第一篇：教学设计《尝试与猜想》赵俊强
数学教学设计
新世纪小学数学10册 《尝试与猜想》
中国人民大学附属小学 赵俊强
2013年4月
《尝试与猜想》教学设计
执教：赵俊强单位：北京市海淀区中国人民大学附属小学
教学内容：本内容是新世纪小学数学五年级上册第80页《尝试与猜测》（北师大版）。
一、教材分析：
1．教材中向学生提供了生动、有趣的主题图，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题，使学生展开讨论。教材中呈现的解决问题的方法是3种，通过假设举例与列表的方法，寻找问题的结果。其中第一张表格是常规的逐一举例法，根据鸡与兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有19只，腿共有78条„„在这样的逐一举例中，寻找到所求的答案；第二张表格是先估计鸡与兔只数的可能范围，以减少举例的次数；第三张表格是采用取中间列举的方法，由于鸡与兔共20只，所以各取10只，接着在举例中根据实际的数据确定举例的方向，这样可以大大缩小举例的范围。教参：本专题的综合实践活动目的是通过对日常生活中现象的观察与思考，发现一些特殊的规律。在《鸡兔同笼》的活动中，通过列表举例或作图分析等方法，解决鸡与兔的只数问题。2．数学猜想，实际是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律和本质时的一种策略，是建立在事实和已有经验基础上的一种假定，是一种合理推想。数学方法理论的倡导者波亚利曾说：“在数学的领域中，猜想是合理的、值得尊重的、是负责任的态度。”他还认为，在有些情况下，教猜想比教证明更为重要。学生在猜想过程中，新旧知识的碰撞会激发智慧的火花，思维会有很大的跳跃性，提高数感，发展推理能力，锻炼数学思维。所以在数学教学中，要鼓励学生大胆提出猜想，大胆进行尝试，创新探索地学习数学。
二、设计理念：
（一）设计意图：
本教材向学生提供了现实、有趣、富有挑战的学习素材，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题为载体，使学生展开讨论，应用假设的数学思想，从多角度思考，运用多种方法解题，让学生根据自己的经验，逐步探索不同的方法，经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——列表。在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。
（二）设计思路：
遵照《新课程标准》的精神，在课程设置中强调学生是学习的主人，在学习过程中尽可能多的为学生提供探索和交流的空间，鼓励学生自主探索与合作交流。通过教师创设的现实情景，让学生投入解决问题的实践活动中去，自己去研究、探索、经历数学学习的全过程，从而体会到假设数学思想的应用与解决数学实际问题的联系，感悟到“有序”对解决数学问题的作用。通过学习使学生认识到数形结合的重要性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
在教学过程中应注意鼓励每个学生参与学习过程，注重学生之间交流，关注对学生的建设性评价。使学生共同学习，共同进步，共同提高，把所学的数学知识应用到生活中去，用数学的眼光看待身边的事物，体会数学的价值。
（三）我的思考： 《义务教育阶段国家数学课程标准》己经公布,开宗明义地提出数学教育要实现:“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”。这种发展,其内涵是丰富的,不仅体现在以“四基”为主的认知上,也应体现在情感、态度、价值观和一般能力上。
“关注人的发展”已经成为数学课程标准中的根本指导思想。由此出发,教学活动的各方面都要围绕学生的发展来安排、开展。我想，当我们不在以传授知识为最终目的，当我们不在为学生暂时获取的高分而欢呼，当我们不在为学生的暂时摔倒而担忧，当我们不在将目光仅仅局限于眼前，这已经为学生的真正发展作好了必要的准备！何为学生真正发展？我想应包括以下几个方面：
首先是知识发展。这里的知识并不是僵化的知识、呆板的知识、狭隘的知识、空泛的知识，而是使知识发展成智慧。怀特海认为，“教育的全部目的就是使人具有活跃的思维。”这是一个比传授知识更加伟大、因而也更有重要意义的目的。知识是智慧的基础，但知识不等于智慧。不掌握某些知识就不可能有智慧，但人们也可能很容易地获得知识却仍没有智慧。何谓智慧？在怀特海看来，智慧就是对知识的掌握或掌握知识的方式。
其次是能力发展。能力教育至关重要。能力包括多方面的内容，有思维能力、学习能力、交往能力、动手能力，等等。就教育而言，教学生学会学习，应该是教育的重中之重。在知识爆炸的今天，无论人们多么努力地学习，哪怕是穷尽毕生的精力，也不能一网打尽知识的海洋。如果你到GOOGLE上输入一个条目，十几秒钟就会出现千百万条与这一条目相关的信息，就算读一遍也不可能。一个科学家一天24小时不吃不睡都在学习，一年下来，他掌握的知识也已经落后了3年。更何况，知识每天都在成倍增长，我们掌握的知识有许多可能是错误的和无用的。因此，学会学习，学会有选择地学习，学习那些对人类来说有用的知识，特别是学会创造、运用，是一种能力教育，是教育成功与否的关键。如果一个学生不会创造性地学习的话，知识的多少，分数的高低，不但不是教育成功的标志，反而是教育失败的标志。第三是情感、态度、价值观的发展。大数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得知识智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”一名数学教师，除了要传授知识，培养学生的能力之外，还需要使学生成长为具有健全人格的人。例如：数学美是一种科学美，数学中随处都存在着美的形式、美的理论、美的结果、美的思想方法，数学课可以利用这些有利条件，对学生进行美的熏陶„„。
三、学生分析：
