第一篇：RMI原则在高中几何教学中的应用
RMI原则在高中几何教学中的应用
广东省清远市清城中学高中部 张爱菊 广西壮族自治区桂林市桂林理工大学理学院 张浩奇
摘 要：本文简单介绍了RMI原则，从5个方面以5个例子说明了RMI原则在高中几何教学中的应用，在解题中突出算法思想，以流程图的形式清楚地表述出解题思想过程。
关键词：RMI原则；高中几何；教学；流程图
1.RMI原则简介
关系(relation)映射(mapping)反演(inversion)原则是一种普遍的工作原则，简称为RMI 原则。其基本思想如图1:
我们知道，一道数学题或一个数学理论，都是由一些已知的数学对象，已知的数学关系和未知的（待定的）数学对象与关系组成的，我们把由这些对象与关系组成的集合称为关系结构系统。显然，上面框图中我们能在与之间建立起某种确定的对应关系，使
中把映象目标，都是一个关系结构系统。如果中的在中有唯一的元素与之对应，且能够通过数学手续在确定下来，那么，这种对应就称为可定
确定”。映映射。同样，“反演”也是一种对应，且满足“可以被
RMI 原则告诉我们：如果在原象关系结构系统过适当的可定映映射，将
转化为，并在中不易确定原象目标，我们可以通
中确定映象目标，再通过反演确定。
2.RMI原则在高中几何教学中的应用
在高中数学教材中，多处运用了RMI原则解决数学问题的思想和方法，所以，教师在教学中可以向学生明确指出这种思想方法，使之作为一种思想方法自觉运用。让学生知道，我们在解决数学问题时常推来推去缺不是毫无目的的；而是在寻求一种将“未知、复杂、困难”的问题转化为“已知、简单、容易”问题的“映射”，使问题转化后在新的领域中得到解决，再“反转”回到原来的领域中去。将学生的思想提高到RMI原则的高度来认识。这样可以减少学生在解决数学问题时的盲目性，提高学生解决数学问题的能力及学习数学的兴趣。加深学生对数学本质的认识，强化“数学细胞”，提高数学素质。
根据新课改后高中教材的知识内容及要求，RMI原则解决数学问题的思想和方法在几何部分显得尤为突出。下面，本文将介绍RMI原则在高中几何教学中的具体应用。
2.1.坐标法
在高中几何中，由于引入了平面直角坐标系、空间直角坐标系、极坐标系和仿射坐标，所以使许多平面几何问题可以借助于RMI原则将其映射到代数问题求解，然后反演到几何问题。由于它借助于坐标系这个工具，所以我们把这种RMI原则方法称为坐标法。其基本思想如图2：
例1.如图3，已知半圆的直径为，为位于半圆之外，而又垂直于的延长线，其垂足为，且，又是半圆上的不同的两点，且求证：
.分析：采用平面几何的方法证明本题是较困难的，但使用RMI原则将此几何问题映射为代数问题，运用代数变换方法先寻求代数结论，再反演为几何结论，那就容易多了。其解题思路流程图如图4：
解：以 为极点，射线
为极轴，建立极坐标系（图3）。
设 设，则，则半圆方程为：，且，（1），（2）
又由图3知：，而，所以
（3）
同理得
由（1）（3）得
由（2）（4）得
（4）上面两式说明，故
2.2.向量法
，是方程
.的两根，所以按韦达定理有向量作为高中数学的基本内容之一,兼有代数与几何两种形式,具有代数的抽象与几何的直观,是集“数”和“形”于一身的数学概念。高中数学中许多难度较大的问题,若引入向量来处理,就能使问题简单化,这为我们的解题注入新的活力，也完美的体现了RMI原则的思想方法。其基本思想方法如图5：
例2．如图6所示，直，的角。
，是
分别是的直径，的直径。，与两圆所在的平面均垂
.求：直线
与
所成分析：求异面直线所成角，我们往往是平移其中一条直线与另一条相交，然后得到要求角，然而，如果我们引入向量，根据向量的平移不变性，我们不需辅助线，而直接运用向量知识就能求出两异面直线所成角，其解题思路流程图如图7：
解： 以所示），则有
从而有，因此，为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图6
设异面直线 与所成角为，则
所以，异面直线
