第一篇：高等代数使用教材及辅导材料
高等代数使用教材及辅导材料
课程：高等代数
高等代数 北京大学数学系几何与代数教研室 高等教育出版社 1978 高等代数 丘维声 高等教育出版社 1996 高等代数 张禾瑞 郝炳新 高等教育出版社 1983 高等代数习题课教材 钱芳华 黎有高 卜淑云 邓培民 广西师范大学出版社 1997 高等代数解题方法 许甫华 张贤科 清华大学出版社 2001 高等代数习题课参考书 张均本 高等教育出版社 1991 线性代数试题选解 魏宗宣 中南工业大学出版社 1986 用MAPLEV学习线性代数 丘维声（译）高等教育出版社 施普林格出版社 2001
高等代数教学大纲
数学与应用数学专业《高等代数》教学大纲
一、课程说明：《高等代数》是河北师范大学数学与应用数学专业（数学系）的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。
二、教学目的及要求：通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。
三、教学重点及难点：带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等；计算行列式的一些方法；线性方程组及其相关理论的理解及应用；矩阵理论的灵活应用；正定二次型的等价条件及二次型的标准形；向量空间一些基本概念的理解及相关理论的灵活应用；线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间理论；一些基本概念(内积空间、欧氏空间、正交矩阵、酉空间)的理解。
四、与其它课程的关系：本课程为一门基础课，是学习习近平世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础。
五、学时、学分：142学时，8学分
六、教学内容：
第1章 多项式（27学时）本章主要教学内容：１．１ 数域 １．２ 一元多项式 １．３ 整除的概念 １． ４ 最大公因式 １． ５ 因式分解定理 １． ６ 重因式 １． ７ 多项式函数
１． ８ 复系数与实系数多项式的因式分解 １． ９ 有理系数多项式 １． １０ 多元多项式 １．１１ 对称多项式 本章教学目的及要求：
1．1 掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域。
1．2 正确理解数域P上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算律。
1．3 正确理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质。
1．4 正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。
1．5 正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握标准分解式。
1．6 正确理解和掌握k重因式的定义。
1．7 掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。1．8 理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。
1．9深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。
1．10 理解多元多项式、对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。
本章教学重点及难点：整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。第2章 行列式（15学时）本章主要教学内容： ２．１ 引言 ２．２ 排列 ２．３ n级行列式 ２．４ n级行列式的性质 ２．５ 行列式得计算
２．６ 行列是按一行（列）展开 ２．７ 克兰姆法则 本章教学目的及要求：
2．1理解并掌握排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。2．2 深刻理解和掌握n级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。2．3 熟练掌握行列式的基本性质。
2．4 正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。2．5 正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。2．6 熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。
2．7 正确理解和掌握行列式的一个k级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理.理解行列式的乘法规则。
本章教学重点及难点：n级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。第3章 线性方程组（13学时）本章主要教学内容：３．１ 消元法 ３．２ n维向量组 ３．３ 线性相关性 3． 4 矩阵的秩
２． ５ 线性方程组有解判别定理 ３．６ 线性方程组解的结构 本章教学目的及要求：
3．1 正确理解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。
3．2 理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算。深刻理解n维向量空间的概念。
3．3 正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求向量组的一个极大无关组。3．4 深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。3．5 熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。
3．6 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解。
本章教学重点及难点：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解的全部解。第4章 矩阵（15学时）本章主要教学内容：４．１ 矩阵的概念 ４．２ 矩阵的运算
４．３ 矩阵乘积的行列式与秩 ４．４ 矩阵的逆 ４．５ 矩阵得分块 ４．６ 初等矩阵
４．７ 分块矩阵的初等变换及应用举例 本章教学目的及要求：
4．1 了解矩阵概念产生的背景。
4．2 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。
4．3 掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。
4．4 正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。
