例谈中学数学中的向量构造法 新课标 人教版

第一篇：例谈中学数学中的向量构造法 新课标 人教版

例谈中学数学中的向量构造法

http:// 河南汤阴一中 杨焕庆王国伟

向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个重要的交汇点，是联系众多知识的媒介。它广泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识。利用向量这个工具解题，可以简洁、规范的处理数学中的许多问题。特别是处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题；运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

构造向量除有坚实的基础知识外，还特别要知道实现构造的理论基础：

（1）||a||b|||ab||a||b|.（2）|a·b||a|·|b|。一.证明不等式

通过构造向量，利用向量的重要不等式：或|a·b||a|·|a||b||ab|，|b|，以达证明不等式之目的。

例1.设a、b、c、d均为正数，求证a2b2

cd(ac)(bd)



证明：构造向量m(a，b)，n(c，d)，由|m||n||mn|得

a2b2

cd

(ac)(bd)

例2.若abc1，求证：abc



证明：构造向量m(a，b，c)，n(b，c，a)，p(c，a，b)



则mnp(abc，bca，cab)(1，1，1)



于是由|m||n||p||mnp|

222

有3abc3

得abc

222

将例1推广到更一般的形式，即有

例3.若a1，a2，a3，，an和b1，b2，，bn都是正数，则a1a2an

(a1b1)(a2b2)(anbn)



证明：构造向量m(a1，a2，，an)，n(b1，b2，，bn)



于是，由|m||n||mn|得

b1b2bn

222



222

a1a2an

222

b1b2bn

222



(a1b1)(a2b2)(anbn)

222

从上述证明，发现条件a1，a2，，an和b1，b2，，bn是正数是多余的。



而且利用|m||n||mn|还可以推出

a1a2an

222

b1b2bn

222



(a1b1)(a2b2)(anbn)

222

例4.设任意实数x，y满足|x|1，|y|1，求证：

11x



11y



21xy



证明：构造向量a(，)，b(1x，1y)

x1y

由向量数量积性质(ab)|a|2|b|2得

4(所以即

11x1



11y11y1

22)(1x1y)

42(xy)21xy

1x1



422xy



21xy

1x



1y



例5.设a，b为不等的正数，求证(a4b4)(a2b2)(a3b3)2



证明：构造向量m(a，b)，n(a，b)，则



332

(ab)(mn)2

222

|m||n|cos

22

|m||n|

(a4b4)(a2b2)



因为a，b为不相等的正数，所以mn，即0，

所以(a4b4)(a2b2)(a3b3)2 例6.已知x>0,y>0，且x+y=1，求证：(1



1x)(1





1y)9。

1xy

证明：构造向量a(1,



1x

),b(1,1y)，则ab1，而

|a||b|1

1x



1y

(1

1x)(1

1y)，222

由|a·b||a|·|b|，得|a·b||a|·|b|

所以(1

1x)(1

1y)(1

1xy)(1

2xy)9

例7.求证：(acbd)(ab)(cd)





证明：设OA(a,b),OB(c,d)





（1）当OA,OB至少有一个为零时，所证不等式00成立；





（2）当OA,OB都不是零向量时，设其夹角是，则有





cos

OAOB







acbdab

|OA||OB|

cd

22，因为|cos|1，即(acbd)(ab)(cd)

点拨：只要实质上，甚至形式上和向量沾点边的，都是向量的亲戚，用向量去思考，没错！二.研究等量关系

例8.已知：

sin

x

a



cosb

x



1ab

2nn1

(a0,b0)。

cosb

2nn1

证明：对于任何正整数n都有

sina

xx



1(ab)

n1

分析：借助向量不等式|a·b||a|·|b|等号成立的条件，构造向量，可化难为易。证明：构造向量p（sin

sin

a

cosb

xcos,x

x

b),q(a,b)，则pqsin

xcosx1

|p||q|

x

a



ab1，所以pq|p||q|，故p,q同向，则pq

即

sin

x

a

a,cosx

b

b，所以



sin

x

a



cosb

x

代入题设得：

(sin

xcos

2nn12nn1

x)