2.3.复数向量法
与所成角
在高中数学中，通过复平面，使复数、复平面上的点和复平面内以原点为起点的向量，三者之间建立了一一对应的关系。即如图8：
我们把一个问题映射为有关复数的和向量的关系结构系统，并据此定映和反演的数学方法称为复数向量法。其基本思想如图9：
例3.如图10，已知点椭圆上运动，以 为边作一个正，又点
在焦点为
点和
点，长轴长为4的，求
点的轨迹。
分析：这是一个典型的平面解析几何问题。考虑到
可以由
按顺时针方向旋转而得到，所以把它映射为向量问题，进而映射为复数问题求解，这是一个简单可行的办法。其解题思路流程图如图11：
解： 第一步，先写出椭圆的复数方程数复数
第二步，进行向量与复数的运算：
因而有
，点对应复数.又知点
对应复数3.于是向量
对应复数，并假设点，而向量
对应复对应.如此，就把原问题的关系结构系统映射为关于复数与向量的关系结构系统了。，所以
由于 满足方程
.所以有
.整理得：
第三步，根据复数的几何意义反演为几何结论可知，为焦点，长轴长为4的椭圆。
2.4.参数法
高中几何的许多问题中，若引入参数，会使问题更易于解决。我们把借助于参变数进行映射、反演的方法称为参数法。其过程的模式如图12:
点轨迹为以点
与点
.例 4：已知椭圆 求这个椭圆上的点的横坐标与纵坐标之和的最大值与最 小值。
分析：本题直接求解较困难，若用RMI原则中的参数法将显得比较容易，其解题思路流程图如图13：
解：先设椭圆上的点为，那么问题即为求的最大值与最小值。然而，这样假设以后，在问题给出的关系结构系统
中，仍然很难求得解答。于是我们引入一个参数，令为，从而把
映射为含的关系结构系统
.于是，将
略加变形，就可把它视为一组斜率是的直线系方程。其中的几何意义是纵截距，因直线系方程中的椭圆上的点的斜率为 必须是椭圆上的坐标，故求的最大值和最小值就映射为求所过的直线的纵截距的最大值和最小值。
由图14可知椭圆的两条切线的纵截距为这组直线系中截距的最大者和最小者。又椭圆的切线方程为的最大值为，最小值为
2.5.立体问题平面化法
立体几何的基本方法是将立体问题平面化，抽出平面图形，用平面的语言体现元素间的关系，进而转化为代数问题，这就是RMI 原则的具体应用，借助平面几何知识有效解决立体几何问题。其思想过程如图15：。
.故的最大者为，最小者为，即
例5.如图16，在正方形
中，棱长为1，为
上任意一点，设
二面角 的平面角分别为，求的最小值。
分析：本题采用立体几何平面化来处理将显得简易，其解题思路流程图如图18：
解：如图16，设于
如图17，将则
和，绕着
旋转到面
上，得到
.和，交，且点
于
在底面的射影为点，，过点
分别作.交，=
=.又，由均值不等式得：
故
3.结语，即的最小值为.根据新课标的要求，在高中几何教学过程中，重要的是要引导学生如何思考问题和解决问题，如何将所学知识联系在一起，建立知识框架，并巧妙的用来到解决问题。应用RMI 原则进行高中几何教学，能挖掘出知识之间的内在联系，有效地发展学生的思维能力，极大地培养学生解决问题的能力。
本文从五个方面以5个实例来阐述RMI 原则在高中几何教学中的具体应用。灵活运用上面提到的常见映射和相应的反演方法，对学生学习和掌握高中几何知识有很大的帮助，同时对培养学生处理问题的能力和创新能力也有很大的帮助。
第二篇：RMI原则在高中几何教学中的应用
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RMI原则在高中几何教学中的应用
广东省清远市清城中学高中部 张爱菊 广西壮族自治区桂林市桂林理工大学理学院 张浩奇
摘 要：本文简单介绍了RMI原则，从5个方面以5个例子说明了RMI原则在高中几何教学中的应用，在解题中突出算法思想，以流程图的形式清楚地表述出解题思想过程。
关键词：RMI原则；高中几何；教学；流程图
1.RMI原则简介
关系(relation)映射(mapping)反演(inversion)原则是一种普遍的工作原则，简称为RMI 原则。其基本思想如图1:
我们知道，一道数学题或一个数学理论，都是由一些已知的数学对象，已知的数学关系和未知的（待定的）数学对象与关系组成的，我们把由这些对象与关系组成的集合称为关系结构系统。显然，上面框图中间建立起某种确定的对应关系，使手续在中把映象目标
中的，都是一个关系结构系统。如果我们能在在与
之
中有唯一的元素与之对应，且能够通过数学
确定下来，那么，这种对应就称为可定映映射。同样，“反演”也是一
确定”。种对应，且满足“可以被
RMI 原则告诉我们：如果在原象关系结构系统的可定映映射，将转化为，并在中不易确定原象目标，我们可以通过适当
中确定映象目标，再通过反演确定。
2.RMI原则在高中几何教学中的应用
在高中数学教材中，多处运用了RMI原则解决数学问题的思想和方法，所以，教师在教学中可以向学生明确指出这种思想方法，使之作为一种思想方法自觉运用。让学生知道，我们在解决数学问题时常推来推去缺不是毫无目的的；而是在寻求一种将“未知、复杂、困难”的问题转化《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》
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为“已知、简单、容易”问题的“映射”，使问题转化后在新的领域中得到解决，再“反转”回到原来的领域中去。将学生的思想提高到RMI原则的高度来认识。这样可以减少学生在解决数学问题时的盲目性，提高学生解决数学问题的能力及学习数学的兴趣。加深学生对数学本质的认识，强化“数学细胞”，提高数学素质。
根据新课改后高中教材的知识内容及要求，RMI原则解决数学问题的思想和方法在几何部分显得尤为突出。下面，本文将介绍RMI原则在高中几何教学中的具体应用。
2.1.坐标法
在高中几何中，由于引入了平面直角坐标系、空间直角坐标系、极坐标系和仿射坐标，所以使许多平面几何问题可以借助于RMI原则将其映射到代数问题求解，然后反演到几何问题。由于它借助于坐标系这个工具，所以我们把这种RMI原则方法称为坐标法。其基本思想如图2：
例1.如图3，已知半圆的直径为，为位于半圆之外，而又垂直于的延长线，其垂足为，且，又是半圆上的不同的两点，且求证：
.分析：采用平面几何的方法证明本题是较困难的，但使用RMI原则将此几何问题映射为代数问题，运用代数变换方法先寻求代数结论，再反演为几何结论，那就容易多了。其解题思路流程图如图4：
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解：以 为极点，射线
为极轴，建立极坐标系（图3）。
设 设，则，则半圆方程为：，且，（1），（2）
又由图3知：，而，所以
（3）
同理得
由（1）（3）得
由（2）（4）得
上面两式说明故，是方程.的两根，所以按韦达定理有，（4）
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2.2.向量法
向量作为高中数学的基本内容之一,兼有代数与几何两种形式,具有代数的抽象与几何的直观,是集“数”和“形”于一身的数学概念。高中数学中许多难度较大的问题,若引入向量来处理,就能使问题简单化,这为我们的解题注入新的活力，也完美的体现了RMI原则的思想方法。其基本思想方法如图5：
例2．如图6所示，直，是
分别是的直径，的直径。，与两圆所在的平面均垂
.求：直线
与
所成的角。
分析：求异面直线所成角，我们往往是平移其中一条直线与另一条相交，然后得到要求角，然而，如果我们引入向量，根据向量的平移不变性，我们不需辅助线，而直接运用向量知识就能求出两异面直线所成角，其解题思路流程图如图7：
解： 以为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图6所示），《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》
