高二数学《2.2 直接证明与间接证明》练习题(新课标人教版 选修2-2)

第一篇：高二数学《2.2 直接证明与间接证明》练习题(新课标人教版 选修2-2)

直接证明与间接证明练习卷

一、填空题

1．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是_______

A．将结论与条件同时否定，推出矛盾；B．肯定条件，否定结论，推出矛盾；

C．将被否定的结论当条件，经过推理得出结论只与原题条件矛盾，才是反证支的正确运用

D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件

2．用反证法证明“如果ab，则a3b3”假设的内容是______________。

l也不在平面内，3．已知，是两个平面，直线l不在平面内，设①l；②l∥；

③．若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为_________。

4．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60，用反证法证明时的假设为“三角形的”．

5．当a0，b0时，①(ab)

③

2ab

ab≥1a122≥4；②ab2≥2a2b；

b4个不等式恒成立的是．（填序

号）

61

1，即证7511

1

3511，原不等式成立．

以上证明应用了________(A．分析法B．综合法C．分析法与综合法配合使用D．间接证法)

7．若关于x的不等式

(k2k2

32)(k2kx23

2)1x的解集为(,)，则k的范围是____.2y18． 已知a,b是不相等的正数，x，则x,y的大小关系是_________.ca9． 若a,b,cR,则a2b2c2abb.10．.将a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(ba0),则其浓度为;若再加入m千克的白糖(m0),糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式:.二、解答题

11.已知a,b,cR，abc1，求证：1a1b1c9

12．求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2

13．已知a，b，c(0，1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于

14．求证：以过抛物线y22px(p0)焦点的弦为直径的圆必与x证）

15.已知x,y0,且xy2.试证:

1x1y,yx14． p2相切（用分析法中至少有一个小于2.

第二篇：2.2直接证明与间接证明(学生学案)

SCH数学题库（学生学案）班级座号姓名请到QQ群208434765或高二数学备课组百度文库下载答案

例

2.2直接证明与间接证明（学生学案）（1）2.2.1综合法和分析法（1）--综合法

1（课本P36例）：已知a,b>0,求证

2a(b

c)

b(2c)a4abc

布置作业：

A组：

1、若a0,b0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的个数是____（个）（写出所有正确的情况）

例2（课本P37例3）：在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数111111

②1③ab2④2

ab2abab282、（课本P44习题2.2A组：NO：1）已知A,B都是锐

①

列,求证△ABC为等边三角形.例3：已知a,bR,求证aabbabba

.例

4、若实数x1，求证：

3(1x2x4)(1xx2)2.例5．设函数f(x)对任意x，yR，f(xy)f()x，且f(yx0时，f(x)0．（1）证明f(x)为奇函数；

（2）证明f(x)在R上为减函数．

角，且AB

,(1tanA)(1tanB)2,，求证：AB



.3、（课本P44习题2.2 A组：NO：2）

4、在△ABC中，已知(abc)(abc)3a，b且2cosAsiBnsCi．判断n△ABC的形状． 都有

第三篇：2．2 直接证明与间接证明 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1．知识与技能

（1）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．（2）了解综合法和分析法的思维过程和特点． 2.过程与方法

（1）通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．

3.情感、态度及价值观

通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

2.教学重点/难点

重点：综合法和分析法的思维过程及特点。难点：综合法和分析法的应用。

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

1．和

是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．

2．综合法是从

出发，经过

，最后达到待证结论．

3．分析法是从

出发，一步一步寻求结论成立的________，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实.答案：综合法分析法 已知条件 逐步的推理 待证结论 充分条件

【复习引入】

【师】证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识。合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明。今天我们先学习直接证明。

新知探究

一、综合法

1、引例探究

证明下列问题：已知a,b>0,求证： 问题1：其左右两边的结构有什么特点？

【生】右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.问题2：利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？ 【生】基本不等式 问题3：步骤上应该怎么处理？ 【解答过程】 证明 因为：所以因为所以因此

问题4：讨论上述证明形式有什么特点？

【生】充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法的特点

2、形成概念

1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.2.思维特点：由因导果，即由知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)

3、应用举例

例1在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列, a, b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.【问题启发】

