2020届市一中一诊考试
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则
（A）
（B）
（C）
（D）
2.设为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数为
（A）
（B）
（C）
（D）
3.若等边的边长为4，则
（A）
（B）
（C）
（D）
4.在的展开式中的系数为
（A）
（B）
（C）
（D）
5.若等比数列满足：，则该数列的公比为
（A）
（B）
（C）
（D）
6.若实数满足，则
（A）
（B）
（C）（D）
7.在正四棱柱中，点分别为棱上两点，且，则
（A），且直线异面
（B），且直线相交
（C），且直线异面
（D），且直线相交
8.设函数，若在点的切线与轴平行，且在区间上单调递减，则实数的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
9.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21
分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为
（A）
（B）
（C）
（D）
10.函数的图象大致为
（A）
（B）
（C）
（D）
11.设圆C：，若等边的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值为
（A）
（B）
（C）
（D）
12.设函数，下述四个结论：
是偶函数；的最小正周期为；的最小值为；
在上有3个零点.其中所有正确结论的编号是
（A）（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.若等差数列满足：，则
．
14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为
．
15.已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线分别与两条渐进线交于两点，若，则
．
16.若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按元/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
消费次第第次
第次
第次
第次
次
收费比率
该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中,随机抽取了位进行统计,得到统计数据如下:
消费次数
次
次
次
次
次
人数
假设汽车美容一次,公司成本为元,根据所给数据,解答下列问题:
（Ⅰ）某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润；
（Ⅱ）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,设该公司为一位会员服务的平均利润为元,求的分布列和数学期望.18.（12分）的内角的对边分别为，设．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的周长为8，求的面积的取值范围.19.（12分）如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，.（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.20.（12分）设椭圆，过点的直线分别交于不同的两点，直线恒过点．
（Ⅰ）证明：直线的斜率之和为定值；
（Ⅱ）直线分别与轴相交于两点,在轴上是否存在定点,使得为定值？若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由．
21.（12分）设函数，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点．
（Ⅰ）当时,求直线与曲线的普通方程；
（Ⅱ）若,其中,求直线的倾斜角．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，不等式成立，证明：.
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