数学变化中的“九九归一”思想[五篇模版]

第一篇：数学变化中的“九九归一”思想

数学变化中的“九九归一”思想

佛语有云“九九归

一、终成正果”。所谓一生二，二生三，三生万物，万物变幻，九九八十一后又再循环，归一。

这到底是为什么？蕴含什么样秘密？我们一起来看一下：

对数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，我们进行相加可得

0+1+2+3+4+5+6+7+8=36

3+6=9

所以数字0，1，2，3，4，5，6，7，8都指向9.而9加任何一个数都可以返回该数：

如9+8=17

1+7=8

如9+6=15

1+5=6

如9+4=13

1+3=4

九九归一：在某种角度上讲指的是“周而复始”,但不是原地轮回,而是由起点到终点、由终点再到新的起点。这样循环往复,以至无穷,螺旋式前进和发展的运动过程。就像圆的度数变化，一圈为360度，绕两圈虽然回到起点既是终点，度数却为720度。

这种“周而复始”性体现了人类对一切事物发展认识的辨证唯物论的哲学思想。佛语有云“九九归

一、终成正果”。在这里,“九”是最大的,也是终极的,古今人文建筑都以之为“最”。

那么数学中蕴含了哪些九九归一思想，下面我们以圆为例子，一起来看看：

一、圆的一圈是360度：3+6+0=9

二、圆的一半是180度：1+8+0=9 三、四分之一的圆是90度：9+0=9 四、八分之一的圆是45度：4+5=9 五、十六分之一的圆是22.5度：2+2+5=9

依次等分下去，我们发现结果一样，被分成等分的角度的所有数字之和为9。

当圆的度数成倍增加时候，两圈为720度：7+2+0=9

增加1圈，3圈度数为1080度：1+0+8+0=9

增加1圈，4圈度数为1440度：1+4+4+0=9

当圈数为8圈时候度数为2880度：2+8=10，1+0+8+0=9

„„„„

依次倍增上去，我们发现结果一样，所有数字之和为9。

数学这样变化无不透露着“九九归一”思想。

第二篇：初中数学教材中的数学思想

初中数学教材中的数学思想

徐州市九里区九里中学朱黎生

摘要：天得一而清，地得一而宁，万物得一而生，数学的美美在其统一性与简单性。化归思想、数形结合思想、整体思想、函数思想、对应思想等不都是数学统一美的表现吗？方程、函数、不等式之间是统一的，加、减、乘、除之间是统一的，减就是加，除就是乘。数与式之间是统一的，数与形之间是统一的。在数学统一美的统领下，各种数学思想各善其能。本文简略探讨了初中数学中的一些数学思想，这是数学教学的目的所在，也是学生数学能力的体现。其实，每一种数学思想都可以写厚厚的一本书，又岂是本文浮光掠影式的一带而过。

在2006年常州市武进区湖塘中学举行的江苏省青年教师优质课评比活动中，郑君威先生讲了这样一句话：“一堂如果没有数学思想的渗透，那么它就是一堂没有品位的课。”是啊！一堂好课就像一杯清茶，要留有口齿生津的余香；就像马致远的“枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马”一样，要留给人无限的遐想。就像中国的水墨山水，寥寥数笔却留给人大量的言外之意、画外之音。庄子说：“大道无言、大音稀声”；听了一堂好课，在静思冥想中，细细体会知识背后所蕴含的思想，或许就会给我们带来小小的快乐，一堂好课除了教给我们一些知识之外，最重要的是让我们感受一些数学的思想。日本数学家和数学教育家米山国藏说：“学生在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学思想方法，却长期在他们的生活和工作中发挥着作用。”

那么初中数学教材中渗透了那些数学思想呢？

1、化归思想

匈牙利著名数学家路莎·彼得在她的名著《无穷的玩艺》一书中对“化归方法”作过描述：“如上所述的推理过程，对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为己经能够解决的问题。当然，从陈旧的实用观点来看，以下的一个比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数学家中却是广为流传的：‘现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前，当你要烧水时，你应当怎么去做呢?‘往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶上。’‘你对问题的回答是正确的。现把所说的问题稍作修改，即假设水壶里己经装满了水，而所说问题中的其他情况都不变，试问，此时你应该怎样去做?’此时被问者一定会大声而颇有把握地说：‘点燃煤气，再把水壶放上去。’他确信这样的回答是正确的，但是更完美的回答应该是这样的：‘只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。”从这段话可以看出，化归方法已经成为了数学家们最典型的思维模式了”。

