二次函数常见题型讲解（合集五篇）

第一篇：二次函数常见题型讲解

I 根据二次函数解析式分析基本元素，主要包括：

开口方向，对称轴，顶点坐标

掌握要求：会判断二次函数的开口方向，会写二次函数对称轴的表达式会写二次函数顶点坐标公式

深入掌握：二次函数标准式中a,b,c 代表的意义

★判断开口方向：a 大于0 表示开口方向向上

a 小于0 表示开口方向向下

★判断开口的宽窄：a 越大开口越小

b：与a 共同决定二次函数的对称轴

c：表示二次函数与y 轴的交点纵坐标，同时也可以说成是二次函数在y 轴上的截距

a，b，c 共同决定二次函数的顶点横、纵坐标

II 二次函数性质的应用

★已知一个函数是二次函数，且这个函数中的各项系数中含有未知数，求未知数的值。

此种类型题只需要令①二次项系数不为零，②整个式子最高次数为2 即可，但要注意最终求值的取舍，要同时满足上述两个条件。

★已知二次函数的顶点在y 轴或者x 轴上（或者与一次函数交点在y 轴或x 轴上）

若此点在X 轴上，说明这个点的纵坐标为0；（与X 轴交点则y=0。）

若此点在Y 轴上，说明这个点的横坐标为0；（与Y 轴交点则x=0。）

引申：如果说某条直线上的点横坐标都为0 或某常数C，则这条直线可以表示为X=0（即y 轴）或X=C

如果说某条直线上的点纵坐标都为0 或某常数C，则这条直线可以表示为Y=0（即x 轴）或Y=C

III平移问题

有关平移的问题可以看做是对称轴的平移带动整个抛物线移动，那么在解答平移问题时一定要先配方。配方后进行“左加右减”“上加下减”左右移动是针对对称轴而言的，因此要在配方后的完全平方式下，在“x”后进行加减上下移动式针对顶点而言的，因此在配方后要在常数项上进行加减

平移问题有以下几种类型： ★直接平移求结果

★已知抛物线平移方式以及平移后的抛物线解析式，求平

移前的函数解析式

此种类型题可以用“逆向移动”的方法进行求解，即把平移后的函数解析式看做是原始解析式，将平移方向全部变成相反的方向进行平移，移动后所得的解析式即为所求。★已知抛物线先“平移”，再“上下翻转”后的抛物线解析式，求平移前的函数解析式

“上下翻转”：由于抛物线的形状不变，只是上下翻转，因此只是抛物线的开口方向改变了，因此翻转即意味着“a，b，c”的符号变为相反的即可

★已知平移前和平移后的解析式，但平移方向未知，求解平移方向。

此种类型题要先将平移前后的解析式分别配方，找到平移方式后用待定系数法进行求解。

IV二次函数解析式的求法总结

★二次函数的三种表达形式

一般式（标准式）：y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式： y=a(x+h)2+k(a≠0)

交点式： y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）说明：三种解析式形式的用法：一般式：

在已知三个点坐标的情况下，将3个点的坐标带入一般式中，解三元一次方程组得到a，b，c。

在无从用其他两种表达形式的情况下，设一般式来解题。顶点式：知道顶点，或者顶点的相关信息，利用这些信息能够求出顶点，或者知道最值的情况下使用顶点式。交点式：在知道二次函数与x轴交点横坐标的情况下利用交点式解题比较简便。

具体使用何种方法需要在平时的练习中逐渐积累，才能将三种方法使用的游刃有余。

V二次函数的应用

第二篇：高中常见分段函数题型归纳

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分段函数常见题型及解法

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法．

1．求分段函数的定义域和值域

例1.求函数2x2x[1,0];f(x)1x(0,2);2x3x[2,);的定义域、值域.解析：作图, 利用“数形结合”易知f(x)的定义域为[1,), 值域为（-1，2]U｛3｝.例2.求函数的值域.解析：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，-x2<0.所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).2．求分段函数的函数值

|x1|2,(|x|1)f(x)1,(|x|1)12f[f(1x2)].例1.已知函数求

311f()|1|2222解析：因为, 所以

3f[f(12)]f(2)1421(313.2)例2.已知函数，求f{f[f(a)]}(a<0)的值., 分析: 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a，又0<2a<1,，所以，.注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．

ex,x0.1g(x)g(g())lnx,x0.2练1.设则__________ 2x1(x2),ef(x)2(1)log3x练2.设

(x2).则f[f(2)]__________ 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

3．求分段函数的最值

例1.求函数4x3(x0)f(x)x3(0x1)x5(x1)的最大值.f(x)f(0)3, 当0x1时, fmax(x)f(1)4, 当x1时, 解析：当x0时, maxx5154, 综上有fmax(x)4.例2.设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.分析：因为原函数可化为