2nn12nn1

1ab

ab，cos

于是所以

sinasina

x



cosbcosb

x

sinx(1

sinx

a

n1)

n1

x（cosb

x)

n1



n1



1(ab)

n1

x



x



(ab)

例9.已知coscoscos()，求锐角,。

分析：本题如果直接进行三角恒等变换，较难求出,的值。换一种思路，引入向量，问题迎刃而解。

解：由已知得(1cos)cossinsin





cos，构造向量a(1cos,sin),b(cos,sin)，



则ab(1cos)cossinsin

由|a·b|2|a|2·|b|，得（32



cos，|a||b|

22cos

cos)22cos，即(cos

12)0

cos



，则sin（

)1



三.求值域或最值

例10.求函数yx39x2的最大值。

分析：本题是求无理函数的最值问题，按常规方法求解有一定的难度，若正确构造向量，利用向量数量积的性质|a·b||a|·|b|解答，将会使求解非常容易。解：原函数可变为y3

133x

9x，设f(x)

3x9x，因为

12222

(3x)(109x)10，所以构造向量a(,1),b(3x,109x)由

|a·b||a|·|b|

得|

3x9x

|

122

()13

(3x)(9x)

222



103，从而y3



13，当且仅当

9x3

3x,x

时，ymax

例11.求函数yx2x1x2x1的值域。

分析：分析函数解析式的特征，结构上接近两个向量的差，于是构造向量。



解：设a(x





12,32



),b(x



12,32

)，y|a||b|，a,b不共线

||a||b|||ab|1，即1y1

例12.已知x>0,y>0，且x+y=1，求2x12y1的最大值

2y1)

证明：构造向量

a(1,1),b(2x1,根据(ab)|a||b|得：

(12x112y1)(11)(2x12y1)即12x112y1

822故2x1

2y1最大值 为22.利用向量数量积的一个重要性质|a·b||a|·|b|，变形为

|a·b||a|·|b|可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时提高了学生的观察分析能力和想象能力

总之，构造向量法，为我们研究数学问题提供了一种崭新的思维视角，体现了知识的交汇和联系，是高层次思维的反映,常用构造法解题 ,能起到发展思维,提高能力,挖掘潜力之功效.

第二篇：例谈运用构造法证明不等式

例谈运用构造法证明不等式

湖北省天门中学薛德斌

在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到

切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数

学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。下面通过举例加以说明。

一、构造向量证明不等式

例1：证明7x2(9x2)9，并指出等号成立的条件。简析与证明：不等式左边可看成7与 x 和2与9x2两两乘积的和，从而联想

到数量积的坐标表示，将左边看成向量a=(,2)与b=(x,又a·b ≤|a|·|b|，所以7x9x2)的数量积，2(9x2)(7)2(2)2x2(9x2)9当且仅当b=λa(λ>0)时等号成立，故由

时，等号成立。x79x22x=,λ=1，即 x =70得：（1－y)(xy3)(2xy6)例2：求证：2221 6

简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看

成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,为使 a·b为常数，根据待定系数

法又可构造b=(1 , 2，-1)

222于是|a|·|b|=(1y)(xy3)(2xy6)6

（1－y)·1＋(xy3)·2(2xy6（）·1）－1 a·b＝

222所以(1y)(xy3)(2xy6)61（1－y)(xy3)(2xy6)即

二、构造复数证明不等式

22例

3、xy2221 6x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)22

2简析与证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1=

x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x +y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到

Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1z2z3z4可得

x2y2x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)2222222

此题也可构造向量来证明。

三、构造几何图形证明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：a2abb2b2bcc2

且仅当a2acc2当111时取等号。bac

简析与证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形：

作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如图（1）

则∠AOC＝120°，AB=a2abb2，BC=b

2bcc2,AC=a2acc2由几何知识可知：AB＋BC≥AC

∴a2abb2+b2bcc2≥a2acc2

当且仅当A、B、C三点共线时等号成立，此时有

111absin60bcsin60acsin120，即22

2ab+bc=ac

故当且仅当111时取等号。bac图（1）

四、构造椭圆证明不等式

例5：求证：42 49x22x3

3简析与证明：49x2的结构特点，使我们联

想到椭圆方程及数形结合思想。

于是令 y49x2(y0)，则其图象是椭

x2y

21圆4的上半部分，设y-2x=m，于是只需

49证42m, 因 m为直线y=2x＋m在y轴上33图（2）的截距，由图（2）可知：当直线 y = 2 x＋m 过点（直线y =2x＋m与椭圆上半部分相切时，m有最大值。

