第一篇：四年级奥数基础教程第25讲 智取火柴
第25讲 智取火柴
在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。
例1桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
分析与解：本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。
在例1中为什么一定要留给对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其它倍数根呢？关键在于规定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例1的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。
例2在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？ 分析与解：由例1的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，就一定获胜。因为60÷7＝8……4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜。
由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。例3将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？
分析与解：最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜。
由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下（1＋n）的倍数加1根火柴，谁将获胜。
有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。
例4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？
分析与解：对照例
1、例2可以看出，本例是取火柴游戏的变形。因为50÷（1＋5）＝8……2，所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩下48个数是（1＋5＝）6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必胜。
例51111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？ 分析与解：本例是例3的变形，但应注意，一开始棋子已占一格，棋子的右面只有1111-1＝1110（个）空格。由例3知，只要甲始终留给乙（1+7=）8的倍数加1格，就可获胜。
（111-1）÷（1＋7）＝138……6，所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1。以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是8的倍数加1。例6今有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜？
分析与解：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同。
先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。
请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是35根火柴，那么先取者还能获胜吗？
例7有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜？
分析与解：根据例6的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜。
甲先取，共有六种取法：从第1堆里取1根，从第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根。无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜。练习25
1.桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？
2.有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？
3.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？
4.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？
5.黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51。甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？
6.有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？
第二篇：小学数学奥数基础教程(四年级)--25
小学数学奥数基础教程(四年级)--第25讲
本教程共30讲
智取火柴
在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。
例1桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
分析与解：本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根„„由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。
在例1中为什么一定要留给对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其它倍数根呢？关键在于规定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例1的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。
例2在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？
分析与解：由例1的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，就一定获胜。因为60÷7＝8„„4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜。
由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。例3将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？
分析与解：最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜。
由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下（1＋n）的倍数加1根火柴，谁将获胜。
有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。
例4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？ 分析与解：对照例
1、例2可以看出，本例是取火柴游戏的变形。因为50÷（1＋5）＝8„„2，所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩下48个数是（1＋5＝）6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必胜。
