数学建模中用到的启发式算法

第一篇：数学建模中用到的启发式算法

启发式搜索 “启发”(heuristic)是关于发现和发明规则及方法的研究。在状态空间搜索中, 启发式被定义成一系列规则, 它从状态空间中选择最有希望到达问题解的路径。人工智能问题求解者在两种基本情况下运用启发式策略: 1.一个问题由于在问题陈述和数据获取方面固有的模糊性可能使它没有一个确定的解。医疗诊断即是一例。所给出的一系列症状可能有多个原因;医生运用启发搜索来选择最有可能的论断并依此产生治疗的计划。视觉问题又是一例。看到的景物经常是模糊的, 各个物体在其连接、范围和方向上可以有多个解释。光所造成的幻觉加大了这些模糊性, 视觉系统可运用启发式策略选择一给定景象的最有可能解释。

2.一个问题可能有确定解, 但是求解过程中的计算机代价令人难以接受。在很多问题(如国际象棋)中, 状态空间的增长特别快, 可能的状态数随着搜索的深度呈指数级增长、分解。在这种情况下, 穷尽式搜索策略, 诸如深度优先或广度优先搜索,在一个给定的较实际的时空内很可能得不到最终的解。启发式策略通过指导搜索向最有希望的方向前进降低了复杂性。通过仔细考虑, 删除某些状态及其延伸, 启发式算法可以消除组合爆炸, 并得到令人能接受的解。

然而, 和发明创造的所有规则一样, 启发式策略也是极易出错的。在解决问题过程中启发仅仅是下一步将要采取措施的一个猜想。它常常根据经验和直觉来判断。由于启发式搜索只有有限的信息,诸如当前Open表中状态的描述,要想预测进一步搜索过程中状态空间的具体的行为很难办到。一个启发式搜索可能得到一个次最佳解, 也可能一无所获。这是启发式搜索固有的局限性。这种局限性不可能由所谓更好的 启发式策略或更有效的搜索算法来消除。

启发式策略及算法设计一直是人工智能的核心问题。博奕和定理证明是两个最古老的应用: 二者都需要启发式知识来剪枝以减少状态空间。显然, 检查数学领域中每一步推理或棋盘上每一步可能的移动是不可行的。启发式搜索常常仅是实践中的解答。

近来, 专家系统的研究把启发式策略作为问题求解的一个重要部分。当一个专家解决问题时, 他检查所获取的信息并作出决定。实际上, 专家用来解决问题的“拇指法则”很大程度上是启发式的。这些启发性知识被专家系统的设计者提取出来并形成规则。

通常启发式算法由两部分组成: 启发方法和使用该方法搜索状态空间的算法。本章先介绍最好优先搜索的算法, 再讨论启发式算法的设计和评估。

在一字棋游戏中(图4.5), 穷尽搜索的组合数很大。第一步移动共有九种移法 , 每一种又有八种对应走法……依次类推, 这个问题在穷尽搜索策略下需考虑9!个状态。

根据对称性可以减少搜索空间的数目。棋盘上很多构造是等价的。譬如, 第一步实际上只有三种移法, 角、边的中央以及网络正中。在状态空间的第二层上, 由对称性可进一步减少到12×7!种。在图5.1 中可见到该状态空间比最初的状态空间要小, 但它在扩展过程中还要继续分解。

然而, 一个简单的启发式策略几乎可以整个地消除复杂的搜索过程。首先, 将棋子移到棋盘上×有最多的赢线的点。最初的三种状态显示在图5.2中。若两种状态有相等的赢的机率, 取其中的第一个。这样的话,可设计一种算法(完全实现启发式搜索), 它选择并移到具有最高启发值的状态。在这种情况下, ×占椐网络的中间点, 其它的各种状态都不再考虑, 它们的延伸状态同时也给消除了。如图5.3 所示三分之二的状态空间就这样给剪枝了。

第一步走完后, 对方只能有两种走法(见图5.3)。无论选择哪种走法,我方均可以通过启发式搜索选择下一步可能的走法。在搜索过程中, 每一步只需估价一下单个节点的子结点;不需要强力搜索。图5.3 显示了游戏前三步简化了的搜索过程。每种状态都标记了它的启发值。

要精确地计算待检查的状态的数目比较难, 但可以大致计算它的上限。一盘棋最多走九步, 每步的下一步平均有四、五种走法。这样大约就是4.5×9,近40种状态, 比9!改善了很多。

5.1 启发信息和估计函数

人工智能的核心课题是问题求解。所谓“问题求解”就是在广义图中寻找一条从初始状态出发, 到达目标状态的解树。例如旅行问题是解决从出发点到达目的地的路线和工具问题;机器人装配机器, 就是给出把一堆零件变成一台机器的一系列操作;定理证明就是寻找一条从前提条件到达结论的通路等等。

在实际解决一个具体问题时, 人们常常把一个具有复杂联系的实际问题抽象化,保留某些主要因素, 忽略掉大量次要因素, 从而将这个实际问题转化成具有明确结构的有限状态空间问题, 这个空间中的状态和变化规律都是已知的有限集合, 因此可以找到一个求解该问题的算法。

然而, 在智能活动中使用最多的不是具有完备性的算法, 而是不一定完备的启发式方法。其原因有二: 首先, 大多数情况下, 智能系统不知道与实际问题有关的全部信息, 因而无法知道该问题的全部状态空间, 不可能用一套算法来求解其中的所有问题, 这样就只能依靠部分状态空间和一些特殊的经验性规则来求解其中的部分问题。

其次, 有些问题在理论上存在求解算法, 但是在工程实践中, 这些算法不是效率太低, 就是根本无法实现, 为了提高解题的效率, 不得不放弃使用这些算法, 而求助于一些经验性的启发式规则。

例如在博弈问题中, 计算机为了保证最后胜利, 可以将所有可能的走法都试一遍, 然后选择最佳走步。这样的算法是可以找到的, 但计算所需的时空代价十分惊人。就可能有的棋局数讲, 一字棋是9!=3.6×105, 西洋跳棋是1078, 国际象棋是10120, 围棋是10761。假设每步可能选择一种棋局, 用极限并行速度(10-104年/步)计算, 国际象棋的算法也得1016年即1亿亿年才可以算完, 而我们已知的宇宙史才 100亿年!由此看来, 启发式的问题求解, 不仅在实践上是需要的, 而且在理论上也是必不可少的。

