小学奥数之第10讲 数论综合(一)

第一篇：小学奥数之第10讲 数论综合(一)

第10讲 数论综合（一）

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．

1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?

【分析与解】 我们知道如果有5个连

续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。

所以n小于5．

:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；

如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；

所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．

：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．

：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．

至于n取1显然不满足了．

所以满足条件的n是4．

2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?

【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．

可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．

所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．

3．如果某整数同时具备如下3条性质：

①这个数与1的差是质数；

②这个数除以2所得的商也是质数；

③这个数除以9所得的余数是5．

那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．

【分析与解】 条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件．

其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．

所以两位幸运数只有14．

4．在555555的约数中，最大的三位数是多少?

【分析与解】555555=5×111×1001

=3×5×7×11×13×37 显然其最大的三位数约数为777．

5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?

【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．

不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．

6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．

【分析与解】 设这三个数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两不互质，所以它们均是合数．

小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数．

所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列．

所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．

7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?

【分析与解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=3×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．

由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：

将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组． 所以，至少要分成3组．

8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?

【分析与解】 圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．

小圆周长为×30=307r，大圆周长为48，一半便是24，30与24的最小公倍数时120．

120÷30=4．120÷24=5．

所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个两只甲虫相距最远．

1圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这时2

9．设a与b是两个不相等的非零自然数．

(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?

(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值? 【分析与解】(1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨设a＞b．

:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73；

:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；

：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值； 当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值； ：当a=12时，b无解；

:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值．

总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值．

(2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b为60的约数，不妨设a＞b． ：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30； ．当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10； ：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；

当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3； : 当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2．

总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值．

10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4次．比赛途中，从起点开始每隔12少米?

13米，黄鼠狼每次跳2米，它们每秒钟都只跳一243米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多83111339÷4=，12÷2=． 82484233 所以狐狸跳4个12米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个12米的距离时，将掉进陷阱．

【分析与解】 由于12 又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒.距离为9×41=40.5(米)． 2

11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

【分析与解】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．

1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．

12．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?

【分析与解】 由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数．

即603÷A=a……k；(2×939)÷A=b……k；(4×393)÷A=c……k．

于是有(1878－603)÷A=b－a；(1878－1572)÷A=b－c；(1572－603)÷A=c－a．

所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=17×3=51．

于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍)．

当A为51时，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36．不满足；

当A为17时，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；满足．

所以，除数4为17．

13．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．

【分析与解】

我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除．

现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．

评注：设奇数为2n+1，则它的平方为4n+4n+1，显然除以4余1．

14．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?

【分析与解】 我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍．

八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216．

从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6．

观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31．

因此甲取走的一盒中有3l块奶糖．

15．在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?

【分析与解】 10，12，15的最小公倍数[10，12，15]=60，把这根木棍的1作为一个长度单位，这60样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位．

不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等份)，共计34个．

由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．

又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2．

同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4．

由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点．沿这些刻度点把木棍锯成28段．

第二篇：小学奥数三年级第5讲平均数

第7讲

平均数

一组数的和除以这组数的个数，称为这组数的平均数。

例1、5个连续自然数的中间一个数是45，这5个数的和是多少？

分析5个连续自然数的第3个数是45，第2个（44）与第4个（46）相加是两个45，第1个（43）与第5个（47）相加是两个45。

解

和是

45×5=225

随堂练习1 计算56+57+58+59+60+61+62+63+64 一般地，奇数个连续自然数的和等于中间一项乘以项数。换句话说，奇数个连续自然数的平均数就是中间的那个数。高斯求和方法的实质就是

和=平均数×项数

偶数个连续自然数的平均数不是整数，我们现在尚未学到。所以先将第一项加最后一项，第二项加倒数第二项……直至中间两项相加，这些和都相等。而个数是项数的一半，所以偶数个连续自然数的和等于中间两项的和（也即首末两项的和）乘以项数除以2.例2、8个连续自然数的和是108，写出这8个数。

分析

因为中间两个数相加再乘以4（=8÷2）等于108，所以中间两项的和可以求出来。

解 中间两项的和是108÷（8÷2）=27 又

27=13+14 所以中间两项是13、14.这8个数是10、11、12、13、14、15、16、17.（由13往前数4个数到10，由14往后数4个数到17）答：这8个连续的自然数是10、11、12、13、14、15、16、17.随堂练习2 6个连续自然数的和是273，这6个数中的第一个数是多少？