1、本题中涉及到哪几块知识？

2、从这些已知条件，可以得到什么结论？

3、怎样把它们转化为三角形中边角关系？

【分析】本题注意三个问题：首先将文字语言转化为符号语言；同时注意边角关系的转化；同时注意挖掘题中的隐含条件（内角和为）【规范解答】

证明：由 A,B, C成等差数列，有 2B=A + C ．

因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=

．

由①②，得B=.由a, b，c成等比数列，有由余弦定理及③，可得

.再由④，得，因此...从而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=

所以△ABC为等边三角形． 【小结】综合法的证明步骤如下：

(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；

(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．

二、分析法

1、引例探究 证明下列问题：求证:

问题1：讨论：能用综合法证明吗？ 【生】不好处理

问题2：如果从结论出发，是否能寻找结论成立的充分条件？ 【生】可以

问题3：步骤上应该怎么处理？ 【解答过程】 证明：因为所以要证只需证展开得 只需证 只需证因为 显然成立

都是正数，所以

问题4：讨论上述证明形式有什么特点？

【生】（让充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法的特点。）

【师】在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。此时我们就可采用分析法。

2、形成概念

1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法。

2.思维特点：执果索因,步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。

3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,Pn表示充分条件)

4.分析法的书写格式：

3、应用举例 例2在锐角【问题启发】

1、有直接可以化简的公式吗？ 中,求证:

2、可以运用什么思想处理正切？（切弦互化）

3、最终可以用哪个公式来处理此题？

【分析】本题中如果只站在切的角度很难处理，所以我们用到了切化弦，毕竟弦的公式涉及的也多一些，我们平常也跟熟悉一些。然后运用分析法结合我们所需要证的目标来达成。【规范解答】 证明:要证明只需证

为钝角

恒成立

因为A、B为锐角,所以只需证只需证因为C为锐角,所以所以【小结】分析法要注意怎样处理好书写的格式，一般是从结论入手“要证—只需证—而某某结论显然成立”这种格式。

三、综合法与分析法的综合应用

【师】问题1：请同学们总结一下综合法的特点？ 【生】

1、综合法证明是证明题中常用的方法。从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论。

2、综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来。

3、综合法可用于证明与函数、三角、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题。

【师】问题2：请同学们总结一下分析法的特点？ 【生】

1、分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知p1p2，直到所有的已知P都成立；

2、分析证明题时要同样注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等。

3、分析法也常用于证明与函数、三角、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题

【师】问题3：请同学们思考如果既要对一个题目做到既要好分析，又要好写步骤应该怎样处理？ 【生】比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（可以用在草纸用分析法，在卷面上用综合法）例3.已知

【小结】 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：

课堂小结

1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.课后习题 1．下列表述：

①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的语句有

()A．2个

B．3个C．4个

D．5个

板书

第四篇：2.2直接证明与间接证明学案(含答案)

§2.2直接证明与间接证明学案

审核签名：编制：编制时间： 3月4日 完成所需时间： 40分钟班级姓名第小组 一．自主测试

1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的条件.2.若a＞b＞0,则a+b+

b

11a

.(用“＞”,“＜”,“=”填空)

3.要证明

3+

7＜

25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号）.③综合法

2①反证法②分析法

4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是.①假设a、b、c都是偶数

②假设a、b、c都不是偶数 ③假设a、b、c至多有一个偶数 ④假设a、b、c至多有两个偶数

5.设a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR＞0”是“P、Q、R同时大于零”的条件.二．典例分析

例1（1）设a,b,c＞0,证明：

a

2b



b

2c



c

a

≥a+b+c.abc

（2）已知a,b,c为互不相等的非负数.求证：a2+b2+c2＞

例2（1

1xy

1yx

（a

+

b

+

c)

（2）已知a＞0,求证：

a



1a

≥a+

1a

-2.例3 若x,y都是正实数，且x+y＞2, 求证：

＜2与＜2中至少有一个成立.三．巩固练习

1.用反证法证明“如果a＞b,那么a

＞b”假设内容应是2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=loga

cb,q=log

c

12

，则p,q的大小关系



a

b

是.3.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序号是.①（a*b）*a=a②［a*(b*a)］*(a*b)=a ③b*(b*b)=b

④(a*b)*［b*(a*b)］=b

4.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）5.已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正确命题的序号是.6.对于任意实数a,b定义运算a*b=（a+1）(b+1)-1,给出以下结论： ①对于任意实数a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);

②对于任意实数a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是.（写出你认为正确的结论的所有序号）

7.（教材）在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a, b, c且A,B,C成等差数列，a, b, c成等比数列，求证△ABC为等边三角形。

8.（教材）已知1tan3sin24cos22tan

1,求证

9.已知a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于

14.参考答案

一，自主测试

1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的条件.答案充分

2.若a＞b＞0,则a+b+

b1

1a

.(用“＞”,“＜”,“=”填空)