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则有
从而有，因此，设异面直线 与所成角为，则
所以，异面直线
2.3.复数向量法
与所成角
在高中数学中，通过复平面，使复数、复平面上的点和复平面内以原点为起点的向量，三者之间建立了一一对应的关系。即如图8：
我们把一个问题映射为有关复数的和向量的关系结构系统，并据此定映和反演的数学方法称为复数向量法。其基本思想如图9：
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例3.如图10，已知点运动，以 为边作一个正，又点
在焦点为
点和，求
点，长轴长为4的椭圆上点的轨迹。
分析：这是一个典型的平面解析几何问题。考虑到
可以由
按顺时针方向旋转而得到，所以把它映射为向量问题，进而映射为复数问题求解，这是一个简单可行的办法。其解题思路流程图如图11：
解： 第一步，先写出椭圆的复数方程点对应复数.又知点
第二步，进行向量与复数的运算：
因而有，对应复数3.于是向量
对应复数，并假设点，而向量
对应复数，.对应复数如此，就把原问题的关系结构系统映射为关于复数与向量的关系结构系统了。
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所以
由于 满足方程
.所以有
.整理得：
第三步，根据复数的几何意义反演为几何结论可知，点轨迹为以点焦点，长轴长为4的椭圆。
2.4.参数法
高中几何的许多问题中，若引入参数，会使问题更易于解决。我们把借助于参变数进行映射、反演的方法称为参数法。其过程的模式如图12:
与点
为
.例 4：已知椭圆
求这个椭圆上的点的横坐标与纵坐标之和的最大值与最 小值。
分析：本题直接求解较困难，若用RMI原则中的参数法将显得比较容易，其解题思路流程图如图13：
解：先设椭圆上的点为，那么问题即为求的最大值与最小值。然而，这样假设以《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》
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后，在问题给出的关系结构系统
中，仍然很难求得解答。于是我们引入一个参数，令，从而把
映射为含的关系结构系统
.于是，将
略加变形为，就可把它视为一组斜率是系方程中的的斜率为 的直线系方程。其中的几何意义是纵截距，因直线必须是椭圆上的坐标，故求的最大值和最小值就映射为求所过椭圆上的点的直线的纵截距的最大值和最小值。
由图14可知椭圆的两条切线的纵截距为这组直线系中截距的最大者和最小者。又椭圆的切线方程为为，最小值为
2.5.立体问题平面化法
立体几何的基本方法是将立体问题平面化，抽出平面图形，用平面的语言体现元素间的关系，进而转化为代数问题，这就是RMI 原则的具体应用，借助平面几何知识有效解决立体几何问题。其思想过程如图15：。
.故的最大者为，最小者为，即的最大值
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例5.如图16，在正方形
中，棱长为1，为
上任意一点，设
二面角 的平面角分别为，求的最小值。
分析：本题采用立体几何平面化来处理将显得简易，其解题思路流程图如图18：
解：如图16，设，如图17，将，和
绕着
旋转到面
上，得到
.和交于，且点，在底面的射影为点，过点.分别作
交
于，则=
=.又，由均值不等式得：《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》
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故 3.结语，即的最小值为.根据新课标的要求，在高中几何教学过程中，重要的是要引导学生如何思考问题和解决问题，如何将所学知识联系在一起，建立知识框架，并巧妙的用来到解决问题。应用RMI 原则进行高中几何教学，能挖掘出知识之间的内在联系，有效地发展学生的思维能力，极大地培养学生解决问题的能力。
