

此时下面的四个球互相分离，2.共面力的平衡。

作用在刚体上的所有力都位于同一平面，这些力就叫做共面力。设共面力所在的平面是xy平面，刚体在平面力作用下平衡的条件是：合力为零和对任一点所有力矩之和为零，即

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铁丝上相对静止时，末个链环与铅垂线交角为，分析：如图5（a）所示，由于对称性，锁链两端与铁丝接触点0，O'的垂直作用力N=nmg，m是每个链环的质量。铁丝对锁链端点的摩擦力。

解：设链环的长为l，重心在其中心，取右端第一个链环为隔离体，当它平衡时对通过A点垂直于纸面的轴的合力矩为零，以N、f之值代入，即可解得：

3、物体平衡的种类。

下面讨论物体在重力和支力作用下所处的各种平衡状态，图6表示放在凹

面底端、凸面顶端和平面上的小球，它们所受的重力和支力等值反向，都处在平衡位置。

由于某种因素，小球稍稍偏离平衡位置，在凹面底部的小球重心升高，重力势能增大，重力mg和支力N不再保持平衡，合力指向原来的平衡位置，小球会恢复平衡，这种平衡叫做稳定平衡。位于凸面端的小球稍微偏离平衡位置后，重心降低，重力势能减少，重力和支力也不再平衡，合力指向远离原来平衡位置的方向，这种平衡叫做不稳定平衡。平面上的小球偏离原来位置后，重心的高度和重力势能不变，小球仍保持平衡，这种平衡叫做随遇平衡。

[例5]任意横截面的柱体A静止在固定柱体A'上面，如图7（a）所示。G是A的重心，G到接触点的距离是h，D、D'是这两个截面接触点的曲率中心；P、P'是相应的曲率半径，求：h、p、p'满足什么关系时，A处于稳定平衡状态？并加以讨论。

分析：当A稍微偏离平衡位置，接触点相对于D'转过角度，而DG与DD'相交θ角，如图7(b)所示，和θ都是很小的角度，显然PQ=P'Q'。设A的质量为m，由图7(b)知质心G到D'的垂直距离H=(P+P')COS-(p-h)=COS(θ+)。若以D'为零势能的参考点，则当A稍微偏离平衡位置时，其重力势能为

（5-2）

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应用牛顿运动定律解决具体问题时，首先要明确讨论的是哪一个（或哪一些）物体的运动，画出隔离体力图。其次要讨论物体的运动情况特别要注意加速度，因为它起着将运动定律和运动学联结起来的作用。对隔离体分析了受力情况和运动情况后，就可列出矢量式，但要求出结果还必须建立坐标系，写出运动方程的分量式。

质点动力学问题大致分成两类：（1）已知质点的运动情况，求其它物体施于该质点的作用力；（2）已知其它物体施于质点的作用力，求质点运动情况。[例6]图8（a）所示。两个木块A和B，质量分别为，紧挨着并排放在水平桌面上，A、B间的接触面垂直于纸面且与水平成θ角，A、B间接触面是光滑的，但它们与桌面存在摩擦，静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ，开始时A、B都静止，现施一水平推力F于A，要使A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动。则（1）μ的数值应满足什么条件？（2）推力F的最大值不能超过多少？（只考虑平动）？

分析：A、B的受力图如图8(b)所示。由于A、B间接触面是光滑的，它们之间相互作用力N垂直于接触面。

解：（1）若A、B之间不发生相对滑动，则A在竖直方向的加速度为零，即。（6-1）

B以加速度a>0向右运动

联立以上三式，解出：

（2）在已满足（6-4）式的情况下，A、B的水平加速度均为a，于是

由A：

由B：

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滑块B的绝对加速度的两个分量：

解：对于A、B、C组成的系统，在x方向受到外力是推力F和摩擦力f。于是：

将有关数据代入，解出f=10牛。

系统在y方向受到的外力是：桌面作用于C的支持力N，方向+y；A、B、C所受的重力为，方向-y，所以

将有关数据代入，得N=93牛。

最后得摩擦系数习题。

1．质量为m，半径为R的球放在竖直墙和板AB之间。A端用绞链固定在墙上，B端用水平细绳拉住，如图10所示。板长l，和墙夹角a。不计摩擦及板的质量。求：（1）绳的拉力T；（2）角a为何值时，T有最小值。