对问题空间进行搜索时, 提高搜索效率需要有和被解问题的解有关的大量控制性知识作为搜索的辅助性策略。有两种极端的情况: 一种是没有任何这种控制性知识作为搜索的依据, 因而搜索的每一步完全是随意的, 如随机搜索;另一种是有充分控制性知识作为依据, 因而搜索的每步选择都是正确的, 这种搜索叫最佳搜索。一般情况是介于二者之间, 这些控制性信息反映在估价函数之中。

估价函数的任务就是估计待搜索结点的重要程度, 给它们排定次序。估价函数f(x)可以是任意一种函数, 如有的定义它是结点x处于最佳路径上的概率, 或是x结点和目标结点之间的距离, 或是x格局的得分等等。一般来说, 估价一个结点的价值, 必须综合考虑两方面的因素: 已经付出的代价和将要付出的代价。在此, 我们把估价函数f(n)定义为从初始结点经过n 结点到达目标结点的最小代价路径的代价估计值, 它的一般形式是: f(n)=g(n)+h(n)其中g(n)是从初始结点到n的实际代价, h(n)是从n到目标结点的最佳路径的估计代价, 主要是h(n)体现了搜索的启发信息。因为实际代价g(n)可以根据生成的搜索树实际计算出来, 而估计代价h(n)却依赖于某种经验估计, 它来源于我们对问题的解的某些特性的认识, 这些特性可以帮助我们更快地找到问题的解。

一般地, 在f(n)中, g(n)的比重越大, 越倾向于广度优先搜索方式;h(n)的比重越大, 越倾向于深度优先搜索方式。

g(n)的作用一般是不可忽略的, 因为它代表了从初始结点经过n 到达目标结点的总代价估值中实际已付出的那一部分。保持g(n)项就保持了搜索的广度优先趋势, 这有利于搜索的完备性, 但影响搜索的效率。在特殊情况下, 如果只希望找到达到目标结点的路径而不关心已付出的代价, 则g(n)的作用可以忽略。另外, h(n)> >g(n)时, 也可以忽略g(n), 这时有f(n)=h(n), 这有利于搜索的效率, 但影响搜索的完备性。

给定一个问题后, 根据问题的特性和解的特性, 可以有多种方法定义估价函数, 用不同的估价函数指导搜索, 其效果可以相差很远。因此,必须尽可能选择最能体现问题特性的, 最佳的估价函数。

5.2 启发式搜索算法

5.2.1 局部择优搜索法(瞎子爬山法)实现启发式搜索最简单的方法是瞎子爬山法(hill climbing)。瞎子爬山法在搜索过程中扩展当前结点并估价它的子结点。最优的子结点被选择并进一步扩展;该子结点的兄弟结点和父结点都不再保留。当搜索达到一种状态, 该状态比它的所有子结点都要好, 则搜索停止。瞎子爬山法可以这样理解──一个盲人急切地想登上山顶, 他总是沿着最陡的山路向上爬, 直到再不能找到新的路径。瞎子爬山法有这样一个缺陷: 一个错误的启发知识可能导致搜索无法沿着正确的路径前进, 从而增加了搜索的深度, 甚至是无穷尽地搜索。由于瞎子爬山法不保存所走过的结点信息, 故瞎子爬山算法无法修正错误的路径。

瞎子爬山法还可能在一个局部的最佳点上停止。当搜索到一个结点, 它的估计代价比任一个子结点都要小, 则算法结束。如果此时并不是目标状态, 而只是一个局部最优结点, 则该算法就不能得到目标解。因此, 在一个限定的环境下, 瞎子爬山法可能会极大地提高搜索效率, 但是对于整个搜索空间, 就有可能无法得到最佳解。重排九宫游戏就是一个突出的例子。为了将一个特定的格局移到它的目标位置上, 常常需要移动已经在其目标位置上的将牌。这对于完成拼图是必要的, 但它显然暂时恶化了拼板上的状态。由于“更好”并不是“最好”, 瞎子爬山法无法区别局部和全局最优解。处理这个问题时有许多种方法, 譬如随时地修正估价函数来突破局部最优的限制。但是总的来说, 没有一种方法能保证瞎子爬山法的最佳效率。下面 介绍一个瞎子爬山法的例子──跳棋程序。

在人工智能中, Samuel的跳棋程序最早应用该方法。在跳棋程序中, 不仅运用了启发式搜索, 还实现了简单的学习功能。

跳棋程序中根据几个不同启发值的总和来估算棋局的状态: ∑aixii

其中xi是棋局的一系列特征, 如残局优势、残局棋子力量分布, 中心点位置的控制等。这些xi的系数由它在整个估值中所处的重要性来确定。也就是说, 如果残局优势比控制中心点重要, 则残局优势的系数要大。

该程序将搜索空间扩展到一定局数并根据多项式估值函数估算该局中所有状态值。根据5.4.2节介绍的极大极小法, 程序可倒推出图中所有状态的估值。游戏者根据结点的最佳状态走棋;对手走棋后, 根据新的棋局状态, 整个过程将再来一遍。

若多项式估值函数导向一系列不能取胜的移动, 程序将调整其系数以提高能力。具有较大系数的因素由于在输棋原因中占很大比重, 它的系数将减小, 而较小的系数将增 大以提高相关因素的影响力。如果取胜则情况相反。通过与人或其自身的不同版本对抗, 程序不断训练学习。

可以看出, 跳棋游戏在学习过程中采用的是瞎子爬山法, 通过对多项式估值函数的局部的改进来提高自身的性能。该程序能不断改进到水平很高为止。然而, 由于算法依靠瞎子爬山法, 它不可避免地具有某些限制。例如, 由于采用的不是全局的策略, 程序容易被对手利用某种启发策略导向陷阱。同样, 程序的自学习功能容易被对手的随手棋所迷惑;例如, 老对手灵活地采用多种策略, 或故意乱下棋, 这就会使多项式估值函数的系数随意性很大, 从而全面降低了程序的能力。

上例表明, 尽管瞎子爬山法有其局限性, 但是若估价函数选取得当并能够避免局部最优解和无穷搜索时, 它就会充分发挥搜索的高效率。总之, 启发式搜索需要一个具有很多启发信息的算法, 而最好优先搜索就提供了这一算法。