由 24，0）时，m有最小值为m=；当33y2xm

229xy4 得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0

令△= 4（52－9m2）=0 得：m22或m－（33

即m的最大值为424222，故m，即49x2x 33333

五、构造方程证明不等式

例6：设 a1、a2、…an 为任意正数，证明对任意正整数n

不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立

简析与证明：原不等式即为 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：

(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）

因方程左边＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0

当a1、a2、…an不全相等时，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一个不为0，方程（＊）左边恒为正数，方程（＊）显然无解。

当a1＝a2＝…＝an 时，方程（＊）有唯一解 x＝1 a

1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)对任意正整数n均成立

六、构造数列证明不等式

2例7：求证：Cn1+Cn2+…+Cnn >n·

n n-1212n

简析与证明：不等式左边即为 2－1=从而联想到等比数列的求和公式，于是左1

2边=1+2+2+…+ 2 2n－1112=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+ …(2n-1+1)≥·n·22n1=n·22n-12

例8：设任意实数a、b均满足| a | < 1，| b | < 1 求证：112 221ab1a1b

简析与证明：不等式中各分式的结构特点与题设联想到无穷等比数列（| q | < 1）各项和公式S＝a1112424，则：=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221a1b1q1ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =

七、构造函数证明不等式

例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求证：ab＋bc＋ca＞－

1简析与证明：原不等式即为：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

将a看作自变量，于是问题转化为只须证：当－1＜a＜1时，（b＋c）a＋bc＋1恒为正数。因而可构造函数 f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)

若b + c = 0原不等式显然成立。

若b + c ≠0，则f(a)是a的一次函数，f(a)在（－1,1）上为单调函数

而 f(-1)=－ b －c+ bc +1＝（1－b）（1－c）＞0

f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0

∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1

此题还可由题设构造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0

（1－a）（1－b）（1－c）＞0

两式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、构造对偶式证明不等式

例10：对任意自然数n，求证：(1+1)(1+

简析与证明：设an =(1+1)(1+

构造对偶式：bn = 11)…(1+)> 43n23n1 112583n43n1)…(1+)= ··…·43n21473n53n23693n33n47103n23n1··…，cn = ·… 2583n43n13693n33n1111111，1 3n23n13n23n

即an > bn，an > cn

3∴an> an bn cn

∴an> 11)> n1 3n1，即：(1+1)(1+)…(1+43n2

小结：从以上几例还可以看出：（1）构造法不仅是证明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函数值域或最值的重要思想方法。（2）运用构造法解题，必须对基础知识掌握的非常熟练，必须有丰富的联想和敢于创新的精神。（3）不时机地运用构造法，定能激发和培养学生的探索精神与创新能力。

（本文于2004年在《高中数学教与学》第10期上发表）

第三篇：例谈运用构造法证明不等式 - 新课程数学 - 新课程数学新课程

例谈运用构造法证明不等式

在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。下面通过举例加以说明。

一、构造向量证明不等式 例1：证明7x2(9x2)9，并指出等号成立的条件。

简析与证明：不等式左边可看成7与 x 和2与9x2两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示，将左边看成向量a=(7,2)与b=(x, 又a·b ≤|a|·|b|，所以

9x2)的数量积，7x2(9x2)(7)2(2)2·x2(9x2)9

当且仅当b=λa(λ>0)时等号成立，故由立。

x79x220得：x=7,λ=1，即 x =7时，等号成（1－y)(xy3)(2xy6)例2：求证：2221 6简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,为使 a·b为常数，根据待定系数法又可构造

b=(1 , 2，-1)

