排列组合中的分组问题

第一篇：排列组合中的分组问题

排列组合中的分组问题

山西省交城中学校

王峰峰

分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分组问题，实际上可运用分组问题的方法来解决。

一、分组与分配的区别

将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题。分定向分配和不定向分配两种情况。

将n不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有整体平均分组、部分平均分组、不平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然要区分的。对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题

例1.六本不同的书，分为三组，每组两本，有多少种分法？

22分析：分组与顺序无关，是组合问题。分组数是C26C4C2=90(种)，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A33，所以分法是222C6C4C2=15(种)。

3A3整体平均分组是指将所有元素分成所有组元素个数相等的组。

例2.六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？

11分析：先分组，方法是C4那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，6C2C1=30(种)，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的411C6C2C1本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15(种)。2A2部分平均分组是指将所有元素分成部分组元素个数相等的组。

例3.六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法？

233分析：先分组，方法是C16C5C3，那么还要不要除以A3？我们发现，由于每组的书

23的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有C16C5C3=60(种)分法。

不平均分组是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

通过以上三个例题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。

一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1,m2,m3,,mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方案是

23pCn1Cnm1Cnm1m2„CmpmmmmAkk。

三、基本的分配问题 1.定向分配问题

例1.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）甲两本、乙两本、丙两本；（2）甲一本、乙两本、丙三本；（3）甲四本、乙一本、丙一本。

分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：

222（1）C6C4C90

123（2）C6C5C360 411（3）C6C2C130

2.不定向分配问题

例2.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）每人两本；

（2）一人一本、一人两本、一人三本；（3）一人四本、一人一本、一人一本。

分析：此题属于分配中的不定向分配问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、3丙三人”，因此需要将分组方法数再乘以A36，即

222C6C4C3（1）A390 3A31233（2）C6C5C3A3360 32C1（3）C6C2A390

A2411结论:一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。（解不定向分配题的一般原则：先分组后排列）

例3.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？

分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法：(1)每组两本，(2)分别为一本、二本、三本，(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是222411C6C4C2+123+C6C2C1=90(种)。再考虑排列，即再乘以3。所以一共有540种不C6C5C3A332A3A2同的分法。

四、分组、分配问题的变形问题

例1.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？

分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为

112C4C3C2先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有(种)，2A2112C4C3C24然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有A4=144(种)。2A2例2.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？

分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，112C10C9C8共有(种)分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担2A2甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有112C10C9C82=2520(种)不同的选法。A22A2例3.设集合A1,2,3,4，B6,7,8，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？

分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、112C4C3C21、2，则共有(种)分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以A33，所以共有2A2112C4C3C23=36(个)不同的函数。A32A2

练习：

1.[2014·浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)2.[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种

B．70种

C．75种

D．150种

3.（2013年北京卷）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.4.（2012年新课标卷）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）（A）12种

（B）10种

(C)9种

（D）8种

第二篇：分组问题xuesheng

概率中的分组问题

一、分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.１.非平均分组问题

在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.【例１】 把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.解：（１）先从１２人中任选７人为甲组，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有种不同的分组方法.（2）先从１２人中任选７人为一组有人有平均分组问题

【例２】 有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？

（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.（２）平均分成三份.解：（１）从６本书中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共有＝９０种分法.种选法，剩下的２人为一组，共有

种选法，再从余下５人中任选３

种不同的方法.（２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有

∴ ＝１５种不同的分法.一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有

局部平均分组问题

种分法.某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.【例３】（１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？

（２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？

（１）可按下面步骤完成：先将６本书分成１本、１本、２本、２本４个部分，然后让四个人去全排列取书，即有

种.（２）先把６本书分成１本、１本、２本、２本的４堆，由于两个１本与两个２本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法数为

种.【点评】 两个问题同属局部平均分组问题，但（１）中指定分给了４个人，相当于指定了组名，而（２）没有给出组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（１）中相当于把４本书分成两份２本，两份１本，共有种分配方法，然后把它分给４个人.在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：把６本不同的书分成Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四堆，其中Ａ、Ｂ各２本，Ｃ、Ｄ各１本，则有几种分法？ 该问题的分法有

二.挡板模型与分组问题

【例４】 ５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？

错解： 把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有＝６种不同的方法.错因： ５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.种分法.正解：先把５位老师分成三堆，有两类：１、１、３和１、2、2分别有和种，再分到三个班里，共有