5.2.2 最好优先搜索法(有序搜索法)和第四章中所提到的深度优先及广度优先搜索算法一样, 最好优先搜索算法也使用了两张表来记录结点信息: 在Open表中保留所有已生成而未考察的结点;在Closed表中记录已访问过的结点。算法中有一步是根据某些启发信息, 按结点距离目标状态的长度大小重排Open表中的结点这样。循环中的每一步只考虑Open表中状态最好的结点, 这就是最好优先搜索算法,又称为有序搜索法。其数据结构(Open表)既不同于广度优先使用的队(先进先出), 也不同于深度优先使用的栈(后进先出), 而是一个按结点的启发估计函数值的大小为序排列的一个表, 有时也称为“优先队”。进入优先队的结点不是简单地排在队尾(或队首), 而是根据其估值的大小插入队中 合适的位置, 每次从队中优先取出估值最小的结点加以扩展。

最好优先搜索的算法描述如下: PROCEDURE BEST-FIRST-SEARCH INITIALIZE:OPEN=[START];CLOSED=[ ];WHILE OPEN≠[ ] DO BEGIN REMOVE THE NEXT STATE FROM OPEN, CALL IT X;IF X IS A GOAL THEN RETURN THE SOLUTION PATH THAT LED TO X;PROCESS X,GENERATING ALL ITS CHILDREN;FOR EACH CHILD OF X DO CASE THE CHILD IS NOT ALREADY ON OPEN OR CLOSED: BEGIN ASSIGN A HEURISTIC VALUE TO THE CHILD STATE;ADD THE CHILD STATE TO OPEN;END;THE CHILD IS ALREADY ON OPEN: IF THE CHILD WAS REACHED ALONG A SHORTER PATH THAN THE STATE CURRENLTY ON OPEN THEN GIVE THE STATE ON OPEN THIS SHORTER PATH VALUE THE CHILD IS ALREADY ON CLOSED: IF THE CHILD WAS REACHED ALONG A SHORTER PATH THAN THE STATE CURRENLTY ON CLOSED THEN BEGIN GIVE THE STATE ON CLOSED THIS SHORTER PATH VALUE;MOVE THIS STATE FROM CLOSED TO OPEN END END;PUT X ON CLOSED;RE-ORDER STATES ON OPEN ACCORDING TO HEURISTIC MERIT(BEST VALUES FIRST)END;RETURN(FAILURE);%OPEN IS EXHAUSTED END.在每一次重复中, 最好优先搜索算法从Open表中取出第一个元素, 如果该元素满足目标条件, 则算法返回到达该元素的搜索路径。在这里, 每个结点都保留父结点的信息, 以保证返回完整的搜索路径。

若Open表的第一个元素不是目标结点, 则算法应用相应的规则进行一系列操作来产生它的子结点。如果子结点的状态已在Open(或Closed表)中, 则算法保证新的状态记录两个求解路径中花费小的一个, 不保留重复的状态。这样, 当Open表(或Closed表)中的结点再一次被发现时, 通过刷新它的祖先结点的历史记录, 算法就极有可能得到到达目标结点的更短的路径。

接着, 最好优先搜索法估算Open表中每个结点的状态的启发值, 按照值的大小重新排序, 将值最小的状态放在表头。

图5.4是一个层次式状态空间, 有些结点旁边标上了相应的启发值。标上值的那些状态都是在最好优先搜索中实际生成的。在这张图中, 启发搜索算法扩展的状态都已显示;算法无需搜索所有的状态空间。最好优先搜索算法的目标是尽可能地减小搜索空间而得到解, 启发信息给得越多, 处理的状态就越少。

下面给出了这张图的最好优先搜索算法的运行过程。假定P是目标状态, 则到P 的路径上的结点状态有较低的启发值。在这里, 启发信息难免会有错误;状态O比P的值小而先被检查。然而, 不象瞎子爬山法, 该算法本身有纠错功能, 能从此状态返回并找到正确的目标状态。1.Open=[A5];Closed=[ ] 2.估算A5;Open=[B4,C4,D6];Closed=[A5] 3.估算B4;Open=[C4,E5,F5,D6];Closed=[B4,A5] 4.估算C4;Open=[H3,G4,E5,F5,D6];Closed=[C4,B4,A5] 5.估算H3;Open=[O2,P3,G4,E5,F5,D6];Closed=[H3,C4,B4,A5] 6.估算O2;Open=[P3,G4,E5,F5,D6];Closed=[O2,H3,C4,B4,A5] 7.估算P3;已得到解!图5.5是算法执行了五次循环后的状态空间图。Open表和Closed 表中的状态以不同的亮度显示。Open表中记录搜索的当前结点, Closed表中保存已考察过的状态。

最好优先搜索算法总是从Open表中选取最“好”的状态进行扩展。但是, 由于启发信息有时可能出错, 故算法并不丢弃其它的状态而把它们保留在Open表中。当某一个启发信息将搜索导向错误路径时, 算法可以从Open表中检索先前产生的“ 次最好”状态, 并且将考察方向转向空间的另一部分上。如图5.4, 当算法发现状态B 的子结点有很差的启发值时, 搜索转移到C, 但B的子结点都保留在Open表中, 以防算法在未来的某一步再一次转向它们。在最好优先搜索算法中, 就象第四章中的算法一样, 当某一路径无法到达目标解时, 可使搜索转到另一条路径上。

5.2.3 启发估计函数的实现

不同的启发策略对解决九宫问题有不同的影响。图5.6 显示了九宫问题的起始状态、目标状态以及搜索过程中产生的前三个状态。

最简单的启发策略是计算每种格局下与目标结点的格局相比时位置不符的将牌数目。从感觉上来说, 这种策略很有效, 因为在其它条件相同的情况下, 位置不符将牌数目越少, 它看上去和最终目标越近, 因而是检验的下一个状态。

但是, 这种策略并没有充分利用所能获得的信息, 它没有考虑将牌所需移动的距离。一个“较好”的启发策略是将牌移到目标位置上时所需移动距离的总和相加作为启发值。

这两种策略都没有考虑将牌逆转时的情况, 也就是, 如果两块将牌相邻但是和目标格局相比位置相反, 这至少需要移动两次才能将它们移到正确的位置上, 将这一点加以考虑的启发策略对每一对逆转将牌乘以一个小倍数(如2)。图5.8显示的就是将这三种策略运用到图5.6的三个子状态情况下所得到的结果。