2．用一个水平放置的半径为R的圆柱形光滑槽面，其轴线通过O点，槽内放着两个半径均为r的光滑圆柱体A、B，如图11所示。质量分别为，且r=R/3，求：圆柱体A、B平衡时，OA线与竖直线间的夹角a是多少？

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一个质量为m，半径为r的光滑球放置其间。由图16所示。试证：平衡的必要条件是：。

8．一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为a、b，且长轴的长度为c，证明：蛋尖的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立。如图17所示。并求碗的半径r。

9．A、B、C三物体，质量分别为，A、B叠放在光滑的水平桌面上（如图18），A、B之间的静摩擦系数为μ，不计绳与滑轮之间的摩擦及质量。整个系统由静止释放。讨论：A与B不发生相对运动的条件。

10．如图19所示，在水平光滑的平面上，质量分别为的两个质点，用轻质弹簧联在一起，并以长为的细线拴在轴O上，均以角速度ω绕轴O作匀速圆周运动。两球间的距离。如将线烧断。求：在线刚烧断的瞬间，的加速度。

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第二篇：高中物理知识点：运动和力公式总结

高中物理知识点：运动和力公式总结

南通仁德教育朱老师总结了高中知识点：运动和力公式总结，仅供同学们参考；

1.牛顿第一运动定律(惯性定律)：物体具有惯性，总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态为止

2.牛顿第二运动定律：F合=ma或a=F合/ma{由合外力决定,与合外力方向一致}

3.牛顿第三运动定律：F=-F′{负号表示方向相反,F、F′各自作用在对方，平衡力与作用力反作用力区别，实际应用：反冲运动}

4.共点力的平衡F合=0，推广 {正交分解法、三力汇交原理｝

5.超重：FN>G，失重：FN

6.牛顿运动定律的适用条件：适用于解决低速运动问题，适用于宏观物体，不适用于处理高速问题，不适用于微观粒子〔见第一册P67〕

注:

平衡状态是指物体处于静止或匀速直线状态,或者是匀速转动。

第三篇：高中物理竞赛讲座讲稿：第二部分《牛顿运动定律》

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第二部分 牛顿运动定律

第一讲 牛顿三定律

一、牛顿第一定律

1、定律。惯性的量度

2、观念意义，突破“初态困惑”

二、牛顿第二定律

1、定律

2、理解要点

a、矢量性

b、独立作用性：ΣF → a，ΣFx → ax „

c、瞬时性。合力可突变，故加速度可突变（与之对比：速度和位移不可突变）；牛顿第二定律展示了加速度的决定式（加速度的定义式仅仅展示了加速度的“测量手段”）。

3、适用条件

a、宏观、低速 b、惯性系

对于非惯性系的定律修正——引入惯性力、参与受力分析

三、牛顿第三定律

1、定律

2、理解要点

a、同性质（但不同物体）b、等时效（同增同减）

c、无条件（与运动状态、空间选择无关）

第二讲 牛顿定律的应用

一、牛顿第一、第二定律的应用

单独应用牛顿第一定律的物理问题比较少，一般是需要用其解决物理问题中的某一个环节。

应用要点：合力为零时，物体靠惯性维持原有运动状态；只有物体有加速度时才需要合力。有质量的物体才有惯性。a可以突变而v、s不可突变。

1、如图1所示，在马达的驱动下，皮带运输机上方的皮带以恒定的速度向右运动。现将一工件（大小不计）在皮带左端A点轻轻放下，则在此后的过程中（）A、一段时间内，工件将在滑动摩擦力作用下，对地做加速运动

B、当工件的速度等于v时，它与皮带之间的摩擦力变为静摩擦力

C、当工件相对皮带静止时，它位于皮带上A点右侧的某一点

D、工件在皮带上有可能不存在与皮www.xiexiebang.com

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2v22g时（其中μ为工件与皮带之间的动摩擦因素），才有相对静止的过程，高考资源网（ks5u.com）

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进阶练习1：在一向右运动的车厢中，用细绳悬挂的小球呈现如图3所示的稳定状态，试求车厢的加速度。（和“思考”题同理，答：gtgθ。）