答案＞ 3.要证明

+

7＜

2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号）.③综合法

①反证法答案②

②分析法

4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是.①假设a、b、c都是偶数 ②假设a、b、c都不是偶数 ③假设a、b、c至多有一个偶数 ④假设a、b、c至多有两个偶数 答案②

5.设a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR＞0”是“P、Q、R同时大于零”的条件.答案充要 二．典例分析

例1设a,b,c＞0,证明：

a

b



b

c



c

a

≥a+b+c.证明∵a,b,c＞0，根据基本不等式，有

a

b

+b≥2a,a

b

c

+c≥2b,b

c

a

+a≥2c.三式相加：即

a

bc

+

c

+

c

a

+a+b+c≥2(a+b+c).b

+

b

c

+

a

≥a+b+c.变.已知a,b,c为互不相等的非负数.求证：a+b+c＞

abc

（a

+

+

c).证明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又∵a,b,c为互不相等的非负数，∴上面三个式子中都不能取“=”，22

2∴a+b+c＞ab+bc+ac, ∵ab+bc≥2ab+ac≥2

abc,bc+ac≥2

abc,abc,又a,b,c为互不相等的非负数，∴ab+bc+ac＞∴a2+b2+c2＞

abc

（a

a

+

b

b

+

c

c),abc

(++).例2（1）略（2）已知a＞0,求证： 证明要证只要证

a

a



1a

≥a+

1a

-2.a1a



1a

1a

≥a++

1a

-2,2分



+2≥a+.

∵a＞0,故只要证



a



1a

2



≥（a+

1a

+）,6分

即a2+

1a

+

4a



1a

+4

≥a2+2+

a

+2

1

2a+2,aa

1a

8分 10分

从而只要证2

只要证4a



1a

≥

1

2a,a





112

≥2（a+2+22aa）,即a+

≥2,而该不等式显然成立，14分

故原不等式成立.例3若x,y都是正实数，且x+y＞2, 求证：

1xy

＜2与

1xy

1yx

＜2中至少有一个成立.1yx

证明假设则有

1xy

＜2和

1yx

＜2都不成立，≥2和≥2同时成立，因为x＞0且y＞0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，这与已知条件x+y＞2相矛盾，因此

一、填空题

1.（2008·南通模拟）用反证法证明“如果a＞b,那么答案a

a

1xy

＜2与

1yx

＜2中至少有一个成立.＞b”假设内容应是=b或a

＜b

2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc是.答案p＜q

a

b

2,q=logc



1a

b，则p,q的大小关系

3.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序号是.①（a*b）*a=a②［a*(b*a)］*(a*b)=a ③b*(b*b)=b 答案②③④

4.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）答案锐角钝角

5.已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正确命题的序号是

.④(a*b)*［b*(a*b)］=b

答案①

6.对于任意实数a,b定义运算a*b=（a+1）(b+1)-1,给出以下结论： ①对于任意实数a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②对于任意实数a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是.（写出你认为正确的结论的所有序号）答案②③

二、解答题 7.略，8略

9.已知a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.41证明方法一假设三式同时大于，即(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞,111

∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞

164

.1aa

又(1-a)a≤

2

=,同理（1-b）b≤,(1-c)c≤,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤

164,这与假设矛盾，故原命题正确.方法二假设三式同时大于，41

∵0＜a＜1,∴1-a＞0,(1a)b

≥

(1a)b

＞

=,同理

(1b)c

＞,232

(1c)a

＞,三式相加得＞,这是矛盾的，故假设错误，∴原命题正确.

第五篇：2.2 直接证明与间接证明 教学设计 教案（定稿）

教学准备

1.教学目标

一．知识与技能目标

（1）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．（2）了解综合法和分析法的思维过程和特点． 二．过程与方法目标

（1）通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．

三．情感、态度及价值观

通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

2.教学重点/难点

教学重点：综合法和分析法的思维过程及特点。教学难点：综合法和分析法的应用。

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

一、复习引入

【师】证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识。合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明。今天我们先学习直接证明。

二、新知探究

（一）知识点一:综合法

1、引例探究

证明下列问题：已知a,b>0,求证：问题1：其左右两边的结构有什么特点？

【生】右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.问题2：利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？ 【生】基本不等式问题3：步骤上应该怎么处理？ 【解答过程】

问题4：讨论上述证明形式有什么特点？

【生】充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法的特点

2、形成概念