在图5.8中, “距离总和” 策略看上去比仅仅计算位置不符将牌数目的策略提供了一个更精确的估算。而且, 由于在这些状态中, 没有直接给出逆位数, 故都给予估值。第四种策略克服了仅计算将牌逆转数目策略的局限, 它将位置不符将牌数目总和与2倍将牌逆转数目相加。

这个例子说明, 设计一个好的启发策略具有相当的难度。设计算法的目标就是利用有限的信息作出一个明智的选择。上述策略都忽略了一些重要的信息, 需加以改进。好的启发策略的设计是一个经验问题, 判断和直觉是很重要的因素, 但是衡量的最终尺度则是具体应用时的效果。

由于所有的启发策略都可能出错, 每一种搜索算法都可能导向错误的路径, 但是在深度优先搜索中, 可用深度计数探查无效路径来解决这个问题。这个思想也可运用到启发式搜索中。如果两种状态具有相等的启发值, 通常先考察离根较近的那个状态。这个状态极有可能就处在到达目标状态的最佳路径上。可用一个深度计数来记录从起始状态到其子孙状态的距离。计数起始值为0, 每搜索一层计数值加1。这个值可加到启发值上, 层数越浅的状态越优先。

这样, 就得到了估计函数f, 它由两个因素所组成: f(n)=g(n)+h(n)其中g(n)是状态n到达起始状态的路径的实际长度, h(n)是状态n到目标状态的最佳路径的启发值。

在九宫问题中, 可令h(n)为位置不符的将牌数目。若将这个估计函数值运用到 图5.6的子状态中, 它们的f值分别是6,4,6(见图5.9)。

各个状态的f(n)值 这里f(n)=g(n)+h(n)g(n)=从n到初始状态的实际长度 h(n)=位置不符的将牌数目

图5.9 九宫图的估计函数f值

在图5.10中, 使用上面所定义的f函数得到一个完整的搜索树。每种状态都以一个字母及它的估计函数值f来标记。每种状态头部的数字显示该状态从Open 表中取出时的顺序。有些状态没有数字标记, 这是因为当算法结束时, 这些状态仍在Open表中。

图5.10 启发式搜索产生的九宫图状态空间

产生图5.10的一系列过程如下: 1.open=[a4];closed=[] 2.open=[c4,b6,d6];closed=[a4] 3.open=[e5,f5,g6,b6,d6];closed=[a4,c4] 4.open=[f5,h6,g6,b6,d6,i7];closed=[a4,c4,e5] 5.open=[j5,h6,g6,b6,d6,k7,i7];closed=[a4,c4,e5,f5] 6.open=[l5,h6,g6,b6,d6,k7,i7];closed=[a4,c4,e5,f5,j5] 7.open=[m5,h6,g6,b6,d6,n7,k7,i7];closed=[a4,c4,e5,f5,j5,l5] 8.成功,m=目标状态!在第3步中, e和f都具有相等的启发值5。先检查状态e并产生它的子结点h和i。尽管h同f一样具有相等的位置不符的将牌数目, 但它在整个状态空间中所处层数要深。深度函数g(n)使算法在第4步中选择f作为考察对象。此时, 算法回退一层并继续搜索过程。此时的状态空间图以及相应的Open表、Closed表见图5.11。

事实上, 估计函数f中的g使搜索具有广度优先的性质, 这就使整个搜索免于被一个错误的估计值所误导。当算法沿着一条不断返回“好”估值但实际上是错误的路径搜索时, g值将不断增加并最终在f中占主导地位, 从而迫使搜索回退到一个具有较小f值的路径。这就保证算法不会永远沿着一条路径搜索下去。在5.3节中, 将讨论在何种条件下, 最好优先算法使用f一定能得到一条最短的路径。

当估计函数f运用到最好优先搜索算法上时, 它提供了启发式搜索的一般规则。总结如下: 1.根据产生式规则和一些其它的操作生成当前考察结点的子状态。2.检查每个状态以前是否已经考察过(已在Open表或Closed表中), 以防止循环。

3.每个状态n都赋以f(n)值。其中f=g+h, h 值使搜索沿着具有较好启发值的状态所处路径前进;g值防止搜索在一条无效的路径上无限继续下去。

4.Open表中的状态按f值排序。这些状态在未被考察或未找到到目标状态时一直保存, 通过保存这些状态,算法能随时从一无效路径上返回。Open 表中可能保存有状态空间中不同层次的状态, 以充分保证能随时转移搜索方向。

5.通过设计Open表和Closed表的存贮方式, 可提高算法的效率。例如, 将Open表处理为一个堆栈能够缩短排序的时间。

最好优先搜索算法是启发式搜索的一个较常用算法。它支持多种估计函数的使用, 既可用于目标驱动搜索, 又可用于数据驱动搜索, 它是检验启发式搜索行为的一个基础。因为它的普遍性, 最好优先搜索可和多种启发策略一起使用。

应用启发策略的另一个有趣的方法是可信度的运用。它在专家系统中被用来衡量一条规则所产生的结果的可信程度。当一个专家考虑一个问题时, 他经常给出所得结论正确的可能程度。同样, 专家系统使用可信度方法来选择具有最高可信度的结果作为最终结论, 而具有较小可信度的状态不予考虑。在下节中将讲述这种方法。

第二篇：如何在数学教学中运用启发式

如何在数学教学中运用启发式

作者：冯岩

地址：海城高中数学组 邮编：114200

如何在数学教学中运用启发式

姓名：冯岩

地址：辽宁省海城市高级中学数学组 邮编：114200

[摘 要] 启发式是一个古老而新鲜的教学理念。随着科技发展，时代进步，人们又赋予启发式以新的内涵。即启发式：有利于开发学生的智力潜能，充分发挥学生的聪明才智；有利于促进知识，能力的协调发展；有利于培养学生的创新意识，创新能力；有利于增进学生分析问题解决问题的能力等等。我们通过实验和研究，认为启发式教学不仅是教学方法，更是一种教学思想，是教学原则和教学观。当代世界各国教学改革无一不是围绕着启发式或和启发式相联系。[关键词] 启发式；课堂；教学

