《线性代数》课程教学大纲

第一篇：《线性代数》课程教学大纲

《线性代数》课程教学大纲

课程编码： 414002（A）课程英文名称： Linear Algebra 先修课程： 微积分

适用专业： 理科本科专业

总学分：3.5 总学时：56

讲课学时 56 实验学时 0

实习学时 0

一、课程性质、地位和任务

课程名称： 线性代数

线性代数是我校计算机科学与技术专业的一门重要基础课。它不但是其它后继专业课程的基础，而且是科技人员从事科学研究和工程设计必备的数学基础。通过本课程的教学，使学生获得矩阵、行列式、向量、线性方程组、二次型等方面的基本知识，掌握处理离散问题常用的方法，增强学生“用”数学的意识，培养学生“用”数学的能力。

二、课程基本要求

1.了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及展开法则，掌握三、四阶行列式的计算法，会计算简单的n阶行列式；理解和掌握克拉默（Cramer）法则。

2.理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，掌握求逆矩阵的方法；掌握对称矩阵的性质；了解分块矩阵及其运算。

3.理解n维向量、向量组线性相关与线性无关的概念；了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论；理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩的概念；了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件；会求齐次线性方程组的基础解系、通解；掌握非齐次线性方程组的解的结构，会求非齐次线性方程组的通解；了解向量的内积、正交和向量的长度等概念；会利用施密特（Schmidt）方法把线性无关的向量组正交规范化。

4.掌握Gauss消元法；掌握用Gauss消元法求线性方程组通解的方法；掌握用初等变换求齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的方法。

5.掌握矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量；理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充要条件。

6.掌握二次型及其矩阵表示；了解二次型秩的概念；会化二次型为标准形；了解惯性定理；了解二次型与矩阵的正定性及其判别法；了解正交矩阵概念及性质。

三、教学内容及安排

第一章 行列式（4学时）

重点：行列式的性质与计算、克莱姆法则；难点：高阶行列式的计算。

§1.1 行列式的定义

§1.2 行列式的性质与计算

§1.3 Cramer法则

第二章 矩阵（12学时）

重点：矩阵运算、逆矩阵、初等变换与初等矩阵；难点：分块矩阵的计算。§2.1 矩阵的概念 §2.2 矩阵的运算 §2.3 可逆矩阵 §2.4 分块矩阵

§2.5 初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩

第三章 n维向量空间（14学时）

重点：向量组的相关性概念、矩阵的秩；难点：向量组的相关性概念，向量空间。

§3.1 n维向量的定义 §3.2 n维向量的线性运算 §3.3 向量组的线性相关性 §3.4 向量组的极大线性无关组 §3.5 向量空间 §3.6 欧氏空间

第四章 线性方程组（10学时）

重点：Gauss消元法，方程组有解的条件，基础解系等；难点：方程组的求解和应用。

§4.1 线性方程组的基本概念 §4.2 Gauss消元法

§4.3 齐次线性方程组解的结构 §4.4 非齐次线性方程组解的结构 第五章 相似矩阵（8学时）

重点：特征值、特征向量的求法；难点：矩阵对角化的判定。

§5.1 方阵的特征值与特征向量 §5.2 矩阵相似对角化 §5.3 Jordan标准形介绍 第六章 二次型（8学时）

重点：正交变换化二次型为标准型、二次型的正定性；难点：初等列变换化合同矩阵。

§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 二次型的标准形

§6.3 用正交变换化二次型为标准形 §6.4 二次型的正定性

第七章

线性空间与线性变换*（自学）§7.1 线性空间的概念

§7.2 线性空间的基、维数和坐标 §7.3 线性变换

§7.4 线性变换在不同基下的矩阵

四、考核方式及成绩评定

课程考核方式：检查作业，课程考试。

课程成绩评定：平时作业及考勤30％，期末考试70%。

五、主要参考书：

[1] 线性代数

华中科技大学数学系 北京：高等教育出版社，2003（第二版）[2] 线性代数及其应用

邓泽清

北京：高等教育出版社，2001 [3] 线性代数

同济大学数学教研室编

北京：高等教育出版社，1991 [4] 数学模型与数学建模

刘来福，北京：北京师范大学出版社，1998 六.主要网站

[1] http://mcm.edu.cn [2]

