函数的对称性和周期性复习教案[合集五篇]

第一篇：函数的对称性和周期性复习教案

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

函数的对称性和周期性

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。3.掌握常见的函数对称问题

二、建构知识网络

一、两个函数的图象对称性

yf(x)与yf(x)关于x轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。

2、yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。

1、yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。

4、yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。

5、yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点(a,b)对称。

ab6、yf(ax)与y(xb)关于直线x对称。

23、二、单个函数的对称性 性质1：函数证明：在函数yf(x)满足f(ax)f(bx)时，函数yf(x)的图象关于直线xyf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于直线

ab对称。2xab的对称点(abx1,y1)，当xabx1时 2f(abx1)f[a(bx1)]f[b(bx1)]f(x1)y1

yf(x)图象上。故点(abx1,y1)也在函数由于点(x1,y1)是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线x（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）

性质2：函数证明：在函数（ab对称。2abc，）对称。22yf(x)满足f(ax)f(bx)c时，函数yf(x)的图象关于点（yf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于点

abc，）的对称点（abx1，c－y1），当xabx1时，22f(abx1)cf[b(bx1)]cf(x1)cy1 即点（abx1，c－y1）在函数yf(x)的图象上。

由于点(x1,y1)为函数函数yf(x)图象上的任意一点可知

abc，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）22ba性质3：函数yf(ax)的图象与yf(bx)的图象关于直线x对称。

2yf(x)的图象关于点（证明：在函数y1）。yf(ax)上任取一点(x1,y1)，则y1f(ax1)，点(x1,y1)关于直线xba对称点（bax1，2f[b(bax1)]f[bbax1]f(ax1)y1 故点（bax1，y1）在函数yf(bx)上。由于

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 由点(x1,y1)是函数因此yf(ax)图象上任一点

yf(ax)与yf(bx)关于直线xba对称。

2三、周期性

1、一般地，对于函数么函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ba是它的一个周期

0,kZ)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小2.若T是周期，则kT(k正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数

3、对于非零常数证明：

f(x)C；

A，若函数yf(x)满足f(xA)f(x)，则函数yf(x)必有一个周期为2A。

f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)∴函数yf(x)的一个周期为2A。

14、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)，则函数yf(x)的一个周期为2A。

f(x)证明：f(x2A)f(xAA)1f(x)。

f(xA)1，则函数yf(x)的一个周期为2A。f(x)

5、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)证明：f(x2A)f(xAA)A，函数yf(x)满足

6、对于非零常数

1f(x)。

f(xA)A1f(x)A1f(x)f(x)或f(x)21f(x)21f(x)则函数

yf(x)的一个周期为2A。

证明：先看第一个关系式

3A)3AAf(x2A)f(x )3A221f(x)2A11f(xA)1f(xA)1f(xA)2f(xA)A1f(xA)1f(xA)121f(xA)f(x2A)f(xA)f(xA)f(x)f(x)f(x2A)

1f(x第二个式子与第一的证明方法相同

f(x)的定义域为N，且对任意正整数x

都有f(x)f(xa)f(xa)(a0)则函数的一个周期为6a 证明：f(x)f(xa)f(xa)

（1）

f(xa)f(x)f(x2a)

（2）两式相加得：f(xa)f(x2a)

f(x)f(x3a)f(x6a)

四、对称性和周期性之间的联系

7、已知函数性质1：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)(ab)，求证：函数yf(x)是周期函数。

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)

f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)∴f(2ax)f(2bx)∴f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是周期函数，且2b2a是一个周期。

性质2：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c(ab)时，函数yf(x)是周期函证明：∵数。（函数yf(x)图象有两个对称中心（a，cc）、（b，）时，函数yf(x)是周期函数，且对称中心距离的两倍，22是函数的一个周期）

证明：由f(ax)f(ax)cf(x)f(2ax)c)f(bx)cf(x)f(2bx) c

f(bx

得f(2ax)f(2bx)

得f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是以2b2a为周期的函数。性质3：函数yf(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(ba)。

f(ax)f(ax)2cf(x)f(2ax)2c

f(bx)f(bx)f(x)f(2bx)

f(4(ba)x)f(2b(4a2bx))

f(4a2bx)f(2a(2b2ax))2cf(2b2ax)

2cf(2b(2ax))2cf(2ax)

2c(2cf(x))2c2cf(x)f(x)