五年级学生已经初步尝试了应用逐一列表法解决问题，还有一些学生在奥数的学习中已经学过，学生的程度参差不齐。学生的思维活跃，敢想，敢说，有一定的小组合作经验。为了能准确掌握学生已有的知识水平，为了使教学过程达到优质高效，我对五年级两个班学生进行了前测。前测目的：
1、了解学生对鸡兔同笼问题的了解及解答程度。
2、了解学生解答数学问题的方法及策略。
前测对象：人大附小五9班15名学生（2个组随机）前测方式：答卷 前测题目：
（1）学校买桌椅花了4000元，每张桌子54元每把椅子26元，学校共买了多少套桌椅？（2）今有鸡兔同笼，上有8头，下有26足，问鸡兔各几只？ 前测结果： 第（1）题 正确答案 人数
错误答案
人数
列式：4000÷（54+26）=50（套）
4000÷52+4000÷26 1
93.3%
6.7%
第（2）题 答案一
（8×4-26）÷2=3（只）鸡
7人
46.7%
答案二
26÷（2+4）=4„2 4-1=3 鸡
1人
0.07%
答案三
画图（假设法）
2人
13.3%
答案四
列举法（文字叙述）
2人
13.3%
答案五
没做出来
3人
20%
问题分析及对策：
从前测的结果来看，学生从第一题（已学知识）到第二题，情境和条件发生改变时，仅有20%的学生不能想办法进行解答。学生解答问题的方法能够多样化。对于鸡兔同笼问题，有近一半的学生在校外曾接触到会用假设法列式计算。学生不会主动想到列表？
对策：将学生的文字列举思路整理清晰，整理成表格。怎样让学生经历调整的过程？
对策：学生互动，互相提问题，学生解答
对于大多数学生会用假设法列式计算鸡兔同笼问题这一现状，思考如何让学生尝试和体验列表的过程？
对策：计算与列表相结合找准方法间的联系，进行沟通。
四、教学目标：
1.知识与技能：在解决“鸡兔同笼”的活动中，通过枚举的方法解决鸡兔的数量问题，并从中发现规律，优化列表。2.过程与方法：应用假设的数学思想，在解题中数形结合，积累解决问题的经验，经历列表，尝试和不断调整的过程；
3.情感态度与价值观：培养学生的探索意识，在现实情景中，使学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，提高学生解决问题的能力和自信心，进而让学体会数学的价值。教学重点：经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——列表。教学难点：以鸡兔同笼问题为载体，以列表举例为依托，培养学生多角度、有序思考数学问题的思维方式。
五、教学设计： 课前游戏： 猜数字游戏 出示小礼物，师：看谁能最先猜对它的价格，生1：那送给我们吗？
师：可以，来个现场拍卖。生2：应该叫“猜卖”，生3：我觉得叫“猜送”比较合适，猜对了就送给我们，师：还是你说的有道理，开始吧。生4：4元 生5：20元
生6：老师您得告诉我们是便宜了还是贵了，师：可以，贵了
生：15
8.5 师：恭喜你答对了，送给你
小结：猜中也有学问，要善于观察，要善于利用规则。我们不能盲目的尝试，应讲求策略和方法，即有序的尝试，怎样体现有序呢？可以先从中间尝试或先选定一个范围尝试。(一)感知活动情境，展现学生风采。
导入：在我国古代就有许多非常有趣的数学名题，你们了解吗？ “鸡兔同笼”，能给大家介绍一下吗？（出示题目）“今有鸡兔同笼，上有7头，下有20足，问鸡兔各几只？” 师：“你打算用什么方法解决这个问题？请同学们思考一下。”
学生独立思考，并把自己的想法写下来。然后请学生介绍自己的方法。大致方法如下： 假设法：假设都是鸡或都是兔。
方程的方法：设鸡有Ｘ只，兔有（7-Ｘ）只。根据腿的只数关系列方程。画图的方法：
列举的方法： 1只鸡+6只兔是26条腿 „„„
师：我们一起来整理一下，（边说边记录数据）这样是不是很清晰？ 总头数/个
鸡/只
兔/只
总腿数/条20 1 6 26 2 5 24 3 4 22 4 3 20
（在学生汇报时，尽可能让学生说充分了，把学生汇报的方法完全展示给大家。）
小结本环节:“看来同学们真的是很聪明，能想出这么多好办法来解决同一个问题。列表格的方法是一种最容易想而且是比较有效的一种解题的方法。”
师：下面我们试着把笼子里的鸡和兔的只数适当增加一些，看看你们能不能做出来。(二)渗透尝试猜测，体会总结方法。
师出示例题：有鸡和兔若干只放在一个笼子里，共有20个头和54条腿，你能试着求一求这个笼子里的鸡和兔各有多少只吗？ 学生活动：
1、学生先自己试做
2、反馈交流 师：请同学们把你列表的过程和想法和大家交流一下。
师：我看出来了。有一部分同学特别不喜欢这种列表的方法，虽然知道这样列下去一定能找到最后的结果，觉得这样列表太麻烦了，有没有更好的列表方法呢?咱们请那些有好的列表方法的同学们给大家介绍一下，他们是怎么快就列出表格找到正确答案的。不懂得地方可以向他们请教。看谁能提出有价值的问题。
学生互动：问题一：取中后为什么鸡的只数变多？你是怎么想的？ 问题二：腿多说明什么？怎么调？
……
生：你的意思是说:腿多说明兔子多，所以兔子要变少。生：我发现少一只兔就减少2条腿，总腿数是递减的 „„
(1)逐步列表（略）(2)跳跃列表(3)取中列表(4)其它方法 总只数
鸡/只
兔/只
总腿数
10 10 60 13 7 54
总只数
鸡/只
兔/只
总腿数
1 19 78 13 7 54
总只数
鸡/只
兔/只
总腿数
0 20 80 13 7 54
师：小组内讨论你喜欢那种方法？为什么？ 师：你从刚才同学们的交流中得到了什么启发？ 小结本环节：看来列表也不是随随便便的猜，同学们将列表与计算结合起来，真是太巧妙了。(三)巩固提高练习，感悟列表本质。师：过渡：今天我们研究的问题其实是很早就有的数学问题，我们称之为“鸡兔同笼”问题，记载在我国的古代数学名著《孙子算经》上，（简介孙子算经。《孙子算经》作者是谁？至今也无法判定。全书共分上、中、下三卷。其中上卷选了一些人们日常的一些应用题，解题方法浅显易懂。中下卷选取了一些比较难理解的数学问题，目的在于提高读者的学习兴趣。《孙子算经》下卷第31题----鸡兔同笼）原题是这样的：“今有鸡兔同笼，上有7头，下有20足，问鸡兔各有多少只？” 师：对于这道古题你有什么好办法能把它做出来吗？请说说你的思路。（学生说自己的思路）