4．5 理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。
4．6 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。
4．7 理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。本章教学重点及难点：矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n阶方阵可逆的充要条件、用公式法逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法逆矩阵、分块矩阵的逆。第5章 二次型（12学时）
本章主要教学内容：５．１ 二次型的矩阵表示 ５．２ 标准形 ５．３ 唯一性 ５．４ 正定二次型 本章教学目的及要求：
5．1 正确理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。
5．2 理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）。5．3 正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性；掌握惯性定理。
5．4 正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。
本章教学重点及难点：非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准型、复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。第6章 线性空间（16学时）本章主要教学内容：６．１ 集合 映射 ６．２ 线性空间的定义与简单性质 ６．３ 维数，基与坐标 ６．４ 基变换与坐标变换 ６．５ 线性子空间 ６．６ 子空间的交与和 ６．７ 子空间的直和 ６．８ 线性空间的同构 本章教学目的及要求：
6．1 掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。
6．2 正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。
6．3 理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解和掌握n维线性空间及的概念及性质。
6．4 正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。
6．5 正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。6．6 掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。6．7 深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。
6．8 理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。
本章教学重点及难点：线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、n维线性空间及的概念及性质、基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。第7章 线性变换（23学时）
本章主要教学内容：７．１ 线性变换的定义 ７．２ 线性变换的运算 ７．３ 线性变换的矩阵 ７．４ 特征值与特征向量 ７．５ 对角矩阵
７．６ 线性变换的值域与核 ７．７ 不变子空间 ７．８ 若当标准形介绍 ７．９ 最小多项式
本章教学目的及要求：
7．1 理解和掌握线性变换的定义及性质。
7．2 掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。
7．3 深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。
7．4 理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质；会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。
7．5 掌握n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件。
7．6 掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。
7．7 掌握不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是A-子空间；深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；掌握将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式。7．8 掌握标准型的定义。
7．9 正确理解最小多项式的概念；掌握一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。本章教学重点及难点：线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间的定义、判定一个子空间是否是A-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系、将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式、标准型的定义、最小多项式。第8章 －矩阵（3学时）本章主要教学内容：8.1 矩阵
8.2 矩阵在初等变换下的标准形不变因子 8.3 不变因子 8.4 矩阵相似的条件 8.5 初等因子
本章教学目的及要求：只介绍一些基本概念,一些简单结论，对定理的证明不作要求。本章教学重点及难点： 矩阵及其标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。第9章 欧几里得空间（18学时）本章主要教学内容：９．１ 定义与基本概念
９．２ 标准正交基
９．３ 同构
９．４ 正交变换
９．５ 子空间
９．６ 对称矩阵的标准形
９．７ 向量刀子空间的距离，最小二乘法
９．８ 酉空间介绍 本章教学目的及要求： 9．1 深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区别。
9．2 正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。
9．3 深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。9．4 正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。
9．5 正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。