推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线xa和点(b,0)(ab)对称，则f(x)是周期函数，4(ba)是证明：它的一个周期

证明：由已知f(x)f(2ax),f(x)f(2bx).f(x)f(2ax)f[2b(2ax)]f[2(ba)x] f[2a2(ba)x]f[2(2ab)x]f[2b2(2ab)x]f[4(ba)x],周期为4(ba).举例:ysinx等.性质4：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(xa)f(xa),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(xa)f(xa)则f(x)的图象以xa为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明：f(xa)f(xa)f(x)f(x2a)

性质5：已知函数yfx对任意实数x,都有faxfxb，则yfx是以

2a为周期的函数 证明：f(ax)bf(x)

f(x2a)f((xa)a)bf(xa)b(bf(x))f(x)

五、典型例题

例1（2005·福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．2

B．3 解：

C．4

D．5)f(x)是R上的奇函数，则f(0)0，由f(x3f(2)0f(1)0f(1)0

∴f(4)0 ∴x=1，2，3，4，5时，f(x)0

这是答案中的五个解。

但是

f(15)f(f(x得)f(3)0，f(2)0f(5)0

153)f(1 )f(1 5)f(15)0 又

f(15知5)f(153)f( 4而

0f(1知 x1.5,x4.5,f(x)0也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。例3 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为（）(A)－1

(B)0

(C)

(D)2

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 解：因为所以所以f(x)是定义在R上的奇函数

f(0)0，又f(x4)f(x2)f(x)，故函数，f(x)的周期为4 f(6)f(2)f(0)0，选B

f(x)满足f(x2)f(x),且x(0,1)时,f(x)2x,则f(log118)的值为。

2例4．已知奇函数解：f(x2)f(x)fxf(x2)f(x4)

89f(log118)f(log218)f(4log218)f(log2)f(log2)

9829log299f(log2)28

88例5 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)x1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：

从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上

∵x(1,2), 则x(2,1)

∴2x(0,1), ∵ T2，是偶函数

∴ f(x)f(x)f(2x)2x13x

x(1,2)

解法2：

f(x)f(x2)

如图：x(0,1), f(x)x1.∵是偶函数 ∴x(1,0)时f(x)f(x)x1

又周期为2，x(1,2)时x2(1,0)∴f(x)f(x2)(x2)13x

例6 f(x)的定义域是R，且f(x2)[1f(x)]1f(x),若f(0)2008（从图象入手也可解决，且较直观）求 f(2008)的值。

f(x4)11f(x2)1f(x4)11f(x8)解：f(x)f(x2)1f(x4)11f(x4)f(x4)1周期为8，f(2008)f(0)2008

1例7 函数fx对于任意实数x满足条件fx2，若f15,则ff5

fx_______________。解：由fx21fx得

fx41f(x)fx2，所以

f(5)f(1)5，则

11

f(12)5例8 若函数f(x)在R上是奇函数，且在1，0上是增函数，且f(x2)f(x).①求f(x)的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x2k1轴对称,(kZ);③讨论f(x)在(1,2)上的单调性； ff5f(5)f(1)

解: ①由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，故周期T4.②设P(x,y)是图象上任意一点,则yf(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4kx,y).P关于直线x2k1对称的点为P2(4k2x,y)

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(4kx)f(x)f(x)y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x2)f(x)f(x)∴f(4k2x)f(2x)f(x)y

x2k1对称.∴点P2在图象上,图象关于直线∵x1x22，则2x2x11，02x22x11

∵f(x)在(1,0)上递增, ∴f(2x1)f(2x2)……(*)又f(x2)f(x)f(x)

∴f(2x1)f(x1),f(2x2)f(x2).所以：f(x2)f(x1)，f(x)在(1,2)上是减函数.例9 已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数.又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.（1）证明：f(1)f(4)0；

（2）求yf(x),x[1,4]的解析式；（3）求yf(x)在[4,9]上的解析式.解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，且在[1,1]上是奇函数，∴f(1)f(1)f(51)f(4)，∴f(1)f(4)0.2②当x[1,4]时，由题意可设f(x)a(x2)5(a0)，22由f(1)f(4)0得a(12)5a(42)50，∴a2，f(x)2(x2)25(1x4).③∵yf(x)(1x1)是奇函数，∴f(0)0，又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)kx(0x1)∴③设1f(1)2(12)253，∴k3，∴当0x1时，f(x)3x，从而1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x.∴当4x6时，有1x51，∴f(x)f(x5)3(x5)3x15.当6x9时，1x54，22∴f(x)f(x5)2[(x5)2]52(x7)5