师：那你们知道古人是怎么做这样“鸡兔同笼”的问题吗？我们来看看。（师出示课件演示，并把算式列在黑板上）
师：同学们，你们觉得古人想出的办法怎么样？（感叹古人的聪明才智）师：“鸡兔同笼”的问题从中国传到日本，就变成了“龟鹤问题”，看来这类问题我们不能仅仅局限在“鸡兔”问题上，题目要是变化一下有信心解答吗？ 出示练习：
１.有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共104条，龟、鹤各有几只？
２.自行车和三轮车共有26辆，总共有60个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？ 学生先独立思考，再小组交流，全班交流(四)总结反思，引发思考 学习效果评价设计 教学后测：
练习一：笑笑家有鸡和兔若干只，数数头共有16个，数数脚共有44只，问笑笑家的鸡和兔各有多少只？
练习二：操场上停放39辆车，包括三轮车和自行车，两种车的轮子共有96个，你能试着求求三轮车和自行车各有多少辆？
六、课后反思： 《尝试与猜想》是一节相对较独立的内容。本活动的目的是通过学生对一些日常生活中现象的观察与思考，从中发现一些特殊的规律，其目的是加强数学知识与现实生活中问题的结合，以提高学生综合应用的能力。在教学中力争做到激活学生的创新思维，让思维插上自由的翅膀。正是本着这样的理念，在这一教学活动的设计中：首先在教师的引导下，学生通过动手实践、自主探索、合作交流，发现了列表中的一些规律，进而运用规律解决问题。以下几点体会和老师们交流。
1.创设兴趣情境，以趣引思。
心理学研究表明，人在情绪低落时的思维水平，只有情绪高涨时的二分之一。因此，在教学中教师要想方设法激发学生的学习兴趣，使学生进入欢乐愉快的最佳心理状态。
首先借助“鸡兔同笼”引出课题，激发学生的兴趣。由于它是奥数中一道非常经典的例题，学生会不会受到干扰？为此我们作了前测，发现有60%以上的同学都学过此内容，并可以用假设法解答，因此我们在备课中牢牢抓住“两条线”，一是抓住尝试猜想这条主线；二是抓住思维发展层次这条辅线。从课前的猜价格游戏即让学生回顾感悟学过的一种解决问题的有效策略——逐步逼近，为后面列表时逼近“腿的数量”打好伏笔，学生在积极思考、踊跃猜测的过程中，渗透了区间的思想。另外，重视学生学习过程，在师生互动交往中，情感体验充分，通过比较、判断及时调整，以此发展学生思维质量。2.创设操作情境，以动启思。
“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”可见人的手脑之间有着千丝万缕的联系。
本课利用鸡与兔的只数增加了，为学生搭建探索问题的平台，鼓励学生探索和交流。在教学中，学生明确任务后，探索鸡与兔的只数时，我为学生提供了探索的素材，我们可以看到，列表中的规律，是由学生通过观察、动手操作、自己归纳、总结出来的。为此，在实际教学中，我不遗余力地为学生搭建探索问题的平台，并鼓励学生能够积极探索和交流。3.创设讨论情境，以说促思。
由于学生的生活背景、数学知识、能力和思考问题的角度不同，在探索数学问题时，必然会出现多种不同的思考方法。如在二次列表时，不同的学生有着不同的思维，有的按照前面的方法逐一列表（大多数是这样的），而那些思维活跃的却努力寻找着使列表简单的方法，事实表明：只要空间足够宽阔，他们是有潜力可挖掘的，像跳跃式列表法、取中列表法、列表计算结合的方法都是他们自己发现的。抓住他们善于表现的欲望，让他们互相交流。而正是这种多角度的思考方法，才能使解决问题的策略多样化。我鼓励学生从多角度思考问题、解决问题方法的多样化，并以此作为一种长期渗透的教学策略。在教学中充分肯定不同学生的探索成果，体现尊重学生个性发展的教学理念。4.创设发散情境，以做强思。
在教学过程中，怎样使全体学生普遍得到提高也是我的思考之一。通过这节课，优秀学生列表的步骤越来越少，到最后只有两步，多数孩子能省略中间的某些步骤，只有及个别的学生还停留在逐一列表阶段。在讨论中互相交流启发，每位学生都获得了不同程度的成功。还启用学生自己提问，自己解答的方法，使课堂异常活跃。教学中，我还注意及时捕捉学生的闪光点，使课堂教学更鲜活、精彩！
七、点评：
《鸡兔同笼》是大家非常熟悉的数学问题，但编入教材主要不是为了解决“鸡兔同笼”问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略———列表，赵老师通过钻研教材理解了编者的意图。细细品位此课，主要表现在以下三个方面：
1、自然的导入环节。良好的开端是成功的一半。看得出赵老师在课堂导入环节别具一格，自然轻松。一上来就与学生在聊天中进入课堂，这样的导入，关注了学生已有的知识经验，关注了数学知识内在的魅力，也关注了学生学习数学的后劲。
2、灵活的探究过程。《课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。在引导学生解题过程中，首先从简单入手，逐步加深难度，使学生感觉到这样做“麻烦”，从而自己寻找简单的方法，实际就是优化列表的过程。之后的练习，更是有学生能把列表与计算巧妙的结合在一起，有利于学生进一步领悟学习方法。
3、精巧的练习设计。巩固练习是帮助学生掌握新知、形成技能、发展智力、培养能力的重要手段。在新课程的小学数学课堂教学中，必要的训练是不可少的。本节课，赵老师设计的练习有重点、有层次、有针对性、有深度和广度。最后的练习经过变式，使学生真的看到了列表的优势，并能联系实际加以运用，对于巩固本节课的知识，发展学生的思维具有非常重要的意义。
因此，对课堂教学进行预设时，应“着眼于整体，立足于个体，致力于主体”，能跳出教材看学生，定位“高”一点。
第二篇：证明猜想与拓展教学设计
综合与实践
猜想、证明与拓广
