三角函数的求值、化简与证明(教案)（5篇范例）

第一篇：三角函数的求值、化简与证明(教案)

高一（1）部数学备课小组2013年6月4日

三角函数的求值、化简与证明

教学目标

1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正

确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值；

2、培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。

教学重点

掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。教学难点

能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值

教学过程

一、知识归纳

1、两角和与差公式：

sinsincoscossin coscoscossinsin，tantantan 1tantan

2tan 1ta2n2

2、二倍角公式：sin22sincos，tan

cos2cos2sin22cos2112sin2

1sin2

21cos21cos222sin，cos 22公式变形：sincos

3、三角函数式化简的一般要求：

①函数名称尽可能少，②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值

④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数

4、求值问题的基本类型及方法：

(1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的关系。

（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键

在于变角，使其角相同。

（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。

5、证明三角恒等式的思路和方法：

①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。

②证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用

单位圆三角函数线及判别法等。

二、典例分析：

题型一：三角函数式的化简

2222例1：化简 ： sinsincoscos1cos2cos2

2分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。

解略。

演练反馈：

xx 44

解：原式

=x 12

2sin2cos22．（全国卷2）（B）1cos2cos2

1A.tanB.tan2C.1D.2

题型二：三角函数式的求值

例2

（金版教程例2p144）

解：原式

3，是第二象限角，且tan()1，则tan的值是（）

533A.-7B.7C.D.44 例3：已知sin

演练反馈：

1．tan15cot15（C）

A.2

B.2C.4D.cot20cos10tan702cos40443.y=cosxsinx的最小正周期（）2.3.已知sin2cos2=a,则cos4=

（4.已知3sin2a4）ABABcos22，osAcos0B）求tanAtanB的值。（c22

1解： 2

5．设cos(

12)，sin(),且29232

239 729，0，求 2()cos解：

6.已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1,则

cos(AB)

（）。

27．若sinAB，且A,B均为钝角，求A+B的值。

解：A+B= 7

48.已知cos()0,tan0,则下列不等式关系式中必定成立的是：（c）2

A、tancos B、tancos C、sincos D、sincos 2222222229、A、B、C是ΔABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x5x10的两个实数根，则ΔABC是（钝角三角形）

题型三：三角函数式的证明

例4：证明

证明略

演练反馈： 1cosxsinx sinx1cosx

1cosxcos

求证: xsinx 1cosxsinxsin

2三、小结

1.三角函数的化简、求值、证明的基本思路是：一角二名三结构，即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；再次观察代数式的结构特点.2.(1)三角函数的化简、求值、证明的基本解题规律：观察差异(或角，或函数，或运算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因),实现转化.(2)三角函数求值问题一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解.在解题中，特殊角的三角函数值一般情况下可先求出，同时要注意观察各角之间的和、差是否构成特殊角，以便化繁为简，从而使求值(或证明)问题化难为易.3.常见三角函数式的求值问题的四种类型：

(1)不含特殊角的三角函数式的求值；

(2)含特殊角的三角函数式的求值；

(3)给出某些角的三角函数的值，求与该角有关的三角函数式的值；

(4)给出三角函数式的值求角.解法：(1)发现、挖掘角的某种特殊关系；(2)灵活运用三角公式中切与弦、和与差、倍与半、升幂与降次的转换方法；(3)关键在于“变角”(角的配凑)；(4)先解所求角的三角函数，再确定角的取值.

第二篇：高中数学三角函数的证明与求值练习题及答案

第五单元三角函数的证明与求值

一.选择题

(1)若为第三象限，则A．3(2)以cossin

2

2sincos

2的值为（）

D．－1 能成B．－

3下

各

C．1 式

中立的是

（）

A．sincos

B．cos

且tan2 C．sin

132且tan3D．tan2且cot

(3)sin7°cos37°－sin83°cos53°值A．

B．132 C．2 D．－2

(4)若函数f(x)=sin12x, x∈[0, 

3], 则函数f(x)的最大值是(A 12B 2

C 22D 2

(5)条件甲sina，条件乙sin

cos



a，那么（A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的充要条件

C．甲是乙的必要不充分条件

D．甲是乙的既不充分也不必要条件

(6)、为锐角a=sin()，b=sincos，则a、b之间关系为（）A．a＞bB．b＞a C．a=bD．不确定(7)(1+tan25°)(1+tan20°)的()