进阶练习

2、如图4所示，小车在倾角为α的斜面上匀加速运动，车厢顶用细绳悬挂一小球，发现悬绳与竖直方向形成一个稳定的夹角β。试求小车的加速度。

解：继续贯彻“矢量性”的应用，但数学处理复杂了一些（正弦定理解三角形）。分析小球受力后，根据“矢量性”我们可以做如图5所示的平行四边形，并找到相应的夹角。设张力T与斜面方向的夹角为θ，则

θ=（90°+ α）-β= 90°-（β-α）（1）对灰色三角形用正弦定理，有 Fsin = Gsin（2）

解（1）（2）两式得：ΣF =

mgsincos()

最后运用牛顿第二定律即可求小球加速度（即小车加速度）答：sincos()g。

2、如图6所示，光滑斜面倾角为θ，在水平地面上加速运动。斜面上用一条与斜面平行的细绳系一质量为m的小球，当斜面加速度为a时（a＜ctgθ），小球能够保持相对斜面静止。试求此时绳子的张力T。

解说：当力的个数较多，不能直接用平行四边形寻求合力时，宜用正交分解处理受力，在对应牛顿第二定律的“独立作用性”列方程。

正交坐标的选择，视解题方便程度而定。解法一：先介绍一般的思路。沿加速度a方向建x轴，与a垂直的方向上建y轴，如图7所示（N为斜面支持力）。于是可得两方程

ΣFx = ma，即Tx － Nx = ma ΣFy = 0，即Ty + Ny = mg 代入方位角θ，以上两式成为

T cosθ－N sinθ = ma

（1）T sinθ + Ncosθ = mg

（2）这是一个关于T和N的方程组，解（1）（2）两式得：T = mgsinθ + ma cosθ

解法二：下面尝试一下能否独立地解张力T。将正交分解的坐标选择为：x——斜面方向，y——和斜面垂直的方向。这时，在分解受力时，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一个坐标轴上，是需要分解的。矢量分解后，如图8所示。

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答：2g ；0。

三、牛顿第二、第三定律的应用

要点：在动力学问题中，如果遇到几个研究对象时，就会面临如何处理对象之间的力和对象与外界之间的力问题，这时有必要引进“系统”、“内力”和“外力”等概念，并适时地运用牛顿第三定律。

在方法的选择方面，则有“隔离法”和“整体法”。前者是根本，后者有局限，也有难度，但常常使解题过程简化，使过程的物理意义更加明晰。

对N个对象，有N个隔离方程和一个（可能的）整体方程，这（N + 1）个方程中必有一个是通解方程，如何取舍，视解题方便程度而定。

补充：当多个对象不具有共同的加速度时，一般来讲，整体法不可用，但也有一种特殊的“整体方程”，可以不受这个局限（可以介绍推导过程）——

ΣF外= m1a1 + m2a2 + m3a3 + „ + mnan

F其中Σ外只能是系统外力的矢量和，等式右边也是矢量相加。

1、如图12所示，光滑水平面上放着一个长为L的均质直棒，现给棒一个沿棒方向的、大小为F的水平恒力作用，则棒中各部位的张力T随图中x的关系怎样？

解说：截取隔离对象，列整体方程和隔离方程（隔离右段较好）。

答案：N = FLx。

思考：如果水平面粗糙，结论又如何？

解：分两种情况，（1）能拉动；（2）不能拉动。

第（1）情况的计算和原题基本相同，只是多了一个摩擦力的处理，结论的化简也麻烦一些。

第（2）情况可设棒的总质量为M，和水平面的摩擦因素为μ，而F = μl＜L，则x＜(L-l)的右段没有张力，x＞(L-l)的左端才有张力。

答：若棒仍能被拉动，结论不变。

若棒不能被拉动，且F = μ

lLlLMg，其中

Mg时（μ为棒与平面的摩擦因素，l为小于L的某一值，FlM为棒的总质量），当x＜(L-l)，N≡0 ；当x＞(L-l)，N = „x-†L-l‡‟。

应用：如图13所示，在倾角为θ的固定斜面上，叠放着两个长方体滑块，它们的质量分别为m1和m2，它们之间的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分别为μ1和μ2，系统释放后能够一起加速下滑，则它们之间的摩擦力大小为：