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在经历了证明一证明二以及特殊的四边形的学习后，积累了一定的证明的经验思想和方法，具备了几何证明及探究的能力，在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。
二、教学任务分析
猜想、证明与拓广，通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究，先考察一些简单的，特殊的情形，发现一些规律后再讨论一般情况，在此过程中让学生不断的体会由一般到特殊的探究问题的思想，寻求一般性的解决方法.培养学生直观“判断”和正确“猜想”，并配合一定的形式说理，在交流个人想法中拓展思维。猜想要“检验是否存在”，再由“特殊到一般”给出一般性的证明.由“倍增”再到“减半”的“拓广”，总结获得的数学知识和策略性的经验，发展学生的推理能力和探究能力.教学突出学生自主探索，合作交流，协助学生自行找到解决问题的方法。为此，本节课的教学目标是：
1、通过创设问题情境，让学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
2、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系，理解证明的必要性。
3、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
教学重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.教学难点：在问题解决过程中的策略和方法。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：提出问题，猜想探究；第二环节：思维拓广，证明猜想；第三环节：问题拓广，自主探究；第四环节：总结反思，方法提炼；第五环节：布置作业，巩固所学。
第一环节：提出问题，猜想探究；
问题(1)任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？
（教学策略：提出问题后引导学生思考，学生会出现的三种解决问题的思路：
1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。
2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。
3、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.所以周长比和面积比不可能同时为2.因此这样的正方形不存在.这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。）
证明方法为：解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2，则边长应为2a，此时周长应为42a，不是4a的两倍，无论从哪个角度考虑，都不存在这样的正方形。
问题（2）任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?（教学策略：由问题一的研究学生能够顺理成章的从两个角度来进行思考，一个是从特殊到一般的思想，一个是直接对一般情况进行证明的思想，但是较问题（1）直接证明难度较大，所以引导学生先从特殊情况入手，得到一个猜想后，再进行一般情况的证明会更好一些。这样在具体问题的解决过程中，会给学生一些启示，有助于学生一般情况下的证明思路的形成。）
如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.总结如下:有三种思路可以选择: ①先固定所求矩形的周长, 设另一个矩形的长为x，将问题化为方程x(6－x)=4是否有解的问题.②先固定所求矩形的面积, 设另一个矩形的长为x，将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题.③也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积同时扩大2倍后应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程组x+y=6，xy=4然后讨论它的解是否符合题意.然后引导学生再通过几组特例的研究，结果都发现存在这样的矩形，于是得到一个猜想。从而将探究活动推向第二环节拓展思维，证明猜想。将学生的思维逐渐推向高潮。
第二环节：拓展思维，证明猜想；
当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？ 解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽为 2(m+n)－x,根据题意,得x［2(m+n)－x]=2mn.整理得x－2(m+n)x+2mn=0解得
2x1nmn2m2这样一个矩形。
x2nmn2m2经检验x1,x2符合题意,所以存在于是得到结论：任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
引导学生继续将问题向纵深拓展:既然存在倍增关系的矩形，那么是否存在减半的矩形呢？
第三环节：问题拓广，自主探究；
由学生提出问题（3），任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
3(教学策略：此问题提出后，学生也会有两种解决问题的思想，一种就是顺承上面问题的解决思路完成此题的探究过程，另一种也可能会有小明一样的想法。若是学生中未出现小明的思路，则让学生阅读课本，然后判断小明的想法是否正确.此问题要求学生在自主探究的基础上，小组合作细化完成解答过程。)学生通过如上问的探究：发现当已知矩形的长和宽为2和1,3和1,4和1,5和1时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半.于是就可能会得到一个猜想，一定不存在这样减半的矩形。