本文从五个方面以5个实例来阐述RMI 原则在高中几何教学中的具体应用。灵活运用上面提到的常见映射和相应的反演方法，对学生学习和掌握高中几何知识有很大的帮助，同时对培养学生处理问题的能力和创新能力也有很大的帮助。
参考文献：
①王亚辉.数学方法论[M].北京：北京大学出版社，2007.②史久一，朱梧槚.化归与归纳〃类比〃联想[M].大连：大连理工大学出版社，2008.③徐远东.关系映射反演法在高中数学中的应用[J].林区教学，2008,138（9）：117-120.④韩俊.浅议中学数学中的RMI原则[J].高中数学教与学，2010，第2期：4-6.注：
本文第一作者: 张爱菊，女，27岁，中级教师，研究方向：中学数学教育，联系地址：广东省清远市清城区清城中学.多年从事高三数学教学，获高中数学竞赛优秀教练员称号，多次获市、区教学论文奖.基金项目: 广西教育厅基金项目（200911LX137）；桂林理工大学科研启动项目.The Application of RMI Principle for Teaching of
High School Geometry
ZHANG Ai-ju , ZHANG Hao-qi
(1.Qingcheng School, Qingyuan Guangdong 511515,China;
2.College of Science, Guilin University of Technology, Guilin Guangxi 541004, China)
2《中学数学信息网》系列资料 www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》
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Abstract：This article briefly introduces the RMI principle, describes the application of RMI principle for teaching of high school geometry by five examples, clearly expresses the process of problem-solving in flow chart.Key words: RMI principle;high school geometry;teaching;flow chart.www.xiexiebang.com 版权所有@《中学数学信息网》
第三篇：几何画板在数学教学中的应用
几何画板在数学教学中的应用
正安县杨兴中学：秦月
【摘要】在信息技术突飞猛进的今天，传统的教学方式已不能适应现代教育教学的要求。尤其是在数学教学这样一个比较抽象的学科教学中显得尤为突出，那么如何利用现代信息技术为现在的数学教学服务呢！几何画板是当今数学教师运用最为广泛的软件之一，本文将从以下几个方面作介绍几何画板在数学教学中的应用：几何画板在一次函数教学中的应用、在轴对称图形教学中的应用、在勾股定理教学中的应用、在求解实际问题中的简单应用。希望能起到抛砖引玉的作用。
【关键词】几何画板 函数 参数 动点
在传统的数学教学中，教师靠的主要是一张嘴、一支粉笔、一块黑板进行教学。直到今天，尤其是在我们落后乡村学校，由于各种各样的原因，这种教学方式依然主宰当前的数学课堂，显然这种方式已经不能适应当前的教育发展大趋势，如何改变这种现况，那就得借助现代信息技术，找一个适合数学教学的平台。纵观现在常用的软件，几何画板具有操作简单、功能强大的特点，是广大数学教师进行现代化数学教学理想工具。在现代的数学教学中已发挥着越来越重要的作用。
几何画板又不同于其他绘图工具，它能动态地保持给定的几何关系，便于学生自行动手在变化的图形中发现其不变的几何规律，从而打破传统纯理论数学教学的局面，成为提倡数学实验，培养学生创新能力的新新工具。把它和数学教学进行有机地整合，能为数学课堂教学营造一种动态的有规律的数学教学新环境。