A、μ1 m1gcosθ ； B、μ2 m1gcosθ ； C、μ1 m2gcosθ ； D、μ1 m2gcosθ ； 解：略。答：B。（方向沿斜面向上。）

思考：（1）如果两滑块不是下滑，而是以初速度v0一起上冲，以上结论会变吗？（2）如果斜面光滑，两滑块之间有没有摩擦力？（3）如果将下面的滑块换成如图14所示的盒子，上面的滑块换www.xiexiebang.com

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四、特殊的连接体

当系统中各个体的加速度不相等时，经典的整体法不可用。如果各个体的加速度不在一条直线上，“新整体法”也将有一定的困难（矢量求和不易）。此时，我们回到隔离法，且要更加注意找各参量之间的联系。

解题思想：抓某个方向上加速度关系。方法：“微元法”先看位移关系，再推加速度关系。、1、如图18所示，一质量为M、倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一个质量为m的滑块从斜面顶端释放，试求斜面的加速度。

解说：本题涉及两个物体，它们的加速度关系复杂，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。对两者列隔离方程时，务必在这个方向上进行突破。

（学生活动）定型判断斜面的运动情况、滑块的运动情况。位移矢量示意图如图19所示。根据运动学规律，加速度矢量a1和a2也具有这样的关系。

（学生活动）这两个加速度矢量有什么关系？

沿斜面方向、垂直斜面方向建x、y坐标，可得： a1y = a2y ① 且：a1y = a2sinθ ② 隔离滑块和斜面，受力图如图20所示。

对滑块，列y方向隔离方程，有：

mgcosθ-N = ma1y ③ 对斜面，仍沿合加速度a2方向列方程，有：

Nsinθ= Ma2 ④

解①②③④式即可得a2。答案：a2 = msincosMmsin2g。

（学生活动）思考：如何求a1的值？

解：a1y已可以通过解上面的方程组求出；a1x只要看滑块的受力图，列x方向的隔离方程即可，显然有mgsinθ= ma1x，得:a1x = gsinθ。最后据a1 = a1xa1y求a1。

答：a1 = gsinMmsin222M2m(m2M)sin2。

2、如图21所示，与水平面成θ角的AB棒上有一滑套C，可以无摩擦地在棒上滑动，开始时与棒的A端相距b，相对棒静止。当棒保持倾角θ不变地沿水平面匀加速运动，加速度为a（且a＞gtgθ）时，求滑套C从棒的A端滑出所经历的时间。

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例题选讲针对“教材”第三章的部分例题和习题。

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第四篇：高中物理竞赛讲座讲稿：第三部分《曲线运动 万有引力》

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第三部分 曲线运动 万有引力

第一讲 基本知识介绍

一、曲线运动

1、概念、性质

2、参量特征

二、曲线运动的研究方法——运动的分解与合成

1、法则与对象

2、两种分解的思路

a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动）

建立坐标的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想——根据解题需要建直角坐标或非直角坐标。

b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）

基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向n坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。

Fma动力学方程Fnman，其中a改变速度的大小（速率），an改变速度的方向。且an= mv2，其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力学方程。

三、两种典型的曲线运动

1、抛体运动（类抛体运动）

关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面，有灵活处理的余地。

2、圆周运动

匀速圆周运动的处理：运动学参量v、ω、n、a、f、T之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。

变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程。

四、万有引力定律

1、定律内容

2、条件

a、基本条件

b、拓展条件：球体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展；球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展——“剥皮法则”

c、不规则物体间的万有引力计算——分割与矢量叠加

五、开普勒三定律

天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据。

六、宇宙速度、天体运动

1、第一宇宙速度的常规求法

2、从能量角度求第二、第三宇宙速度

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v1x

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v1x）

Syvy =（v2 – v1cosθ）

dv1sin

为求极值，令cosθ= p，则sinθ= 22222221p22，再将上式两边平方、整理，得到

v1(Sxd)p2v1v2dpdv2Sxv10

2这是一个关于p的一元二次方程，要p有解，须满足Δ≥0，即

4v1v2d≥4v1(Sxd)(dv2Sxv1)2242222222整理得 Sxv1≥d(v2v1)所以，Sxmin=dv1222222v2v1，代入Sx（θ）函数可知，此时cosθ= 22v1v2

最后，Smin= SxminSy=

2v2v1d 此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。结论得出后，我们还不难发现一个问题：当v2＜v1时，Smin＜d，这显然与事实不符。（造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉。解法二：纯物理解——矢量三角形的动态分析