于是进行一般情况下的对猜想的证明。设已知矩形的长和宽分别为n,m,所
11求矩形的长为x，那么有x〔2（n+m）－x〕=2mn.得到一元二次方程的根的判别式b24ac121231nmmn(n2m26mn).而此时n2m26mn不4424总是大于0的，也不总是小于0的，于是此题的结论不是一定不存在，而是有选择性的存在，当n2m26mn≥0，这样的矩形存在，而当n2m26mn≤0时这样的矩形不存在。
并请几个学生举几个存在的特例，让学生更直观的感受一下这个结论。
第四环节：总结反思，方法提炼；
（1）本节课的问题解决综合运用了所学知识,体会知识之间的内在联系.（2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的视野.第五环节：布置作业，巩固所学； 1、181页1,2,3.4
2、写篇小论文，把课题学习探索的过程 和探索得到的结果及你的感受体验整
理成数学小论文。
第三篇：尝试与猜测 教学设计
尝试与猜测
教学目标：
1、了解鸡兔同笼问题，掌握用尝试法、假设法解决问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。
2、通过自主探究、合作交流，让学生经历用不同的方法（列表举例、作图分析）解决“鸡兔同笼”问题的过程，明确数量关系。
教学重点：明确鸡兔同笼问题数量关系。
教学难点：初步形成解决此类问题的一般性。
教学过程
一、历史故事激趣，导入新课（3分）
导语：老师早就听说我们班的同学最喜欢看书，最善于思考，今天老师给同学们带来了一部一千五百年前的数学名著《孙子算经》（课件出示古书动画打开书出现原题），在这里记载着许多有趣的数学名题，其中有这样一道题请看：今有雉兔同笼，上有三十五头下有九十四足，问雉兔各几何？
这句话中，你们有不明白的词语吗？（电脑出示：题目中的“雉”（读成“zhì”），就是野鸡。）谁来说一说，这道题目是什么意思？谁能用现代文翻译一下:(这道题目是说，现在有一些野鸡和兔子，关在同一只笼子里，从上面看，共有35 个头；从下面看，共有94只脚。问有多少只野鸡、多少只兔子。)
师：古代人对这样的题目有着自己独道的见解，我们把类似于这样的问题，统称为：“鸡兔同笼”。今天，我们就来研究中国历史上著名的数学趣题 “鸡兔同笼问题”。（板书课题：鸡兔同笼）
2、我们先从简单一些的问题入手，来探讨解决这类问题的方法。
二、合作探究，构建新知（15分）
1、请同学们看一幅鸡兔同笼的情景图（课件出示）你能猜出这笼子里有几只鸡和几只兔吗？
请看题目，鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡、兔各有多少只？你从中发现了哪些数学信息？这道题里还有隐藏的数学信息吗？
2、先猜一猜，可能只有一种动物吗，为什么？
学生猜测，汇报。不可能都是鸡，因为如果都是鸡就会有40条腿，而题目中是54条腿。也不可能都是兔，因为如果都是兔就会有80条腿。
3、独立思考：
（1）你想怎样解决这个问题？生举手，师：不着急说，先自己想一想！学生静想10秒。
鸡兔可能各有多少只？你想怎样解决这个问题呢？
找几名同学说一说解决的办法。
同学们可以借助表格清晰明了的呈现出你的解题方法，如果有其他解题方法，请写在答题纸上。
4、学生独立完成，教师巡视。
5、学生汇报：
1）、（假如有采用逐一列表法的）请一个采用逐一列表法解决的同学汇报，汇报讲出理由（你是如何确定第一组数据的，验证后发现了什么问题，怎样进行调整的也就是调整的方法），并且说一说调整过程中有什么发现？（因为鸡和兔的只数是固定的，每增加一只兔子减少一只鸡，腿的总只数就增加2。）
还有哪些同学与他的方法相同或类似？补充说明理由和发现的规律。（贴出表格）
你们认为这种方法有什么特点？请这些同学为他们的方法命名。(板书：逐一列表法）
2)、哪个同学与他们的列表方法不同？（汇报，说出是如何确定第一组数据的，验证后发现了什么问题，你的调整策略，在调整过程中有什么发现？当计算验证腿数多时说明什么？应该怎样调整？相反呢？）
还有那些同学与他的方法相同或类似（你是怎样想到这种方法的），补充调整方法和策略以及自己的发现。（贴出表格）
请同学们为自己的方法命名。问：你们觉得这种方法怎么样？（简便、快捷）(板书：跳跃列表法）
3)、哪个同学还有不同的列表方法呢？你是怎样想到这种列表法的（说出理由）
还有那些同学与他的方法相同或类似，你们认为这种方法有什么优势？请同学们命名。（贴出表格）
（板书：取中列表法.）
4）、回顾一下我们的解题思路和方法。(相机板书：猜测、验证、调整）
师：用列表法解决问题，要想做到又快又准确，你们认为应该要注意些什么 问题？
5）、同学们还有其他的方法解决这道题吗？
直观画图法：谁听懂他的方法了？能再说说吗？你觉得这样做怎么样？（画图的方法非常便于观察、非常容易理解。）
还有什么方法吗？
6）算术法启发学生思考；展示学生的个性解法并以学生的名字来命名。„„
初步小结：同学们，刚才我们用很多方法解决了同一个问题，你觉得这些方法的核心思想是什么？（假设。所以鸡兔同笼问题又叫假设问题。）证—调整—再验证—再调整的过程，从而得到解决鸡兔同笼问题的一般策略。
三、历史激趣、巩固新知
同学们，你们知道古人是如何解答鸡兔同笼问题的吗？刚才的题目（出示）：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？书中给出了一种巧妙的解法，今译为：
94÷2-35=12（头）„„ 兔的头数
35-12=23（头）„„ 鸡的头数
这就是最早的鸡兔同笼问题。
看了这段资料，你有什么想法，你有什么想说的吗？
过渡语：同学们有信心运用自己喜欢的列表方法解决1500多年前《孙 子算经》中的原题吗？出示：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
学生汇报：
你采用的是那种列表方法?
