等差数列(二)学生（五篇范例）

第一篇：等差数列(二)学生

2.1 等差数列(二)

1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()．

A．4B．5C．6D．7

2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于()．

A．40B．42C．43D．45

3．在等差数列{an}中，a3，a9是方程2x2－x－7＝0的两根，则a6等于()． 1177B.C．－D．－2424

4．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.5．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为________．

6．在等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；

(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.7．在等差数列{an}中，a2＋a8＝16，a4＝1，则a6的值为()．

A．15B．17C．36D．64

8．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为()．

A．an＝2n－5B．an＝2n－3C．an＝2n－1D．an＝2n＋1

9．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，则x的值为________．

10．已知{an}是公差为－2的等差数列，若a3＋a6＋a9＋…＋a99＝－82，则a1＋a4＋a7＋…＋a97等于________．

11．已知等差数列{an}，a1＝a，公差d＝1，若bn＝an2－an＋12(n∈N＋)，试判断数列{bn}是否为等差数列？并证明你的结论．

12．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，λ是常数．

(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；

(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．

第二篇：等差数列一(学生)

等差数列

（一）一、选择题

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＋a7＝18，则S9的值是()

A．64B．72C．54D．以上都不对

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于()

A．18B．36C．54D．72

3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m>1，am－1＋am＋1－am2－1＝0，S2m－1＝39，则m等于()

A．10B．19C．20D．39

4．等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，…)，若当首项a1和公差d变化时，a5＋a8＋a11是一个定值，则下列选项中为定值的是()

A．S17B．S18C．S15D．S14

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()

A．6B．7C．8D．9

6．已知在等差数列{an}中，对任意n∈N*，都有an>an＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋m＝0的两根，且前15项的和S15＝m，则数列{an}的公差是()

A．－2或－3B．2或3C．－2D．－3

7．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.8．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是________．

9．设a1，d为实数，首项为a1公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．

三、解答题

10．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．

1(1)求证：数列{是等差数列； an

(2)求数列{an}的通项．

31111．已知数列{an}中，a1an＝2－n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)． 5an－1an－1

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

第三篇：高中数学等差数列教案(二)

课题：3.3 等差数列的前n项和

（二）6161,又∵n∈N*∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.2

2二、例题讲解例1.求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜

即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1, an(a1an)30=59,n=30的等差数列.∵Sn=2,∴S30(159)

30=2=900.答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*} 由3n+2＜100,得n＜322

3,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.由Sn(a1an)n=2,得S33(298)

33=2=1650.答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例3已知数列an,是等差数列，Sn是其前n项和，求证：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差数列；

⑵设Sk,S2kSk,S3kS2k（kN）成等差数列

证明：设an,首项是a1，公差为d

则S6a1a2a3a4a5a6

∵S12S6a7a8a9a10a11a12

(a16d)(a26d)(a36d)(a46d)(a56d)(a66d)(a1a2a3a4a5a6)36dS636d∵S18S12a13a14a15a16a17a18

(a76d)(a86d)(a96d)(a106d)(a116d)(a126d)

(a7a8a9a10a11a12)36d(S12S6)36d∴

S6,S12S6,S18S12是以36d同理可得Sk,S2kSk,S3kS2k是以kd为公差的等差数列.三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.解：根据题意，得S4=24, S5－S2=27

则设等差数列首项为a1,公差为d, 2

4(41)d4a2412则 

(5a5(51)d)(2a2(21)d)271122

a13解之得：∴an=3+2（n－1）=2n+1.d2

2．两个数列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差数列公差分别是d1, d2, 求xx2x7d1与1y1y2y6d2

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝;d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×15＝21,2

y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,∴x1x2x77＝.y1y2y66

3．在等差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和SnSn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,3n(n1)3512512

∴ Sn＝－24n＋＝[(n－)－],36226

∴ 当|n－51|最小时，Sn最小，6

即当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),由an≤0得n≤9且a9＝0,∴当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.四、小结本节课学习了以下内容：an是等差数列，Sn是其前n项和，则Sk,S2kSk,S3kS2k（kN

五、课后作业：

1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n1)×10，2

求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.2．已知非常数等差数列{an}的前n项和Sn满足

10Snm23n2(m1)nmn

解：由题设知

2n2(n∈N, m∈R), 求数列{a5n3}的前n项和.Sn＝lg(m32

即 Sn＝[(m1)n2mn(m1)n2mn)＝lgm＋nlg3＋lg2, 52(m1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55

∵ {an}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式(m1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5

212 ∴ Sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55则 当n=1时，a1＝lg3lg2 5

