数学教案(圆的一般方程)

第一篇：数学教案(圆的一般方程)

教学简案

【课

题】圆的一般方程 【教学目标】

1、知识目标：（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心和半径，掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件；

（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程。

（3）利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。

2、能力目标：通过对方程x2y2DxEyF0表示圆的条件的探索，培养学生探索、发现及分析解决问题的实际能力。

3、情感目标：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

【教学重点】圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F。

【教学难点】对圆的一般方程的认识、掌握和应用。【教学方法】讲授法，分析法。【教学用具】多媒体辅助教学 【教学流程】

一、情景创设 问题1：

在平面直角坐标系中，以C(a,b)为圆心，r为半径的圆的方程是什么？

问题2：

将圆的标准方程展开整理后，能发现哪些特征？（寻找新知识的生长点）

结论：（多媒体显示）

将(xa)2(yb)2r2 展开得x2y22ax2bya2b2r20，我们发现任何圆都能表示为一个具有以下特征的x,y的二次方程：

（1）x2和y2项的系数同为1；

（2）不出现交叉乘积的二次项xy。

问题3：

x2y22x4y60是圆的方程？若是，写出圆心坐标和半径；若不是，则说明理由

二、探索研究

二元二次方程x2y2DxEyF0表示圆的条件是什么？

（创设一种鼓励的宽松的氛围，让学生充分发表自已的观点，教师适当引导。）

二元二次方程x2y2DxEyF0，通过配方后可以化为

D2E2D2E24F(x)(y)

224（1）当D2E24F0时，方程表示以(为半径的圆；

DE1,)为圆心，D2E24F222（2）当D2E24F0时，方程表示一个点(DE,)； 22（3）当D2E24F0时，方程没有实数解，因而方程不表示任何图形。板书：圆的一般方程：x2y2DxEyF0（D2E24F0）

指出：（1）圆心(DE1,)，半径D2E24F； 222（2）圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点；

（3）给出圆的一般方程，会写出它的圆心和半径；若给出相关条件，则能求出圆的方程。

三、应用举例

例

1、判断下列方程是否表示圆，如果是，并求出各圆的半径和圆心坐标：

（1）x2y26x0；

（2）2x22y24x8y120；

（3）2x22y24x8y100；（4）x2y26x100；

（5）x22y24x8y10。

（解略）

例

2、求以O(0,0),A(1,1),B(4,2)为顶点的三角形的外接圆方程，并求出它的圆心和半径。

（分析：应用圆的一般方程x2y2DxEyF0，将已知三点的坐标代

入这个方程，得到一个三元一次方程组，解这个三元一次方程组，即可求得

圆的一般方程，对圆的一般方程配方即可求半径长和圆心坐标。同时，将这

种求圆的一般方程的方法称为“待定系数法”。）

四、课内练习

1、判定下列方程中，哪些是圆的方程？如果是，求出它们的圆心和半径：

（1）2x22y24x50；

（2）x2y23x4y120；

3（3）x22y24x2y50；

（4）x22y24x2y1；

（5）3x24xy(x2y)24

2、求过三点A（2，2），B（5，3），C（3，-1）的圆的方程。

五、课内拓展

若圆x2y2DxEyF0与y轴相切于原点，则D，E，F应满足什么条件？若圆与y轴相切呢？

学生讨论，各抒已见，相互补充，完善结论。

我们还可以继续探究：如当圆与x轴相切；过原点；原点在圆内；等等情况时，系数D、E、F应满足的条件。

八、归纳小结

（教师引导，由学生总结一节课的收获，然后显示幻灯片同时教师总结。）

五、布置作业

（1）课堂作业：《数学指导用书》第25页课外习题1（1）（2）（3）（4）、2、4。（2）课外作业：《数学指导用书》第26页课外习题5、6、7。

第二篇：圆的一般方程教学设计

一、学习目标

知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程

配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

过程与方法：通过对方程

表示圆的条件的探究，培

圆的一般方程教学设计

养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。

情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。

二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

三、学法提示：探究式；比较归纳式

四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。

1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）

2、思考探究（引入）：

问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？

此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。

问题2：方程方程

表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。

这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。

问题3：将问题2一般化，方程

都表示圆吗？在什么条件下表示圆？

3、小组展示

先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。

4、点拨，渗透分类讨论思想的时机和标准。

5、自主解答，训练感悟。

求过三点O(0，0),M(1，1),N(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心和半径。要求：8分钟之内完成；根据已有知识多联系解决，方法不限。