3.挡板模型与双排问题

＝１５０种.在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.【例５】 从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？

错解： 选把１０个指标排好，插入９块挡块：０|０|０|０|０|０|０|０|０|０ 然后在９块挡板中任取４块即可分成５份，有

＝１２６种分法.错因： 问题并没有给出“每班至少１人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有１人参加.事实上，这１０个名额可给一个班，也可给两个班„

正解：因为把１０个指标分成５个部分，只须４块挡板，称为第一类元素，１０个指标为第二类元素，共１４个元素.当这些元素都有区别时共有

种排法.但１０个指标，４块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有＝１００１种不同分法（或）.【点评】 当分组数超过３个时，若没有给出“每组至少有１个”这个条件时，是不能用挡板法解决的，而要用双排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类，然后加以解决.两类元素排列的问题涉及面很广，它实质上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的高考中时有出现，应予以重视.

第三篇：排列组合综合问题.

[文件] sxgdja0017.doc [科目] 数学 [年级] 高中 [章节]

[关键词] 排列/组合/综合 [标题] 排列组合综合问题 [内容]

北京市东直门中学 吴卫 教学目标

通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题 的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想． 教学重点与难点

重点：排列、组合综合题的解法． 难点：正确的分类、分步． 教学用具 投影仪． 教学过程设计

（一）引入

师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法．今天我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法． 先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧!生：解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等．求解过程中要 注意做到“不重”与“不漏”．

师：回答的不错!解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用 分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法． 当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可 以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等． 解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．（教师边讲，边板书）互斥分类——分类法 先后有序——位置法 反面明了——排除法 相邻排列——捆绑法 分离排列——插空法

（二）举例

师：我下面我们来分析和解决一些例题．（打出片子——例1）

例1 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数．（1）分为两组，一组7人，一组5人；

（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；（3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；（4）分为甲、乙两组，每组6人；（5）分为两组，每组6人；

52（6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；

（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；（8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；（9）分为甲、乙、丙三组，每组4人；（10）分为三组，每组4人．

（教师慢速连续读一遍例1，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立地求解． 这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合．各小题之 间有区别、有联系，便于学生分析、比较、归纳，有利于学生加深理解，提高能力）师：请一位同学说一下各题的答案（只需要列式）．

7566生：（1），（2），（3）都是C12；（4），（5）都是C12；（6），（7），（8）C5C654344都是C12（9），（10）都是C12 C7C3；C84C4师：从这个同学的解答中，我们可以看出他对问题的考虑分先后次序，用位置法求解是掌握 了的．但是还请大家审清题意，看（3）与（1），（2）；（5）与（4）；（8）与（6），（7）；（10）与（9）是否分别相同，有没有出现“重复”和“遗漏”的问题．（找班里水平较高的一位学生回答）生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）并不相 同．（3），（5），（8），（10）的答案都错了，既出现了“重复”也出现了“遗漏”的问题．（3）的答案是CCP312552（5）是2；

6644C12C6C12C84C45433；（8）是C12C7C3P 3（10）是P22P33（教师在学生回答时板书各题答案）

师：回答的正确，请说出具体的分析． 生：（3）把12人分成甲、乙两组，一组7人，一组5人，但并没有指明甲、乙谁是7人，谁是5人，所以要考虑甲、乙的顺序，再乘以P2；（8）也是同一道理．（5）把12人分成两组，66每组6人，如果是分成甲组、乙组，那么共有C12种不同分法，但是（5）只要求平均分C62成两组，这样甲、乙组两元素的所有不同排列顺序，甲乙、乙甲共P22个就是同一种分组了，66C12C6所以（5）的答案是；（10）的道理相同． 2P2师：分析的很好!我们大家必须认识到，题目中具体指明甲、乙与没有具体指明是有区别的 ．如果在解题过程中不加以区别，就会出现“重复”和“遗漏”的问题，这是解决排列、组 合题时要特别注意的． 例1中，（1），（2），（6），（7）都是非平均分配问题，虽然（1），（6）都没有指出 组名，而（2），（7）给出了组名，但是在非平均分配中是一样的．这是因为（2），（7）不仅给出了组名，而且还指明了谁是几个人，这一点上又与（3），（8）有差异．（3），（8）给了组名却没有指明谁是几个人． 题中（4），（5），（9），（10）都属于平均分配问题，在平均分配中，如果没有给出组 名，一定要除以组数的阶乘!如果12个人分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人，求所有不同的分法种数．这里有不平均（一组2人），又有平均（两组都是是5人）．怎么办? 53 生：分两步完成．第一步：12个人中选2人的方法数C212；第二步：剩下的10个人平均分