所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.解：当x

1，所以若，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；

当x≥a时，函数；

若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且.若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当时，函数f(x)的最小值是；

当时，函数f(x)的最小值是a2+1；

当时，函数f(x)的最小值是.注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的.4．求分段函数的解析式

例1.在同一平面直角坐标系中, 函数yf(x)和yg(x)的图象关于直线yx对称, 现将 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

yg(x)的图象沿x轴向左平移2个单位, 再沿y轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数f(x)的表达式为（）

2x2(1x0)A.f(x)x22(0x2)2x2(1x0)B.f(x)x22(0x2)2x2(1x2)C.f(x)x21(2x4)2x6(1x2)D.f(x)x23(2x4)

1yx[2,0]2x1, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下平移1个解析：当时, 11y(x2)1122x1, 所以f(x)2x2(x[1,0]), 当x[0,1]时, 单位, 得解析式为y2x1, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式y2(x2)112x4, 所以f(x)12x2(x[0,2]), 综上可得2x2(1x0)f(x)x22(0x2), 故选A.例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：

(I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)；(II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

解析：

(I)由图l可得市场售价与时间的关系为

由图2可得种植成本与时间的函数关系为 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

（0≤t≤300）。

(II)设t时间的纯收益为h(t)，由题意得

h(t)=f(t)-g(t)

再求h(t)的最大值即可。

注：观察图1，知f(t)应是一个关于t的一次分段函数，观察图2可知g(t)是关于t的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+100。

5．作分段函数的图像

例1.函数ye|lnx||x1|的图像大致是（）

y1Ox1

yyB

1xO1C1xOD1

2例2.已知函数f(x)=|x-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|，所以

由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.例3.已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|, 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

∴

由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.6．求分段函数得反函数

例1.求函数解：∵ f(x)在R上是单调减函数，∴ f(x)在R上有反函数.∵ y=x2+1(x≤0)的反函数是的反函数.(x≥1)，y=1-x(x>0)的反函数是y=1-x(x<1)，∴ 函数f(x)的反函数是

注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.xyf(x)f(x)31, 设f(x)得反函数为x0R例2.已知是定义在上的奇函数, 且当时，yg(x), 求g(x)的表达式.xf(x)31, 又因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以x0x0解析：设, 则, 所以f(x)f(x), 且f(0)0, 所以f(x)13x, 因此

3x1(x0)f(x)0(x0)13x(x0), 从而可得

log3(x1)(x0)g(x)0(x0)log(1x)(x0)31. －log3(x + 1)(x>6)例3.已知f(x) ，若记f 3x－6(x≤6)

(x)为f(x)的反函数，且

af11(),9则f(a4)__________.7．判断分段函数的奇偶性

x2(x1)(x0)f(x)2x(x1)(x0)的奇偶性.例1.判断函数

22f(x)(x)(x1)x(x1)f(x), 当x0时, x0x0解析：当时, , 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

f(0)f(0)0, 当x0, x0, f(x)(x)2(x1)x2(x1)f(x)因此, 对于任意xR都有f(x)f(x), 所以f(x)为偶函数.注：分段函数奇偶性必须对x值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数结论.8．判断分段函数的单调性

3xx(x0)f(x)2(x0)x例1.判断函数的单调性.解一：

分析：由于x∈R，所以对于设x1>x2必须分成三类：

1.当x1>x2>0时，则f(x1)-f(x2)=

2.当0>x1>x2时，则

3.当x1>0>x2时，则

综上所述：x∈R，且x1>x2时，有f(x1)-f(x2)>0。

所以函数f(x)是增函数.注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论.解二：显然f(x)连续.当x0时, f(x)3x11恒成立, 所以f(x)是单调递增函数, 当'x0时, f(x)2x0恒成立, f(x)也是单调递增函数, 所以f(x)在R上是单调递增函数;

'2=(x1-x2)(x1+x2)>0； ；

或画图易知f(x)在R上是单调递增函数.例2.写出函数f(x)|12x||2x|的单调减区间.解析：9．解分段函数的方程 3x1(x12)f(x)3x(12x2)3x1(x2), 画图知单调减区间为