A-2B2C1D-1(8)为第二象限的角，（）A．tan

2＞cot



2B．tan

＜cot

C．sin







＞cos



D．sin

＜cos

(9)在△ABC中，sinA=45，cosB=1213，则cosC等于A．5665B．1656

163365 C．6

5或65 D．65

(10)若a>b>1, P=algb, Q=

12(lga+lgb)，R=lg ab

2, 则（A．R

二.填空题

(11)若tan=2，则2sin2－3sincos

（）

值

则必（）））

是有

1）

(12)若sin－cos7，∈（0，π），则tan。(13)sincos，则cossin范围。(14)下列命题正确的有_________。

①若－2＜＜＜2，则范围为（－π，π）；②若在第一象限，则2

在一、三象限； ③若sin=m342m3m5，cosm5，则m∈（3，9）；④sin2=5，cos

42=

5，则在一象限。

三.解答题

(15)已知sin(＋)=－35，cos()=1213，且

＜＜＜34，求sin2.(16)（已知42a)1

242a)4,a(4,2),求2sinatanacota1的值.(17)在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tgA的值和△ABC的面积.(18)设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β.(Ⅰ)求α的取值范围;(Ⅱ)求tan(α+β)的值.参考答案

一选择题:1.B

[解析]：∵为第三象限，∴sin0,cos0

则

cos2sin

sin2



coscos2

|cos|2sin

|sin|12

32.C

[解析]： 若sin

12且tan3则2k



6(kZ)

3.A

[解析]：sin7°cos37°－sin83°cos53°= sin7°cos37°－cos7°sin37°

=sin(7°-37°)

4.D

[解析]：函数f(x)=sin12x, ∵x∈[0, 1

13],∴2x∈[0, 6

],∴sin2x

25.D

[解析]：sin(sin





2cos2)2|sin2cos2

|, 故选D

6.B

[解析]：∵、为锐角∴0sin1,0cos

1又sin()=sincoscossin

∴ab

7.B

[解析]：(1+tan25°)(1+tan20°)=1+tan250tan200tan250tan200

1tan(250200)(1tan250tan200)tan250tan20011tan250tan200tan250



28.A

[解析]：∵为第二象限的角

∴

2角的终边在如图区域内∴tan

2＞cot2

9.A

[解析]：∵ cosB=

3，∴B是钝角，∴C就是锐角，即cosC>0，故选A 10.B

[解析]：∵a>b>1,∴lga>0,lgb>0,且lgalgb

∴lgalgb<

lgalgb1ab

22lg(ab)lgablg

故选B 二填空题:11．

[解析]：2sin2

－3sincos=2sin23sincos2sin2cos2tan23tan

tan2

1

12．

43或3

[解析]： ∵sin－cos75>1，且∈（0，π）∴∈（，π）∴(sin－cos)2

(75)2∴2sincos=242

5∴sin+cos1

∴sin=433

45cos=5或sin=5cos=5

tan=43

3或4

13．



12,1

2[解析]：∵sincoscossin=sin()∴cossin=sin()1

∴



312cossin2

又sincoscossin=sin()

∴cossin=1

sin()∴13

2cossin2

故11

2cossin2

14．②④

[解析]：∵若－

2＜＜＜，则范围为（－π，0）∴①错 ∵若sin=m342m5，cosm

m5，则m∈（3，9）

又由sin2cos2

1得m=0或 m=8

∴m=8 故③错

三解答题:(15)解:∵



＜＜＜34∴32,04

∵sin(＋)=－35，cos()=124

513∴cos(＋)=5

sin()=13

∴sin2sin[()()]=

.(16)解: 由sin（

42a)42a)= 42a)42a)=1224a)12cos4a14, 得cos4a12.又a(5

4,2),所以a12

.于是

2sin2

tancot1cos2sin2cos22cos2

sincoscos2

sin2

==(cos55

362cot6)=(22)52(17)解：∵sinA+cosA=2cos(A－45°)=2，∴cos(A－45°)= 1

.又0°

11=－2－3.∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

24

.∴S1263ABC=2AC²AbsinA=1

2·2²3²4=4(2+6).(18)解:(Ⅰ)∵sinx+3cosx=2(13

2sinx+2cosx)=2 sin(x+3),∴方程化为sin(x+)=-a2.∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解,∴sin(x+33)≠sin