[11]http://historical.librarg.comell.edu/math(数学历史文库)[12]www.xiexiebang.com(科学搜索)

撰稿人：文凤春

审稿人：邓泽清

第二篇：线性代数课程教学大纲

线性代数课程教学大纲

本课程地位（作用）和任务：

线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，是理、工、经、管等各专业的重要的数学基础课程.。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定的条件下，可以转化为线性问题，尤其在信息科学日益发展的时代，该课程的地位与作用更显得重要。通过教学，使学生掌握线性代数该的最基本理论与方法，培养学生的科学计算能力，提高学生的逻辑思维和推理能力，为进一步扩大数学知识面及学习相关课程理论奠定必要的基础。通过教学，提高学生的数学素养，培养学生的探索精神和实践创新能力。

本课程为专业基础课.主要内容是：行列式，矩阵及其运算，向量组的线性相关性，线性方程组，二次型。

教学内容及基本要求

1.行列式（4学时）

1.1 了解二、三阶行列式。1.2 了解行列式的定义。1.3 掌握行列式的性质。

1.4 会用行列式的性质计算行列式。1.5 了解Cramer法则。2.矩阵（6学时）

2.1理解矩阵的概念.了解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵及其性质。

2.2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律，了解方阵乘积的行列式。

2.3理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，掌握逆矩阵存在的条件和用伴随矩阵求逆矩阵 的方法。

2.4了解矩阵的初等变换和矩阵等价的概念。

2.5了解初等矩阵的概念及性质，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。2.6 理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩。3.向量

线性关系

秩（6学时）3.1理解n维向量的概念。

3.2理解向量组线性相关，线性无关的的概念。

3.3了解有关向量组线性相关、线性无关的某些重要结论。3.4了解向量组的极大无关组与向量组的秩的概念。3.5会求向量组的极大无关组与秩。3.6了解向量组的秩与矩阵秩的关系。4.线性方程组（4学时）

4.1掌握线性方程组的消元解法。4.2了解方程组等价的概念。

4.3掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。4.4理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念。4.5了解非齐次线性方程组的解的结构。

4.6掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

5.线性空间与线性变换（6学时）5.1 掌握线性空间的概念。

5.2 了解基 维数

坐标的概念。5.3 掌握基变换和坐标变换。5.4了解线性变换的概念。

5.5 熟练掌握内积与Euclid空间。5.6 掌握正交基和正交矩阵的概念。6.矩阵的特征值与特征向量（4学时）

6.1理解矩阵的特征值与特征向量的概念。6.2掌握求矩阵的特征值与特征向量的方法。6.3了解相似变换、相似矩阵的概念。6.4了解矩阵对角化的充要条件。

6.5了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质。6.6掌握求实对称矩阵的相似对角矩阵的方法。7.二次型（4学时）

7.1了解二次型及其秩的概念，掌握二次型的矩阵表示。7.2会用配方法化二次型为标准形。7.3了解合同变换和合同矩阵的概念。

7.4 掌握用正交变换法化二次型为标准型的方法。7.5了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。

对学生能力培养的要求

通过该课程的学习，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，培养学生的科学计算能力，提高学生的逻辑思维和推理能力，为进一步扩大数学知识面及学习相关课程理论奠定必要的基础。通过教学，提高学生的数学素养，培养学生的探索精神和实践创新能力。

第三篇：线性代数课程教学大纲

线性代数课程教学大纲 课程代号：13020111 学时数：32 适用专业：工科本科各专业

一、本课程的性质、目的和任务

1、本课程的性质

线性代数是讨论代数中线性关系经典理论的课程。它是高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课。

2、本课程的目的

由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。通过教学，使学生掌握该课程的基本理论与方法，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

3、本课程的任务

（1）了解行列式的定义和性质。掌握二、三阶行列式的计算法。熟悉简单的n阶行列式的计算方法。（2）熟悉矩阵、逆矩阵、矩阵秩的概念，掌握矩阵加减法，乘法转置运算规律，并掌握逆矩阵和矩阵秩的求法。了解对称矩阵、对角矩阵、满秩矩阵、分块矩阵。