(,12].2xx(,1]1f(x)f(x)4的x的值为__________

log81xx(1,), 则满足方程例1.设函数x11x2logx2x2(,1]x2814, 则422解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若x81, 解得x3(1,), 所以x3即为所求.142xx(,1]1f(x)f(x)4的x的值为__________ log81xx(1,), 则满足方程例2.设函数x11x2logx2x2(,1]x2814, 则422解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

x81, 解得x3(1,), 所以x3即为所求.1x2(|x|1)|x|(|x|1)练1：函数f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足

A.a<0 B.0≤a<1

C.a=1

D.a>1 14lgx1,x1,f(x)2x0.0,练2：设定义为R的函数则关于x的方程f(x)bf(x)c0

有7个不同的实数解的充要条件是（）

A.b0且c0

B.b0且c0

C.b0且c0

D.b0且c0

练3：设函数f(x)在(,)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)f(3)0.（Ⅰ）试判断函数

（Ⅱ）试求方程yf(x)的奇偶性；

f(x)0在闭区间[2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论.10．解分段函数的不等式

2x1(x0)f(x)1x2(x0)f(x0)1, 则x0得取值范围是（）例1：设函数, 若A.(1,1)

B.(1,)

C.(,2)(0,)

D.(,1)(1,)

解一：首先画出yf(x)和y1的大致图像, 易

知f(x0)1时, 所对应的x0的取值范围是(,1)(1,).解二：因为f(x0)1, 当x00时, 2x011, 解得x01, 当x00时, x01, 解得

12x01, 综上x0的取值范围是(,1)(1,).故选D.2(x1)(x1)f(x)4x1(x1), 则使得f(x)1的自变量x的取值范围为（）例2：设函数A．(,2][0,10]

B.(,2][0,1]

C.(,2][1,10]

D.[2,0][1,10] 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

解析：当x1时, f(x)1(x1)1x2或x0, 所以x2或0x1, 当x1时，2f(x)14x11x13x10, 所以1x10, 综上所述, x2或0x10, 故选A项.2(x1)(x1)f(x)4x1(x1), 则使得f(x)1的自变量x的取值范围为（）例3：设函数A．(,2][0,10]

B.(,2][0,1]

C.(,2][1,10]

D.[2,0][1,10]

解析：当x1时, f(x)1(x1)1x2或x0, 所以x2或0x1, 当x1时，2f(x)14x11x13x10, 所以1x10, 综上所述, x2或0x10, 故选A项.(x0)1 f(x)(x0)，则不等式x(x2)f(x2)5的解集是________ 1 练1：已知x12e,x2,log3(x21),x2,练2：设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为________(A)（1，2）（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）（10，+∞）(D)（1，2）

1(x为有理数)0(x为无理数)f练3：设(x)=，使所有x均满足x·f(x)≤g(x)的函数g(x)是（）

A．g(x)=sinx

B．g(x)=x

C．g(x)=x2

D．g(x)=|x| 点评：以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径，若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.

第三篇：二次函数

2．二次函数定义__________________________________________________二次函数（1）导学案

一.教学目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。教学过程：

二、教学过程

（一）提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]

2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]

将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)

（二）、观察；概括

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?(4)这些问题有什么共同特点？

三、课堂练习

1.下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1

2．P25练习第1，2,3题。

四、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

五.堂堂清

下列函数中，哪些是二次函数?