222于是|a|·|b|=(1y)(xy3)(2xy6)·6

（1－y)·1＋(xy3)·2(2xy6（）·1）－1 a·b＝222所以(1y)(xy3)(2xy6)·61

（1－y)(xy3)(2xy6)即

二、构造复数证明不等式

22例

3、求证：xy2221 6x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)222

简析与证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1= x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x + y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由

z1＋z2＋

z3＋

z4≥

z1z2z3z4可得x2y2x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)222222

2此题也可构造向量来证明。

三、构造几何图形证明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：

a2abb2b2bcc2a2acc2当且仅当111时取等号。bac

简析与证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形： 作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如图（1）

则∠AOC＝120°，AB=a2abb2，BC=b2bcc2,AC=a2acc

2由几何知识可知：AB＋BC≥AC

∴a2abb2+b2bcc2≥a2acc2 当且仅当A、B、C三点共线时等号成立，此时有

111absin60bcsin60acsin120，即ab+bc=ac 222故当且仅当111时取等号。bac

四、构造椭圆证明不等式 例5：求证：4213 49x22x33简析与证明：49x2的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。

于是令 y49x2(y0)，则其图象是椭圆

图（1）

x2y214的上半部分，设y-2x=m，于是只需证494213, 因 m为直线y=2x＋m在y轴上的截m332，0）3距，由图（2）可知：当直线 y = 2 x＋m 过点（时，m有最小值为m=4；当直线y =2x＋m与椭圆上3半部分相切时，m有最大值。

y2xm2 2 由 2 得：13x+ 4mx + m– 4 = 0 29xy4令△= 4（52－9m2）=0 得：m图（2）

213213或m－（舍）33即m的最大值为

421342132132，故m，即49x2x

3333

3五、构造方程证明不等式

例6：设 a1、a2、…an 为任意正数，证明对任意正整数n 不等式(a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + …

+ an

2)均成立

简析与证明：原不等式即为 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：

(a12 + a22 + … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0

（＊）因方程左边＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0 当a1、a2、…an不全相等时，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一个不为0，方程（＊）左边恒为正数，方程（＊）显然无解。

当a1＝a2＝…＝an 时，方程（＊）有唯一解 x＝1 a1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an

2)≤ 0 即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)对任意正整数n均成立

六、构造数列证明不等式 例7：求证：Cn1+Cn2+…+Cnn >

n·2n

n-12

12n简析与证明：不等式左边即为 2－1=从而联想到等比数列的求和公式，于是左边=1+2+22+…+

122 n－1112=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+ …(2n-1+1)≥·n·22n1=n·22例8：设任意实数a、b均满足| a | < 1，| b | < 1 求证：

n-12

112

1a21b21ab简析与证明：不等式中各分式的结构特点与题设联想到无穷等比数列（| q | < 1）各项和公式S＝

a1，1q则：112424=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221a1b2 1ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =

七、构造函数证明不等式

例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求证：ab＋bc＋ca＞－1 简析与证明：原不等式即为：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

将a看作自变量，于是问题转化为只须证：当－1＜a＜1时，（b＋c）a＋bc＋1恒为正数。因而可构造函数 f(a)=(b + c)a + bc +1

(－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式显然成立。

若b + c ≠0，则f(a)是a的一次函数，f(a)在（－1,1）上为单调函数 而 f(-1)=－ b －c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0 f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0 ∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1 此题还可由题设构造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0

（1－a）（1－b）（1－c）＞0 两式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、构造对偶式证明不等式

例10：对任意自然数n，求证：(1+1)(1+简析与证明：设an =(1+1)(1+构造对偶式：bn =

11)…(1+)> 43n233n1

112583n43n1)…(1+)= ··…·43n21473n53n23693n33n47103n23n1··…·，cn = ··…· 2583n43n13693n33n1111111，1

3n23n13n23n即an > bn，an > cn

3∴an> an bn cn

∴an > 311)> 33n1 3n1，即：(1+1)(1+)…(1+

43n2小结：从以上几例还可以看出：（1）构造法不仅是证明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函数值域或最值的重要思想方法。（2）运用构造法解题，必须对基础知识掌握的非常熟练，必须有丰富的联想和敢于创新的精神。（3）不时机地运用构造法，定能激发和培养学生的探索精神与创新能力。