所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化和归结的意思。数学中把待解决的问题通过转化，归结到一类己经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。化归方法用框图可直观表示为：

其中，问题B常被称作化归目标或方向，转化的手段被称为化归途径或化归策

略。所以化归包括三个基本要素，即化归对象、化归目标和化归策略。化归的方

向是：由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易。

初中数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为己知，化多元为一元，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容

上，有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元

等等都是实现转化的具体手段。转化思想是一种思维策略的表现，即我们常说的换个角度想问题。它是解决数学问题的重要思想，它要求我们能把握住问题的本

质，能辨证地看待事物，能运用所学的知识把复杂的问题转化为较简单的问题解

决，把隐含的条件转化为明显的条件，把生疏的问题转化为较熟知的问题解决。

严格说，初中的几何证明只能是指出待证问题可以归入哪个问题的证明或由哪个

已证的定理或结论来证明，实质上是一种化归过程。老老实实从公理、公设、定

义出发去证明每一个命题，既费时，又没有必要，对初中学生来说有的甚至是不

可能达到的。等价转化本身是数学中的很重要的内容，可以把较为深奥的问题化

为较浅显的问题，较复杂的问题转化为较简单的问题。学习数学时头脑的灵活也

体现在这种等价转化上，能把原题改为一个新的题目且使两题的已知条件及结论

本质上相同，做到此很不简单。

例1：有鸡、兔若干只同笼，已知共有头12个，腿36条，问鸡、兔各多

少?此题解法较多，我们可以用化归方法，若鸡、兔同时抬起一半腿，则有腿18

条，比头数多6，问题很快解决。

例2：如图，正方形的边长为a，求图中阴影部分面积。

分析：图形不规则，换一个角度看，知阴影部分是由4个以正方形的边长为

直径的半圆叠加再减去一个正方形而形成。

有些问题如果直接解决难以入手，不妨换一个方向、角度或观点来考虑，或

许能使问题变得更清晰、更明朗，这就是转化思想。

2、符号化、方程与函数思想

符号化思想，方程思想和函数思想本来是三个不同的思想，它们各有侧重点，符号化偏重于形式化、结构化。方程思想相对于算术法，偏重于关注问题中的等

量关系、构造方程，由解方程而达到问题解决。函数思想则偏重于事物的运动变

化，寻求变量之间的对应关系。但是，一方面，由于初中数学知识量毕竟有限，这三种思想的形成还有待学生在后继学习中完成，另一方面，这三种思想存在着

有机的联系，符号化是方程思想实现的基础，而方程又可以看作是函数的特殊情

况，方程方法也是研究函数的有力工具。因此，这里把这三种思想方法放在一起。a、符号化思想

符号既可以表示数，又可以表示量；既可以表示未知数，又可以表示已知数；

既可表示常量，又可表示变量，还可以用符号表示运算、表示关系、表示语句、表示图形。如新教材第三章《 字母表示数》中的“ 摆火柴棒”的实验，就蕴

涵着用字母表示数的思想，如能先让学生在具体实验中计算一些具体的数值，启发学生归纳出字母表示数的思想，认识到字母表示数具有问题的一般性，就

便于问题的研究和解决，由此就可产生从算术到代数的认识飞跃。学生领会了用

字母表示数的思想就可顺利地进行以下内容的教学：（1）用字母表示问题（代

数式模仿、列代数式）；（2）用字母表示规律（运算定律、计算公式、认识

数式通性的思想）；（3）用字母表示数来解题（适应字母式问题的能力）。b、方程思想

方程思想就是把问题转化为利用方程或方程组求解。运用方程思想解题在数

学、物理、化学等学科中均有广泛的应用。方程、函数、不等式关系紧密，是初

