函数y=(ax+b)÷(cx+d)的性质5篇

第一篇：函数y=(ax+b)÷(cx+d)的性质

f(x)(abcd0,bcad)的性质 函数cxd

该函数在高中数学学习中经常出现，下面我们较为具体的研究一下它的性质.由于函数该函数可以变形为，bcadbda(xbxdbd2y(1) dddcxdc(xdcccxxxcccc

2很显然，其图像可以由反比例函数y通过平移得到，故二者具有相同的形状，都是双x

曲线，并且他们的性质也具有一些相通之处.从上述变形的最终形式，结合反比例函数的图像与性质，我们可以得到如下的性质：

1．定义域：x|xd.c2．值域：y|ya.c3．单调性：

当bcad时，f(x)在(,d和(c

当bcad时，f(x)在(,d和(c

4．对称性 d,)上分别单调递减； cd,)上分别单调递增． c

该函数的图像具有对称性，是中心对称图形，对称中心为(d,a.cc

在实际解决问题的过程中，我们并不需要记住上述结论，我们只需要掌握变形技巧，然后结合反比例函数的图像性质，就可以解决这一类问题.下面看几道例题.例．已知函数f(x)2x3.3x2

（1）求定义域与值域；

（2）讨论该函数的单调性；

（3）求该函数的图像的对称中心.解：（1）依题意，定义域为x|x2，值域为y|y2.3322（2）因为3322，所以f(x)在(,)和(,)上分别单调递增． 33

22（3）该函数的图像的对称中心为(, 3

3练习：

2x1（1）求函数y的定义域、值域、单调区间以及图像的对称中心.x1

（2）求函数y的定义域、值域、单调区间以及图像的对称中心.3x1

x1(x1x1（3）求函数y且的值域.3x13

第二篇：22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案

22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

一、教学内容

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

二、教材分析

二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。

三、学情分析

四、教学目标

1.知识与技能

使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。2.过程与方法

使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.情感态度价值观

让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。

五、教学重难点

重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方

确定抛物线的对称轴、顶点坐标。

难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a)

六、教学方法和手段

讲授法、练习法

七、学法指导

讲授指导

八、教学过程

（一）提出问题导入新课

1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？具有哪些性质? 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? 3．不画出图象，你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了

（二）学习新知

1、思考： 像函数 y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗？

2、师生合作探索： y＝-1/2x2-6x+21

变成y=a(x－h)2＋k的过程

3、做一做

（1）通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 在学生做题时，教师巡视、指导； 让学生总结配方的方法；思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系? 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，汇报结果：

y＝ax2＋bx＋c（配方变形的过程略）

当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。

对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－b/2a，4ac－b2/4a)(2)P12练习第1、2、3、4题

4、待定系数法求二次函数解析式(引导学生自学看书12页)

5、练一练

P13练习第1、2

九、课堂小结

通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？

十、作业布置

P40练习

十一、板书设计

22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

十二、教学反思

第三篇：22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质教案

22.1.3二次函数函数y=a(x－h)2＋k的图像和性质

一、教学内容

二次函数函数y=a(x－h)2＋k的图像和性质

二、教材分析

二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。

三、学情分析

四、教学目标

1、知识与技能

使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

2、过程与方法

会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3、情感态度价值观

让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。

五、教学重难点

重点：理解函数y=a(x－h)2＋k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系

难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质

六、教学方法和手段

讲授法、小组讨论法

七、学法指导

讲授指导

八、教学过程

一、提出问题导入新课

1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?

(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?这就是本节要学习得内容。

二、学习新知

1、画图：在同一直角坐标系中画出函数y=2(x－1)2与y=2xy=2(x－1)2＋1的图象，看看它们之间有何的关系? 在学生画函数图象时，教师巡视指导；

出示例3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。

2：出示4(P10)

3、课堂练习：不画图像说说函数y=2(x－1)2－2与y=2(x－1)2的异同点

九、课堂小结

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 2．谈谈你的学习体会。

十、作业布置

P33练习

十一、板书设计

22.1.3二次函数函数y=a(x－h)2＋k的图像和性质

十二、教学反思

第四篇：22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案

22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质

一、教学内容

二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质

二、教材分析

二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。

三、学情分析

四、教学目标

1.知识与技能

使学生掌握函数y＝ax2＋bx＋c的性质。2.过程与方法

使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.情感态度价值观

让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。

五、教学重难点

重点：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。

难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a)

六、教学方法和手段

讲授法、练习法

七、学法指导

讲授指导

八、教学过程

（一）提出问题导入新课

1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? 3．你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了

（二）学习新知

1、思考： 像函数 y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗？

2、师生合作探索： y＝-1/2x2-6x+21

变成y=a(x－h)2＋k的过程

3、做一做

通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，汇报结果：

y＝ax2＋bx＋c（配方变形的过程略）

当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。

对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－b/2a，4ac－b2/4a)

4、师生归纳y＝ax2＋bx＋c的性质

九、课堂小结

通过本节课的学习，你学到了什么知识？

十、作业布置

十一、板书设计

22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

十二、教学反思

第五篇：凹凸函数的性质

凹凸函数的性质

12文丽琼 营山中学

四川营山 637700 2营山骆市中学

四川营山

638150

摘要：若函数f(x)为凹函数，则f(xx112xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

xx

若函数f(x)为凸函数，则f(2)

从而使一些重要不等式的证明更简明。

中图分类号：

文献标识号：

文章编号：

高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。

凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图

（一）凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图

（二）性质定理 若函数f(x)是凹函数，则

f(x1x2xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)是凸函数，则

xxf(12)

证明：若函数f(x)是凹函数，如下图

xx点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凹函数，切线在函数图像下方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nxnnax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12)f(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)为凸函数，如下图

xx

点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凸函数，切线在函数图像上方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12xnn)f(x1)f(x2)f(xn)n

定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。

xx均值不等式：12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

证明：∵ y=lgx 是凸函数

∴lg(x1x2xnn2)lg(x1)lg(x2)lg(xn)n

xx

∴lg(1xnn)lgnxx12xn

即

xx12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

高斯不等式：证明：∵ yxx1n22xn11xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

1(x>0)是凹函数 x11

2∴

1(x1x2xn)／nxx1n1xn

即

x1x2xnn211xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。例1 A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤

证明：∵A、B、C为三角形三内角 ∴A+B+C=π

A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx(0

∴

3333 2

∴sinAsinBsinCπsin

即

SinA+sinB+sinC≤

222222n1xx2xn)xxx例2 求证(1nn

证明：∵ yx 为凹函数

xx2xn)xxx

∴(1nnxxxxxx12n例3 求证（（k∈N）)nn

证明：∵ yx

（k∈N）为凹函数

2222n12k2k2k22kn12k2xx2xn)

∴(1n2kx2k1x2xnn2k2k

通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。