例51111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？
分析与解：本例是例3的变形，但应注意，一开始棋子已占一格，棋子的右面只有1111-1＝1110（个）空格。由例3知，只要甲始终留给乙（1+7=）8的倍数加1格，就可获胜。
（111-1）÷（1＋7）＝138„„6，所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1。以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是8的倍数加1。
例6今有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜？
分析与解：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同。
先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。
请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是35根火柴，那么先取者还能获胜吗？ 例7有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜？
分析与解：根据例6的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜。
甲先取，共有六种取法：从第1堆里取1根，从第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根。无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜。
练习25
1.桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？
2.有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？
3.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？
4.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？
5.黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，„，51。甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？
6.有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？
答案与提示练习
1.先取者取两根，以后每次把4的倍数根火柴留给对方取。先取者获胜。
2.乙胜。无论甲取几个球，只要乙接着取的球数与甲所取的球数之和为6即可。因为1999÷6余1，所以最后一个球被甲取走。
3.甲胜。甲先报3个数，以后每次与乙合报5个数即可获胜。
4.甲必胜。
5.甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个数。这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划。因此，若甲先划，且按上述策略去进行，则甲必能获胜。
6.先取。从4枚棋子的行中取走1枚，变为例7的情形。
第三篇：奥数第二节：火柴棒游戏
小学二年级数学兴趣教材(暑期)
银川市少儿艺校
第二节：火柴棒游戏
例题1：用三根火柴棒可以摆出一个三角形，如图
，加两根，摆出两个三角形。
练习1：
1、摆一个正方形要4根火柴棒，如图：，你能用7根火柴棒摆出两个正方形吗？
2、摆一个三角形要用3根火柴棒，摆3个三角形至少需要多少根火柴棒？
3、把两根火柴棒添在那里，可以摆出5个正方形？
例题2：用16根火柴棒摆成的四个相等的正方形（如图）。拿掉1根，还是四个正方形，你会吗？如果拿掉2根呢？
练习2：
1、用12根火柴棒，摆成四个大小一样的正方形，怎么摆？小学二年级数学兴趣教材(暑期)
银川市少儿艺校
2、图中有几个正方形？最少要添上几根火柴棒就能得到8个正方形？
例题3：下图是由5根火柴棒摆成的图形，请你移动其中的3根成这样的图形：
移动3根
练习3：
1、第一排有1根火柴棒，第二排有2根，第三排有3根，请你移动2根，变为第一排3根，第二排2根，第三排1根。
2、如下图，由火柴棒摆了两只倒扣的杯子，请移动4根火柴棒，把杯口正过来。
3、下图是由8根火柴棒组成的向北飞的小燕子，请你移动3根火柴棒，使小燕子掉头向南飞。
例题4：移动一根火柴棒，使等式成立。小学二年级数学兴趣教材(暑期)
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练习4：
1、移动一根火柴棒可使算式成为正确的算式：
（1）
（2）
（3）
例题5： 你能移动两根火柴棒使等式成立吗？
练习5：
1、你能移动其中两根火柴棒，使算式变成正确的吗？
2、移动其中的一根火柴棒，使算式成立。（1）
（2）小学二年级数学兴趣教材(暑期)
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例题6：只移动一根火柴棒，使下面等式成立。
练习6：
1、只移动一根火柴棒，使等式成立。
（1）
（2）
（3）
2、下面的3个三角形是用9根火柴棒搭成的，你能用9根火柴棒搭出5个三角形吗？
第四篇：小奥 156 奥数 一年级 教案 第16讲 火柴棍游戏3
用火柴棍不但可以在桌面上摆出三角形、四边形等平面图形，而且还可以搭出立体图形，如正方体、长方体。还可以摆出棱台和棱锥等立体图形，只是要你更耐心些，更细心些。其实这些都不难，只要用橡皮泥把火柴棍按要求粘起来，一个个立体模型骨架就会在你的桌一 面上“站”起来了。这种活动大有好处，既能锻炼动手能力，又能增强空间想像力。
立体模型做好之后，你再仔细进行观察，数一数每个立体的顶点、棱和面的数目，然后再经过简单的计算就可能重新发现250多年前大数学家欧拉提出的一个著名公式；如果你在惊奇之余，不满足于对欧拉的敬佩和对公式的赞美，那就请你模仿欧拉、学习欧拉，也来搞点创造性的思维活动——用火柴棍当工具，做一次亲身发现数学公式的尝试吧。
【例1】以下各小题做立体模型要用橡皮泥粘接。(1)用六根火柴棍搭成一个四面体。(2)用八根火柴棍搭成一个四棱锥。(3)用十二根火柴棍搭成一个正方体。(4)用九根火柴棍搭成一个三棱柱。解：
数数、想想、算算
数一数你做出的各个立方体的顶点的个数、棱的条数(即火柴棍的根数)、面数(需要想像出来)是多少? 算一算，每个立方体的顶点数－棱数+面数=? 再把数据列成表。
解：
进一步想，任何一个立体图形的顶点数、棱数、面数之间都有这种关系吗?这是多么奇妙的事情呀!立体又叫多面体。任何一个多面体①都有
这叫欧拉公式。最早是法国大数学家笛卡儿发现的，后来大数学家欧拉在1732年正式提出并给予了证明。
同学们，我们利用火柴棍这种简单的东西，做做、想想、数数、算算又发现了大数学家们在250多年前曾经发现的简单而又准确的事实，这对我们不是很富有启发的吗?我们能不能也发现一个公式呢? 【例2】让我们也来发现一个公式吧!见下图。
模仿欧拉，数一数自己做的等边三角形、正方形、菱形的顶点数、边数和面数(由边围住的面数)填入下表(一)
进一步，我们再研究下列那些更复杂的图形。见下
图。不过这时，我们需要把顶点数改为“交点数”(注意顶点也是交点)。把由几条边围起来的平面部分的个数叫“小区域数”，为简单起见，我们不再用火柴棍摆，而是画出来就行了。
同样把交点数，边数和由边围成的面数填入下表(二)
一解：表一
表二
得出公式：对于任何一个复杂的平面图形
同学们看，我们不是也能发现公式吗?希望大家在学习的过程经常想着：我能接着发现点什么?
1．数一数下列立体的顶点数、棱数，细看下面的图，并计算
顶点数－棱数+面数= ?
2．数一数，下列平面图形的交点数、小线段数和小区域数，见下图(1)～(8)并计算
交点数一小线段数+小区域数=?