从图2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量与下游河岸的夹角越大，亦即v合矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于90°）。

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成与分解的问题。

（学生活动）如果v1恒定不变，v2会恒定吗？若恒定，说明理由；若变化，定性判断变化趋势。

结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零，v2→v1。当船比较靠岸时，可作图比较船的移动距离、绳子的缩短长度，得到v2＞v1。故“船速增大”才是正确结论。

故只能引入瞬时方位角θ，看v1和v2的瞬时关系。

（学生活动）v1和v2定量关系若何？是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答？ 针对如图6所示的两种典型方案，初步评说——甲图中v2 = v1cosθ，船越靠岸，θ越大，v2越小，和前面的定性结论冲突，必然是错误的。

错误的根源分析：和试验修订本教材中“飞机起飞”的运动分析进行了不恰当地联系。仔细比较这两个运动的差别，并联系“小船渡河”的运动合成等事例，总结出这样的规律—— 合运动是显性的、轨迹实在的运动，分运动是隐性的、需要分析而具有人为特征（无唯一性）的运动。

解法一：在图6（乙）中，当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后，不难得出：船的沿水面运动是v2合运动，端点参与绳子的缩短运动v1和随绳子的转动v转，从而肯定乙方案是正确的。

即：v2 = v1 / cosθ

解法二：微元法。从考查位置开始取一个极短过程，将绳的运动和船的运动在图7（甲）中标示出来，AB是绳的初识位置，AC是绳的末位置，在AB上取AD=AC得D点，并连接CD。显然，图中BC是船的位移大小，DB是绳子的缩短长度。由于过程极短，等腰三角形ACD的顶角∠A→0，则底角∠ACD→90°，△CDB趋于直角三角形。将此三角放大成图7（乙），得出：S2 = S1 / cosθ。

鉴于过程极短，绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的，即：S2 = v2 t，S1 = v1 t。

所以：v2 = v1 / cosθ

三、斜抛运动的最大射程

物理情形：不计空气阻力，将小球斜向上抛出，初速度大小恒为v0，方向可以选择，试求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。

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下面先解脱离点的具体位置。设脱离点为D，对应方位角为θ，如图8所示。由于在D点之后绳子就要弯曲，则此时绳子的张力T为零，而此时仍然在作圆周运动，故动力学方程仍满足

Gn = Gsinθ= mv2r

①

在再针对A→D过程，小球机械能守恒，即（选A所在的平面为参考平面）：

122mv0+ 0 = mg(L + Lsinθ)+

12mv

2② D23代入v0值解①、②两式得：θ= arcsin，（同时得到：vD =

23gL）小球脱离D点后将以vD为初速度作斜向上抛运动。它所能到达的最高点（相对A）可以用两种方法求得。解法一：运动学途径。

先求小球斜抛的最大高度，hm =

527(vDcos)2g2 =

vD(1sin2g22)

代入θ和vD的值得：hm = L

5027小球相对A的总高度：Hm = L + Lsinθ+ hm = 解法二：能量途径

L 小球在斜抛的最高点仍具有vD的水平分量，即vDsinθ= 程用机械能守恒定律（设A所在的平面为参考平面），有

122323gL。对A→最高点的过mv0+ 0 = 212m（vDsin)+ mg Hm 50272容易得到：Hm = L

五、万有引力的计算

物理情形：如图9所示，半径为R的均质球质量为M，球心在O点，现在被内切的挖去了一个半径为R/2的球形空腔（球心在O′）。在O、O′的连线上距离O点为d的地方放有一个很小的、质量为m的物体，试求这两个物体之间的万有引力。

模型分析：无论是“基本条件”还是“拓展条件”，本模型都很难直接符合，因此必须使用一些特殊的处理方法。本模型除了照应万有引力的拓展条件之外，着重www.xiexiebang.com