启发式教学是一个古老的概念。从著名教育家孔丘至今，历时二千多年，启发式不但没有在教学中有丝毫的淡化，而且越来越成为人们关注和研究的重点，这说明启发式有着强大生命力。

那么，什么叫“启发式”？孔子说“不愤不启，不悱不发；举一隅不以三隅反，则不复也。”孔子的所谓“愤”、“悱”，正是学生求知的冲动和兴趣，也就是学生学习的潜能。在孔子看来，教师如果不能把学生的学习潜能挖掘出来，那么他（或他们）的教学就不可能达到“举一反三，闻一知十”的效果。孔子关于启发式的论述，同时也使我们认识到：启发式不只是一种教学方法，更是一种教育思想和教学原则。只有这样，才能使教学摆脱老师问学生答的浅层次的教学状态，而渐臻于从本质上讨论教学知识和能力，达到师生互动、教学相长的教学境界。

为了更好地在数学教学中贯彻启发式的教学思想、原则和方法，我从以下四个方面进行分析和阐述。

一、创设问题情境 从心理学上讲：“思维活跃于疑路的交叉点。”当已有的知识或经验与教材课题发生矛盾时，教师创设问题情境，学生的思维便活跃在新的有趣的问题等待解决之时。表现在惊讶万分，急于探究，思维高度集中，高度振奋。

例如，在讲述等比数列的前n项和时，我引入了这样一个故事：传说古代印度有一个国王喜爱象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了，我将答应你的任何要求。”智者心想：我应该治一治国王的傲慢。当国王输棋后，智者说：陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第一格一粒，第二格二粒，第三格四粒 „„以后每格是前一格粒数的二倍。国王说这太简单了，吩咐手下马上去办。过了好多天，手下惊慌地报告国王，不好了，你猜怎样？原来经计算，印度近几十年生产的所有麦子加起来还不够。问：你知道这些麦子有多少呢？新课开始，通过创设问题情境，提出一个真实的问题造成学生认知上的冲突，形成学生欲证不能，欲罢不能的悱愤状态，很快使学生对教学内容产生浓厚的兴趣，并且能够积极去探索和发现。同学们跃跃欲试，纷纷想办法去求。少数同学想一格一格地加起来，但又太麻烦，数据很大，马上放弃自己的想法，再探索其他途径。这是老师启发学生，每格麦粒的个数之间有什么特点？学生发现：成等比数列。这个问题实际上是等比数列前n项和，从而引出课题。通过创设问题情境，让学生体会到数学概念的提出过程，知识的形成和发展过程，使学生在这些过程中欣赏大形式化概念的“美丽”而不是枯燥无味的。

二、启发式提问 根据教材的重点和难点，提出问题，促使学生积极思考，提高学习兴趣。例如，在圆柱、圆锥、圆台、和球的教学中，要讲述球面的定义及球截面的性质。可以直接给出定义证明性质，但这样一来，学生会感到乏味，教学效果不好。因此我结合多媒体课件演示，设计了一系列问题：（1）在用旋转的方法定义了圆柱、圆锥、圆台之后，思考球面是如何形成的？（2）回忆初中圆的定义，把它类比推广到空间得到什么结论？从而解决了本节的一个教学目标——用旋转和和集合的方法定义球面。（3）球和球面一样吗？若不一样有什么区别？（4）用一个平面去截球会得到什么图形，若改为用一个平面去截球面会得到什么图形？（5）在球面上有两个点，如何连接才能使他们在球面上的距离最短？从而明确球的相关概念和球截面性质。这样处理既复习了旧知识，又学习了新知识，同时又启发了学生的思维。

三、启发式的探索试验 运用启发式探索试验，可以使学生通过实验产生惊奇，从而产生浓厚的学习兴趣，于是便积极思维，最终获取知识。

例如，我在讲椭圆的定义时，在课前让学生准备教具：一块纸板，一根定长的细绳和两枚图钉。先将两个图钉固定在同一点，显然画出的是圆；然后通过不断移动两个图钉(改变两个定点间的距离)画出扁平程度不同的椭圆；最后当两图钉将绳子拉直时，画出的是线段。通过这样的实践，让学生理解2a>2c这一条件，这样安排也有利于学生用运动、变化的观点去分析问题。

四、讨论或议论

适当地让学生参与讨论或议论，不仅可以活跃课堂气氛，而且还能启发学生的思维，使学生积极地参与到教学中去。

例如：在讲圆方程时，有这样一道题：

已知O为坐标原点，圆x2+y2+x-6y+C=0，与直线x+2y-3=0的两个交点为P，Q，当C取何值时，OPOQ？

上课时，有80%的学生认为此题是直线与二次曲线的相交问题，所以选择了常规解法（即联立直线方程与圆方程组成方程组，再用韦达定理求出x1x2和y1y2），此解法略。

然后我和同学们一起分析题中条件和结论，启发他们和以前的知识联系起来，利用知识的迁移，让他们进行小组讨论，以探求其它的解法。讨论的结果还有以下三种解法。

解法一 设M点是弦PQ的中点，由O1MPQ，O1（-得O1M：y-3=2(x+1212，3），)1y-32(x)再由2 得M(-1,2)x2y-30所以以PQ为直径的圆且过原点O的圆M为

x2+y2+2x-4y=0 ① 将①式与圆O1：x2+y2+x-6y+C=0相减 得公共弦PQ方程：x+2y-C=0 又PQ：x+2y-3=0 C=3 解法二 设过P，Q的圆系方程为

（x2+y2+x-6y+C）+ λ（x+2y-3）=0 ①

 过原点，C-3λ=0 C=3λ

代入①式整理得

x2+（1+λ）x+y2+(2λ-6)y=0 所以圆心M（-12，3-λ）

M在直线x+2y-3=0上，(-12)x+2(3-λ)-3=0 λ=1 C=3 解法三 根据圆的性质，利用几何知识求。圆x2+y2+x-6y+C=0的半径R=由解法一已求出M(-1,2)，由PQO为直角三角形，得

|PM|=|MO|=(1)222=5

又由点O1到直线PQ的距离，即

|12233|374C

|O1M|=

=

552

再由RtPQO,得|O1M|2+|PM|2= |O1P|2 由此可求得C=3 通过此题的解法，可知，同样一道题，通过学生的讨论，能够从多角度分析，就能得到不同的解法，从而活跃了学生的思维，有力地体现了“以学生为主体，以教师为主导”的教学指导思想。