（本文于2004年在《高中数学教与学》第10期上发表）

第四篇：例谈新课标教案中的缺憾

例谈新课标教案中的缺憾

目前的语文教育界，对儿童文学文体知识缺少了解的语文阅读教学现象普遍存在。在由课程教材研究所和中学语文课程教材研究开发中心共同编著的，与人教版新课标实验教材配套使用的新课标教案《课堂教学设计与案例》（七年级上册）中，《皇帝的新装》AB两套教案存在不尽完美的地方。

方案A的教学目标之一是“培养学生联想和想象的能力，了解本文语言描写的精妙，深刻把握作品深刻的思想意义”。第一课时，通过朗读和放录音让学生整体感知课文内容，然后学生讨论、交流，理清文章线索，得出结论“爱――织――看――穿――揭――议”。之后，分角色朗读，“读出各个人物不同的性格特征(旁白一人，皇上一人，老大臣一人，诚实的官员一人，小孩一人，其余所有角色一人)”第二课时的设计之一，是通过“品味文章重点词语或语段”，来理解文章主题：“本文通过一个昏庸而又穷奢极欲的皇帝上当受骗的故事，揭露和讽刺了皇帝和大臣们的虚伪、愚蠢和自欺欺人的丑行。”该教学设计从多方面体现了新的教学理念，但在解读这篇童话的主题方面则因童话文体知识的运用不足而分析不够深入。设计者只是从理清故事线索，品味词语或语段的角度来感悟童话的主题，缺乏结合童话文体特征的具体深入的分析引导，因此对这篇童话的内涵解读不够深入。

方案B也存在类似问题。方案B的教学目标之一是“感知课文情节，进而培养学生的想象力，领会童话深刻的内涵，培养学生敢于说真话的品格”。第一课时，通过朗读和复述课文(“要求抓住重点情节、重点人物的重点语言复述，并注意模仿人物说话语气”)，理清故事情节。第二课时，四人小组合作探究问题(“故事的主人公是谁?故事中的皇帝是一个什么样的皇帝?你怎样理解故事的内涵?故事有什么教育意义和现实意义?”)，小组代表发言，教师总结：(预期结果)“故事的主人公是皇帝，这是一个愚蠢、虚伪、自欺欺人、极端奢侈、不务正业的皇帝。故事揭露和讽刺了皇帝和大臣们的愚蠢、虚伪、自欺欺人，批判了说假话的世风。故事中由一个小孩戳穿了骗局，揭示了真相，意在教育我们要保持烂漫的童心，无私无畏，敢于说真话”。然后，教师依次出示问题，学生思考，自由发言。最后小结学生发言，布置作业。该教学设计充分体现了合作探究学习的教学理念，但在如何解读这篇童话的主题方面也因童话文体知识的运用不足而分析欠佳。设计者让学生通过朗读和复述课文来理清故事情节，进而领会童话的内涵。这一设计同样欠缺结合童话文体特征的具体详实的“导学”，难以让学生自己探究到文本的深刻内涵。

中小学语文教材所涉及的儿童文学体裁除了童话以外，还有儿歌、儿童诗、寓言、儿童故事、儿童小说、儿童散文。尽管儿童文学的这些体裁与民间文学有着不可分割的血缘关系，有的甚至是借鉴成人文学的体裁分化过渡而形成，但儿童文学体裁却有着自己的独立性和独特性。因此在教学活动中，语文教师应该具备必要的儿童文学文体知识，只有这样才能通过对相关教材的恰当处理，准确把握不同体裁的儿童文学作品的整体脉络、内在底蕴和精神实质，根据学生(儿童)的年龄特征因材施教，充分发挥儿童文学的审美愉悦功能，引导学生主动去感受、发现儿童文学作品中的有趣之处，“从中获得对自然、社会、人生的有益启示”。

郑轶彦，重庆教育学院中文系讲师，主要从事高师儿童文学教育研究及教学。

第五篇：高中数学教学论文 例谈向量法解几何题的优越性

例谈向量法解几何题的优越性

【文章摘要】本文着重通过例子说明应用向量法解答一些几何题的优越性。向量法解几何题 可减少“确定角的位置”、“确定距离的位置”的论证过程，减少立体几何问题的论证、探求的难度。我们在教学中可引导学生创新出更多更好的思维和方法，提高学生的分析能力和创新能力。