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解以上三式可得：vA =

aabb22GMa，vB =

aabb22GMa

再针对地球从A到C的过程，应用机械能守恒定律，有

12mv2+（－GAMmac）=

122mvC+（－GMma）

代入vA值可解得：vC =

GMa

为求A、C两点的曲率半径，在A、C两点建自然坐标，然后应用动力学（法向）方程。在A点，F万 = ΣFn = m an，设轨迹在A点的曲率半径为ρA，即：G

Mm(ac)2= m

vAA2

代入vA值可解得：ρA =

b2a

在C点，方程复杂一些，须将万有引力在τ、n方向分解，如图12所示。

然后，F万n =ΣFn = m an，即：F万cosθ= m

2vCC2

即：GMma2·ba = m

vCC

代入vC值可解得：ρC =

a2b

值得注意的是，如果针对A、C两点用开普勒第二定律，由于C点处的矢径r和瞬时速度vC不垂直，方程不能写作vA（a－c）= vC a。

正确的做法是：将vC分解出垂直于矢径的分量（分解方式可参看图12，但分解的平行四边形未画出）vC cosθ，再用vA（a－c）=（vC cosθ）a，化简之后的形式成为

vA（a－c）= vC b 要理解这个关系，有一定的难度，所以建议最好不要对A、C两点用开普勒第二定律

第三讲 典型例题解析

教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社，2002年8月第一版。例题选讲针对“教材”第五、第六章的部分例题和习题。

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第五篇：高中物理竞赛讲座讲稿：第五部分《振动和波》

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第五部分 振动和波

第一讲 基本知识介绍

《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。

一、简谐运动

1、简谐运动定义：F= －kx

①

凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。谐振子的加速度：a= －

2、简谐运动的方程

回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A。

依据：Fx = －mωAcosθ= －mωx

对于一个给定的匀速圆周运动，m、ω是恒定不变的，可以令：

mω = k

这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从图1不难得出——

位移方程：x = Acos(ωt + φ)

②

速度方程：v = －ωAsin(ωt +φ)

③

加速度方程：a= －ω2A cos(ωt +φ)

④ 相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。

2运动学参量的相互关系：a= －ωx

A =

x0(2kxm

2

22v0)2

tgφ= －

v0x0

3、简谐运动的合成

a、同方向、同频率振动合成。两个振动x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2)合成，可令合振动x = Acos(ωt +φ)，由于x = x1 + x2，解得

A = A1A22A1A2cos(21)22，φ= arctg

A1sin1A2sin2A1cos1A2cos2

显然，当φ2－φ1 = 2kπ时（k = 0，±1，±2，„），合振幅A最大，当φ2－φ1 =（2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，„），合振幅最小。b、方向垂直、同频率振动合成。当质点同时参与两个垂直的振动x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t后，得一般形式的轨迹方程为

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x²2π〕= Acos〔ω（t方程。

3、波的干涉

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值即可。如果v1的方向不是正对S，只要将v1出正对的分量即可。

b、只有波源相对介质运动（如图4所示）设波源以速度v2正对静止的接收者运动。

如果波源S不动，在单位时间内，接收者在A点应接收f个波，故S到A的距离：SA= fλ

在单位时间内，S运动至S′，即SS= v2。由于波源的运动，事实造成了S到A的f个波被压缩在了S′到A的空间里，波长将变短，新的波长

λ′= SAfSASSf= =

fv2f=

vv2f

而每个波在介质中的传播速度仍为v，故“被压缩”的波（A接收到的波）的频率变为

f2 = vvvv2= f

当v2背离接收者，或有一定夹角的讨论，类似a情形。

c、当接收者和波源均相对传播介质运动

当接收者正对波源以速度v1（相对介质速度）运动，波源也正对接收者以速度v2（相对介质速度）运动，我们的讨论可以在b情形的过程上延续„

f3 = vv1v f2 = vv1vv2f

关于速度方向改变的问题，讨论类似a情形。

6、声波

a、乐音和噪音

b、声音的三要素：音调、响度和音品 c、声音的共鸣

第二讲 重要模型与专题

一、简谐运动的证明与周期计算

物理情形：如图5所示，将一粗细均匀、两边开口的U型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总长为L。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其周期。

模型分析：对简谐运动的证明，只要以汞柱为对象，看它的回复力与位移关系是否满足定义式①，值得注意的是，回复力F系指振动方向上的合力（而非整体合力）。当简谐运动被证明后，回复力系数k就有了，求周期就是顺理成章的事。

本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为x、水银密度为ρ、U型管横截面积为S，则次瞬时的回复力