8分钟之后提问一名完成的学生来展示方法和过程，之后再调动学生的积极性来充分展示自己的过程。

6、归纳总结

圆的一般方程是什么？条件是什么? 求圆的方程的方法有哪些？对照例

2、例

3、例4回答

对于待定系数法的应用，你还想到了哪些知识？请总结用待定系数法解题的步骤。

7、学生提问，答疑解惑

8、巩固练习。（1）判断方程（2）已知圆C的圆心在直线圆C的标准方程。

五、作业布置 ：1.正式作业课本P124：1，2； 2.笔记整理

=0表示什么图形（配方法，分类讨论思想）

并且经过原点和A（2,1），求

第三篇：人教版圆的一般方程教案

圆的一般方程

一、教学目标

1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．

2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．

二、教学重点与难点

圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．

三、教学过程

（一）复习并引入新课

师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程． 生：(x－a)2+(y－b)2=r2．

师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？

生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式． 师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？ 生A：是的．

生B：缺少条件A2+B2≠0．

师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？

(书写课题：“圆的一般方程”的探求)1

（二）探索新知

师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？ 生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得

x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？ 生A：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．

生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件． 师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？ 生：配方．

师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？

(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．)

22将（*）式配方得:DED2E24Fx2y24.

1．当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以

DE12,2为圆心，2D2E24F为半径的圆；

2.当D2E24F0时，式只有实数解xD2,yE2，即式表示一个点D2，E2有时也叫点圆3.当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．

教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．

师：圆的一般方程有什么特点？ 生A：是关于x、y的二元二次方程． 师：刚才生A的说法对吗？

生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程． 师：特殊在什么地方？

(通过争论与举反例后，由教师总结)师：1．x2，y2系数相同，且不等于零． 2．没有xy这样的二次项．

(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？ 生：必要条件． 师：还缺什么？ 生：D2+E2－4F＞0．

练习：判断以下方程是否是圆的方程： ①x2+y2－2x+4y－4=0 3

②2x2+2y2－12x+4y=0 ③x2+2y2－6x+4y－1=0 ④x2+y2－12x+6y+50=0

三、应用举例

师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？

生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程． 师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．

DE1生：圆心，rD2E24F.，222生B：不用死记，配方即可．

师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择． 四．例题讲解

例1．求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程；

分析：由于O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)不在同一条直线上，因此经过O,M1,M2三点有唯一的圆．

解：法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0，∵O,M1,M2三点都在圆上，∴O,M1,M2三点坐标都满足所设方程，把O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)代入所设方程，4

F0得：DEF20

4D2EF200D8解之得：E6

F0所以，所求圆的方程为x2y28x6y0．

法二：也可以求OM1和OM2中垂线的交点即为圆心，圆心到O的距离就是半径也可以求的圆的方程：x2y28x6y0．

法三：也可以设圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2将点的坐标代入后解方程组也可以解得(x4)2(y3)225

五、小结

注意一般式的特点：1°x2，y2系数相等且不为零；2°没有xy这样的项；3°D2+E2－4F＞0．另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D、E确定了，则与F的变化有关．

六、作业：

1.求下列各圆的圆心坐标和半径： ①x2+y2－2x－5=0 ②x2+y2+2x－4y－4=0 ③x2+y2+2ax＝0 ④x2+y2－2by－2b2＝0

七、教学反思

这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.6

第四篇：圆的一般方程反思

《圆的一般方程》教学反思

“圆的一般方程”一节课是高中数学的一个重要内容并为以后学习圆锥曲线打下基础。通过对这一节课的学习既可以让学生接受、理解圆的一般方程的求法及圆的一般方程圆的特点,又可使学生加深对圆的一般方程同圆的标准方程间的相互转化还为日后解决解析几何综合题的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。根据本节课的内容及学生的实际水平我采取提出问题引导发现式教学方法,提出问题让学生思考得出答案,并让学生自己动手操作解决问题。

教学过程中,教师采用点拨的方法,启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受进而完成知识的内化使书本的知识成为自己的知识。课堂不再成为“一言堂”学生也不会变成教师注入知识的“容器”通过自己动脑和动手解决了问题,体验到成功的快乐和喜悦.采取这种形式,可以极大提高学生的学习兴趣使教学目标更完美地体现。

当然通过课后反思我觉得本节课的不足之处在于:本节课教学内容上主要是强调圆的一般方程的判别式,用其判断曲线是否是圆,应该同时指点学生将方程配方也可以.而这一点能很好的树立学生对立统一的辩证思维观点。

总之,在整个教学过程中,我抓住学生的“主体”作用作文章不浪费任何一个促使学生“自省”的机会以积极的互动活动使学生主动自觉地发现结果、发现方法。培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。具体教学中教师创设问题情境学生在这一情境中去讨论分析、探究发现以符合学生思维的形式发展了学生的能力达到了教学目标优化了整个教学。

第五篇：高二数学圆的一般方程教案 人教版

高二数学圆的一般方程教案 人教版

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(二)能力训练点

使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．

二、教材分析

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)

2．难点：圆的一般方程的特点．

(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)

3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．

(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)

三、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．

四、教学过程

(一)复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．

(二)圆的一般方程的定义

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)

(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程