例

3、求出以下28个数的平均数: 12、13、13、14、15、16、16、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35.分析与解

这28个数的和是（12+13+14+……+35）+13+16+16+35 求出和再除以28就得到平均数，但比较麻烦。如果注意到25个连续自然数11、12、13，……，35的平均数是23（中间一项），那么就比较容易。

因为 13+16+16+35 =（11+2）+（23+12）+（23-7）+（23-7）=11+23+23+23 所以原来的和就是11+12+13+……+35+23+23+23，原来28个数的平均数正好是23.随堂练习3 求28个数：12、13、14、14、14、15、16、17、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35的平均数。

例

4、求数列 1、2、4、5、7、8，……，46、47、49、50、52、53（1）的规律，并求这组数的和与平均数。

分析 数列的奇数项数的项组成等差数列（公差是3）1、4、7，……，49、52.（2）数列的偶数项数的项组成等差数列（公差也是3）2、5、8，……，50、53.（3）

分别求出数列（2）（3）的和，再相加，可以得出所求的和，再得出平均数。但更为简单的办法是直接运用高斯的思想。注意： 1+53=2+52=4+50=……=25+29=26+28（4）解 1与53的平均数是27，也就是1+53可以换成2个27相加。同样，2+52,4+50，……，26+28都可以换成27+27.因此（1）的和是27×36=972.从例4可以看出，如果一组数可以分成许多小组，各小组的平均数都相等，那么这个相等的数就是这组数的平均数（例4中，每个小组2个数的和是54，每个小组的平均数是27）。

随堂练习4 寻找数列4,2,5,8,6,14,7,20，……，12,50,13,56的规律，并求这数列的和。

练习题：

（1）求1至100内能被4整除余1的所有数的和。

（2）求1至100内既是3的倍数又是5的倍数的所有数的和。

（3）有10只盒子，44只乒乓球。把这44只乒乓球放到盒子中，每个盒子中至少要放一个球，能不能使每个盒中的球数都不相同？

（4）影剧院共有25排座位，第一排有20个座位，以后每排比前一排多2个座位，问：影剧院共有多少个座位？

（5）时钟在每个整点时敲这钟点数，每半点钟时敲1下，问：一昼夜该时钟总共敲多少下？（6）求所有三位数的和。

（7）求1至100（包括100在内）的所有5的倍数的和。

（8）50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，试多少次就足够了？

（9）已知数列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，……。这个数列的第30项是哪个数？到第25项止，这些数的和是多少？

（10）24个连续自然数12―35，再添上一个35，一个13，两个16.这28个数的平均值是多少？

第三篇：小学五年级奥数专题之排列组合题一及答案

彭老师数学工作室，电话*** 1、7个人站成一排，若小明不在中间，共有_______________种站法；若小明在两端，共有_________________种站法。

2、4个男生2个女生共6人站成一排合影留念，有________________种不同的排法；要求2个女生紧挨着有________________种不同的排法；如果要求2个女生紧挨着排在正中间有____________________种不同的排法。

3、A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻，请问共有________________________种不同的排法。

4、6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A、B两人必须相邻，一共有________________________种不同的站法；若A、B两人不能相邻，一共有________________________种不同的站法；若A、B、C三人不能相邻，一共有________________________种不同的站法。

5、10个相同的球完全分给3个小朋友，若每个小朋友至少得1个，那么共有__________________种分法；若每个小朋友至少得2个，那么共有__________________种分法。

6、小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有______________________种不同的吃法。

7、5个人站成一排，小明不在两端的排法共有__________________种。

彭老师数学工作室，电话***

8、停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有________________________种不同的停车文案。

9、将3盆同样的红花和4盆同样的黄花摆放在一排，要求3盆红花互不相邻，共有____________________种不同的放法。

10、12个苹果分给4个人，每人至少1个，则共有____________________种分法。

11、四年级三班举行六一儿童节联欢活动，整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成，请问如果要求同类型的节目连续演出，那么共有____________________种不同的出场顺序。