9．6 深刻理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。
9．7、9．8 简单介绍，只让学生了解。
本章教学重点及难点：欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、两个子空间正交的概念、正交与直和的关系、正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。
七、教材及参考书
1、教材：《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室小组 编，高等教育出版社，８８年３月。
2、教学参考书： 《高等代数》，张禾瑞，郝炳新 编，高等教育出版社，84年3月。
《高等代数》，丘维声 编，高等教育出版社，96年12月。
高等代数考试大纲
数学与应用数学专业《高等代数》考试大纲
一、课程说明：《高等代数》是河北师范大学数学系的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。
二、与其它课程的关系：本课程作为一门基础课，是学习习近平世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础。
三、学时、学分：142学时，8学分
四、考核内容及要求： 第1章 多项式（27学时）本章考核内容： １．１ 数域 １．２一元多项式 １．３ 整除的概念 １． ４最大公因式 １． ５因式分解定理 １． ６重因式 １． ７多项式函数
１． ８复系数与实系数多项式的因式分解 １． ９有理系数多项式 １． １０多元多项式 １．１１对称多项式
二、本章考核要求：考核要求：
1.1识记：数域定义，一元多项式定义，整除定义，最大公因式定义，互素定义，不可约多项式定义，k重因式定义，本原多项式定义。
1.2理解：数域P上一元多项式的定义、多项式相乘、次数、一元多项式环等概念，整除的定义，两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质，不可约多项式的定义及性质，k重因式的定义，多项式与多项式函数的关系，代数基本定理，有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系，多元多项式、对称多项式的定义。
1.3简单应用：判断一个代数系统是否是数域，多项式的运算及运算律，用辗转相除法求两个多项式的最大公因式，不可约多项式的定义及性质，标准分解式，k重因式，多项式函数的概念、余数定理、多项式的根及性质，对称多项式基本定理。
1.4综合应用：带余除法及整除的性质，因式分解及唯一性定理，复（实）系数多项式分解定理及标准分解式，本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。第2章 行列式（15学时）本章考核内容： ２．１引言 ２．２排列 ２．３n级行列式 ２．４n级行列式的性质 ２．５行列式得计算
２．６行列是按一行（列）展开 ２．７克兰姆法则 本章考核要求：
2.1识记：排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义，n级行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，元素的余子式、代数余子式等概念。
2.2理解：排列的奇偶性与对换的关系，n级行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，元素的余子式、代数余子式等概念，行列式的一个k级子式的余子式等概念，行列式的乘法规则。2.3简单应用：用定义计算一些特殊行列式，利用行列式性质计算一些简单行列式，行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”、“递推降阶法”、“数学归纳法”等计算行列式的技巧。2.4综合应用：克莱姆(Cramer)法则。第3章 线性方程组（13学时）本章考核内容： ３．１消元法 ３．２n维向量组 ３．３线性相关性 3． 4 矩阵的秩
3.５线性方程组有解判别定理 ３．６线性方程组解的结构 本章考核要求：
3.1 识记：n维向量及两个n维向量相等的定义。
3.2 理解：一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质，阶梯形方程组的特征及作用，线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质，两个向量组等价的定义及等价性质定理，向量组的极大无关组、秩的定义，矩阵的行秩、列秩、秩的定义。
3.3 简单应用：线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质，两个向量组等价的定义及等价性质定理，求向量组的一个极大无关组，求矩阵的秩，求齐次线性方程组的基础解系。3.4 综合应用：求一般线性方程组有解的全部解。
第4章 矩阵（15学时）本章考核内容：
４．１矩阵的概念 ４．２矩阵的运算
４．３矩阵乘积的行列式与秩 ４．４矩阵的逆 ４．５矩阵得分块 ４．６初等矩阵
４．７分块矩阵的初等变换及应用举例
本章考核要求：
4.1识记：矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律，可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念。4.2理解：矩阵乘积的行列式定理，分块矩阵的意义，分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系。4.3简单应用：矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系，n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵，分块矩阵的加法、乘法的运算及性质，4.4综合应用：一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件，会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵，求分块矩阵的逆。
第5章 二次型（12学时）
本章考核内容： ５．１二次型的矩阵表示 ５．２标准形 ５．３唯一性 ５．４正定二次型 本章考核要求：
5.1识记：二次型的矩阵表示,正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念。
5.2理解：二次形和非退化线性替换的概念, 二次型与对称矩阵的一一对应关系,合同概念及性质, 复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性。