（3）熟悉n维向量、线性相关、线性无关的概念。了解向量组线性相关、线性无关的重要结论，最大线性无关组，向量组的秩的概念、简介向量空间以及子空间与维数*。

（4）熟悉线性方程组的解结构与存在解的充要条件，掌握克拉默法则及用初等行交换求解线性方程组的方法。

（5）熟悉矩阵的特征值与特征向量的概念，会求特征值与特征向量，了解相似矩阵，矩阵的对角化，正交矩阵、正交规范化的施密特（Smidt）方法。

（6）了解二次型及其矩阵的表示，正交变换法化二次型为标准型，二次型的正定性。

二、课程教学内容和基本要求

1、行列式

（1）教学目的和要求

了解行列式的定义和性质，掌握二、三阶列式的计算法，会计算简单n阶行列式，掌握克拉默法则。（2）主要内容

二阶与三阶行列式定义，并用它们解二元、三元线性方程组。从二阶、三阶行列式概念入手，用展开法引出n阶行列式定义，并介绍从定义出发求简单行列式的值。行列式的性质，并举例如何应用这些性质求行列式的值，行列式按某行（列）展开法则及其结论的推论，克拉默法则及其推论。（3）重点、难点

重点：二阶、三阶行列式的计算，四阶数字行列式的计算。难点：n阶行列式的计算。

2、矩阵及其运算（1）教学目的和要求

熟悉矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵及其性质，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律，理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆方法，了解分块矩阵及其运算。（2）主要内容

矩阵的定义、对角阵、单位阵、矩阵的加法及其运算规律，数与矩阵相乘及其运算规律、矩阵与矩阵的相乘及运算规律、矩阵的转置及运算规律、方阵的行列式及性质、逆矩阵定义、可逆条件、公式法求逆矩阵方法、分块矩阵定义及其运算。（3）重点、难点

重点：矩阵加、减、乘、逆的运算、逆矩阵存在条件与求逆矩阵的方法。难点：逆矩阵存在的充要条件。

3、矩阵的初等变换与线性方程组（l）教学目的和要求

掌握矩阵的初等变换，熟悉矩阵秩的概念并掌握其求法，了解满秩矩阵、初等阵定义及其性质，了解线性方程组的求解方法。（2）主要内容

初等变换、行阶梯形矩阵、等价类、矩阵的秩、两矩阵等价条件、满秩矩阵、齐次线性方程组有非零解条件，非齐次线性方程组有解判别方法、求解方法、初等矩阵定义及性质、求逆矩阵的第二种方法。（3）重点、难点

重点：矩阵初等变换、求矩阵秩、利用初等变换求逆矩阵。难点：含参数的线性方程组的求解。

4、向量组的线性相关性（1）教学目的和要求

熟悉n维向量的概念，熟悉向量组线性相关、线性无关的定义，了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论，了解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，了解n维向量空间、子空间基底、维数等概念，理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念，理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念，掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。（2）主要内容

n维向量及例子、线性组合、线性表示、向量组等价、线性相关、线性无关的概念及重要结论、最大线性无关组、有关秩的重要结论、向量空间、基、维数、齐次线性方程组的性质、基础解系概念及求法、非齐次性方程组的解的性质、解的结构．用行初等变换求线性方程组通解的方法。（3）重点、难点

重点：线性相关性、最大线性无关组、用行初等变换求线性方程组的通解的方法。难点：线性相关性证明。

5、相似矩阵及 二次型（1）教学目的和要求

熟悉矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量，了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件，会求与实对称矩阵相似的对角形矩阵，了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特（Smidt）方法，了解正交矩阵概念及性质，了解二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念，会用正交变换法化二次型为标准型，了解二次型的正定性及其判别法。（2）主要内容

向量内积、正交向量组及性质、施密特正交化过程、规范正交基、正交变换、特征值、特征向量、特征方程、特征多项式、特征值、特征向量的性质、相似矩阵、相似变换、相似矩阵的性质、方阵的对角化条件、对称矩阵特征值性质、对称矩阵的对角化、二次型定义及矩阵表示、二次型的秩、二次型可化为标准型、配方法化二次型为标准到举例、正定二次型概念及判定。（3）重点、难点