中阶段数学的重要内容和考查热点，尤其是二次函数与二次方程。不等式反映的是不等量的关系，往往也用等量关系(函数、方程)去解决问题。在中考中，用方

程思想求解的题目随处可见。同时，方程思想也是解几何计算题的重要策略。

c、函数思想

世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中

重视函数的思想方法的教学。虽然函数知识安排在初三学习但函数思想已经渗透

到初一、二教材的各个内容之中。因此，教学上要有意识、有计划、有目的地培

养函思想方法。让学生逐渐形成以运动的观点去观察事物，并借助函数关系思考

解决问题。

3、数形结合思想

“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。例如初中代数中，正是借助于数形结合的载体------数轴，介绍数与点的对应关系，相反数，绝对值的定义，有理数大小比较的法则等，大大减少了学生学习这些知识的难度，因此数形结合的思想教学应贯穿于整个教学的始终。

“数”与“形”是同一个事物的两个方面，以形判数，以数论形的思想方法就是数形结合法。数量问题有时借助于图形可以很直观地解决，反之，图形问题有时转化为数量问题可以很方便的解答。有些同学重视定理、公式的计算，可是不重视数形的结合，因此，学不好数学。曲线、图象等是研究方程、函数的手段，给人以深刻的感性认识，有些难于计算或计算繁杂的题目只要画一下图形就一目了然，完全可以避免计算或减少计算量，尤其对于那些不要求运算过程的标准化题目更为适用。指导学生要想到数形结合的方法，更重要的是如何恰当地选用图形解决问题，不然就事倍功半。

例若x、y为正实数，且xy4,x21y24的最小值是多少?

BE

解析：若能考虑到x21是以x、l为直角边的直角三角形斜边的长，y24是以y、2为直角边的直角三角形斜边的长，那么上述问题就变成了求两条线段和的最值问题。

如图，线段AB=4。P为AB上一动点。设PA=x，PB=y。CAAB,DBAB

A B为垂足，且CA= 1，BD=2，则PC+PD=x21+y24。易知当点P，C，D在同一条直线上时，PC+PD最小。作CE垂直DB的延长线于E。，易知EC =4ED =2十1 =3，故PC十PD =DC =3242 =5故最小值为5。评析：此题难在对形如a2b2的式子的理解，a2b2表示以正数a，b

为直角边的直角三角形的斜边，看到这个式子应立刻在头脑中产生这个直角三角形，这当然需要经验的积累。有了这个直角三角形，解决问题便有了思路。

4、分类讨论思想

严格说，“分类讨论思想”不是数学所特有的，是自然科学乃至社会科学研究中都用到的基本逻辑方法，由于它在数学中的重要性，这里把它作为数学思想方法提出来。初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，都体现了这一思想。启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。从具体的教法上看，如对初一有理数的加法教学中，引导学生观察、思考、探究，将有理数的加法分为三类进行研究，正确归纳出有理数加法法则，这样学生不仅掌握了具体的“法则”，而且对“分类”有了深刻的认识，那么在较为复杂的情况下，利用掌握好的分类的思想方法，正确地确定标准，不重不漏地进行分类，从而使看问题更加全面。当数量大小不确定，或图形的位置、形状不确定时，常常可以运用分类讨论的思想来分析解决。

在进行分类讨论时，我们必须遵循以下原则：

1、分类原则——不重复、不遗漏。由于学生在思考问题时有时带有片面性或缺乏条理性，所以在解决问题过程中，往往违背这个原则。实际上，在教材中定理证明、例题、习题中都采用了分类思想，只要同学们认真钻研教材，多思考，并注意解题后的回顾与总结，在分类时就会做到不重、不漏。

2、对复杂问题采用多级分类的方法讨论，对一个复杂的问题有时进行一级分类，很难将问题讨论清楚，这时需要对其中一类或几类再进行分类，即多级分类。多级分类是一个难点，应注意：(1)每一级分类一定要把握好分类标准。(2)每一级里,要始终如一地按一个标准讨论，同时每一级都要以“不重不漏”为原则。