3=2

.又sin(x+

)≠±1(∵当等于2和±1时仅有一解),∴|-a2|<1.且-a

≠2.即|a|<2 且a≠-3.∴a的取值范围是(-2,-)∪(-3, 2).)∵α、β是方程的相异解,∴sinα+cosα+a=0①.sinβ+3cosβ+a=0②.①-②得(sinα-sinβ)+(cosα-cosβ)=0.∴ 2sin

cos



-23sin





sin

2

=0, 又sin



≠0,∴tan



=

.2tan



∴tan(α+β)=

2tan

2

=.(Ⅱ

第三篇：七年级 整式的化简求值 教案

整式的化简求值

一、教学目标及教材重难点分析

（一）教学目标

1、了解代数式，单项式，单项式的系数、次数，多项式，多项式的项、次数，整式的概念

2、了解同类项、合并同类项定义；知道如何合并同类项；

3、通过获得合并同类项的知识体验，理解合并同类项的法则。

（二）教学重难点

1、单项式的系数、次数，多项式的系数、次数

2、理解合并同类项法则，知道如何合并同类项

（三）教具

多媒体教学

二、教学过程

（一）课前预习与准备

提前十分钟进教室，准备教具和课件

（二）探究活动

1.观察：30a、9b、2ab+2bc+2ac、abc…我们把这些式子都称为代数式（1）引入代数式定义：像n、-2、sm、0.8a、、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac 5a等式子都是代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。

（2）议一议

①薯片每袋a 元，9折优惠，虾条每袋b 元8折优惠，两种食品各买一袋共需几元？ ②一个长方形的宽是a m，长是宽的2倍，这个长方形的长是多少？面积是多少？（3）让学生先观察：30a、9b …你发现了什么？它们有什么公同的特征？

（引导学生说出它们都是字母与数相乘）

21）引入单项式定义：像0.9a，0.8b，2a，2a，15×1.5%m等都是数与字母的积，这样的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。3）单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数。（4）观察2ab+2bc +2ac，n – 2…（引入多项式）

1）几个单项式的和叫做多项式。其中的每个单项式叫做多项式的一个项。2）次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。

2.问题：星期天，小明上街买了4个苹果，8个橘子，7个香蕉。妈妈不知道小明已经买了水果，于是，下班后妈妈从街上又买来5个苹果，10个橘子，6个香蕉，问：小明家苹果，橘子，香蕉分别买了多少个？ 生：4个苹果 + 5个苹果 = 9个苹果 8个橘子 + 10个橘子 = 18个橘子 7个香蕉 + 6个香蕉 = 13个香蕉 师：①你们是根据什么来求和的？（引导学生说出苹果是一类，橘子是一类，香蕉是一类）

②能将它们加在一起吗？为什么？（不同类不能加在一起）

（1）引入同类项定义

①字母相同；②相同字母的指数分别相同；（2）合并同类项

①根据乘法对于加法的分配律；②将同类项合并成一项；

（3）合并同类项法则

①首先分别找到同类项；②将同类项的系数相加（注意符号）的和作为系数；③字母和字母的指数不变；④计算过程中没有同类项的项照写作为和的一项。

（4）去括号法则

① 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号都不变。② 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号都改变。3 题型一整式的概念

讲解例

1、例2 4 题型二整式的加减

讲解例4 5 题型二整式的化简求值

讲解例7

（三）归纳小结及知识的链接与拓展

1、归纳小结：

（1）整式的概念，整式的加减以及整式的化简求值

（2）求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项，再代入数值进行计算。

2、知识的链接与拓展 练习例3、5、6、8、9

第四篇：2012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)1049三角函数的化简、求值与证明

2012高考数学第一轮总复习100讲

g3.1049 三角函数的化简、求值与证明

一、知识回顾

1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如(),2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二、基本训练