重点：矩阵的特征值与特征向量、对称矩阵化为对角矩阵。难点：矩阵可对角化的有关结论。

三、几点说明

1、制定本大纲的依据

根据教育部统一的教学基本要求，结合本院学生实际水平。

2、本课程与前后课程的联系

本课程的先修课程：高等数学（上）。本课程的后继课程：各学科有关专业课。

3、考核方法和成绩评定 考核方法：闭卷。出题方式：试卷库。

成绩评定：平时占30％，期末占70％算出总评。

4、教材与教学参考书

工程数学《线性代数》（第四版），同济大学数学教研室编，高等教育出版社。

5、本大纲带 可以根据专业不同要求选讲。

四、学时分配 1 行列式 6 2 矩阵 6 3 矩阵的初等交换与线性方程组 4 4 向量组的线性相关性 8 5 相似矩阵 8

第四篇：线性代数4课时课程教学大纲

《线性代数（4课时）》课程教学大纲

一、课程说明

（一）课程名称：《线性代数》； 所属专业：综合性大学理工科各类专业； 课程性质：公共必修课； 学分：周4学时，共72学时。

（二）课程简介、目标与任务：

《线性代数》是一门数学基础课，理论严谨，内容较为抽象。通过本课程的学习，要求学生了解线性代数的基本理论和方法，使学生打下坚实的数学基础，掌握牢固的数学知识，提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、实际应用能力以及解题的技能与技巧,并能用所学知识解决相关问题。从“知识”和“能力”两个方面为学习后续课程奠定必要的基础。

通过《线性代数》的教学，使学生了解和掌握行列式、向量、矩阵、线性方程组、线性空间和线性变换、二次型等基本理论和基本知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决实际问题能力，同时使学生的抽象思维能力受到一定的训练。

（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接： 学习该课程的学生应该具有微积分及代数基本知识。

（四）教材与主要参考书：

选用教材：

《线性代数》，罗彦锋编著，兰州大学出版社，2009年；

主要参考书：

[1] 《线性代数》，徐军民，刘义循，兰州大学出版社，2001。[2] 《线性代数》，同济大学数学教研室编，第四版，同济大学出版社，1999。[3] 《Linear Algebra And Its Application》,David C.Lay，1995。[4] 《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等教育出版社，1988。

[5] 《线性代数》，卢刚编著，高教人民出版社，2010年。

二、课程内容与学时安排

本课程主要教学内容包括行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间与线性变换、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、二次型等。教学内容按照72学时设计，具体安排如下： 第一章 行列式

第一节 数域和矩阵 第二节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶排列 第四节 n阶行列式的定义 第五节 行列式的性质

第六节 行列式按行（列）展开

第七节 行列式的计算

第八节 克莱姆法则

（一）教学方法与学时分配 黑板板书与多媒体教学相结合;14学时;

（二）内容及基本要求 主要内容：

1.数域的概念及例子，矩阵的定义及相关概念。2.二阶、三阶行列式的定义及例子。3.n个正整数的（全）排列及其逆序数的概念，排列的奇偶性，关于一个排列的对换，对换与排列的奇偶性的关系。

4.利用排列定义n阶行列式，用定义计算一些简单的但又是典型的n阶行列式（如：上（下）三角形行列式及对角行列式）。

5.行列式的基本性质，利用这些性质进行行列式的计算。

6.行列式的元素及子式的余子式，代数余子式的概念，以及按行按列（包括多行多列）展开的性质。并会利用这些性质计算行列式。

7.利用行列式的基本性质及行列式按行（列）展开计算行列式。一些特殊结构的行列式的计算技巧和方法。

8.讨论一类特殊的线性方程组（即方程的个数与未知量的个数相等且系数行列式非0的方程组）的解法。对于此类方程组，可利用行列式直接求解，此即克莱姆法则。

【重点掌握】：行列式计算及克莱姆法则； 【掌握】：行列式性质，特殊行列式的计算方法； 【了解】：逆序数的相应性质等，加边法求解行列式； 【难点】：拉普拉斯定理，余子式等。第二章 矩阵代数

第一节 n维向量

第二节 向量的线性相关与线性无关、向量组的秩 第三节 矩阵的运算

第四节 矩阵的初等变换及其等价标准形 第五节 矩阵的秩 第六节 可逆矩阵 第七节 分块矩阵及其应用 第八节 初等变换与初等矩阵

（一）教学方法与学时分配

黑板板书与多媒体教学相结合;16学时;