3x15,4x6∴f(x).22(x7)5,6x9而

第二篇：高中数学函数对称性和周期性小结

高中数学函数对称性和周期性小结

一、函数对称性：

1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)关于x=a对称

f(a+x)= f(b-x)==> f(x)关于 x=(a+b)/2 对称 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)关于点（a，0）对称 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)关于点（a，b）对称

f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)关于点 [（a+b）/2，c/2] 对称 y = f(x)与 y = f(-x)关于 x=0 对称 y = f(x)与 y =-f(x)关于 y=0 对称 y =f(x)与 y=-f(-x)关于点(0,0)对称

例1：证明函数 y = f(a+x)与 y = f(b-x)关于 x=(b-a)/2 对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x)上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a，==> t =(b-a)/2，即证得对称轴为 x=(b-a)/2.例2：证明函数 y = f(ax)上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1]，等式右边通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1]，即

/[f(xf(x)] ∴

/[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴

函数最小正周期 T=|4a|

第三篇：小结函数对称性

小 结 函 数 对 称 性

数学组

刘宏博

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来小结与函数对称有关的性质.一、函数自身的对称性

定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是

f(x)+ f(2a－x)= 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证.（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0).故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征.推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.二、不同函数之间的对称性

定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称.定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称.②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称.③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称.定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上.同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立.推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称.三、函数对称性应用举例 例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）

(B)是偶函数，但不是周期函数

(D)是奇函数，但不是周期函数(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数.故选(A)

例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)= －1x，则f(8.6)= _________

2解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3 例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）

(A)

0.5(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5 解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直线x = 1是y = f(x)对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数.∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故选(B)

第四篇：函数的周期性教案（最终版）

函数的周期性

定义：对于函数yfx，若存在一个不为零的常数T，使x取定义域中任意一个值时，有fxTfx，则称yfx为周期函数，常数T为函数的周期.在所有T的取值中，若存在一个最小的正数t，则称t为函数的最小正周期.（在题目中若没有特殊强调，则周期均值最小正周期.）性质：

1.图像重复出现，且在对应的周期区间中，增减性，最值相同；

2.若fxfxa，则Ta；

若fxafxa，则T2a；

若fxafxb，则Tab；

若fxafxb，则Tab； 例题：

已知fx2fx2且f12，则f11________； 函数fx为R上的奇函数，且fx2fx，则f6_______；

函数fx为R上的奇函数且T4，且x4,6时，fx2x2，则f1______；

已知函数fx周期为3，且在x2,0为增函数，则在区间4,6上为_____（填增，减）； 函数fx为R上的偶函数且T2，在区间1,0递减，则在区间2,3上为_____；

函数fx为R上的奇函数，且fx2fx，x0,1时，fxx，则f7.5__； 函数fx为R上的奇函数，且fx2

1，x2,3时，fxx，则f105.5__； fx

第五篇：函数的周期性教案1解读

函数的周期性教案1

教学目标

1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性．

2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．

3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力．

教学重点与难点

函数周期性的概念．

教学过程设计

师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x∈R的图象：

(老师把图画在黑板左上方．)

师：通过观察，同学们有什么发现？

生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是[－1，1]．图象有规律地不断重复出现．

师：规律是什么？

生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．

师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．(老师在黑板左上方写出课题)

师：我们先看函数周期性的定义．(老师板书)

定义 对于函数 y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．

生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f(x＋T)=f(x)．

师：找得准！那么为什么要这样规定呢？

师：如果T=0，那么f(x＋T)=f(x)恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外．

师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？

生：如果x属于y=f(x)的定义域，则T＋x也应属于此定义域．

师；对．否则f(x＋T)就没有意义．

师：函数周期性的定义有什么用途？

生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．

师：下面我们看例题．

(老师板书)

例1 证明 y=sinx是周期函数．

生：因为由诱导公式有sin(x＋2π)=sinx，所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数．

师：要想判断T是不是函数y=f(x)的周期有什么方法？我们现有的理论依据只有定义，如何使用定义？

y=sinx的周期．

义域内的每一个x，都有f(x＋T)=f(x)，而不是有(存在着)某一个x，使f(x＋T)=f(x)

乙是正确的．

师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含义，而不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学习打下牢固的基础．