第三篇：浅谈数学启发式教学

浅谈数学启发式教学

摘要

数学教学是数学思维的教学，随着我国基础教育改革的深入，如何引导学生参与到教学过程中来，特别是如何让学生学会学习，已成为当今课程改革关注的要点之一，也是“素质教育”的主要目标。启发式教学是我国传统教育思想的精髓，是一切优秀教学方法的指导思想，是实施素质教育的最佳途径和有效方式。现代启发式教学能很好改善传统的教学模式，引导学生主动参与，达到师生互动的目的，从而更有效地培养学生学习的自主性、能动性和创造性。因此，中学数学启发式教学是一个值得探讨的问题。

本文首先简述了启发式教学的由来，思想内涵。之后总结分析了启发式教学的主要特点，阐述了数学启发式教学的基本原则，并进行了相应的案例分析。最后归纳出了当前启发式教学存在的一些不足之处。

关键词启发式教学中学数学教学案例

1启发式教学概述 1.1启发式教学的由来

启发式教学是一种古老而又年轻的教学思想，它源远流长，博大精深，且历久弥新。我国早在春秋战国时期，大教育家、思想家孔子就提出了“不愤不启，不徘不发，举一隅不以三隅反，则不复也”。而在国外，古希腊的思想家苏格拉底以发问为主的教学方法开创了西方启发式教学的先河。随着时代的进步与发展，启发式教学不断吸收并注入了新鲜血液，在当前的教学领域更显得生机勃勃，更具有优越性,值得大力推广。

从现代意义来讲，启发式教学就是根据学生认识的客观规律以及学生的理解能力，充分调动学生学习的主动性，激发其内在的学习动力，通过引导学生的学习过程，使他们经过独立思考掌握知识，从而提高学生理解，分析，解决问题的能力。

1.2启发式教学的思想内涵

现代启发式教学思想内涵体现在以下方面：

（1）启发式教学是以学生为主体，以重新认识学习者的地位和作用，建构新的学生主体观为目的。

这种新的学习观念强调学生作为认识、学习的主体，必须具有主动性、能动性和创造性。现代启发式教学就是以学生能不能发现问题、解决问题并勇于创造来判定其优劣。

（2）启发式教学的重点是使学生学会学习。

古人云：授人以鱼，仅供一饭之需；授人以渔，则终生受用无穷。学会学习也正是现代启发式教学的重点，随着学生主体性的增强，由被动学习向自主学习过渡，最后实现由教到不教的转化。

（3）启发式教学侧重学生思维过程和思维方法的启发。

它是以当代认知心理学的最新研究成果为理论依据的，它重视教学活动中学生的认知过程，特别是思维过程的充分展现，真正体现了以学生为主体、以学生发展为主线的全新教学理念。2启发式教学的特点

启发式教学作为一种教学论思想，既要指导具体的教学实践活动，又要在具体的教学方法上体现出应有的特点。2.1教学过程的互动性

现代教学方法是以完成现代教学任务为目的的、师生共同活动的方法。它既包括教师“揭标、设疑、导练、评价”的教法,又包括学生“自学、解疑、应用、矫正”的学法。中学数学课的教学不仅是数学知识的传授过程，更重要的是培养一种以此为基础的分析和解决问题的思维过程。教师要把自己置于与学生平等的地位，关注学生学习的反馈结果，增强教学的针对性和有效性。同时，学生由于参与到教学过程中，学习的主动性、积极性提高了，在教学活动中，教、学双方都在采取行动，各自在其中有所收获。2.2教学对象的能动性

在教学过程中，学生是主体，教师是主导，“教”应为“学”服务。正如苏格拉底所说的那样“教师在课堂上讲了些什么并不重要，学生在课堂上想了些什么要重要千万倍。”中学数学课的教学效果往往取决于教学对象是否会灵活运用所学内容，而教学对象是否能灵活运用所学内容，又取决于这些内容是否能满足教学对象的需要。数学课启发式教学就要把教学对象作为主体，根据学生的学习动机、兴趣形成的特点和规律，提高学生学习数学的自觉性和积极性。2.3学习的“双部性”

所谓“双部性”是指教师引导学生活动时，既要注意学生的外部活动，又要注意学生的内部活动。传统的教学方法往往只注意学生的外部活动，只注意他们听课注意力是否集中，实验操作是否有秩序，观察是否细心。但是，有时学生活动的外部表现尽管相同，但从内部来说则可能完全不同。原苏联教育学家休金娜说“教学方法的教育学价值常常是由认识过程的隐蔽的、内部的方面决定的，而不取决于该过程的外部表现形式。”因此，现代教学方法不仅注意学生的外部活动，而且更加重视学生的内部活动。3数学启发式教学方法与案例分析

启发式教学原则是各种教学方法的灵魂，应渗透在教学活动的各个方面，并贯彻教学过程的始终。教师在典型示范与一般要求相结合、讲授与引导相结合、肯定与补充相给合的原则指导下可采取多种多样的形式进行启发。

在对学生进行启发的过程中，“问”的艺术是启发的关键，是研究和表现启发式教学的艺术性的重要方面。“问”的目的是启发学生自己进行思考，调动学生“参与”的积极性。通过“问”，让学生愿意提出自己的想法，与教师商讨。数学学习的实质就是解决数学问题，即学生怎样数学地提出问题和解决问题。数学教学应当从问题开始，以问题引导数学学习。可见，“问”在启发诱导的过程中极其重要。那么，教师在教学时，如何通过恰当的“问”来启发诱导学生呢？

（1）针对学生的差异，提问要有层次性、递度性

教学提问是师生共同参与的双边活动。所以教师在问题的设置上必须考虑到学生的实际情况，合理确定问题的难度与坡度，既做到面向全体学生提出问题，以免造成“少数人表演，多数人陪坐”的现象，也需区别对待，针对学生的个别差异，用不同的方式提出不同类型、不同层次的问题。

24xxymxmyx例如把下列各式因式分解：

1、；

2、4；因为第一问比较简单，所以提问的层次是中等生，第二问需要添项、拆项，所以提问的对象是优秀学生。

2x解1：xymxmyx(xy)m(xy)=(xy)(mx)； 42222222x4x44x(x2)(2x)(x2x2)(x2x2)2：（2）掌握发问时机，提问应该有的放矢，抓住关键点