12、0，1，2，3各一次共可以组成____________________个不同的四位数。

13、6个同学排成一排，其中A、B、C三人必须排在一起，一共有____________________种排法。

14、学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生，某次比赛后他们站成一排照相，请问如果要求男生不能相邻，一共有____________________种不同的站法。

15、15个苹果分给4个人，每人至少2个，则共有____________________种分法。

彭老师数学工作室，电话***

第四篇：奥数之火柴棍问题(一)

奥数专题之火柴棍问题(一)

主讲：殷老师 2011-2-9

火柴除了可作火种外，人们常用它来摆图形、算式，做出许多有趣的游戏。它不受场地和时间的限制，只要有几根火柴(或几根长短一样的细小木棍)就可以进行。火柴游戏寓知识、技巧于游戏之中，启迪你的智慧，开阔你的思路，丰富你的课余生活。

火柴问题大体分为两种：一种是摆图形和变换图形；一种是变换算式。

这一讲我们先介绍变换图形的游戏。1.摆图形游戏

游戏1用8根火柴棍可以摆成一个正方形。现添两根，即用10根火柴能摆出与这个正方形同样大小的图形吗？

分析与解：8根火柴摆一个正方形，每边必是两根火柴。它可以分成四个小正方形(如右图)。因此，只要用10根火柴摆出有四个同样大小的小正方形的图形即可。下面的四个图形都符合题意。

游戏2用8根火柴棍摆出八个大小一样的三角形和两个一样大小的正方形。

分析与解：4根火柴可摆出一个正方形，另4根火柴又可摆出一个同样大小的正方形。把这两个正方形如右图所示交叉放在一起，就形成八个相同的三角形。

2.移动火柴，变换图形游戏

游戏3右图是用10根火柴棍摆成的一座房子。请移动2根火柴，使房子改变方向。

解：如左下图所示，除虚线表示的2根火柴外，其余火柴是左、右对称的，所以改变房子的方向与这些火柴无关，应移动虚线表示的2根火柴(见右下图)。

游戏4在左下图中移动4根火柴棍，使图形成为只有三个正方形的图形。

解：因为只能移动4根火柴，所以图中较长的边(3根或4根火柴的边)都不能动。把图中最里面的4根火柴移补到右上图的相关位置上即可。

游戏5在左下图中移动4根火柴棍，使它变成3个三角形，并且这3个三角形的面积之和与原来的六边形面积相同。

解：原图中有6个三角形，变化后剩下3个三角形，这3个三角形与原来的6个三角形的面积相同，必然有一个三角形的面积要增大。如右上图所示，移动虚线表示的4根火柴。图中下面的大三角形面积等于小三角形面积的4倍。

3.去掉火柴，变换图形游戏

游戏6在左下图中去掉尽量少的火柴棍，使得图中不存在任何正方形。

解：拿掉的火柴应能尽量多的“破坏”正方形。如右上图，拿掉虚线处的4根火柴即可。拿法不唯一。

游戏7 在左下图中，去掉4根火柴棍，使它变成两个完全相同的图形组合。

分析与解：左上图的面积等于七个边长为1根火柴棍的小正方形的面积之和。要达到规定要求，必须去掉一个小正方形。剩下的部分划分成两个面积等于三个小正方形面积的图形。去掉右上图中虚线所示的火柴棍即可。

课后练习

1.用9根火柴棍摆出一个图形，使它含有五个等边三角形。

2.用9根火柴棍摆出一个图形，使它含有三个正方形和七个长方形(不含正方形)。

3.在左下图中移动3根火柴棍，使“井”字形变成“品”字形图形。

4.右上图是用24根火柴棍摆出的两个正方形。

(1)请你移动4根，把它变成三个正方形；

(2)再移动8根，把(1)中所得图形变成九个完全相同的正方形；

(3)在(2)中所得图形上拿走8根火柴，使它变成五个完全相同的正方形。

5.用13根火柴棍摆成含有6个、7个和8个等边三角形的图形。各给出一种摆法。

6.右图中共有13个三角形，从中拿掉尽量少的火柴棍，使得图中没有三角形。

第五篇：小奥 127 奥数 一年级 教案 第10讲 自然数串趣题

从1开始，l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、1 1、12„„连起来成一串，像一串糖葫芦，我们把这样的一串数叫作自然数串(也叫自然数列)，其中的每一个数都叫作自然数。自然数串的特点是：