例3 已知 f(x＋T)=f(x)(T≠0)，求证f(x＋2T)=f(x)．

师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？

生：若不等于零的常数T是f(x)的一个周期，证明2T仍是f(x)的周期．

因为T是f(x)的周期，所以f(x＋T)=f(x)，f[(x＋T)＋T]=f(x＋T)，即f(x＋2T)=f(x)．

因此2T是f(x)的周期．

师：这个命题推广可得到什么结论？

生：如果T是f(x)的周期，那么2T，3T，„，nT(n∈Z)也都是f(x)的周期．

师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷集合．这无数个周期中我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周期．这是为什么？

生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的所有周期．

生乙：更具有实用性．如果找到最小正周期，就可以在其定义域的一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究．

师：这位同学思考问题有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的实质，还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可．如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内．这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便．

(老师在函数的周期性定义下板书)

如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期．

例4 证明f(x)=sinx(x∈R)的最小正周期是2π．

师：例1证明了y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期T=2π．例2我们证明

命题，只要证明什么？

生：只要证明任何比2π小的正数都不是它的周期．

师：如何证？能否逐一证明比2π小的正数都不行呢？当然不行．因为比2π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？

生：反证法．假设存在 T∈(0，2π)使得 y=sinx对于任意的x∈R都成立．推出矛盾即可．

师：你能具体的给予证明吗？

生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有

sin(x＋T)=sinx．

即

cosT=1．

这与 T∈(0，2π)时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了 y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．

师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．

师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)都是周期函数，2πk(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．

例5 求y=3cosx的周期．

师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期

生：因为y=cosx的周期是2π，所以 y=3cosx的周期也是2π．

师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去．你能再具体的证明吗？

生：可以从数和形两个角度来证明．

解(一)因为对一切 x∈R，3cos(x＋2π)=3cosx，所以 y=3cosx的周期是2π．

解(二)因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x(x∈R)增加到x＋2π且必须增加到x＋2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．

师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？

生：y=Asinx，x=Acosx(A≠0，是常数)的周期都是2π，也就是说函数周期的变化与系数A无关．

例6 求y=sin2x的周期．

(请不同解法的三位同学在黑板上板演)

生甲：

解 因为y=sin(2x＋2π)=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．

生乙：

解 因为 y=sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．

生丁：

解 设2x=u，因为y=sinu的周期是2π，所以

y=sin(u＋2π)=sinu，即

sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．

师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意x都有f(x＋T)=f(x)的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2(x＋T)，而不是y=sin2x=sin(2x＋T)．解法(二)，(三)是正确的．区别在于解法(三)经过换元，把要研究的新问题y=sin2x的周期转化为已有的旧知识y=sinu的周期．这种转换的意识、换元的思想是很重要的．

师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由y=sinx的图象得到y=sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐标不变，横坐标是该点横坐标的出现，所以 y=sin2x的周期是π．

师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．

y=2sin(u＋2π)=2sinu，又因为

所以

师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化仅与自变量x的系数有关．我们把例7写成一般式．

＞0，x∈R)

sin(u＋2π)=sinu，即

即

师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数有关系，而且

(老师板书)

师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的周期．

师：(总结)通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．

(一)研究函数周期的意义是什么？

周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到函数的最小正周期T，那么只要在以T为长度的区间内，就可以研究函数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我们研究函数带来了方便．

(二)对于函数周期的定义应注意：

1．f(x＋T)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数T(T≠0)，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立，我们就断言y=f(x)不是周期函数．对于某个确定的常数T≠0，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立．我们能断言T不是函数y=f(x)的周期，但不能说明y=f(x)不是周期函数．

2．定义中的“每一个值”是关键词．

此函数对于任意确定的常数T≠0，尽管f(x＋T)=f(x)对函数定义域(－∞，＋∞)中几乎所有x都成立．但仅仅由于x的个别值x=0，x=－T时，等式不成立．因此函数f(x)不是周期函数．

(三)周期函数的周期与最小正周期的区别与联系．

1．周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函数的周期有无数个．

如：f(x)=c(常数)，任意非零实数都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正实数，所以f(x)=c没有最小正周期．这个例子也同时说明不是只有三角函数才具有周期性．

2．周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期，反之不然．

例如，2π是 y=sinx的最小正周期，也是函数的周期；4π是函数的周期，但不是最小正周期．

作业：课本P178第6题，P132第4题．

课堂教学设计说明

此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线” 的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．

函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视，也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入．