一、在一次函数教学中的应用
在几何画板中，可以新建参数（即变量），然后在函数中进行引用并绘制函数图像，通过改变参数的值来观察函数图像的变化，这在传统教学中无法办到。
如在讲解一次函数y=kx+b的图像一节中，如何向学生说明函数图像与参数“K”、“b”的相互关系一直是传统教学中的重点和难点，学生难以理解，教师也难以用语言文字表达清楚；在作图时，要取不同的“k”、“b”的值，然后列表在黑板上画出多个不同的函数图像，再进行观察比较。整个过程十分繁琐，且费时费力。教师和学生的主要精力放在了重复的计算和作图上，而不是通过观察、比较、讨论而得出结论上。整个过程显得不够直观，重点不突出，学生理解起来也很难。然而在几何画板中，只需改变参数“K”、“b”的值，函数图像便可一目了然。如图：
通过不断改变参数“k”、“b”的值，从而得到不同的函数图像，引导学生观察一次函数图像变化的规律。
①当k>0时，函数值随x的增大而增大；②当k<0时，函数值随x的增大而减小；③当b>0时，函数图像相对于b=0时向上移动；④当b<0时，函数图像相对于b=0时向下移动；⑤当|k|越大时，函数图像变化越快，图像越陡峭；⑥当|k|越小时，函数图像变化越慢，图像越平滑；
经过我们改变一次函数的参数“K”、“b”的值，函数的图像会随之发生变化，这样学生就很容易理解函数图像变化的规律，从而使学生从更深层次理解一次函数的本质。
二、在轴对称图形教学中的应用
几何画板提供了四种“变换”工具，包括平移、旋转、缩放和反射变换。在图形变换的过程中，图形的某些性质始终保持一定的不变性，几何画板能很好地反应出这些特点。
在讲解轴对称图形的教学中，可充分利用几何画板中提供的图形变换功能进行讲解。首先，画一个任意三角形△ABC，然后在适当的位置画一条线段MN，并把双击它即可将其标识为镜面，这时就可以作△ABC关于对称轴MN的轴对称图形。
△ABC和△A′B′C′关于MN轴对称。任意拖动△ABC的顶点、边、对称轴，虽然图形的位置、形状和大小在发生变化，但两个图形始终关于对称轴MN对称。同时可以观察到△ABC与△A′B′C′沿MN对折后完全重合。
三、在勾股定理教学中的应用
几何画板能动态地保持平面图形中给定的几何关系，利用这一特点便于在变化的图形中发现恒定不变的几何规律。如平行、垂直，中点，角平分线等等都能在图形的变化中保持下来，不会因图形的改变而改变，这也许是几何画板中最富有魅力的地方。在平面几何的教学中如果能很好地发挥几何画板中的这些特性，就能为数学教学增辉添色。如在勾股定理的教学中，直角三角形的三边之间有着必然的联系。要弄清楚它们之间的关系，借助于几何画板，则一目了然。
在几何画板里，先画一个直角△ABC，∠C=900。从图右方的度量值可以发现，AB和AC、BC的长度已经知道，观察AB2与AC2+BC2的关系：
如果拖动顶点A（从a图到b图），我们通过改变直角三角形边的长度，从中观察边的平方的关系，发现这样一个定理：在直角三角形中，始终有斜边的平方等于两条直角边的平方和。
再如，在讲解“赵爽弦图”时，传统的教学方法只能教师在黑板上演算过程，而用几何画板更容易发现其中的不变的规律。
首先，在几何画板中构造一个正方形，然后将经过一个顶点作直线，再通过另一相邻的顶点作这条直线的垂线，得到一个交点。用同样的方法，可得出另外几个关键点，再将这几条垂线隐藏，连接对应的点，即可得到下面这个图形。分别度量AB、AF、FB的长度，最后用不同的方法来计算这个正方形的面积：⑴、直接利用正方形的面积公式；⑵、正方形的面积等于其中四个直角三角形和中间的那个小正方形的面积之和；⑶、直接使用几何画板提供的量度面积命令。这三种方法都可得出这个正方形的面积，注意观察得到的结果都是一样的。
再改变正方形的大小及其组成的直角三角形和小正方形的比例，再来观察这三种计算方法得到的结果是否一致，如下图：
四、在求解实际问题中的应用