5555C10C5C10C52成两组，每组5人的方法数，根据乘法原理得到，共有C12种不同的分法． 22P2P2师：很好!大家已经理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的计算，部分平均

分配问题先考虑不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除．这样分配问题已彻底 解决了． 请看例题2．

（打出片子——例2）

（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．（教师读题、巡视）师：请一位同学说出（1），（2）的答案．

872生甲：N1＝P77P22；N2＝P8P7P2

师：完全正确!他是用捆绑法解决“相邻”问题的，把2女“捆绑”在一起看成一组，与6男共7组，组外排列为P77，女生组内排列为P2，得2女相邻排法数N1＝P77P22；（2）是用捆 绑法结合排除法来解得，从总体排列P88中排除N1得2女不相邻的排法数N2＝

2P88P77P22

（教师的复述是为了使水平较差学生明白解题思路，了解分析方法，真正理解解法）师：（2）的不相邻的分离排列还有没有其它解法? 生乙：可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，共有N2＝P66P72种不同排法．（板书（1），（2）算式）

师：对于（2）的两种解法思路不同，但殊途同归，结果一样，都是正确的．两种解法解决 分离问题是否都很方便呢?试想，如果“5男3女排成一排，3女都不能相邻“P88P66P33与P55P63一样吗?大家动手计算一下．

生：前者是36 000，后者是14 400，不一样，肯定有问题． 师：P66P33是什么? 生：3女相邻．

师：3女相邻的反面是什么? 生：P8P6P3是3女不都相邻，其中有2女相邻，不是3女都不相邻．

师：这一例题说明什么? 生：不相邻的分离排列还是用插空法要稳妥一些．

师：请大家下课后想一想，用捆绑法结合排除法能否解决上述问题，如果能解决，应该怎么 做?我们继续分析和解决（3），（4）两小题． 863 54 N3＝P33P44P44； N4＝2P44P44．（板书（3），（4）的算式）

834444师：非常正确!（4）吸取了（2）的教训，没有用P8P3P4P4，并且没有简单的用P4P5

插空，而是考虑到了男、女都要排实位，否则会出现．（板书）

（女男男女男女男女）两男或两女相邻的问题．这时同性不相邻必须男女都排好，即男奇数 位，女偶数位，或者对调．

（通过对例2的讨论和分析，能够帮助学生对于分离排列、排除法以及插空法有更清楚的认 识，只有这样学生才会找到合理的解法，提高分析和解决问题的能力．）师：我们再来看一个例题．（打出片子——例3）

例3 某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是1男1女，共有多少种不同的搭配方法?（教师朗读一遍例3后巡视）师：请同学说一下答案．

224生：N＝C8． C7P4（板书此式）师：怎么分析的呢?

22生：每一种搭配都需要2男2女，先把4名队员选出来，有C8C7种选法，然后考虑4人的排法，故乘以P44

师：选出的4名队员做全排列，那么（板书）男A男B、女A女B行吗? 生：不行，有“重复”了，应该乘以什么呢? 师：这就需要我们再把问题想想清楚了，当选出2男2女队员进行混合双打时，有几种搭配方法呢?（板书）男——男女 ①Aa Bb ②Ab Ba ③Ba Ab ④Bb Aa 以上四种吗? 生：不是!③与②，④与①属于同一种，只有2种搭配，应该乘以2．

22师：这就对了．N=2C8C7，还可以用下面的思路：先在8男中选2男各据一侧，是排列问222题，有P82种方法；再在7女中选2女与之搭配，是组合问题，有C7种方法，一共有N=P8C7种搭配方法．（板书）

22解法1：N=2C8C7 22解法2：N=P8C7

师：最后看例4（打出片子——例4）

例4 高二（1）班要从7名运动员中选出4名组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种?（教师读题，引导分析）

师：从7人中选4人分别安排第一、二、三、四棒这四个不同任务，一定与组合和排列有关，对甲、乙有特殊要求，这就有了不同情况，要分类相加了．先不考虑谁跑哪棒，就说4人的 选择有几类情况呢?

