2019年中考数学真题（陕西省）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.计算：
（）
A.1
B.0
C.3
D.2.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为
（）
3.如图，OC是∠AOB的角平分线，l//OB,若∠1=52°，则∠2的度数为（）
A.52°
B.54°
C.64°
D.69°
4.若正比例函数的图象经过点O（a-1,4）,则a的值为（）
A.-1
B.0
C.1
D.2
5.下列计算正确的是（）
A.B.C.D.6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（）
A.2+
B.C.2+
D.3
7.在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（）
A.(2,0)
B.(-2,0)
C.(6,0)
D.(-6,0)
8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（）
A.1
B.C.2
D.4
9.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）
A.20°
B.35°
C.40°
D.55°
10.在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）
A.m=,n=
B.m=5，n=
C.m=
-1，n=6
D.m=1，n=
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11.已知实数，0.16，，，其中为无理数的是
12.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为
13.如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为
14.如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为
三、解答题（共78分）
15.（5分）计算：
16.（5分）化简：
17.（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）
18.（5分）如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BF，且AC=BD，求证：CF=DE
19.（7分）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动。校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）
补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为
（2）
求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）
已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数。
20.（7分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB。（小平面镜的大小忽略不计）
21.（7分）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变。若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）
（1）
写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）
上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安图中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26℃时，飞机距离地面的高度为7km,求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温。
22.（7分）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球。其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球。
（1）
将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）
小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜。请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。
23.（8分）如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD。
（1）
求证：AB=BE
（2）
若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长。
24.（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O堆成的抛物线为
（1）
求抛物线L的表达式
（2）
点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D。若△POD与△AOB相似，求复合条件的点P的坐标
25.（12分）
问题提出：
（1）
如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）
如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）
如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE。根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由。（塔A的占地面积忽略不计）
答案解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.计算：
A.1
B.0
C.3
D.【解析】本题考查0指数幂，此题答案为1，故选A
2.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为
【解析】本题考查三视图，俯视图为从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角，故选D
3.如图，OC是∠AOB的角平分线，l//OB,若∠1=52°，则∠2的度数为
A.52°
B.54°
C.64°
D.69°
【解析】∵l//OB，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=64°，又l//OB，且∠2与∠BOC为同位角，∴∠2=64°，故选C
4.若正比例函数的图象经过点O（a-1,4）,则a的值为
B.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】函数过O（a-1,4），∴，∴，故选A
5.下列计算正确的是
B.B.C.D.【解析】A选项正确结果应为，B选项正确结果应为，C选项为完全平方差公式，正确结果应为，故选D
6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为
A.2+
B.C.2+
D.3
【解析】
过点D作DF⊥AC于F如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=，故选A
7.在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为
B.(2,0)
B.(-2,0)
C.(6,0)
D.(-6,0)
【解析】根据函数图象平移规律，可知向上平移6个单位后得函数解析式应为，此时与轴相交，则，∴，即，∴点坐标为（-2,0），故选B
8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为
A.1
B.C.2
D.4
【解析】BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分别是AC的三等分点
∴E是AB的三等分点，F是CD的三等分点
∴EG∥BC且EG＝－BC＝2
同理可得HF∥AD且HF＝－AD＝2
∴四边形EHFG为平行四边形EG和HF间距离为1
S四边形EHFG＝2×1=2，故选C
9.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是
A.20°
B.35°
C.40°
D.55°
【解析】连接FB，得到FOB＝140°；
∴∠FEB＝70°
∵EF＝EB
∴∠EFB＝∠EBF
∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF，∴∠EFO＝∠EBO，∠F＝35°，故选B
10.在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为
B.m=,n=
B.m=5，n=
C.m=
-1，n=6
D.m=1，n=
【解析】关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数，∴解之得，故选D
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11.已知实数，0.16，，，其中为无理数的是
【解析】无理数为无限不循环的小数，常见的有开方开不尽的数，本题为，含有π或者关于π的代数式，本题为π，故本题答案为
12.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为
【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，∴AD=2AB=6，故答案为6
13.如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为