教学需要是设计提问的客观依据。在整个教学过程中，教师随时都可以发问，但要保证提问的质量和效果，就必须要注意发问的时机及对教材的重点与难点如何发问，发问时应有的放矢，抓住关键点，以免画蛇添足。那么什么时候是最佳发问时机呢?就是当学生处于孔子所讲的：“必求通而示得，口欲言而不须”的“愤悱”状态的时候。此时，学生注意力集中，思维激活，对教师的发问往往能入耳入脑，取得良效。最佳发问时机既要求教师敏于捕捉，准于把握，也要求教师巧于引发，善于创设。2xxx10，教师应该问学生是现在平方，还是平移以后例如解方程

2平方，而要是老师直接写出xxx1，再两边平方，那题目太容易了。

（3）注意发问顺序，所提问题结构要简明合理，含义要清楚、准确、具体

教师发问在内容难度上应由浅入深，由易到难，循序渐进。在形式上，教师的发问又切忌按座位顺序点名提问，而应打破次序，有目的地“随机”提问。在问题的结构上，要简明合理，冗长繁杂的问题，使学生很难把握问题的中心。

在我们的教学中常常发现教师会问学生“你学了这些知识，有何感想？”“你的体会是什么？”诸如此类的问题，这些笼统的提问，常常使学生不知该如何回答,或者做一些含糊其词、无关痛痒的回答，使教师难以顺着这条线再问下去。因此在提问中要限定问题的范围，避免提问大而空。要把大的问题具体化，尽量使问题的含义表述的清楚、准确。

2例如：把yx2x3向右平移5个单位，所得解析式为。2y(x1)2，教师要先问学生：第一步做什么?学生答:配方为第二步做什么?学生答:求出顶点：（1、2），第三步做什么?学生答:把顶点平移后为（6、2）

2所以y(x7)2

（4）适时提示点拨，对学生的回答及时归纳总结

在课堂提问过程中，教师应该有两个最主要的停顿时间，一是教师提出一个问题后，要等待足够的时间，为学生的回答提供思考的时间，不能马上重复问题或指定学生回答问题，二是指学生回答之后，教师也要等待足够的时间，才能评价学生的答案或者再提出另一个问题，以便他们完整地做出回答。当学生回答问题不够准确完整、流畅，甚至完全“卡壳”时，教师应根据具体情况，给予适当的语言提示，指点迷津，以助学生走出思维误区。对学生的回答，教师要及时进行总结，公正地指出优点或不足，教学提问的总结对学生系统深入掌握所学知识有着非常重要的作用，如若不然，学生对教师提出的问题始终没有清晰、明确、完整的认识，也很难掌握课堂知识。

4.当前启发式教学存在不足

(1)以练代启

认为启发式教学既然与注入式教学相对，就应该增加学生的活动量，即“精讲多练”。多练不一定是坏事，但如果仅停留在模仿阶段（解题术的套用）而大量做一些重复性练习，学生的思维没有经历领悟的过程，就不能说是启发式教学。

(2)以活代启

这里的“活”不是思维上的活，而是追求教学形式的活跃、热烈，认为教学气氛不热烈就不是启发。常见的有：教师用简单的“对不对？”“是不是？”等问题，换回学生大声的“对”、“不对”、“是”、“不是”。或是哗众取宠，通过一些偏离主题的动作、语言引得学生哄堂大笑等。

(3)以已代生

教师虽注意分析，分析起来也有条有理、思路清晰，却是“事后诸葛”，往往是教师多次探索后保留的最佳通路，而“最佳”的寻求过程，特别是克服障碍的过程并未表现出来，结果是学生听起来津津有味，做起来却一筹莫展。这些都是没有抓住启发的实质，形而上学地简单套用的结果。

(4)提问不科学

先点名，后提问题。被叫学生站起来了，但不知道要回答什么，心中无数，惶惶不安。这种提问方法违背了学生的思维规律，会造成一人惊慌，大家松气的局面。问题不分难易，提问不看对象。提问本应从教材和学生实际出发，量体裁衣。如果教师忽视了这一点，信口点名，把难题叫“差生”回答，容易的题目叫“优等生”来回答，这不利于调动学生学习的积极性。

数学启发式教学需要理论研究的支持，但更重要的是需要我们在具体课堂实践中有启发式教学的意识，并能深化到教育教学中，真正地体会并落到实处才能使启发式教学在数学教育教学中真正地发挥作用。在我们日常的教学实践中，不是节节课都可以以启发式的教学模式授课，然而对于数学的学习，启发式的教学行为在学生逻辑思维上的作用是不容小觑的，引导学生独立思考，学生学会自我归纳数学思想方法，并将新的知识内化，重新整合自身的数学认知结构，才是我们所最求的目标。参考文献

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第四篇：数学建模2011

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题评阅要点

[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

针对这个题目，评阅时请注意“数学模型、求解方法、结果与分析”这三个方面。

数学模型：尽量用数学语言、符号和公式表述，优化模型要给出明确的决策变量、目标函数和约束条件，表述准确全面。

求解方法：尽量用数学语言对算法的思路、步骤、数据的处理过程、所使用的软件给出明确的描述。

结果与分析：要有明确的数值结果，表达简明、清晰。

第一部分：

（1）要求明确给出分配各个交巡警服务平台具体管辖范围的数学模型和具体的管辖范围（一般指路口，也可考虑相关道路）。合理性主要体现在两个方面：所有平台最长出警时间尽可能短，且它们的工作量（每天的出警次数）尽量均衡，优秀论文中应该给出这两个量化指标。

参考结果：最大出警时间大于3分钟的有6个路口，最长出警时间约为5.7分钟；同时应有工作量均衡性的度量指标。

（2）要求给出决定对13个路口实施封锁的数学模型，通过求解模型，具体给出13个目标路口各由哪一个平台实施封锁，以及对每个路口的封锁时间和完成封锁的最大时间。

参考结果：最优方案的最大的封锁时间约为8分钟。

（3）模型应该考虑增设平台后，使其减少最大出警时间与各平台间工作量的均衡性效果，要具体给出需增加新平台的个数和位置，且给出其定量依据。

第二部分：

（1）应该根据最大出警时间和工作量的均衡性这两个因素建立模型，求解给出最大出警时间和工作量均衡性的具体指标，分析现有平台设置方案的合理性。依据这些结果，对明显不合理的提出改进方案：如增加平台或移动平台，都必须要有具体的平台数量和位置，且阐述这样做的理由和定量依据。