53生：三类，第一类，没有甲乙，有C4种选法；第二类，有甲没乙或有乙没甲，有2C5种选

2法；第三类，既有甲也有乙，有C5种选法．

师：如果把上述三类选法数相加再乘以P44行不行? 生：不行，对于上面三类不同选法，并不能都有P44种安排方法．考虑甲、乙二人都不跑中

44313222间两棒，应有不同的安排方法数是：N=C5P42C5P2P3C5P2P2．

师：第二项中的P21P33是什么意思呢? 生：第二类中甲、乙两人只有1人选中时，甲（乙）的排法数量是P21，其他三人的排法数是P33．

师：很好，这个排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要认真体会，了解其思路和 方法．

（三）小结

我们通过对4个例题的分析和讨论，总结了分配问题，分离排列问题的解法，以及排列、组 合综合题的解法．

解排列、组合综合题，一般应遵循：先组后排的原则． 解题时一定要注意不重复、不遗漏．

（四）作业

1.四名优秀生保送到三所学样去，每所学样至少得1名，则不同的保送方案总数是 种．（23C4P336）

2.有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9当作6用，那么从中任意以组成多少个不同的三位数?（6P或2C4P2P22C4P3C4P2P2P4152）5P4C1C4P2152课堂教学设计说明

关于排列组合的应用题，由于其内容独特，自成体系；种类繁多，题目多变；解法别致，思 维抽象；条件隐晦，难以捉摸；得数较大，不易检验．所以这一课历来是学生学习中的难点．为了降低解题的难度，在教会学生基本方法的同时，一定要使学生学会转化，分类的思想方法，将复杂的排列、组合综合题转化为若干个简单的排列、组合问题．基于这一点，在例题的选排上，特别安排了例1，在复习巩固前面所学基本解法的基础上，总结了分配问题的解法，并引出了简单的排列组合综合问题．通过例2来讨论排列中常见的相邻排列和分离排列问题，21112112332122 56 以及排除法、插空法等解法在应用中需注意的事项．例

3、例4是典型的排列、组合综 合题，分别侧重了分步和分类两个难点．

教学方法上，以问答形式，通过讨论分析，引导学生正确思维，培养学生分析问题和解决问 题的能力．操作过程中也要根据学生的具体情况，采取多变的方式．学生配合的好，就以学 生为主，学生回答问题不尽如人意时，就需要教师在提高语言、方式等方面多做文章，或以 教师的讲授为主．

第四篇：数学广角----简单的排列组合问题

数学广角----简单的排列组合问题

教学目标 ：

l、使学生通过观察、操作、实验等活动，找出简单事物的排列组合规律。

2、培养学生初步的观察、分析和推理能力以及有顺序地、全面地思考问题的意识。

3、使学生感受数学在现实生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题。使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。

教学过程 ：

一、创设增境，激发兴趣。

师：今天我们要去数学广角乐园游玩，你们想去吗？

二、操作探究，学习新知。

＜一＞组合问题 l、看一看，说一说

师：那我们先在家里挑选穿上漂亮的衣服吧。（课件出示主题图）

师引导思考：这么多漂亮的衣服，你们用一件上装在搭配一件下装可以怎么穿呢？(指名学生说一说）

2、想一想，摆一摆

（l）引导讨论：有这么多种不同的穿法，那怎样才能做到不遗漏、不重复呢？

①学生小组讨论交流，老师参与小组讨论。

②学生汇报

（2）引导操作：小组同学互相合作，把你们设计的穿法有序的贴在展示板上。（要求：小组长拿出学具衣服图片、展示板）

①学生小组合作操作摆，教师巡视参与小组活动。

②学生展示作品，介绍搭配方案。

③生生互相评价。

（3）师引导观察：

第一种方案(按上装搭配下装)有几种穿法？（４种）第二种方案(按下装搭配上装)有几种穿法?（４种）

师小结：不管是用上装搭配下装，还是用下装搭配上装，只要做到有序搭配就能够不重复、不遗漏的把所有的方法找出来。在今后的学习和生活中，我们还会遇到许多这样的问题，我们都可以运用有序的思考方法来解决它们。