（二）内容及基本要求 主要内容：

1.n维向量的定义及其线性运算和性质。

2.线性组合，线性表示，向量组的线性相关与线性无关的概念，以及与之相关的若干性质；向量组的极大无关组Fn 中的向量组的极大无关组的求法，向量组的秩。

3.矩阵的基本运算及与运算相关的重要性质，其基本运算包括矩阵的加法、数与矩阵的乘法（即矩阵的数乘）、矩阵的乘法、矩阵的转置。

4．矩阵的初等变换的概念，讨论矩阵在初等变换下可化为怎样的“简单”形式，这些简单形式包括阶梯形和标准形等，求一个向量组的极大线性无关组的方法。

5.矩阵的秩的定义及其若干充要条件，矩阵的乘积的秩与因子的秩的关系，利用初等变换求矩阵的秩。

6.可逆矩阵的定义及与逆矩阵相关的重要矩阵运算性质，利用这些性质判断一个方阵是否可逆。矩阵的伴随矩阵的定义，利用伴随矩阵求解一个可逆矩阵的逆矩阵。

7.矩阵分块的概念，矩阵分块的性质（重点是关于矩阵乘法的性质）,并能够利用其性质简化矩阵的运算。

8.初等矩阵的概念，以及初等变换与初等矩阵二者之间的关系；矩阵可逆的等价条件；利用矩阵的初等变换判断一个方阵是否可逆，及在可逆时求其逆矩阵。

【重点掌握】：矩阵逆的求解方法；秩的概念和求解；线性相关和无关的概念；

【掌握】：初等变换与初等矩阵的关系；伴随矩阵的定义； 【了解】：分块矩阵求逆；

【难点】：矩阵乘积，初等变换求逆，矩阵方程，伴随矩阵的性质，向量组的线性相关和线性无关的判断，极大线性无关组的求解。

第三章 线性方程组 第一节 消元法

第二节 线性方程组有解判定定理

第三节 线性方程组解的结构

（一）教学方法与学时分配（10学时）

黑板板书与多媒体教学相结合;10学时;

（二）内容及基本要求 主要内容：

1.线性方程组消元解法的一般步骤，线性方程组解的有关定理，主未知变量，自由未知变量。

2.基于系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的大小关系，得到线性方程组有解判定定理。

3.齐次线性方程组解的结构，齐次线性方程组的基础解系；非齐次线性方程组解的结构，特解，非齐次线性方程组的通解。利用有解判定定理判定一个含有参数系数的方程组当参数取何值时方程组无解、有解，并在有解的情形下求得解（唯一解）或者通解（多解）。

【重点掌握】：线性方程组的求解方法；基础解系； 【掌握】：线性方程组有解无解的判定方法； 【了解】：高斯消元法；

【难点】：含有参数的线性方程组的讨论，齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的关系。

第四章 线性空间与线性变换

第一节 集合与映射

第二节 线性空间的定义及其基本性质 第三节 维数、基与坐标

第四节 线性子空间

第五节 线性空间的同构

第六节 欧式空间

第七节 标准正交基 第八节 线性变换及其运算

第九节 线性变换的矩阵

第十节 正交变换与对称变换

（一）教学方法与学时分配

黑板板书与多媒体教学相结合;16学时;

（二）内容及基本要求 主要内容：

1.集合的概念及其运算，映射的概念，满射，单射，双射，双射的逆映射及例子。

2.线性空间的定义及其简单性质,并给出一些具体例子。

3.线性空间的维数与基，一个向量关于一个基的坐标，由一个基到另一个基的过渡矩阵，同一个向量在两个基下的坐标之间的关系。

4.线性子空间的概念及例子，子空间的判定定理，子空间的生成系，子空间的若干基本性质，子空间的交与和运算，维数定理。

5.两个线性空间同构的概念，两个有限维线性空间同构的充要条件。6.实数域上的线性空间中的内积及例子，内积的基本性质，向量的长度，两个非0向量之间的夹角。欧式空间的定义。度量矩阵的定义。