例：解关于x的方程：a-bx=4-3x

分析：应根据除数不能为零进行分类讨论，同时，涉及a、b两个字母，需进行两级分类讨论。

解：a-bx=4-3x可整理为(b-3)x=a-

4a4(1)当b≠3时，方程有唯一解x= b

3(2)当b=3时，有两种情况：

①a=4时，原方程的解是一切实数,②a≠4时,原方程无解。

5、整体思想

所谓整体思想，就是把所考察的对象，作为一个整体来对待，而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体。从整体上去认识问题，思考问题，是一种重要的思想方法，当然，这并不排斥把事物分解的重要性。在初中数学中，这种整体思想的例子不少，是一种相当重要的解题思想与策略。

例 ： 在一条平直公路的甲乙两端，分别有A，B两辆车同时匀速相向开出，在离甲端80km处两车相遇，相遇后各自继续驶向前方，到终端后又立即返回，结果在离乙端60km处两车又迎面相遇，求甲乙两点间公路的长。

分析：若用方程思想，所设的物理量较多，方程不好解。若将A，B两车的运动过程视为一个整体如图1所示，第一次相遇时，A，B两车行驶的路程之和为一个全程，其中A车行驶了80km。到第二次相遇时，A，B两车行驶的路程之和为三个全程，因两车都匀速行驶，不难推出，此时A车应行驶了3 × 80 = 240km。又由图看出，A车实际行驶了一个全程加60km，故有

s+60=240km，s=180km。

面对纷繁复杂的过程，有时不必考虑细节，而是将若干个过程视为整体，通盘考虑，定能化繁为简。

6、此外还有空间思想、对应思想、概率思想等，不胜枚举。

空间思想：如初一教材第一章《 丰富的图形世界》 就需要学生通过不断的观察，在展开与折叠、切截等数学活动过程中，认识常见的基本几何体及点、线、面等简单的平面图形，形成一定的空间思想，提高学生空间思维能力。在实际教学中，我充分调动学生的主观能动性，给予足够的空间和时间，通过每个学生自己的动手操作去体会新教材所安排的内容，发现新的问题。如在“面动成体”这一知识点上，我让学生去观察、思考“面动成体”的实例，并在课堂上充分发言进行讨论，有的学生提到了“某些高档宾馆的旋转大门，面动起来就成为圆柱体”。空间思想不同于数形结合思想，数形结合强调的是代数与几何之间的打通，而空间思想强调的是对空间点、线、面关系的直觉。初中几何教材主要注重学生两方面能力的培养：一是逻辑推理能力，二是空间想象能力。

对应思想：对应本质上反映了两个集合的元素与元素之间某种关系，当两个集合建立了某种对应时，这两个集合的元素和元素之间就发生了某种关系，运用两个集合元素和元素之间的对应关系来处理数学问题的思想就是对应思想。对应思想在初一教材中最典型的例子就是实数集与数轴上的点集的对应。函数和一元一次不等式（组）等章节中都存在着对应思想，如研究一元一次不等式解法可通过与一元一次方程解法对比进行教学，学生容易掌握，当研究一个集合的事物不方便时，可通过对应转化为研究另一集合的事物，以达到研究原集合事物的目的，因此，对应思想架设了变难为易的桥梁。对应思想与函数思想有相同之处，它更加注重事物与事物之间的类比。

概率思想：初一新教材出现了《可能性》的新增内容，从学生喜闻乐见的摸球游戏开始，通过实验，使学生体验有些事件发生的不确定性，并通过实例丰富对不确定事件的认识。所以我们在教学过程中，要适当渗透概率思想，使学生体会到事件发生的随机性在日常生活中会经常遇到，并对事件发生的可能性有较为深刻的认识，为今后进一步学习概率统计打下坚定的基础。

第三篇：课标中的数学思想

课标中的数学思想

《课标》（修订稿）把“双基”改变“四基”，即改为关于数学的： 基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

“基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的，通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个具体的方法可能是重要的，但它们是个案，不具有一般性。作为一种思想来掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是大的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。

史宁中教授认为：演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。我们缺少的是根据情况“预测结果”的能力；根据结果“探究成因”的能力。而这正是归纳推理的能力。