(1)Y=2x+1（2）y=2x2+1（3）y=x(x-2)（4）y=(2x-1)(2x-2)（5）y=x2(x-1)-1

第四篇：二次函数

?二次函数?测试

一．选择题〔36分〕

1、以下各式中，y是的二次函数的是

（）

A．

B．

C．

D．

2．在同一坐标系中，作+2、-1、的图象，那么它们

（）

A．都是关于轴对称

B．顶点都在原点

C．都是抛物线开口向上

D．以上都不对

3．假设二次函数的图象经过原点，那么的值必为

（）

A．

0或2

B．

0

C．

D．

无法确定

4、点〔a，8〕在抛物线y=ax2上，那么a的值为〔

〕

A、±2

B、±2

C、2

D、－2

5．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是〔

〕

〔A〕y=3〔x+3〕2

〔B〕y=3〔x+2〕2+2

〔C〕y=3〔x-3〕2

〔D〕y=3〔x-3〕2+2

6．抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标〔

〕

〔A〕〔0，8〕

〔B〕〔0，-8〕

〔C〕〔0，6〕

〔D〕〔-2，0〕〔-4，0〕

7、二次函数y=x2＋4x＋a的最大值是2，那么a的值是〔

〕

A、4

B、5

C、6

D、7

8．原点是抛物线的最高点，那么的范围是

（）

A．

B．

C．

D．

9．抛物线那么图象与轴交点为

〔

〕

A．

二个交点

B．

一个交点

C．

无交点

D．

不能确定

10．不经过第三象限，那么的图象大致为

〔

〕

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

11．对于的图象以下表达正确的选项是

〔

〕

A

顶点作标为(－3，2)

B

对称轴为y=3

C

当时随增大而增大

D

当时随增大而减小

12、二次函数的图象如下图，那么以下结论中正确的选项是：〔

〕

A

a>0

b<0

c>0

B

a<0

b<0

c>0

C

a<0

b>0

c<0

D

a<0

b>0

c>0

二．填空题：〔每题4分，共24分〕

13．请写出一个开口向上，且对称轴为直线x

=3的二次函数解析式。

14．写出一个开口向下，顶点坐标是〔—2，3〕的函数解析式；

15、把二次函数y=－2x2＋4x+3化成y=a〔x+h〕2+k的形式是________________________________.16.假设抛物线y=x2

+

4x的顶点是P，与X轴的两个交点是C、D两点，那么

△

PCD的面积是________________________.17.(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,那么

y1,y2,y3从小到大用

“<〞排列是

.18．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一局部(如图)，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的距离是________________________.三．解答题(共60分)

19.〔6分〕假设抛物线经过点A〔，0〕和点B〔-2，〕，求点A、B的坐标。

20、(6分)二次函数的图像经过点〔0，－4〕，且当x

=

2，有最大值—2。求该二次函数的关系式：

21．〔6分〕抛物线的顶点在轴上，求这个函数的解析式及其顶点坐标。

25米x22、〔6分〕农民张大伯为了致富奔小康，大力开展家庭养殖业，他准备用40米长的木栏围一个矩形的鸡圈，为了节约材料，同时要使矩形面积最大，他利用了自己家房屋一面长25米的墙，设计了如图一个矩形的羊鸡圈。请你设计使矩形鸡圈的面积最大？并计算最大面积。

23、二次函数y=－〔x－4〕2

+4

〔本大题总分值8分〕

1、先确定其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，再画出草图。

2、观察图象确定：X取何值时，①y=0，②y﹥0，⑶y﹤0。

24．〔8分〕某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，假设每千克涨价一元，日销售量将减少20千克。

〔1〕现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

〔2〕假设该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多。

25．〔8分〕某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流〔在各个方向上〕沿形状相同的抛物线路径落下〔如下图〕。假设OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。

〔1〕求这条抛物线的解析式；

〔2〕假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。

26．〔12分〕二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C，〔1〕求A、B、C三点的坐标；

〔2〕如果P(x，y)是抛物线AC之间的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

〔3〕是否存在这样的点P，使得PO=PA，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由。

第五篇：初中二次函数讲解。全面解析。知识点总结

初中二次函数讲解

定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax²+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大。）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

x是自变量，y是x的函数

二次函数的三种表达式

①一般式：y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

②顶点式[抛物线的顶点(h，k)]：y=a(x-h)²+k

③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线]：y=a(x-x₁)(x-x₂)

以上3种形式可进行如下转化：

①一般式和顶点式的关系

对于二次函数y=ax²+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b²)/4a)，即

h=-b/2a=(x1+x2)/2

k=(4ac-b²)/4a

②一般式和交点式的关系

x1,x2=[-b±√(b²-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x =-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。【因为由它的对称抽决定即，—b/2a】

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数【二次函数与一元二次方程的关系】

Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______

Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)

7.定义域：R

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b²)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

奇偶性：偶函数 【关于点对称的函数是奇函数，关于一条轴对称的是偶函数】周期性：无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；

⑷Δ=b²-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：

（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，图象与x轴交于一点：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，图象与x轴无交点；

②y=a(x-h)²+t[配方式]

此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）；

二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)² +k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

y=ax²

y=a(x-h)²

y=a(x-h)²+k

y=ax²+bx+c

顶点坐标

(0，0)

(h，0)

(h，k)

(-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a)

对 称 轴

x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

因此，研究抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

3．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x₁, x₂是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax²+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．