（2）要求给出能封锁住嫌疑人的数学模型，并给出算法和具体结果。

能封锁住的基本约束条件是：“出事地点到将要封锁的路口所需时间加3分钟大于等于指派平台到封锁路口的所需时间”。在这个约束条件之下给出最优封锁方案。

第五篇：数学建模

第一篇 我的大学职业生涯规划

作为当代大学生，若是带着一脸茫然，踏入这个拥挤的社会怎能满足社会的需要，使自己占有一席之地？每当人类经过一次重大变革，总是新的机会在产生，有的机会在消失。只有那些先知先结的人才能抓住机会走向成功，而那些抱着旧观念不放的将会被社会所淘汰。在茫茫人海中，如何能先拔头筹，就看你是否准备充分了，所以，对自己个人职业生涯规划做个适当的规划是很有必要的。有了目标，才会有动力！

一、自我分析

1.价值观

我崇尚自由自在的生活，不喜欢被拘束。舒服安逸富裕的生活，是我的向往。从小就被教育要有团体合作精神，所以我一直认为，人最可贵的就是能团结合作，全力以赴。这样可以做到事半功倍。

我的职业价值观（进行过职业价值观测试）：工作的目的和价值,在于不断创新,不断取得成就,不断得到领导与同事的赞扬或不断实现自己想要做的事..获得优厚的报酬,使自己有足够的财力去获得自己想要的东西,使生活过得较为富足。希望一起工作的大多数同事和领导人品较好,相处在一起感到愉快，,是一种极大的满足。是一种极大的满足。

2.性格

我是一个喜欢不被束缚的开朗女孩，喜欢读书，看电影。开朗，幽默,乐观的。也很率性。喜欢交朋友,擅长于与人沟通，人际关系佳，忠实可靠。

3.兴趣

平常喜欢打篮球,听音乐，逛街，交朋友。还喜欢上网，看些小说，喜欢看各种杂志类书籍。积极的培养各方面的兴趣，比如学吉他，对辩论方面的知识也很想去了解,想成为全方面人才。

4.能力

计算机应用，office软件应用,听从指挥，有计划有思考的去完成一件任务。有责任心，上进心，做事认真投入,擅长想象思维。可以充分发挥善于运用抽象思维、逻辑推理等能力来分析解决问题的优势，发扬独立钻研的学习精神。由于参加学生会和长期担任班干部,有丰富得管理经验,实践能力强。但缺乏耐心、毅力。

5.职业兴趣

我的职业兴趣很广泛，由于我是学管理的,对管理方面的知识比较了解,可以学以致用。希望能够在企业人事行政管理方面有所发展,自我表现和体现我的价值所在。

6.职业个性

喜欢独立地计划自己的活动和指导别人的活动，在独立的和负有职责情景中感到愉快，喜欢对将来发生的事情作出决定,想努力成位一位优秀的领导者。在工作中形成一定个人魅力，得到大家的肯定及尊重。软硬兼用,以身作则。对自己未来有信心。

7.职业价值观

希望工作以团队合作的方式进行，大多数同事和领导在工作中有融洽的人际关

系，相处在一起感到愉快、自然，认为这就是很有价值的事。重视工作中人与人之间的关系，希望能建立良好的同事关系。愉快、协调的团队协作是我这种类型的人所追求的。

第二篇 我的未来规划

从上大学后就一直处在困惑之中，时常问自己：“到底我的人生之路将如何？我的人生之路将如何走下去？怎样才能使自己一生无悔呢？” 一位哲人这样说过：“走好每一步，这就是你的人生”。是啊，人生就是一个不断选择的过程，每走一步自己都要做出选择，同时每个人都在设计自己的人生，都在实现自己的梦想.人生之路说长也长，因为它是自己一生意义的诠释；人生之路说短也短，因为自己生活过的每一天都是自己的人生。在这世界我就像一棵很不起眼的小树，可是小树也有它的理想，为了让小树能够更好的实现自己的理想,长成参天大树。于是对自己做出以下一生的规划，以便于时常提醒自己不要忘记目标。

其实我自己对经济就比较感兴趣，希望在大学能够学经济管理之类的专业，但由于父母认为我的性格不适合，所以在选择专业的时候选择经济与法学（国际经济与贸易）。

一、具体行动计划

1、学业方面：

可以说对自己这学期的表现很不满意。但另一方面，也总结了一些大学里的学习方法，对以后的学业方面还是比较有信心的。

具体的说，今后首先要保证听课的质量，这样才是最有效的学习方法。

认真的上好每一堂课，做好每一次笔记。做到不迟到，不旷课，按时完成老师布置的任务。

2、日语学习：

然真的上好每一堂日语课，每天要被日语单词，记甲名，多读多练习，既然选择了就要坚持到底，虽然日语很难学，但是不可以让家里的人失望，不可以对不起自己，所以要加油！

3、其他活动：

有时间去做一些有意义的商业演出活动，在当中可以学到很多东西，顺便锻炼写自己的能力，提高自己的水平。

4、丰富自己的业余生活：

Work hard，play harder！

学习或工作不再状态的时候要适当放松，去玩一玩。玩的时候就不去想没有完成的工作。不去想那些不开心的事情，不让自己那么的心烦。放松的时候可以找朋友区逛逛街，或者喝喝奶茶。好好的调整自己，不开心的总是会过去的。呼吸一下新鲜空气，一切都会好的，加油！

5、人际交往

遇到问题多和人沟通，多向人请教，相信别人都是愿意帮助自己的。做好自己，认真待人，多对人微笑。

二、结语

坚持久是胜利！

一篇规划写下来发现一切都那么美好，实现起来却不容易。虽说不容易，但其实也简单——不过是坚持。相信我可以度过充实而美好的大学生活。当眼泪要划过脸庞，我要微笑的拿手抹掉。当悲伤来袭，我要告诉自己一切都会好的，一切都会过去的。要相信明天会更好。相信我可以美好的度过大学的生活！明天,加油！