7.正交向量组，标准正交向量组，正交基，标准正交基；正交向量组的性质，施密特正交化过程；正交矩阵及其基本性质。

8.线性变换的定义及例子，线性变换的加法、数乘、乘积运算及其性质。是双射的线性变换的逆线性变换。一个线性空间的线性变换关于线性变换的加法、数乘构成一个线性空间。

9.线性变换的矩阵，线性变换空间与数域F上的矩阵空间Fnn之间的一一对应关系。一个向量及其在一个线性变换作用后的向量在一组基下的坐标之间的关系。矩阵的相似。

10.正交变换及其充要条件，对称变换及其充要条件，正交矩阵的若干性质。【重点掌握】：线性空间的基与维数的概念；基础解系；标准正交基；过渡矩阵，矩阵相似的定义； 【掌握】：子空间基与维数的求解，正交化方法；坐标； 【了解】：映射与函数区别；线性空间的同构；欧式空间同构；

【难点】：维数与基的求解，向量的线性相关和线性无关的判断，正交矩阵的性质，线性变换在基下的矩阵的求解。第五章 特征值与特征向量、矩阵的对角化

第一节 特征值与特征向量 第二节 矩阵的对角化 第三节 实对称矩阵的对角化

（一）教学方法与学时分配

黑板板书与多媒体教学相结合;8学时;

（二）内容及基本要求 主要内容：

1.线性变换的特征值、特征向量的定义，特征子空间，矩阵的特征多项式，矩阵的特征值与特征向量，矩阵的特征值、特征向量与线性变换的特征值、特征向量之间的关系。

2.矩阵可相似于对角阵的条件，属于不同特征值的线性无关的特征向量构成的向量组仍线性无关，几何重数不超过代数重数。

3.实对称矩阵的特征值都是实数，实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。实对称矩阵相似于对角矩阵。

【重点掌握】：矩阵的特征值和特征向量的求解，矩阵对角化的充要条件； 【掌握】：特征子空间的维数和基，一般矩阵和实对称矩阵对角化的基本步骤；特征子空间；

【了解】：复矩阵的特征值及相应性质； 【难点】：实对称矩阵的相似变换成对角阵。第六章 二次型

第一节 二次型及其矩阵表示 第二节 标准形 第三节 规范形 第四节 正定二次型与正定矩阵

（一）教学方法与学时分配

黑板板书与多媒体教学相结合;8学时;

（二）内容及基本要求 主要内容：

1.实二次型的定义，实二次型的矩阵形式，矩阵的合同关系。

2.实二次型的标准形；化实二次型为标准形的方法：配方法，初等变换法，正交变换法。

3.实二次型的规范形，关于实二次型的惯性定理。

4.正定二次型的定义及其充要条件，正定二次型的性质。判定二次型正定或矩阵正定的方法。半正定二次型的定义及其充要条件。

【重点掌握】：用三种方法化一个矩阵为标准形；正定矩阵或正定二次型的判定；

【掌握】：标准形和规范形；惯性定理，正负惯性指数，矩阵合同； 【了解】：半负定矩阵的等价条件；

【难点】：正定矩阵的等价形式，正交变换法化二次型为标准型。

制定人：

审定人： 批准人： 日 期：

第五篇：线性代数教学大纲

《线性代数》课程教学大纲

一．课程基本信息

开课单位：数理学院

课程编号：05030034a

英文名称：linear algebra

学时：总计32学时，其中理论授课28学时，习题课4学时。学分：2.0学分

面向对象：全校工科专业

教材：

《线性代数》，同济大学教学教研室 编著，高等教育出版社，2007年5月 第五版

主要教学参考书目或资料：

1.线性代数》，奕汝书 编著，清华大学出版社

2.《线性代数》，武汉大学数学系

3.《线性代数辅导》，胡元德等 编著，清华大学出版社 4.《线性代数试题选解》（研究生试题选），魏宗宣 编著

二．教学目的和任务

线性代数是高等学校理工科有关专业的一门重要基础课。它不但是其它数学课程的基础，也是各类工程课程的基础。为适应培养面向21世纪人才的需要,要求学生比较系统理解线性代数的基本概念,基本理论,掌握线性代数的基本计算方法.要求较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。本课程所讲的理论和方法，早已被广泛应用于各个学科和各个领域。它是建立在多维空间多元素基础上的，在计算机日益普及的今天，它作用更能充分发挥出来。所以本课程的社会地位和作用也日益显得突出和重要。工科大学生必须具备本课程的知识，才能更好地适应社会主义建设的需要。