就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。与演绎推理相反，归纳推理是一种“从特殊到一般的推理”。借助归纳推理可以培养学生“预测结果”和“探究成因”的能力，是演绎推理不可比拟的。从方法论的角度考虑，“双基教育”缺少归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。

一、什么是小学数学思想方法

所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。

二、小学数学思想方法有哪些？

1、对应思想方法

对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。

2、假设思想方法

假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

3、比较思想方法

比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

4、符号化思想方法

用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。

5、类比思想方法

类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。

6、转化思想方法

转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。

7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

8、集合思想方法

集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。

9、数形结合思想方法

数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。

10、统计思想方法：

小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。

11、极限思想方法：

事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

12、代换思想方法：

他是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了4张桌子和9把椅子，共用去504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？

13、可逆思想方法：

它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推。如一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。

14、化归思维方法：

把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。

15、变中抓不变的思想方法：

在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解。如：科技书和文艺书共630本，其中科技书20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本？

16、数学模型思想方法： 所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。

17、整体思想方法：

对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法。

三、怎样教给学生数学的思想方法：

1、深入钻研教材，认真挖掘教材中渗透的数学思想方法因素。

2、在知识的发生、形成、发展过程中，适时地进行数学思想方法的渗透。

3、注意在知识的小结、复习过程中运用对比、归类的方法，帮助学生整理出比较清晰的、常用的一些数学思想方法。

4、引导学生应用数学的思想方法去解决一些生活中的实际问题。

5、考试时要适当设计一些题目，考查学生对数学思想方法理解、应用的能力。

第四篇：小学数学中的转化思想

小学数学中的转化思想

光明小学

肖承焕

【摘要】小学是学生学习数学的启蒙阶段，这一阶段让学生真正理解并掌握一些基本的数学思想便显得尤为重要。转化思想是数学思想的重要组成部分。它是从未知领域发展，通过数学元素之间的因果联系向已知领域转化，从中找出它们之间的本质联系，解决问题的一种思想方法。在小学数学中，主要表现为数学知识的某一形式向另一形式转变，即化新为旧、化繁为简、化曲为直、化数为形等。【关键词】小学数学 教学 转化

转化思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题。也就是说，转化方法的基本思想是在解决数学问题时，将待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题，然后通过容易问题还原解决复杂的问题。将有待解决或未解决的问题，转化为在已有知识的范围内可解决的问题，是解决数学问题的基本思路和途径之一，是一种重要的数学思想方法。

小学是学生学习数学的启蒙阶段，这一阶段让学生真正理解并掌握一些基本的数学思想便显得尤为重要。转化思想是数学思想的重要组成部分。它是从未知领域发展，通过数学元素之间的因果联系向已知领域转化，从中找出它们之间的本质联系，解决问题的一种思想方法。在小学数学中，主要表现为数学知识的某一形式向另一形式转变，即化新为旧、化繁为简、化曲为直、化数为形等。21世纪的数学教师，应该结合相应的数学情景，培养学生善于和习惯利用转化思想解决问题的意识。使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，特殊的问题一般化，未知的问题已知化，提高学生解决数学问题的能力，从而使学生爱上学数学。

一、转化的形式多种多样

（一）计算中的转化

1.计算的纵向转化

加减计算： 20以内数的加减←―100以内数的加减←―多位数的加减←―小数加减 ← 分数加减。其中 20以内数的加减计算是基础。如23+15可以转化成2+1和3+5两道十以内数的计算，64-38 可以转化成14-8和5-3两道计算。多位数计算也同样。1

分数加减计算如 7/8+3/8 就是 7个1/8 加3个1/8，就是（7+3）个1/8，最后也可以看作是20以内数的计算。乘除计算：一位数乘法← 多位数乘法← 小数乘法。一位数乘法口诀是基础，多位数乘法都可以把它归结到一位数乘法。除数是一位数的除法←―多位数除法←-小数除法。除法中除数是一位数除法的计算方法是基础，多位数除法都可以把它归结到一位数除法。2.计算的横向转化