＜二＞、排列问题

师：数学广角乐园到了，不过进门之前我们必须找到开门密码.（课件出示课件密码门）

密码是由１、２、3 组成的两位数．

（1）小组讨论摆出不同的两位数，并记下结果。

（2）学生汇报交流（老师根据学生的回答，点击课件展示密码）

（3）生生相互评价。方法一：每次拿出两张数字卡片能摆出不同的两位数； 方法二：固定十位上的数字，交换个位数字得到不同的两位数； 方法三：固定个位上的数字，交换十位数字得到不同的两位数．

师小结：三种方法虽然不同，但都能正确并有序地摆出６个不同的两位数，同学们可以用自己喜欢的方法．

三、课堂实践，巩固新知。１、乒乓球赛场次安排。

师：我们先去活动乐园看看，这儿正好有乒乓球比赛呢．（课件出示情境图）（l）老师提出要求：每两个运动员之间打一场球赛，一共要比几场？

（2）学生独立思考．

（3）指名学生汇报．规

２、路线选择。（课件展示游玩景点图）师:我们去公园看看吧.途中要经过游戏乐园.（l）师引导观察：从活动乐园到游戏乐园有几条路线？哪几条？(甲,乙两条)从游戏乐园去公园有几条路线？哪几条？(A,B,C三条)（根据学生的回答课件展示）

从活动乐园到时公园到底有几种不同的走法?（2）学生独立思索后小组交流.（3）全班同学互相交流.３、照像活动。

师：我们来到公园，这儿的景色真不错，大家照几张像吧．

师提出要求：摄影师要求三名同学站成一排照像，每小组根据每次合影人数（双人照或三人照）设计排列方案，由组长作好活动记录。（1）小组活动，老师参与小组活动.（2）各小组展示记录方案.（3）师生共同评价.４、欣赏照片．

师：在同学们照像的同时，小丽一家三口人也正在照像呢，看看她们是怎样照的．（课件展示照片集欣赏）

四、总结

今天的游玩到此结束，同学们互相握手告别好吗？如果小组里的四个同学每两人握一次手，一共要握几次手？

数学教案－人教版小学数学第三册《数学广角-----简单的排列组合问题》

第五篇：分组分配问题(教学设计)

排列组合中的分组分配问题学案

例题1.（1）把a,b,c 三本不同的书分成2组，一组2本，一组1本，有多少种不同的分法？

变式1：有a,b,c,d 4本不同的书,分成两组,一组1本，一组3本，有多少种不同的分法?

变式2：6本不同的书分成三组，一组1本，一组2本，一组3本，有多少种不同的分法?

（2）把a,b,c 三本不同的书分成3组，每组1本，有多少种不同的分法？能用组合数表示出来吗？

变式1：有a,b,c,d 4本不同的书,平均分成两组, 有多少种不同的分法？

变式2：有6本不同的书平均分成两组，每组3本，有多少种不同的分法？

变式3：有6本不同的书平均分成三组，每组2本，有多少种不同的分法？

小结1:(1)平均分组是无序的,各组合数相乘时产生了顺序,故应消序减重(除以平均组数的全排列);(2)不平均分组是有序的,不需要消序减重

例题2.有5本不同的书,分成三组, 有多少种不同的分法?

练习:有6本不同的书,分成三组，有多少种不同的分法?

小结2:局部平均分组应局部消序减重.例题3.有6本不同的书分给甲、乙、丙三人

(1)若每人2本,有多少种不同的分配方法?(2)若甲得1本,乙得2本,丙得3本,有多少种不同的分配方法?(3)若一人1本,一人2本,一人3本, 有多少种不同的分配方法?(4)若一人4本,另两人各1本,有多少种不同的分配方法? 小结3对于分配问题:分步处理,先分组,然后再分配.例题4（2009浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用数字作答）

变式1:甲、乙、丙等5人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用排列数与组合数作答即可）

变式2：甲、乙、丙等6人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用排列数和组合数作答即可）

真题回放：

1.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种

2.(2010年高考全国2卷理数6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每 个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一 信封，则不同的方法共有__________（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

3.（2010年高考江西卷理科14）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种(用数字作答).思考题：

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内。（1）恰有1个盒子不放球，共有多少种放法？

（2）恰有1个盒子内放2个球，共有多少种放法？

（3）恰有2个盒子不放球，共有多少种放法？