5.3简单应用：化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）, 5.4综合应用：正定二次型及半正定二次型的等价条件。第6章 向量空间（16学时）本章考核内容： ６．１集合 映射 ６．２线性空间的定义与简单性质 ６．３维数，基与坐标 ６．４基变换与坐标变换 ６．５线性子空间 ６．６子空间的交与和 ６．７子空间的直和 ６．８线性空间的同构 本章考核要求：
6.1识记：映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念，线性空间的定义，子空间的定义，6.2理解：线性空间的定义及性质，线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念，基变换与坐标变换的关系，子空间的交与和的定义及性质，子空间的直和的概念，线性空间同构的定义。
6.3简单应用：判断一个代数系统是否是线性空间，基变换与坐标变换的关系，向量组生成子空间的定义及等价条件，维数公式。
6.4综合应用：子空间为直和的充要条件，两个有限维空间同构的充要条件。第7章 线性变换（23学时）本章考核内容：７．１线性变换的定义 ７．２线性变换的运算 ７．３线性变换的矩阵 ７．４特征值与特征向量 ７．５对角矩阵
７．６线性变换的值域与核 ７．７不变子空间 ７．８若当标准形介绍 ７．９最小多项式
本章考核要求：
7.1识记：线性变换的定义及性质，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念，线性变换的值域、核、秩、零度等概念，不变子空间的定义，最小多项式的概念。
7.2理解：线性变换与矩阵的联系，矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，掌握标准型的定义，最小多项式的概念。
7.3简单应用：求一个矩阵的特征值和特征向量，相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理，n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件，线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系，判定一个子空间是否是A-子空间。
7.4综合应用：不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。
第8章 －矩阵（3学时）本章考核内容： 8.1 矩阵
8.2 矩阵在初等变换下的标准形不变因子 8.3不变因子 8.4矩阵相似的条件 8.5初等因子 本章考核要求：
2.1识记： 矩阵，行列式因子、不变因子、初等因子。
2.2理解： 矩阵的标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。第9章 欧氏空间（18学时）
本章考核内容： ９．１定义与基本概念
９．２标准正交基
９．３同构
９．４正交变换
９．５子空间
９．６对称矩阵的标准形
９．７向量刀子空间的距离，最小二乘法
９．８酉空间介绍 本章考核要求： 2.1识记：欧氏空间的定义，两个欧氏空间同构的定义，向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念，正交变换的概念。
2.2理解：欧氏空间的性质，向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵的基本性质，正交向量组、标准正交基的概念，正交变换的概念及几个等价关系，正交与直和的关系。
2.3简单应用：施密特正交化过程，把一组线性无关的向量化为单位正交的向量，两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系，正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系，欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。
2.4综合应用：任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，求正交阵的方法，用正交变换化实二次型为标准型。
五、教材及参考书
1、教材：《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室小组编，高等教育出版社，８８年３月。
2、教学参考书：《高等代数》，张禾瑞，郝炳新 编，高等教育出版社，84年3月。《高等代数》，丘维声 编，高等教育出版社，96年12月。
第二篇：高等代数课程试卷及参考答案
《高等代数》自测题（2）
一、计算（20分）
3214
5746
1213
xa
axaa
aaxa
523
aa
1）2）
二、证明：（20分）
1）若向量组1n线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。2）若向量组1n中部分向量线性相关，则向量组1n必线性相关
三、（15分）已知A为n阶方阵A为A的伴随阵，则|A|=0，A的秩为1或0。
四、（10分）设A为n阶阵，求证，rank（A+I）+rank（A-I）≥n
五、（15分）求基础解系
x1x2x3x40
x1x2x33x40 xx2x3x0
2341
~
~
六、（10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的七、（10分）设A是n×n正定矩阵，证明A6也是正定的。
第三篇：高等代数与高等数学
高等代数与高等数学的区别
高等代数、数学分析是数学专业中更细的数学研究的分类。高等代数是代数方向的究，而数学分析使用极限方法研究函数特性的数学。而高等数学是对非数学专业的人学习的区别于初等数学的数学，应当包括高等代数和数学分析部分。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有很大的不同了。
其研究对象不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。高等数学比初等数学“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。
第四篇：复旦大学2000年高等代数
复旦大学高等数2000
1． 求方阵
101111
110的逆阵。
2． 设A为一个n阶方阵且A的秩等于A的秩。证明A的秩等于A的秩。
3． 设A为一个n阶正交阵，x1,x2,,xn1为一组线性无关的列向量，对于1in1都
有Axixi。如果A的行列式等于1，证明A是单位矩阵。
4． 设n是一个自然数，V是由所有nn实矩阵构成的n2维实向量空间，U和W分别为
由所有nn对称矩阵和反对称矩阵构成的空间。证明VUW，既V是U和W的直和。
5． 设K为一个数域，K[x]为K上以x作为不定元的多项式全体所组成的集合。设23
f(x)g(x)其中f(x),g(x),h(x),q(x)K[x]。假定f(x)q(x)g(x)h(x)是Ah(x)q(x)，
K中的一个不等于零的数。证明A可以表示成有限多个以下类型的矩阵的乘积：101s(x)a0r(x)1,01,0b,其中a,b是K中的非零数，而r(x),s(x)K[x].