利用几何画板不但可以给几何问题以准确生动的表达，成为教师教学上的得力“助手”，还可为教师和学生提供几何探索和发现的一个良好环境，动态是几何画板最主要的特点，也正是基于这一点，许多用一般方法不易解决的问题，用它解决起来就要容易得多，现在举例说明。
如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图像经过A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三点，且与y轴交于点C。
（1）求顶点M及点C的坐标；
（2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边行CDAN是平行四边行；
（3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
分析：这道目，第（1）、（2）问都比较容易解决，第（3）问就是关于动点的，比较抽象，然而运用几何画板后，情况就变得很明显了，给解题帮助很大。
解：（1）因为二次函数经过点A、B、N，且三个点的坐标都已知，可解得二次函数的解析式为y=-x2+2x+3,可解得： C（0，3）；M（1，4）。
（2）在几何画板中连接CN、AN、AD，如图： 由于已经知道C、M两点的坐标，直线y=kx+d又经过C、M两个点，可得直线的解析式为y=x+3。D点是直线与X轴的交点，可得D点的坐标为（-3，0），又因为A点的坐标为（-1，0），所以AD=2。再看C、N两点，其坐标都已知，且纵坐标都为3，可得CN与X轴平行，那么自然就与AD平行了。再由C、N两点的坐标可得CN=2，因此AD=CN；在四边形CDAN中两边AD、CN平行且相等，所以它是一个平行四边形。
（3）这个问题比较抽象，因为点P是动点。我们现在借助几何画板对这种情况进行分析。因为A、B两点是二次函数与X轴的交点，自然关于函数的对称轴对称，两点到对称轴上任意一点的距离相等。故以对称轴上的点为圆心作圆，经过其中一个交点，必定经过另外一个点，因此考虑一个点就行了。
先在二次函数的对称轴上任找一点P，连接AP，再以P为圆心，AP为半径作圆，不断的拖动P点，看看这个圆是否能与直线CD相切。如下图：
从上图中可以看出：图a中P点比较靠近X轴，所作圆与直线CD没有交点；图b中，P点离X轴较远，所作圆与直线CD相交，有两个交点。试想：图a中的P点向上移动的到达图b所在的位置过程中，中间肯定有一个点让圆与直线CD相切，如图c所示。
那么应该怎样求P点的坐标呢！看右图：
过P点作直线CD的垂线，垂足为K，要想使圆P与直线CD相切，实际上PK这时是圆P的半径。即PK=PA时，圆P与直线CD相切。
在△DEM中三个点的坐标都知道，可得DE=EM,因此△DEM是一个等腰直角三角形。同样△PMK也是等腰直角三角形，有：
2KP2=MP2 又因为：AP2=AE2+PE2,MP=ME-PE,KP=AP；其中：AE=2；PE=1；ME=4。
可解得：PE=264,P点的坐标为（1，264）。
解到这里，此题看似已完，但如果你够细心，把P点再上下拖动，会发现在X轴的下方还在一个点能使点圆P与直线CD相切，如下图：
相同的方法，可解得：PE=(264)。由于P点在X轴的下方，所以P点的坐标为（1，-(264)）。
因此满足这样的点P在对称轴上有两个点： 即P1(1，264)；P2（1，-(264)）。
从本题中不难看出，运用几何画板给我们在解决动点问题中提供了很大的帮助，在纸上或黑板上不容易发现的问题，在几何画板上只要轻轻拖动鼠标就很容易发现，从而有效的避免了漏解情况的发生。
几何画板在数学教学中应用远远不止这些，如画直观图，在黑板上画是很费时的，但在几何画板中可用鼠标一点完成。因此，只要我们熟练掌握几何画板功能，多实践，不断与数学教学相结合，相信就能使它在数学教学中发挥的作用。
【参考文献】
[1] 田延斌.《《几何画板》教学实例》.[2] 张淑俊.《《几何画板》在数学教学中的妙用》.