为什么要选用这种列表方法？
谁有不同的列表方法？同学们有什么新发现
(学生汇报后，教师追问：就这道题而言，你认为哪种方法解决最好？)
四、分析应用，提高升华
过渡语：后来鸡兔同笼问题由我国传到了日本变成了龟鹤问题，日本人说的龟鹤和我们说的鸡兔有联系吗？抓住数学的本质，这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅代表兔，那还可能是什么问题呢?到我们的实际生活中去看一看，请看题；
1、在我们购物消费中的鸡兔同笼问题，那么它与鸡兔同笼问题有什么联系：小明买了6角和8角的两种铅笔共7支花了5元钱，分别买了多少支？
2、在活动安排中的鸡兔同笼问题，那么它与鸡兔同笼问题有什么联系：
迎奥运讲文明树新风开展有益的课余活动，学校准备开展一次象棋和跳棋的比赛，象棋和跳棋学校共有31副，恰好可让150个学生同时进行棋类比赛，象棋2人一副、跳棋6人一副，象棋和跳棋各有多少副？
实践应用，解决问题
3、运输中的鸡兔同笼问题
地震后要用大小卡车往灾区运29吨食品，大卡车每辆每次运5吨，小卡车每辆每次运3吨，大小卡车各用几辆能一次运完？它与鸡兔同笼问题有什么联系？不同之处呢？（没有限定大小卡车的总辆数）那可能会出现什么情况呢？请同学们估计一下用车总量数的范围：最多多少辆？最少多少辆？
尝试运用你喜欢的方法独立完成此题
学生汇报：
你采用的是那种列表方法? 为什么要选用这种列表方法？
谁有不同的列表方法？
1）、(如分别出现两种不同的正确答案）同学们有什么新发现？那么用什么方法能使所有的正确答案都不遗漏呢？师生集体尝试逐一列表的方法。
就这道题而言，你认为哪种方法解决最好？
或
2)、（如出现一名同学有两个正确答案和分别一个正确答案）你认为谁的方法更好？
过渡语：老师相信同学们一定会耐心细致的做每一件事请。
五、生活拓展、谈谈收获
生活中随处可见鸡兔同笼问题，愿意告诉老师这节课你的学习收获吗？
作业：创编一道生活中的鸡兔同笼问题。（要求：在小组里交流一下创编得体是否正确合理，同桌交换解决。）
结束语：数学无处不在，我相信同学们只要敢于猜测尝试、并且不断的实践验证、调整创新，任何问题都能迎刃而解。
板书设计:
鸡兔同笼
插图、古题译文;
列表法 思路
逐一 猜测
跳跃 验证
取中 调整
直观画图法 假设算术法 假设方程法
第四篇：尝试与猜测教学设计
课 题：尝试与猜测 教学内容：鸡兔同笼 教学目标：
知识目标：在解决“鸡兔同笼”的活动中，通过列表举例，尝试计算等方法解决鸡兔的数量问题。
能力目标：培养学生的合作意识，在现实情境中，使学生感受到数学思想的运用和解决问题的关系，提高学生解决问题的能力和自信心，进而让学生体会数学的价值。情感目标：了解我国古代数学的光辉成就，增强民族自豪感； 提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心。
教学重点：探索列表枚举的不同的方法，找到解决问题的策略。
教学难点：在自主探索过程中，掌握利用数据比较、判断、调整的方法。教学过程：
一、历史激趣，导入新课。
我们班的同学非常喜欢读书，今天老师给同学们带来一部1500年前的数学名著《孙子算经》（课件出示古书动画打开书出现原题），里面记载着许多有趣的数学名题，其中有这样一道题请看：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（师读,课件中标注出题目中的“雉”（读成“zhì”），就是野鸡。）你读懂这个问题吗？
二、独立探索，构建新知 1．分析题意，尝试猜测；
师：那这个题目是你读懂了吗？说说什么意思，(这道题目是说，现在有一些野鸡和兔子，关在同一只笼子里，从上面看，共有35个头；从下面看，共有94只脚。问有多少只野鸡、多少只兔子？)师：这道题的意思正如同学们所想的一样，为便于研究，我们可先从简单问题入手也就是把35头换成20头，94只腿换成54条腿
（课件出示贴出例题及插图）：鸡兔同笼，上面看有20个头，下面看有54条腿，鸡兔各有多少只？（请一名同学读题）-----板书：尝试与猜测 ——鸡兔同笼 师：你从中发现了哪些数学信息？就是这两个信息吗？
2、尝试逐一列表，进行验证；
（1）独立思考：你想用什么办法解决这个问题？（板书各种方法）当学生说用列表法时，问：你想怎样列表？（课件显示表格）是这样的表格吗，为了表达的内容更清楚，第一行应该填写什么
请同学们利用尝试与猜测的方法把各种情况一一列举到表格中，并计算验证，看第几次找到答案。
课件出示学习要求：
1、先独立尝试猜测；
2、把你尝试猜测的各种情况一一列举出来；
3、在小组内交流你尝试的过程，比一比哪个小组的方法多。（2）学生独立完成，教师巡视。（3）汇报交流
请一个采用逐一列表法解决的同学汇报
师：这是谁做的？你跟大家说说你是怎么想的？谁的做法与他一样？
师：刚才老师有个发现，有的同学在添表时写的腿数特别快，你能发现什么秘诀吗？（因为鸡和兔的只数是固定的，每增加一只兔子减少一只鸡，腿的总只数就增加2条。）你们认为这种方法有什么特点？你给它取个名字，(板书：逐一）小结：逐一列表法虽然比较麻烦，但是不重复不遗漏；
3、尝试跳跃和取中列表
你能根据发现的规律，减少猜测的次数，找到比逐一列表更简捷的列表方法吗 生尝试
（1）请小幅度跳跃列表的同学汇报
师：除了像他们这样逐一列举，我们再来看看这张表，这是谁列的？
由学生自己解说他的列表法，师可以边听边问：说出是如何确定第一组数据的？计算验证后发现了什么问题？你是怎样调整的？你这一行为什么这样填？ 问：你们觉得这种方法怎么样？（简便、快捷）师：谁还有不同的调整策略？（3）请大幅度跳跃列表同学汇报 你是怎样想到把鸡或兔的只数调整的？（4）请大或小幅度调整与逐一相结合的汇报