第五篇：教学大纲-厦门大学高等代数
教学大纲
一． 课程的教学目的和要求
通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。
要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。
二．课程的主要内容：
代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统，线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。本课程力求突出代数学的思想和方法。
《高等代数》分为两个部分主要内容。一部分是基本工具性质的，包括多项式，行列式，矩阵初步，二次型。既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容，以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。另外一部分是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型，也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。《高等代数》从三个角度进行研究。从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间的运算和直和分解；从线性空间之间的关系来研究线性空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的像与核，Jordan标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。在研究线性空间中，始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合，矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升，因而是本课程的精华内容。
本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。我们强调矩阵理论，把握简洁和直观的代数方法，同时重视线性空间和线性映射（变换）的主导地位和分量，从几何观点理解和把握课程内容。
三．课程教材和参考书：
教材：林亚南编著，高等代数，高等教育出版社，第一版
参考书：1.姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社，第二版 2.北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987）3.张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）4.樊恽、郑延履、刘合国，线性代数学习指导，科学出版社，北京（2003）5.林亚南编：高等代数方法选讲，2002年，见厦门大学精品课程“高等代数”网站 四．课程内容及学时分配
本课程开课时间：一学年（共两学期），共170学时，其中课堂讲授122学时,习题讨论课42学时，考试6学时。具体安排为：第一学期，80学时，其中课堂讲授60学时，习题讨论课18学时，半期考2学时；第二学期，90学时，其中课堂讲授62学时，习题讨论课24学时，单元考4学时；以上不包括期末考。课堂讲授有全程教学录像，习题讨论课不录像。
第一章 矩阵（28学时）
1、教学内容：矩阵定义与运算，分块矩阵，行列式的定义，行列式的性质，行列式的基本计算方法，Laplace定理，可逆矩阵，矩阵的初等变换与初等矩阵，矩阵的相抵标准形，矩阵的秩。
2、教学目的和要求：使学生正确掌握矩阵的运算和运算法则，熟练掌握矩阵的初等变换这一矩阵论的核心内容和方法，掌握分块矩阵的运算，掌握矩阵的逆、矩阵的秩，掌握矩阵相抵的等价分类，化标准形的思想方法，理解行列式的归纳法定义，熟练掌握行列式的性质，熟练掌握计算行列式基本方法，了解和应用Laplace定理，了解行列式的等价定义。