ΣF = ρg2xS = 2mgLx

2mgL由于L、m为固定值，可令：谐运动。

= k，而且ΣF与x的方向相反，故汞柱做简www.xiexiebang.com

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如，我们可以求出松鼠的运动周期为：T = 2π

二、典型的简谐运动

1、弹簧振子

mk = 2π

3L2g = 2.64s。

物理情形：如图8所示，用弹性系数为k的轻质弹簧连着一个质量为m的小球，置于倾角为θ的光滑斜面上。证明：小球在弹簧方向的振动为简谐运动，并求其周期T。

学生自己证明…。周期T = 2π

mk

模型分析：这个结论表明，弹簧振子完全可以突破放置的方向而伸展为一个广义的概念，且伸展后不会改变运动的实质。其次，我们还可以这样拓展：把上面的下滑力换程任何一个恒力（如电场力），它的运动性质仍然不会改变。

当然，这里的运动性质不变并不是所有运动参量均不改变。譬如，振子的平衡位置、振动方程还是会改变的。下面我们看另一类型的拓展——

物理情形：如图9所示，两根相同的弹性系数分别为k1和k2的轻质弹簧，连接一个质量为m的滑块，可以在光滑的水平面上滑动。试求这个系统的振动周期T。

解说：这里涉及的是弹簧的串、并联知识综合。根据弹性系数的定义，不难推导出几个弹性系数分别为k1、k2、„、kn的弹簧串、并联后的弹性系数定式（设新弹簧系统的弹性系数为k）——

串联：1k = i1nn1kii

并联：k = k

i1在图9所示的情形中，同学们不难得出：T = 2π

m(k1k2)k1k2

当情形变成图10时，会不会和图9一样呢？详细分析形变量和受力的关系，我们会发现，事实上，这时已经变成了弹簧的并联。

答案：T = 2πmk1k2。

思考：如果两个弹簧通过一个动滑轮（不计质量）再与质量为m的钩码相连，如图11所示，钩码在竖直方向上的振动周期又是多少？

解：这是一个极容易出错的变换——因为图形的外表形状很象“并联”。但经过仔细分析后，会发现，动滑轮在这个物理情形中起到了重要的作用——致使这个变换的结果既不是串联、也不是并联。

★而且，我们前面已经证明过，重力的存在并不会改变弹簧振子的振动方程，所以为了方便起见，这里（包括后面一个“在思考”题）的受力分析没有考虑重力。

具体分析如下：

设右边弹簧的形变量为x2、滑轮（相对弹簧自由长度时）的位移为x、钩子上的拉力为www.xiexiebang.com

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位置做最大摆角为θ的单摆运动，如果θ≤5°，则小球的摆动周期为T = 2π

2Lga

22物理情形2：某秋千两边绳子不等长，且悬点不等高，相关数据如图14所示，且有a + b = L + L，试求它的周期（认为人的体积足够小）。2212模型分析：用C球替代人，它实际上是在绕AB轴摆动，类似将单摆放置在光滑斜面上的情形。故视重加速度g视 = gcosθ= g

a2ab2，等效摆长l = CD，如图15所示。

由于a + b = L + L可知，AC⊥CB，因此不难求出 221222CD= L1L2L1L222，最后应用单摆周期公式即可。

答案：T = 2πL1L2ag。

相关变换1：如图16所示，质量为M的车厢中用长为L的细绳悬挂着一个质量为m的小球，车轮与水平地面间的摩擦不计，试求这个系统做微小振动的周期。

分析：我们知道，证明小角度单摆作简谐运动用到了近似处理。在本题，也必须充分理解“小角度”的含义，大胆地应用近似处理方法。

解法一：以车为参照，小球将相对一个非惯性系作单摆运动，在一般方位角θ的受力如图17所示，其中惯性力F = ma，且a为车子的加速度。由于球在垂直T方向振动，故回复力

F回 = Gsinθ+ Fcosθ= mgsinθ+ macosθ ① *由于球作“微小”摆动，其圆周运动效应可以忽略，故有 T + Fsinθ≈ mgcosθ ② 再隔离车，有 Tsinθ= Ma ③ 解①②③式得 F回 =

m(mM)gsinMmsin2

m(mM)gsinM*再由于球作“微小”摆动，sinθ→0，所以 F回 = 令摆球的振动位移为x，常规处理 sinθ≈解④⑤即得 F回 = 显然，m(mM)gMLm(mM)gMLxL2