51、已知是第三象限角，且sin4cos4，那么sin2等于（）9A

B、C、D、 332、函数ysin2x2x的最小正周期（）A、2B、C、3D、4

3、tan70cos10201)等于（）

A、1B、2C、－1D、－

24m6(m4)，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿。

4、已知sin4m15、设0,sincos，则cos2＝＿＿＿＿＿。

2三、例题分析

12cos4x2cos2x.例

1、化简：

2tan(x)sin2(x)4

43177sin2x2sin2xx例

2、设cos(x),，求的值。451241tanx

sin(2)sin2cos().例

3、求证：sinsin



11例

4、已知sin()cos[sin(2)cos],0，求的值。2

2例

5、（05北京卷）已知tan=2，求

26sincos（I）tan()的值；（II）的值． 43sin2cos

例

6、（05全国卷Ⅲ）

已知函数f(x)2sin2xsin2x,x[0,2].求使f(x)为正值的x的集合.例

7、(05浙江卷)已知函数f(x)＝－sinx＋sinxcosx．

(Ⅰ)求f(225

1)的值；(Ⅱ)设∈(0，)，f()＝－，求sin的值． 246

2四、作业同步练习g3.1049 三角函数的化简、求值与证明

1

1、已知sin()，则cos()的值等于（）43

411 A

B、C、D、 33

2、已知tan、tan

是方程x240的两根，且、(,)，则等于（）2

2222 A、B、C、或D、或 33333

33cosxx3、化简(1sinx)[2tan()]为（）422cos2()

42A、sinxB、cosxC、tanxD、cotx

2sin2cos2

4、（全国卷Ⅲ）1cos2cos2

(A)tan(B)tan2(C)1(D)1

22sin(x),1x05、（山东卷）函数f(x)x1，若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为（）e,x0

（A）1（B）1,222（C）（D）1, 22

2sin3a13，则tan 2a =______________.sina56、（全国卷Ⅱ）设a为第四象限的角，若

7、（北京卷）已知tan

4=2，则tanα，tan()3

42

8、已知tan()3，则sin22cos2的值为＿＿＿＿＿＿＿。

49、已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)＝＿＿.10、求证：

sin22sin2k()，试用k表示sincos的值。

11、已知1tan

4212、求值：

13、已知tantan，求(2cos2)(2cos2)的值。

3答案： 1sin12sin21tan1tan2.2基本训练、1、A2、B3、D4、[－1，7]

5、3128例题、例

1、cos2x例

2、例

3、略例4、27

52例

5、解：（I）∵ tan224;=2, ∴ tan14231tan

241tantan1tan1=所以tan()； 41tantan1tan17

432tan

46()146sincos6tan17（II）由(I), tanα=－, 所以==.433sin2cos3tan23()26

例

6、解：∵f(x)1cos2xsin2x„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

1x)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 4

f(x)02sinx

4)s0in(x24)„„„„6分 2

42k2x

452k„„„„„„„„„„8分

43k„„„„„„„„„„„„„„„„10分 4

37又x[0,2].∴x(0,)(,)„„„„„„„„„12分 44

例

7、解：(Ⅰ)sin251,cos25

f(25)225sin25cos250 kx6266666(Ⅱ)f(x)12x

sin2x

211f()sin22416sin24sin110解得sin

15 813 8(0,)sin0sina

作业、1—

5、DBBBB6、13、34317、-

8、9、

10、略1

112、 5742

第五篇：专题：三角函数的化简及三角恒等式的证明问题

专题：三角函数的化简及三角恒等式的证明问题

1.三角函数的化简问题：解题思路在于仔

细观察待化简式子的特点（根式、分式、或者可以化为分式的整式）通过去根典型题例——三角恒等式的证明

1.证明8coscos44cos23 2.已知sin是sin、cos的等差中

号、分子分母消去非特殊角三角函数值的方法，进行化简。

2.三角恒等式证明问题：证明三角恒等式的基本思路，是仔细观察等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简的原则，运用左右归

一、变更命题的方法，使等式两端异名化为同名（切割化弦、正余弦互化），异角化为同角（例如将倍角2、半角

、统一到下），异次化为同次（通过2倍角的余弦公式的逆用及变形用进行升降次）典型题例——化简

1.化简cos100cos100等

于：

A.2cos5

B.2sin5

C.2cos5

D.2sin5

2.化简2sin822cos8 3.若

3

2，化简

12112212

c2o s4.化简

sinsin1sin

1sin

（其中为锐角）

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项，sin是sin、cos的等比中项，求

证

：

c22c

(

)2oc

2s so

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