加法与减法之间可以转化，乘法与除法之间可以转化。几个相同加数连加的和，可以转化成乘法来计算。被减数连续减去几个相同的减数，差为零，可以转化成除法来表示。分数的除法，可以将除数颠倒位置变成乘法进行计算。

（二）综合应用中的转化。

小学阶段十一类简单应用题分别如下： ⑴求总数（部分数+部分数=总数）⑵求剩余（总数-部分数=另一部分数）⑶求相同加数的和（每份数×份数=总数）

⑷把一个数平均分成几份，求一份是多少（总数÷份数=每份数）⑸求一个数里包含几个另一个数（总数÷每份数=份数）⑹求两数相差多少（较大数-较小数=相差数）⑺求比一个数多几的数（较小数+相差数=较大数）⑻求比一个数少几的数（较大数-相差数=较小数）⑼求一个数的几倍是多少（较小数×倍数=较大数）

⑽已知一个数的几倍数，求一倍数（几倍数÷倍数=一倍数）⑾求一个数是另一个数的几倍（较大数÷较小数=倍数）

十一类简单应用题可以归结为四大类数量关系，即部总关系、相差关系、倍数关系、总份关系。每一类数量关系的基本应用题可以通过条件与问题的交换进行相互转化，其它的稍复杂的整数和小数应用题可以把一步计算应用题通过改变条件转化成复杂应用题。任何的复杂的应用题都可以通过二道或更多的简单应用题组合而成。

（三）图形中的转化。

面积计算公式的推导可以把长方形面积公式作为基础，其它图形面积公式都可以通过转化变成长方形或平行四边形后得出公式。体积计算公式以长方体的体积计算公式为

基础，圆柱体的体积公式的推导也是通过转化为长方体来得出。转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。

二、转化在小学数学教学中的主要作用

（一）化新为旧，给新知寻找一个合适的生长点

任何一个新知识，总是原有知识发展和转化的结果。在实际教学中，教师可以把学生感到生疏的问题转化成比较熟悉的问题，并利用已有的知识加以解决，促使其快速高效地学习新知，而已有的知识就是这个新知的生长点。

（二）化繁为简。优化解题策略

在处理和解决数学问题时，常常会遇到一些运算或数量关系非常复杂的问题，这时教师不妨转化一下解题策略，化繁为简。反而会收到事半功倍的效果。例如，在学生掌握长方体、正方体的体积计算公式后，出示一个不规则的铁块，让学生求出它的体积。学生们顿时议论纷纷，认为不能用长方体、正方体的体积计算公式--直接计算。但不久就有学生提出，可以利用转化思想来计算出它的体积。通过小组讨论后，学生们的答案可谓精彩纷呈。

方法一：用一块橡皮泥，根据铁块的形状，捏成一个和它体积一样的模型，然后把橡皮泥捏成长方体或正方体，橡皮泥的体积就是铁块的体积。

方法二：把这个铁块放到一个装有水的长方体的水槽内，浸没在水中，看看水面上升了多少，拿水槽内底面的长、宽与水面上升的高度相乘得到铁块的体积。

方法三：把铁块放到一个装满水的量杯内，使之淹没，然后拿出来，看看水少了多少毫升，这个铁块的体积就是多少立方厘米。

方法四：可以请铁匠师傅帮个忙，让他敲打成一个规则的长方体后再计算。

这时，学生在转化思想的影响下，茅塞顿开，将一道生活中的数学问题既形象又有创意地解决了。从这里可以看出：学生掌握了转化的数学思想方法，就犹如有了一位“隐形”的教师，从根本上说就是获得了自己独立解决数学问题的能力。

（三）化曲为直，突破空间障碍

“化曲为直”的转化思想是小学数学曲面图形面积学习的主要思想方法。它可以把学生的思维空间引向更宽更广的层次，形成一个开放的思维空间，为学生今后的发展打下坚实的基础。

例如，圆面积的教学，教师在教学过程中，先请学生把圆16等分以后，请他们动手拼成近似的平面图形，即用转化思想，通过“化曲为直”来达到化未知为已知。学生兴趣盎然，通过剪、摆、拼以及多种感官协同参与活动，拼出以下图形。