通过本课程的学习，应使学生获得在应用科学中常用的矩阵方法，线性方程解法、二次型理论等实用性极强的基础知识，使学生能用这些方法解决一些实际问题，提高学生解决实际问题能力。同时，也为学生今后扩大知识面打下必要的数学基础。

三．教学目标与要求

通过对这门课的学习，使学生了解行列式、矩阵、向量组的定义和性质，掌握行列式的计算，矩阵的初等变换，矩阵秩的定义和计算，利用矩阵的初等变换求解方程组及逆矩阵、向量组的线性相关性，利用正交变换化对称矩阵为对角形矩阵等有关基础知识，并具有熟练的矩阵运算能力和利用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。

四．教学内容、学时分配及其基本要求

第一章 n阶行列式（6学时）

（一）教学内容

1、二阶与三阶行列式

2、全排列及逆序数

3、n阶行列式定义

4、对换

5、行列式性质

6、行列式按行列展开

7、克莱姆法则

（二）基本要求

1、知道n阶行列式定义，了解行列式性质，熟练掌握二、三阶行列式计算法。

2、了解按行(列)展开行列式的方法，掌握四阶和四阶以上行列式的计算法。

3、掌握用克莱姆法（Gramer法则）解线性方程组的方法。第二章 矩阵及其运算（4学时）

（一）教学内容

1、矩阵

2、矩阵的运算

3、逆矩阵

4、矩阵分块法

（二）基本要求

1、理解矩阵概念，知道单位阵、对角阵、对称阵、三角阵、正交阵等常用矩阵及其性质。

2、熟练掌握矩阵加法、乘法、转置、方阵行列式的运算及其运算规律。

3、理解逆矩阵概念及逆阵存在的充要条件，掌握逆矩阵的求法。

4、掌握分块矩阵的运算和分块对角阵的性质及其应用。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（6学时）

（一）教学内容

1、矩阵的初等变换

2、初等矩阵

3、矩阵的秩

4、线性方程组的解

（二）基本要求

1、掌握矩阵的初等变换和初等方阵的基本理论及其应用。

2、理解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩，知道满秩矩阵的性质。

3、掌握利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的大小比较及与未知元个数n的关系判别线性方程组有无解；有多少组解(即解的存在性与唯一性的判别)的基本方法

第四章 向量组的线性相关性（8学时）

（一）教学内容

1、向量组及其线性组合

2、向量组的线性相关性

3、向量组的秩

4、线性方程组的解的结构

5、向量空间

6、习题课

（二）基本要求

1、理解n维向量的概念并掌握其运算规律。

2、理解向量组的线性相关、线性无关的概念。

3、了解向量组线性相关、线性无关的几个重要性质。

4、理解向量组的秩的概念，会求向量组的秩和最大无关组，并会用最大无关组表示其余的向量。

5、了解n维向量空间中的空间、基、维数、坐标等概念，会求基，会用基来线性表示所属空间的其余向量。

第五章 相似矩阵及二次型（8学时）

（一）教学内容

1、向量的内积，长度及正交性

2、方阵的特征值与特征向量

3、相似矩阵

4、实对称阵的相似对角阵

5、二次型及其标准形

6、用配方法化二次型为标准形

7、正定二次型

8、习题课

（二）基本要求

1、理解矩阵的特征值和特征向量的概念，并掌握其求法。

2、了解相似矩阵的概念和性质。

3、了解矩阵对角化的充要条件，会求实对称阵的相似对角阵。

4、掌握将线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）法。

5、掌握二次型及其矩阵表示法。

6、掌握用正交变换法化二次型为标准形。

7、了解惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。

五．教学方法及手段

采用启发式教学方法，配合多媒体教学，充分使用现代化教学手段。

六．考核方式及考核方法

考核方式为“闭卷考试”。成绩评定：平时成绩30%+考核成绩70%。

七．其它说明

如果条件允许，可以安排一定学时的数学实验课，用MATLAB语言实现一些繁琐的计算，如矩阵求逆、线性方程组求解等。

（制定人： 徐江 审定人： 章婷芳）