重点追问:计算验证后发现什麽，怎样想到用这种方法进行调整的？
小结：列表过程中根据需要我们可以有规律的小幅度跳跃，也可以根据自己的发现大幅度的跳跃；
那我们管这种列表的方法叫什么呢？（板书跳跃）（5）请选用取中列举法的同学汇报？
追问:你是怎样想到这种列表法的（说出理由）还有哪些同学与他的方法相同或类似，你们认为这种方法有什么优势？
小结：取中列举法在逐一和跳跃的基础上直取中间数，验证后调整幅度缩小更为简便快捷(板书取中)师：你觉得你比较喜欢哪一种列表方法？说说你的理由。（我喜欢逐一列表，这样不容易遗漏答案。我喜欢逐一列表，它虽然可以完全地列出全部的答案，但比较麻烦，我认为取中列表的方法比较好，可以根据题目的情况，确定假设的范围，这样可以很快地找到需要的答案。）
师：你说的很好，无意之中我们已经找到解决此类问题的重要策略，是什么？（列表），首先根据已知信息进行尝试猜测，然后进行计算验证，分析后进行合理调整。(板书：猜测、验证、调整）
师：我们可以根据实际的需要灵活的运用。比如数字比较小的时候运用逐一列表，如果数字比较大时可以采用跳跃或取中列表，那么除了列表之外还有别的方法吗？谁愿意来给大家讲一讲？
（生：假设全是鸡：2×20=40（条）54-40=14（条）14÷2=7（只）„兔子 20-7=13（只）„鸡
除了可以假设都是鸡，还可以怎样假设呢？引导学生说出都是兔。直观画图法等）
师：（出示课件名解赏析）你想知道1500年前我国的古人是怎样解决“鸡兔同笼”的问题吗？
出示：脚数÷2-头数=兔数
头数-兔数=鸡数
师：你能理解吗？看看古人是怎么讲的。
看了这段资料，你有什么想法？你有什么想说的吗？
师：老师在为我们祖先感到骄傲的同时，老师同样也为你们感到骄傲，你们在这么短的时间内就想出了这么多解决“鸡兔同笼”问题的办法，你们像孙子一样的聪明了不起。你觉得这些方法的核心思想是什么？（假设）
三、方法应用，巩固新知。
1、师：下面就让我们带上一双“数学的眼睛”到我们身边去看一看„„
2、师：这是谁呀？ 生：（齐答）王楠
师：对，乒乓名将王楠，乒乓球是我们的国球，在乒乓球比赛中有没有咱们今天研究的类似问题呢？先请大家自己读一读。
（课件出示：12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？）师：题目告诉我们哪些条件？
生：它告诉我们共有12张球台，34人在进行比赛，单打就是2人打，双打就是4个人打。
师：真厉害！一下子将两个隐含着的条件也挖出来了，共四个条件。这和我们今天探索的问题有联系吗？ 利用列表法解决
3、猜硬币
小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？
四、生活拓展、谈谈收获。
愿意告诉老师这节课你的学习收获吗？
我相信同学们只要敢于猜测尝试、并且不断的实践验证、调整创新，任何问题都能迎刃而解。
板书设计:
鸡兔同笼
列表法 思路
逐一
猜测
跳跃
验证
取中
调整
直观画图法
假设算术法
第五篇：《尝试与猜测》教学设计
《鸡兔同笼》教学设计
广兴镇小学
薛波
【教学目标】
1、知识与技能：学会用不同方法解答“鸡兔同笼问题”，比较各种列举法的特点，并让学生体会怎样列举更简便。
2、过程与方法：运用假设法通过合作交流探索多种列表方法解决鸡兔同笼问题并学会用这种方法解决生活中类似的实际问题。
3、情感态度与价值观：使学生初步认识“鸡兔同笼”的数学趣题，了解与此有关的数学史，学习我国传统的数学文化。
【教学重点】借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——假设列表法。
【教学难点】解决此类问题的调整策略既：在运用“跳跃列举”中的调整幅度的大小，和在使用“居中列举”后巧妙的运用“跳跃列举”。【教学过程】
一、创设情境，引出问题
1、师：导语：老师听说我们班的同学非常喜欢读书，今天老师给同学们带来一部1500年前的数学名著《孙子算经》（课件出示古书动画打开书出现原题），里面记载着许多有趣的数学名题，其中有这样一道题请看：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（师读,课件中标注出题目中的“雉”（读成“zhì”），就是野鸡。）谁知道，这是一个什么问题？（鸡兔同笼问题）这节课我们就来研究中国历史上著名的数学趣题 “鸡兔同笼”。（板书课题）【设计意图】这一引入，给数学课堂带来了浓厚的文化气息，让我们的学生感受到我国数学文化的源远流长，激发了学生的学习热情。
2、课件出示主题图和原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？你能说说这道题是什么意思吗？（说明：雉指鸡）出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只？
3、揭示课题：这就是我们今天要研究的问题“鸡兔同笼”的问题。（板书课题：尝试与猜测）
二、合作探索，解决问题
1、化难为易
师：看来这么大的数据，同学们尝试猜测有一定的难度，那我们把它化难为易，从简单入手找出规律，再来尝试猜测解决这个问题，好吗？（过渡语）出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有9个头；从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只?