3、各节教学时间分配及进度安排:§1数域（1学时）；§2 矩阵和运算（3学时）；§3分块矩阵（2学时）；§4 行列式（6学时）；§5 行列式的展开式和Laplace定理（2学时）；§6可逆矩阵（2学时）；§7 初等变换和初等矩阵（4学时）；§8矩阵的秩（2学时）；习题讨论课（6学时）。
第二章 线性方程组（14学时）
1、教学内容：数域，列向量的线性关系，向量组的秩，线性方程组解的结构。
2、教学目的和要求：使学生正确理解数域的概念，正确判断和证明列向量的线性关系，掌握证明向量组的秩的命题的方法，熟练掌握线性方程组的解的判断、计算和解的结构。
3、各节教学时间分配及进度安排:§1消元法（2学时）；§2 n维列向量（3学时）；§3向量组的秩（4学时）；§4 线性方程组解的结构（2学时）；习题讨论课（3学时）。
第三章 线性空间（14学时）
1、教学内容：线性空间的定义，线性相关性：线性相关和线性无关，线性表示，线性等价的向量组，极大线性无关组，基与维数，基的变换与过渡矩阵，线性空间的同构，子空间的定义与判断，子空间分解，关于子空间的交空间和和空间的维数公式。
2、教学目的及要求：使学生正确理解线性空间的定义，从定义出发正确判断和证明向量组的线性关系，把握一批重要实例的基与维数，掌握计算矩阵的秩的初等变换方法和子式方法，培养学生严谨的逻辑推理能力和准确简明的表达能力，熟悉同构的思想，等价分类的思想，直和分解的思想。
3、各节教学时间分配进度安排：§1线性空间（2学时）；§2基和维数（2学时）；§3坐标（2学时）；§4 子空间（2学时）；§5 直和分解（2学时）；习题讨论课（4学时）。
第四章 线性映射（22学时）
1、教学内容：线性映射和线性变换，两个线性空间的线性映射（变换）的全体构成集合的代数结构，线性映射与矩阵的同构对应，线性映射的核与像 以及维数公式，线性变换的不变子空间和导出变换。
2、教学目的及要求：使学生准确理解和掌握线性映射（变换）的概念，理解线性映射由基的像唯一确定及其应用；掌握两个线性空间之间的线性映射（变换）的全体在定义了加法、数乘（和乘法）运算后构成线性空间（代数）；熟练掌握用核空间与像空间刻画单满线性映射，熟练掌握维数公式；学会在同构意义下线性映射的命题与矩阵的命题之间的转化；学会以上内容在具体例子的实现和计算。
3、各节教学时间分配进度安排：§1映射（2学时）；§2 线性映射和运算（4学时）；§3 同构（3学时）；§4像与核（3学时）；§5 线性变换（3学时）；§6 不变子空间（2学时）；习题讨论（5学时）。
第五章 多项式（24学时）
1、教学内容：一元多项式的概念，多项式的运算，整除的概念与性质，带余除法，最大公因式的唯一性、存在性，Euclidean辗转相除法，互素的性质及判定；中国剩余定理；不可约多项式及其性质，标准分解式，重因式的判定与求法；多项式函数的根，余数定理，根的个数；代数基本定理，复数域上多项式的分解，Vieta定理；实系数多项式的不可约多项式，实系数多项式的分解；有理系数多项式的根，本原多项式，Gauss引理，Eisenstein判别法；多元多项式的基本概念，多元多项式中单项式的排列次序，关于乘积首项和次数；对称多项式，初等对称多项式，对称多项式的基本定理。
2、教学目的及要求：使学生掌握多项式全体作为线性空间的代数结构的运算法则；熟练掌握和应用带余除法定理；熟练掌握最大公因式和互素的判别方法和基本性质；熟练掌握和应用因式分解定理，掌握不可约多项式的基本性质，了解重因式与重根的联系，掌握复系数与实系数的标准分解式，掌握有理系数多项式的Gauss引理，Eisenstein判别法；了解多元多项式与了解多元多项式函数的关系，理解和掌握对称多项式的基本定理和Newton公式。