三、转化在小学数学中的有效策略

（一）实施“转化”的前提是摸清学生的“最近发展区”

教育对儿童的发展能够起到主导和促进作用，但需要确定儿童发展的两种水平：一种是已经达到的发展水平，另一种是儿童可能达到的发展水平。后者就是所谓的“最近发展区”。

（二）在获取新知的过程中，让转化思想成为首选的数学思想

在小学数学教学中，提倡学生拥有多元化的数学思想，就要培养学生的发散思维能力，但“集中思维”也是不可或缺的。笔者所说的“集中思维”是向转化思想的集中。转化思想成为指导小学生学习与思考重要法宝，“遇题必思，解题必用”。

总之，转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。【参考文献】

[1]金雪根.培养学生转化思想的认识与实践[J].小学教学参考，2003（4）:31-32.[2] 周家学.浅淡中学数学中的转化思想[J].教学研究，2007(6):61.[3] 卫星.化思想在小学数学教学中的运用[J].教学与管理，2009（7）:40-42.[4] 鲍善军，余真彪.如何培养学生运用转化思想的能力[J].新课程研究，2010(5):159.4

第五篇：数学思想

一．数学思想方法总论

高中数学一线牵，代数几何两珠连；三个基本记心间，四种能力非等闲.常规五法天天练，策略六项时时变，精研数学七思想，诱思导学乐无边.一线：函数一条主线（贯穿教材始终）二珠：代数、几何珠联璧合（注重知识交汇）三基：方法（熟）知识（牢）技能（巧）四能力：概念运算（准确）、逻辑推理（严谨）、空间想象（丰富）、分解问题（灵活）

五法：换元法、配方法、待定系数法、分析法、归纳法.六策略：以简驭繁，正难则反，以退为进，化异为同，移花接木，以静思动.七思想：函数方程最重要，分类整合常用到，数形结合千般好，化归转化离不了；有限自将无限描，或然终被必然表，特殊一般多辨证，知识交汇步步高.二．数学知识方法分论：集合与逻辑

集合逻辑互表里，子交并补归全集.对错难知开语句，是非分明即命题；纵横交错原否逆，充分必要四关系.真非假时假非真，或真且假运算奇.函数与数列

数列函数子母胎，等差等比自成排.数列求和几多法？通项递推思路开；变量分离无好坏，函数复合有内外.同增异减定单调，区间挖隐最值来.三角函数

三角定义比值生，弧度互化实数融；同角三类善诱导，和差倍半巧变通.第一：函数与方程思想

（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用

（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础

高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查

第二：数形结合思想：

（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面

（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系

在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系

数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化

第三：分类与整合思想

（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法

（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性

（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性

第四：化归与转化思想

（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题

解前若能三平衡，解后便有一脉承；角值计算大化小，弦切相逢异化同.方程与不等式

函数方程不等根，常使参数范围生；一正二定三相等，均值定理最值成.参数不定比大小，两式不同三法证；等与不等无绝对，变量分离方有恒.解析几何

联立方程解交点，设而不求巧判别；韦达定理表弦长，斜率转化过中点.选参建模求轨迹，曲线对称找距离；动点相关归定义，动中求静助解析.立体几何

多点共线两面交，多线共面一法巧；空间三垂优弦大，球面两点劣弧小.线线关系线面找，面面成角线线表；等积转化连射影，能割善补架通桥.排列与组合分步则乘分类加，欲邻需捆欲隔插；有序则排无序组，正难则反排除它.元素重复连乘法，特元特位你先拿；平均分组阶乘除，多元少位我当家.二项式定理

二项乘方知多少，万里源头通项找；展开三定项指系，组合系数杨辉角.整除证明底变妙，二项求和特值巧；两端对称谁最大？主峰一览众山小.概率与统计

概率统计同根生，随机发生等可能；互斥事件一枝秀，相互独立同时争.样本总体抽样审，独立重复二项分；随机变量分布列，期望方差论伪真.（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五： 特殊与一般思想

（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论

（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程

（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程

（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向

第六：有限与无限的思想：

（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路

（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向

（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查

第七：或然与必然的思想：

（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性

（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点