2、读题析题
师：请大家自由读题，你都知道了什么？
生（可能说）鸡和兔一共有9个头（问：意思是一共有9只）。鸡和兔一共有26条腿。求分别有几只鸡和几只兔。
师：还有补充吗？有两个隐藏条件谁细心发现了？ 生（可能说）：鸡有2条腿，兔子有4条腿。
3、大胆猜测
先猜一猜，鸡、兔可能有几只？可能只有一种动物吗？学生猜测、汇报。（可能说：不可能都是鸡，因为如果都是鸡就会有18条腿，而题目中是26条腿。也不可能......）
让同学尽情的猜答案。教师记录下来并立刻计算验证【设计意图：引导学生发现用猜的方法比较乱，并不科学。从而进入到本节课的第二部分，展开对鸡兔同笼问题解决方法的研究。】
4、合作解题
师：大家刚才有好多猜想，但是么多种猜想听起来很无序，我们要怎么把这些猜想的过程，有序地整理出来呢？老师这边有一张表格（学生们也把发的这张表格拿出来）我们先一起读这张表格，谁看懂了它？（老师展示表格）
生：左边这一列表示鸡有几只，中间这一列表示兔有几只，右边这一列表示脚的总只数有几只？
师：其实数学家们也不是能每次猜准的,不过他们会根据不断地调整,最后找出答案,而把这些猜测的结果有序地写在表格中的方法叫列表法。下面我们就要用列表法试着来解决这类问题。（板书：列表法）
5、小组合作，教师巡视。（注意把握出现的不同方法）
6、学生汇报，教师课件演示。（在演示的过程中稍加简要分析）。展示后小结：刚才这个小组用了假设法，从1只鸡开始假设，一只一只进行调整（板书），这种列表法我们把它叫做“逐一列表法”。（板书）师：你们觉得这种列表法有什么优点呢？（不遗漏、不重复）
7、观察逐一列表法-----引出跳跃列表法
师：爱因斯坦曾说过：提出一个问题比解决一个问题更重要。所以在同学汇报时，请其他小组认真思考，做好向他们提问的准备。
a、引导发现:
问题一：腿多了说明什么？（兔多了）
问题二：然后怎么调整？（多的减少，少的增加）
问题三：还有其他发现吗？（兔每增加1只，鸡就减少1只，腿的总数就增加2条„„）
师：我们只注意到逐一列举法的优点，那么它有没有什么缺点呢？（引导说如果数目比较大的话，我们用这个办法会怎么样？）那我们可以跳起跳起试，比如说.....引出跳跃列表法。引导发现: 问题一：你们如何选这一组数据为第一组数据的？ 问题二：然后怎么跳到第二组的? 问题三：然后怎么调整？ 问题四：还有其他发现吗？
小结：真不错，我们也给这种列表法取个名字吧！（板书：跳跃列表法）列表过程中根据需要可以有规律的小幅度跳跃，也可以根据自己的发现大幅度的跳跃。
8、取中列表法
师：大家非常聪明，其实我们在用逐一列表法和跳跃列表法的基础上，还可以选择从中间的数进行尝试和猜想。
出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有12个头；从下面数，有30只脚。鸡和兔各有几只? 师：大家试一试。展示：
小结：这个方法叫做取中列表法，验证后调整幅度缩小，更为简便快捷。方法小结：回顾一下我们的解题思路和方法，首先根据已知信息进行尝试猜测，然后进行计算验证，分析后进行合理调整。(相机板书：猜测、尝试、调整、验证）
9、比较三种列表法
你最喜欢那种列表方法？理由呢？
【设计意图：在问题情境中探究解决问题的方法，给学生足够的空间经历数学知识的形成过程，体验猜测—验证—调整—再验证—再调整的过程，从而得到解决鸡兔同笼问题的一般策略。】
过渡：你们在这么短的时间内就想出了这么多种列表法解决鸡兔同笼的问题你们很了不起。
三、交流激趣，构建新知
过渡：刚才我们运用列表的方法解决了这道简单的鸡兔同笼问题，并且在表格中发现了规律，那么你们能不能运用列表的方法以及刚才发现的规律来解决《孙子算经》中的鸡兔同笼问题？“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
1、学生独立完成，教师巡视
2、在小组里交流一下你尝试与猜测的过程（选择：逐一列表法，跳跃列表法，取中列表法）
3、学生汇报
（1）请一个采用逐一列表法解决的同学汇报（如果有的话）
小结：逐一列表法尽管比较麻烦，但是不重复不遗漏。（2）请采用跳跃列表法的同学汇报
师：说出如何确定第一组数据的？计算验证后发现什么问题？如何调整的？
问：你们觉得这种方法怎么样？（简便、快捷）
（3）请选用取中列表法的同学汇报。
师：你是怎样想到这种列表法的（说出理由）还有哪些同学也是用类似的方法的？你们认为这种方法有什么优势？
四、方法应用，巩固新知
师：抓住数学的本质，这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅代表兔。“鸡兔同笼”这个问题后来传到了日本，善于研究和学习的的日本人又把它转变成了“龟鹤问题”。
（课件演示：龟鹤的图片）
师：日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？
生：是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。
师：假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，还可以给它取个其它的名字吗？
生1：鸭猫问题。
生2：猪鹅问题。
生3：人狗问题。
（如果学生想不到，老师可以提示）
师：运用我们所学的方法来解决一些生活中的鸡兔同笼问题。
请看题：乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元，角和5角的硬币各有多少枚？请你用列表的方法来解决问题。
1、学生独立完成。
2、汇报：你采用的是那种方法？为什么要选用这种列表方法？就这道题而言你认为用那种方法解决最好？
五、生活拓展，谈谈收获
1、愿意告诉老师这节课你的学习收获吗？
2、结束语：数学自古以来就是我国历史上的璀璨明珠，在我们的生活中无处不在，我相信同学们只要敢于猜测与尝试、并且不断的实践验证、调整创新，任何问题都能迎刃而解。
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