第四篇：几何画板在现代教学中的应用
几何画板在现代教学中的应用
几何画板5.06是几何画板的最新版本，备受数学老师青睐。众多数学老师表示几何画板不仅能够帮助他们制作出生动的几何课件，更加有助于学生理解教学内容，并在长期的教学中提高学生的数学理解能力。本教程将向大家介绍几何在现代教学中的应用。
几何画板在教学中的应用示例
一、几何画板在低年级的应用
低年级的学生很容易被几何画板生动的特性所吸引，从而可以非常迅速地掌握这些基础技巧。几何画板可以帮助学生们在案例中快速地学习和培养数形转换的能力，从而更深刻的了解分数计算、数据统计和代数学。
二、几何画板在代数学中的应用
有些数学问题，虽然可以通过代数演算得到答案，但是还是会觉得不够直观，给人知其然而不知其所以然的感觉。这时，我们可以借助几何画板，画出数学图形，从几何的角度审视原题，帮助学生更直观地理解原题中的数学本质。
三、几何画板在几何学中的应用
利用几何画板可以画出非常精确的图形，必要时还可以将图像“放大”，获得更精细的图像，帮助学生发现解答中的疏忽或错误，并引导学生进一步思考错解 的原因。学生还可以通过直接操纵几何图形的构造、变换、测量和动画进行深入的概念理解并提高学习信心，还可以有效地促进学生之间的学习交流及他们的推理和 证明的能力。
四、几何画板在高等数学中应用 几何画板不仅为数学实验提供可操作的模型，而且为数学猜想提供验证的工具。如学生们可以使用几何画板绘制以几何图形为代表的复杂图形、为微积分等创 建动态模型。除了强大的函数绘图功能，了解几何画板那高级教程的学生还可以使用自定义工具、基因座、自定义转换、数字和几何迭代等功能来构建或编辑数学模 型。
综上所述，可见在现代教学中几何画板的应用还是比较广泛，是全国初高中人教版教材指定软件。几何画板5.06版本在之前的版本基础上进行了大量的改进，可以为广大用户带来更加高效便捷的使用体验。
第五篇：浅谈几何画板在教学中的应用
浅谈《几何画板》在数学教学中的应用
常宁市职业中专 谭新芽
对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革──用计算机辅助教学，改善人们的认知环境──越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。那么，《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢？作为一名高中数学教师笔者就此谈几点体会：
一、《几何画板》在高中代数教学中的应用
函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”函数的两种表达方式──解析式和图象──之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。
具体说来，可以用《几何画板》根据函数的解析式快速作出函数的图象，并且可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，如在同一个直角坐标系中作出函数y2x和y12的图象，比较图象的形状和位置，归纳指数函数的性质；还可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象也相应地变化，如在讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，传统教学只能将A、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用《几何画板》则可以以线段b、T的长度和A点到x轴的距离为参数作图（如图1），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点A则改变其振幅，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。
《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。例如，借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析──由“半径不小于半弦”证明不等式“a+b≥2（a、b∈R+）等；再比如，讲解数列的极限的概念时，作出数列an=10-n的图形（即作出一个由离散点组成的函数图象），观察曲线的变化趋势，并利用《几何画板》的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念。
二、《几何画板》在立体几何教学中的应用
立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生x 2 从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。
像在讲二面角的定义时（如图2），当拖动点A时，点A所在的半平面也随之转动，即改变二面角的大小，图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力；在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程（如图3），更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图4），既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力;在用祖恒原理推导球的体积时，运用动画和轨迹功能作图5，当拖动点O时，平行于桌面的平面截球和柱锥所得截面也相应地变动，直观美丽的画面在学生学得知识的同时，给人以美的感受，创建一个轻松、乐学的氛围。
三、《几何画板》在平面解析几何教学中的应用
平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。
具体地说，比如在讲平行直线系y=x+b或中心直线系y=kx+2时，如图6所示，分别拖动图（1）中的点A和图（2）中的点B时，可以相应的看到一组斜率为1的平行直线和过定点（0，2）的一组直线（不包括y轴）。再比如在讲椭圆的定义时，可以由“到两定点F1、F2的距离之和为定值的点的轨迹”入手──如图7，令线段AB的长为“定值”，在线段AB上取一点E，分别以F1为圆心、AE的长为半径和以F2为圆心、AE的长为半径作圆，则两圆的交点轨迹即满足要求。先让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形，学生各抒己见之后，老师演示图7（1），学生豁然开朗：“原来是椭圆”。这时老师用鼠标拖动点B（即改变线
段AB的长），使得|AB|=|F1F2|，如图7（2），满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，学生开始谨慎起来并认真思索,不难得出图7（3）（|AB|<|F1F2|时）的情形。经过这个过程，学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念，也锻炼了其思维的严密性。
综上所述，使用《几何画板》进行数学教学，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感的去把握它。这样，既能激发学生的情感、培养学生的兴趣，又能大大提高课堂效率。
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