1．将数据填入下表：
2．将数据填入下表：
第五篇：小奥 153 奥数 一年级 教案 第14讲 火柴棍游戏1
砖是盖房子用的，但当有一只小狗要咬你时，你会急中生智，拣起一块砖头来打狗。火柴是点火用的，但当我们把它带到课堂上来时，用火柴棍就可以做有趣的数学游戏，在游戏中就用数学概念，进行数学计算，增强思维的灵敏性。
【例1】请你用火柴棍摆图形，并用橡皮泥粘接起来。
(1)用三根火柴棍摆出一个等边三角形。(2)用四根火柴棍摆出一个正方形。(3)用四根火柴棍摆出一个菱形
解：(1)等边三角形的三条边的长度彼此都相等，而火柴棍也都一样长。所以可以用三根火柴棍摆成一个等边三角形，如 右图。
(2)正方形的四条边都相等，所以四根同样长的火柴棍可以摆出一个正方形。但要注意，必须使四个角都摆成直角。如右图。
(3)右图菱形的四条边也是相等的，所以用四根一样长的火柴棍也能摆出来。但注意，这时不必使每个角都摆成直角，只要使两组对角分别相等即可。
【例2】请用7根火柴棍摆出2个小正方形出来。
解：由例l可知，摆一个正方形需4根火柴棍，所以摆两个独立的正方形需要8根火柴棍。现在要求用7根火柴棍摆出两个正方形，显然必须有一根火柴棍公用才能办 至。
【例3】请你用12根火柴棍摆出四个同样大小的小正方形。
解：下图摆一个小正方形需要4根火柴棍，所以摆4个独立的小正方形需4×4=16根火柴棍。现在要求用12根火柴棍摆出4个小正方形出来，16－12=4(根)，所以需要4根火柴棍公用。．
【例4】右图是用24根火柴棍摆成的回字形图形，如果只允许移动图中的四根火柴棍，使原图形组成三个正方形(大小可以不一样)，你能办得到吗? 解：可以这样想：
① 用24根火柴棍摆成三个正方形，每个正方形用24÷3=8根，每边2根。这是三个独立的、同样大小的正方形。
经尝试，按题目要求，在原图的基础上移动4根组成三个独立的正方形无论如何办不到。
② 若是正方形的每边用3根火柴棍，一个正方形用12根，两个正方形共用24根。但是题目要求用24根摆成三个正方形(大小可以不同)，这就要使这两个正方形有“重叠”(使一些火柴棍被公用)，(见图(1))从而多产生出一个正方形。
右图是三种“重叠”方式，但经试验，只有第(2)种和第(3)种可以在回字型的原图上移动4根火柴棍摆出来。
1．右图所示为一个“小鱼”形状，①请你移动二根火 柴棍，使小鱼转向(变成头朝上或朝下)。
②请你移动三根火柴棍，使小鱼调头(变成头朝 右)。
2．右图所示为一个倒放着且缺一条腿的椅子，请 你移动两根火柴棍把椅子正过来。
3．右图所示是用12棍火柴棍组成的四个同样大小 的正方形，请你移动三根火柴，使原图变成三个同样大 小的正方形。
4．右图所示为用12根火柴组成的三个小正方形。
①请你用1 1根火柴棍组成同样大小的三个小正方 形。
②请你用lO根火柴棍组成同样大小的3个小正方 形。
5．右图是用17根火柴棍组成的6个同样大小的正方形。
①请你拿去三根，使留下的火柴棍变成4个同样大小的 正方形。
②请你拿去五根，使留下的火柴棍变成3个同样大小 的正方形。
6．右图是用20根火柴棍组成的5个同样大小的正方形，请 你移动三根火柴棍，使原图变为7个同样大小的小正方形。
7．用火柴棍摆成一个与右图相同的图形。①拿去哪四根火柴棍，使留下的图形变成为5个同样大小 的小正方形? ②拿去哪四根火柴棍，使留下的图形变成为3个同样大小 的小正方形，和一个大正方形。
8．右图是用12根火柴棍组成了4个同样大小的小正方形，同时还构成了一个大正方形。请你移动四根火柴棍，使它变成为 10个正方形(大小可以不一样)
1．可以这样想：要使小鱼转向或调头，就要尽量利用原来的火柴棍所组成的形状，以便减少火柴棍的移动。
2．可以这样想：要把椅子正过来，就要使椅腿变成 靠背，靠背变成椅腿。见右图。
3．可以这样想：见右图。要使12根火柴棍组成3 个小正方形，就是说每个小正方形用4根火柴棍，这就 意味着，3个小正方形没有公共的火柴棍，各自独立。4．可以这样想：组成一个正方形需要4根火柴棍，组成三个各自独立正方形就需要12根火柴棍。
①但题目要求用1 1根火柴棍组成三个同样大小的正 方形，所以必须有一根火柴棍作为两个正方形的公用边才 能办得到。见下左图。
②题目要求用10根火柴棍组成三个正方形，就必须有两根火柴棍作为正方形的公共边才能办得到。见上面右图。5．可以这样想：
①17根火柴棍拿掉3根还剩17—3=14，要组成 四个同样大小的正方形，必是由7根组成二个正方形，即其中必有一根是公用的，也就是说，这两个小正方形 要有一个公共边。见右图。
②17根火柴棍拿掉5根火柴棍之后，还剩下12根，这12根又要组成三个同样大小的正方形，所以每一个正方形应用4根火柴棍组成。
因此，这三个小正方形应是彼此独立的，没有一根火柴 做公用边。见右图。．
6．可以这样想：每个小正方形用4根火柴棍，七个小正方形应该用28根。但题目中只有20根，所以应该有8根火柴棍被公用，也就是说图形应是很紧凑的如右图所示。
7．答案请看下图，分析从略。
8．因为允许所组成的正方形大小不等，可知6根火柴棍摆成田 字形可得五个正方形(四个小的、一个大的)。12根火柴棍可摆成两个 田字形，即得10个正方形。
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