【解析】如图所示，连接AB，作DE⊥OB于E，∴DE∥y轴，∵D是矩形AOBC的中心，∴D是AB的中点，∴DE是△AOB的中位线，∵OA=4，OB=6，∴DE=OA=2，OE=OB=3，∴D（3,2），设反比例函数的解析式为，∴，反比例函数的解析式为，∵AM∥x轴，∴M的纵坐标和A的纵坐标相等为4，代入反比例函数得A的横坐标为，故M的坐标为
14.如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为
【解析】
如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，∴PM-PN，当三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，∴AC=AB=，∵O为AC中点，∴AO=OC=，∵N为OA中点，∴ON=，∴，∴，∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2，∴
∴PM∥AB∥CD，∠90°，∵∠=45°，∴△为等腰直角三角形，∴CM==2，故答案为2
三、解答题（共78分）
15.（5分）计算：
【解析】原式＝－2×(－3)＋－1－4
＝1＋
16.（5分）化简：
【解析】原式＝×＝a
17.（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）
【解析】如图所示
18.（5分）如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BF，且AC=BD，求证：CF=DE
【解析】证明：∵AE＝BF，∴AF＝BE
∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE
又AC＝BD，∴△ACF≌△BDE
∴CF＝DE
19.（7分）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动。校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示：
所抽取该校七年级学生四月份“读书量”的统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）
补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为
（2）
求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）
已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数。
【解析】
（1）
如图所示，众数为3（本）
（2）
平均数=
（3）
四月份“读书量”为5本的学生人数=（人）
20.（7分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB。（小平面镜的大小忽略不计）
【解析】：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5
∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°.由题意，易知∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABC
∴＝
即＝
解之，得BD＝17.5
∴AB=17.5＋0.5＝18(m)．
∴这棵古树的高AB为18m．
21.（7分）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变。若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）
（1）
写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）
上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安图中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26℃时，飞机距离地面的高度为7km,求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温。
【解析】(1)y＝m－6x
(2)将x＝7，y＝－26代入y＝m－6x，得－26＝m－42，∴m＝16
∴当时地面气温为16℃
∵x＝12＞11，∴y＝16－6×11＝－50(℃)
假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为－50℃
22.（7分）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球。其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球。
（1）
将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）
小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜。请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。
【解析】：(1)共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种
∴P(摸出白球)＝
(2)根据题意，列表如下：
A
B
红1
红2
白
白1
(白1，红1)
(白1，红2)
(白1，白)
白2
(白2，红1)
(白2，红2)
(白2，白)
红
(红，红1)
(红，红2)
(白1，白)
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种
∴P(颜色相同)＝，P(颜色不同)＝
∵＜
∴这个游戏规则对双方不公平
23.（8分）如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD。
（1）
求证：AB=BE
（2）
若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长。
【解析】(1)证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°.又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE
(2)解：连接BC
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°
在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝8
由(1)知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM
∴∠C＝∠AME，＝
即＝
∴AM＝
又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD
∴AD＝AM＝
24.（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O堆成的抛物线为
（1）
求抛物线L的表达式
（2）
点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D。若△POD与△AOB相似，求复合条件的点P的坐标
【解析】(1)由题意，得，解之，得，∴L：y=－x2－5x－6
(2)∵点A、B在L′上的对应点分别为A′(－3，0)、B′(0，－6)
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6
将A′(－3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5.∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6
A(－3，0)，B(0，－6)，∴AO＝3，OB＝6.设P(m，m2－5m＋6)(m＞0).∵PD⊥y轴，∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6
Rt△POD与Rt△AOB相似，∴＝或＝
①当＝时，即＝，解之，得m1＝1，m2＝6
∴P1(1，2)，P2(6，12)
②当＝时，即＝，解之，得m3＝，m4＝4
∴P3(，)，P4(4，2)
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)
25.（12分）
问题提出：
（1）
如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）
如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）
如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE。根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由。（塔A的占地面积忽略不计）
【解析】（1）如图记为点D所在的位置
（2）如图，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB＞AB.∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于两点，连接，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外；
∴△BPC的顶点P在或位置时，△BPC的面积最大
作⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴
由对称性得
（3）可以，如图所示，连接BD，∵A为□BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°
作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧上，取的中点，连接
则，且∠=60°，∴△为正三角形.连接并延长，经过点A至，使，连接
∵⊥BD，∴四边形为菱形，且∠°
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则
∴
∴
所以符合要求的□BCDE的最大面积为
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