①从1开始，1是头；

②在相邻的两个数中，后一个数比前一个数大1；

③后面的数要多大有多大，也就是说，自然数串是有头无尾的。

在自然数串中，如果写到某一个数为止，就叫做有限自然数串，也简称自然数串。

这一讲的题目，都是与(有限)自然数串有关的。

【例1】如下页图所示。一份学习材料放在桌上，一阵风把材料吹落了一地。小军拣起来一看，糟糕，少了两张。根据下面拣到的材料的页码，你能说出少了哪几页吗?

解：一张材料的正反两面用两个自然数作页码，这两个自然数是相邻的。仔细观察找到的材料的页码，根据自然数串的特点，可知少了的两张纸的页码是（7、8)和（13、14)。

【例2】从1连续地写到100，“0”出现了多少次? 解：“0”出现了1 1次。因为从1到100含有“0”的自然数是：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。数一数，这些自然数中共有11个“0”。

【例3】把1，2，3，4，5，„„28，29，30这三十个数，从左往右依次排列起来，成为一个数，你知道这个数共有多少个数字吗？

解：把这个数写出一部分来看看：

***131415„„282930

下面，分段计算这个数共包含有多少个数字： 1至9共有9个数字；

10至19共有10个自然数，每个都由两个数字组成，这一段共有2×10=20个数字。20至29这一段也有10个自然数，共有20个数字。30这个数由两个数字组成。所以这个数所包含的数字总数是： 9+20+20+2=51(个)。

【例4】小青每年都和家长一起参加植树节劳动。七岁那年，他种了第一棵树，以后每年都比前一年多种一棵。现在他已经长到15岁了，连续地种了九年树。请你算一算，这九年中小青一共种了多少棵树? 解：先把小青每年种几棵树写出来

再把每年种树的棵树加起来 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(棵)。

【例5】如下图所示。商店的货架上堆放着一堆火腿肠。你能很快地算出它的总数有多少根吗?

解：从上向下数，每层的火腿肠的根数组成一个自然数串，1，2，3，4，5，6，7，8，9 方法1：利用凑十法求和

方法2：用两串数“头尾相加”法求和

和=90÷2=45

这种自然数串的求和方法很巧妙，很重要，希望同学们能学会它。

【例6】把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、1 1、12、13、14、15、16填人正方形的方格中，使每一横行、竖行、斜行的四个数相加得数都是34。

解（1)把这16个数依次排成如下四行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16(2)把带箭头的线的两端的数互换

(3)互换后，把16个数填到正方形的空格里你会发现每一横行、竖行、斜行的四个数相加的和都等于34。

如果你仔细观察的话，还可以发现这个图中的奇妙的性质：不但每一横行、每一竖行和每一斜行的四个数相加之和都等于34，而且

①四个角上的四个小正方形里的四个数之和都是34；

②中间的一个小正方形里的四个数之和也是34；

③大正方形四个角上的四个数相加之和也是34。

真是不可思议!人们给它起了个有趣的名字——幻方。见右图。

【例7】如果全体自然数如下 表排列，请问

①数20在哪个字母下面? ②数27在哪个字母下面? ③数70在哪个字母下面? ④数71在哪个字母下面? 解：仔细观察可以发现排列的规律：开头的七个数1，2，3，4，5，6，7分别排在A，B，c，D，E，F，G的下面以后每加七个数就又从头排起，如1+7=8，1+7+7=15，则8和15都和1那样，排在字母A的下面利用这个规律，就能求出哪个数在哪个字母下面。

①20=6+7+7，可见20和6排在同一个字母下，即在字母F下面；

②27=20+7=6+7+7+7。

可见27也是排在字母F的下面； ③

可见70排在字母G下面；

④71=1+70，可见71和1都排在字母A的下面。

1．小明从1写到100，他共写了多少个数字“9”?