3、各节教学时间分配及进度安排：§1一元多项式和运算（1.5学时）；§2 整除（2学时）；§3 最大公因式（2.5学时）；§4 标准分解式（2学时）；§5 多项式函数（2学时）；§6复系数和实系数多项式（1.5学时）；§8 有理系数和整系数多项式（2.5学时）；§9 多元多项式（1.5学时）；§10 对称多项式（2.5学时）；习题讨论课（6学时）。第一单元考试（2学时）。
第六章 特征值（16学时）
1、教学内容：特征值和特征向量，特征多项式及其性质，特征值、特征向量的求法；复方阵相似于上三角阵及其应用；矩阵可对角化的判定和计算，特征子空间，特征值的代数重数、几何重数，完全特征向量系；零化多项式和极小多项式，Cayley-Hamilton定理。
2、教学目的及要求：使学生掌握特征值、特征向量、特征多项式、特征子空间、极小多项式的定义和基本性质；清楚零化多项式和极小多项式的关系，掌握Cayley-Hamilton定理；熟练掌握计算特征值与特征向量，可对角化的判定和计算。
3、各节教学时间分配及进度安排：线性空间线性映射知识回顾（4学时）；§1 特征值和特征向量（3学时）；§2 可对角化（2.5学时）；§3 极小多项式（2.5学时）；习题讨论课（4学时）。
第七章 相似标准形（22学时）
1、教学内容：多项式矩阵和矩阵多项式，λ-矩阵的相抵，初等λ-矩阵；λ-矩阵的法式；矩阵的行列式因子，不变因子，初等因子；不变因子和Frobenius型；初等因子和Jondan小块，矩阵相似的全系不变量；Jordan标准形：Jordan 标 准形对应的不变子空间分解；根子空间，循环子空间。
2、教学目的及要求：使学生了解多项式矩阵与矩阵多项式的关系，λ－矩阵的相抵与矩阵相似的关系．掌握行列式因子、不变因子、初等因子的概念与计算，掌握不变因子与Frobenius型的对应，初等因子组与Jordan标准形的对应，Jordan 标准形对应的不变子空间分解。
3、各节教学时间分配及进度安排： §1 λ-矩阵的法式（2学时）；§2 特征矩阵（1.5学时）；§3 不变因子和Frobenius标准形（2.5学时）；§4 初等因子组和广义Jordan标准形（2学时）；§5 Jordan标准形（2学时）；§6 Jordan 标准形的进一步讨论（6学时）；习题讨论课（6学时）。第二单元考试（2学时）。
第八章 欧氏空间(14学时)
1、教学内容：内积和内积空间的概念，向量的长度，夹角，平行和正交，Cauchy-Schwarz不等式，三角不等式；单位向量，正交基，标准正交基，标准正交基的过度矩阵，Schmidt正交化，正交补空间，度量矩阵，Bessel不等式；正交变换与正交阵的判别及性质；正交相似，对称变换的性质，实对称矩阵正交相似的全系不变量，实对称矩阵的正交相似标准形。
2、教学目的及要求：使学生掌握欧氏空间的度量概念与度量性质，掌握正交相似关系，掌握正交变换和正交矩阵的对应，对称变换与对称矩阵的对应，从矩阵的正交相似关系进一步熟练掌握等价分类的思想。
3、各节教学时间分配进度安排：§1内积和欧氏空间（1学时）；§2标准正交基（4.5学时）；§3 对称变换和对称矩阵（0.5学时）；§4 正交变换和正交矩阵（4学时）；习题讨论课（4课时）。
第九章 二次型（10学时）
1、教学内容：二次型与对称矩阵的对应，二次型的非退化线性替换与对称阵的合同关系；二次型化简的配方法和初等变换法；复二次型的规范标准形，惯性定理，正惯性指数，负惯性指数，符号差，实二次形的规范标准形；正定型与正定矩阵；半正定型与半正定阵、负定型与负定阵。
2、教学目的及要求：使学生掌握用非退化线性替换，化二次型为标准形和规范形，掌握判断二次型的正定性的方法，从对称矩阵的合同关系理解等价分类的思想。
3、各节教学时间分配进度安排：§1二次型与矩阵的合同（2学时）；§2规范形（1.5学时）；§3正定二次型（2.5学时）；习题讨论课（4学时）。
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