【关键词】“向量法”、“几何问题”、“求角”、“求距离”。

【正文内容】

向量是新教材新增加的内容，高中阶段学的向量有平面向量和空间向量两部分，其中空间向量是平面向量的推广和拓展。有了向量，在数学，尤其是几何中的研究产生了较大的影响。向量作为一种工具，在一定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。在研究解析几何、立体几何的问题中，向量，特别是向量的坐标表示，有独特的优越性。下面通过几个例子谈谈用向量来解决一些几何问题的优越性。

一、用向量进行证明

例1 证明：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。已知：m,n是平面内的两条相交直线,直线与的交点为B,且⊥m, ⊥n，求证: ⊥方法一(几何方法)分析:在内平移m,n,使它们都通过点B

.此时仍有⊥m, ⊥n, 过B点在内作任一条不与m,n重合的直线g,在上自点B起在平面的两侧分别截取BA=BA′,于是m,n都是线段AA′的垂直平分线,它们上面的点到A,A′的距离相等,如果我们能证明g也是AA′的垂直平分线即可。在g上任取一点E,过点E在线,分别与m,n相交于点D,C, 容易证明△CDA≌△CDA′

进而又可证明△CEA≌△CEA′ 于是EA=EA′，g⊥ 方法二(用向量)

内作不通过点B的直 1 证明:在内作不与m,n重合的任一条直线g ,在,m,n,g上取非零向量，， 因m与n相交，得使，向量不共线，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y）, ∵∴ ∴l ∴g ∴l

方法二与方法一相比较, 方法二显得精练,简洁些,又不用作太多辅助线.二、用向量求距离

例2 如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为60º。求AC1的长。

解：∵

∴ =(2=2)2 =

=1+1+1+2cos60º+2cos60º+2cos60º =6 ∴∴AC1的长为.三、用向量求角

用向量不仅可以求两向量夹角还可以求两异面直线所成角，线面所成的角，二面角，特别用向量求二面角更显示其优越性。值得注意的是：用cos<成角时，要注意异面直线所成角的范围（0º，90º）即当cos

>＝，求两异面直线所< 0时，异面直线a,b所成角是的补角。当然向量也可求直线与平面所成角等。这时也要注意，斜线与平面所成角范围（0º，90º），直线与平面所成角范围[0º，90º]。

求二面角平面角是高中阶段的一个难点,求此角的关键在于找出哪个角为所求,而用向量方法刚好可以避免找哪个角为所求角这一个关键.例3 如图所示,三棱锥A-BCD,AB大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz, ∵AB=BC=2BD,设BD=1 则AB=BC=2,DC= ,0),D(0,0,0)

若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,设平面ABC的法向量为则

取平面ABC的法向量设平面ACD的法向量为则

取法向量 , cos<>= ，.四、用向量解解析几何问题

例4 椭圆 的焦点为 F1、F2，点 P为动点，当∠F1PF2为钝角时，点 P 的横坐标的取值范围是。（2000年高考题）解：由椭圆方程知焦点F1（则），F2（），设点 P（x 0，y 0），∵ ∠F1PF2为钝角，∴cos∠F1PF2 = 即 ∴(x 0 +)(x 0，)+ y 02 < 0 即 x 02 + y 02 < 5 „„①

又 P(x 0，y 0)在椭圆上，∴ 即y02 = 4x 02 代入① 得： x 02 + 4x 02 < 5 所以 x 02 <，所以

即点 P的横坐标的取值范围是。

如果用常规的方法，用两点间距离公式才能将坐标与边长，用余弦定理将边长与角联系起来；但采取向量的方法可以大大减少繁琐的计算，使得解答过程简单明了。

当然，用向量解决以上问题并不是唯一的方法，但它是解决以上问题的一种有力工具。向量在高中数学中的优越性并不止这些，在此不一一列举了。掌握用向量方法解决问题，不仅可以达到问题解决的目的。还可以在解题过程中感受到成功的喜悦，何乐而不为呢？总之在解决问题的时候，要注意多角度考虑，应因时、因地制宜。这样做了，还会创新出更多更好的思路和方法。我们在教学中应注意引导学生加强知识之间的联系，提高学生的分析能力和创新意识。