2．把1到12这十二个数每两个数分为一组，要求每组的两个数之和都相等，怎么分?和是多少? 3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数编三个算式，一个加法、一个减法、一个乘法，每个数只许用一次。

4．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，写成三个三位数，使它们的和等于1953。5．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，写成三个三位数，使它们的和等于1989。6．一只老猫捉了12只老鼠，其中有一只小白鼠。老猫自言自语地说：“我要分三批吃它们。不过吃以前叫它们站好队，我从头一个开始吃，隔一个吃掉一个，也就是：我第一次吃掉站在第1，3，5，7，9，11号位置的小老鼠；剩下的叫它们不许动，第二次还是从头一个吃起，隔一个吃一个；第三次也是照这个办法吃。但把最后剩下的一个放了。”这话被聪明的小白鼠听见了，于是它站在了某个号的位置上，最后没有被吃掉。

小朋友，你知道小白鼠站的是第几号位置吗? 7．所有自然数都按下表排列，问：(1)21排在第几列的下面?(2)30排在第几列的下面?

8．一个排版工人给一本1至50页的书排页码，如果书的页码的每一个数字都用不同的铅字块，问他一共要用多少铅字块? 9．把1至16这十六个自然数巧妙地填入正方形的十六空格里，可以做成有趣的幻方。右图是个未完成的幻方，当它被填满时，它的每行、每列和每条对角线上四个数字的和都相等。请你继续把这个幻方完成。

1．解：小明共写了20个数字“9”。

因为从1到100的数中有18个数含有一个数字“9”，它们是：9、19、29、39、49、59、69、79、89、90、91、92、93、94、95、96、97、98。

另外自然数99含有两个数字9。

2．解：自然数串有一个特点，相邻的两个数中，后一个比前一个大1，因此可以进行如下的搭配分组：

最小的数1和最大的数12成一组(1，12)；

次小的数2和次大的数11成一组(2，11)；

中间的两个数6和7成一组(6，7)；

各组两个数相加之和都是13。

3．解：从受限制最强的乘法算式人手，在这九个数中两个数相乘的积等于另一个数而不发生重复数字出现的，只有2×3=6和2×4=8；经试验，可选用2×3=6，则剩下的六个数可组成两个等式1+7=8和4+5=9。再经过适当的变换就可以列出满足题目要求的算式(答案不惟一)。1+7=8 9-4=5 2×3=6。

4．解：分拆1953=1800+140+13 再分拆13=9+3+1 作为三个数的个位上的数字； 14=8+4+2 作为三个数十位上的数字； 18=7+6+5 作为三个数的百位上的数字；

于是，得到的三个数是789，643，521，注意：此题答案不惟一，同学们还可以试着写出符合题目要求的其他三个数。5．解：思路与第4题相同，分拆1989=1800+180+9 再分拆18=8+6+4 作为三个数的百位上的数字； 18=9+7+2 作为三个数的十位上的数字； 9=1+3+5 作为三个数的个位上的数字；

于是，得到的三个数是891，673，425，符合题意。

6．解：按猫吃老鼠的过程顺序进行思考； 老鼠站好队，可见聪明的小白鼠如果站在第8号位置上就可以不被吃掉。

7．解：方法1：把下图的自然数继续写下去，一直写到21为止，就可以知道：21在第二列，30在第三列。

方法2：仔细观察表中自然数的排列，可以发现每经过7个数字就又会重新从第一列开始，完全重复前面的排列情况，由此，可以找到一个通过计算找出某个自然数在第 几列的方法： 30-7-7-7-7=2 这就是说30和2在同一列即在第三列。8．解：分段计算：

从1至9页，共9页，每页用一个铅字块共有1×9=9(块)；

从10至19页，共10页，每页用两个铅字块共用2 ×10=20(块)；

从20至29页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20(块)；

从30至39页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20(块)； 从40至49页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20(块)； 第50页，共1页(但为两位数)用两个铅字块，所以50页书共用9+20+20+20+20+2=91(块)(铅字)。

9．解：见右图，仔细观察可看出有一条对角线上的四个数都给出来了。这四个数相加之和是12+9+5+8=34由此可求第3行第一列空 格中的数是10；即5+16+3=24，34-24=10。第4行第三列上空格中的数是2，即

7+9+16=32。34—32=2。

接着可继续求出其他空格中数。