④

⑤

x = k是恒定的，所以小球作简谐运动。最后求周期用公式即可。

解法二：由于车和球的系统不受合外力，故系统质心无加速度。小球可以看成是绕此质心作单摆运动，而新摆长L′会小于L。由于质心是惯性参照系，故小球的受力、回复力的合成就很常规了。

若绳子在车内的悬挂点在正中央，则质心在水平方向上应与小球相距x =

MmMLsinθ，www.xiexiebang.com

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2Lg。高考资源网（ks5u.com）

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法。设相对振动为y，有

y = y1 − y2 = Acos(ωt + φ1)− Acos(ωt + φ2)

= −2Asin122122sin(t)解说：（1）光斑相对屏幕静止不动，即y = 0，得 φ1 = φ

2（2）要振幅为2A，必须sin答案：初位相相同；初位相相反。

相关变换：一质点同时参与两个垂直的简谐运动，其表达式分别为x = 2cos(2ωt +2φ)，y = sinωt。（1）设φ =

2122 = 1，得φ1 − φ2 = ±π

，求质点的轨迹方程，并在xOy平面绘出其曲线；（2）设φ = π，轨迹曲线又怎样？

解：两个振动方程事实已经构成了质点轨迹的参数方程，我们所要做的，只不过是消掉参数，并寻求在两个具体φ值下的特解。在实际操作时，将这两项工作的次序颠倒会方便一些。

（1）当φ = 2时，x = −2(1 − 2sinωt)，即 x = 4y − 2

22描图时应注意，振动的物理意义体现在：函数的定义域 −1 ≤ y ≤ 1(这事实上已经决定了值域 −2 ≤ x ≤ 2)（2）当φ =π时，同理 x = 2(1 − 2sinωt)= 2 − 4y

答：轨迹方程分别为x = 4y2 − 2和x = 2 − 4y2，曲线分别如图21的（a）（b）所示——

四、简谐波的基本计算 物理情形：一平面简谐波向−x方向传播，振幅A = 6cm，圆频率ω= 6πrad/s，当t = 2.0s时，距原点O为12cm处的P点的振动状态为yP = 3cm，且vP ＞ 0 ,而距原点22cm处的Q点的振动状态为yQ = 0，且vQ ＜ 0。设波长λ＞10cm，求振动方程，并画出t = 0时的波形图。

解说：这是一个对波动方程进行了解的基本训练题。简谐波方程的一般形式已经总结得出，在知道A、ω的前提下，加上本题给出的两个特解，应该足以解出v和φ值。

由一般的波动方程y = Acos〔ω（t高考资源网（ks5u.com）

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参照简谐运动的位移方程和速度方程的关系，可以得出上面波动方程所对应质点的速度（复变函数）

v = −ωAsin〔ω（t即 6π（2

312v）+ φ〕＞ 0）+ φ = 2k1π即 6π（2

222v）+ φ〕＜ 0）+ φ = 2k2π + ②

又由于 AB = 22 − 12 = 10 ＜λ，故k1 = k2。解①②两式易得 v = −72cm/s，φ=

23（或−

43）

x72所以波动方程为：y = 6cos〔6π（t + 当t = 0时，y = 6cos（12）+

23〕，且波长λ= v

2 = 24cm。

x + 23），可以描出y-x图象为——

答案：波动方程为y = 6cos〔6π（t + x72）+ 23〕，t = 0时的波形图如图22所示。

相关变换：同一媒质中有甲、乙两列平面简谐波，波源作同频率、同方向、同振幅的振动。两波相向传播，波长为8m，波传播方向上A、B两点相距20m，甲波在A处为波峰时，乙波在B处位相为−因干涉而静止的各点的位置。

解：因为不知道甲、乙两波源的位置，设它们分别在S1和S2两点，距A、B分别为a和b，如图23所示。

它们在A、B之间P点（坐标为x）形成的振动分别为——

y甲 = Acosω（t高考资源网（ks5u.com）

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当甲波在A处（x = 0）为波峰时，有 ωt = 此时，乙波在B处（x = 20）的位相为−结合①②两式，得到 b − a = 2 所以，甲波在任意坐标x处的位相 θ乙波则为θ = ωt −

4甲

a4 ①

b42，有 ωt − = −

2 ②

= ωt −

4（a + x）

乙

（22 + a − x）

甲两列波因干涉而静止点，必然满足θ −θ

乙

=（2k