21当n≥2时,an＝Sn－Sn1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)55

41＝nlg2lg3lg2 55∴

41nlg2lg3lg2 55d=an1an=lg2 5

41a5n3=(5n3)lg2lg3lg2 55

11=4nlg2lg3lg2 5

31数列{a5n3}是以a8=lg3lg2为首项,5d=4lg2为公差的等差数列，∴数列5∴an＝

{a5n3}的前n项和为

n·(lg331211lg2)＋n(n－1)·(4lg2)＝2n2lg2(lg3lg2)n 255

3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.解：设这个数列的首项为a1, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等12a166d35432, 解得d＝5.差数列，由已知得6a230d6a130d27

解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得

S偶S奇354S32,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.偶S27奇

4．两个等差数列，它们的前n项和之比为5n3, 2n1

解：a9a1a17b9b1b1717(a1a17)S8.17'17S173(b1b17)2

5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110 解：在等差数列中，S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10S10＋109·D＝S100＝10, 解得D＝－22 2

∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－110.6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0，(1)求公差d的取

值范围；

(2)指出S1, S2, S3, ……, S121211S12ad01122a111d02解：(1),1312a6d01S1313a1d02

∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得247d024, ∴ －

(2)S13＝13a7<0, ∴ a7<0, 由S12＝6(a6＋a7)>0, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0,S6最大.六、板书设计（略）

七、课后记：

第四篇：等差数列专题(学生版、教师版)

等差数列专题（学生版、教师版）

知识回顾

1．等差数列的判定方法

①定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列．②中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．③通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．④前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．

2．等差数列的性质

①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．

②若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，则am＋an＝ap＋ak，其中am，an，ap，ak是数列中的项．特别地，当m＋n＝2p时，有am＋an＝2ap.③若{an}成等差数列，且Sn为其前n项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．

Sa④项数为偶数2n的等差数列{an}，有S偶S奇nd；奇n.S偶an

1S奇n项数为奇数(2n－1)的等差数列{an}，有S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)；S奇－S偶＝an；＝S偶n－1

⑤在等差数列中，若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0；若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝－(m＋n).3．用函数的观点审视等差数列

(1)等差数列的通项公式可表示为an＝dn＋b(这里b＝a1－d，a1是首项，d为公差)．

d1(2)Snn2d－2a1)n.∴当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是n的二次函数． 2

2典型例题

【例1】在等差数列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；

(2)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；

(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8.答案(1)d=4，a61＝217；(2)a1＝－8，d＝4；（3）a1＝－5，d＝3，a8＝16，S8＝

a12a2nan.12n

求证：(1)若{bn}为等差数列，数列{an}也是等差数列；

(2)若{an}是等差数列，则数列{bn}也是等差数列．

11证明(1)由已知得a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)bn，a1＋2a2＋…＋(n＋1)an＋1n＋1)(n＋2)·bn＋1，22

113∴an＋1＝(n＋2)bn＋1－·b.∴an＋1－an＝(bn＋1－bn)为常数，∴{an}为等差数列． 222

1111(2)由已知得an(n＋1)bn(n－1)·bn－1，an＋1＝(n＋2)·bn＋1－n·b，2222n

32∴an＋1－an＝(bn＋1－bn)为常数，∴bn＋1－bn＝an＋1－an)为常数，∴数列{bn}也为等差数列． 2

3aA7n45【例3】已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，且n，则使得为整数的正整bnBnn38a1＋a844.2【例2】两个数列{an}和{bn}满足bn＝

数n的个数是()

A．2B．3C．4D．

5A2n－12aaa12a解析 ∵＝∴＝7＋，∴当n＝1,2,3,5,11时，D.bnbnB2n－12bnbnn＋1

【例4】已知{an}为等差数列，Sn＝m，Sm＝n，其中m≠n，m，n∈N*，求Sm＋n.答案 解法一：设首项为a1，公差为d，解方程得Sm＋n＝－(m＋n)．

Am2＋Bm＝n，①

解法二：设Sx＝Ax2＋Bx，则，①－②得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m，2An＋Bn＝m，②

∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1，∴Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)．

mn

解法三：Sm－Sn＝n－m＝an＋1＋an＋2＋…＋am＝(an1am).∴an＋1＋am＝a1＋an＋m＝－2，∴Sm＋n＝－(m＋n)．

【例5】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；

(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和.5＝－5n＋65.∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，解(1)方法一 an＝20＋(n－1)×333

12×115

∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20－3＝130.2

25553 125n－2＋方法二 同方法一求得d＝－∴Sn＝－23624∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法三 同方法一得d＝－.又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，Sn有最大值.且最大值为S12＝S13＝130.(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.11a0所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列.令n得nn≥5，所以n＝6.4

4an10

－2n＋23n n≤6，设{|an|}的前n项和为Tn，则Tn＝

2n－23n＋132 n≥7.

【例6】两个等差数列{an}：5,8,11，…和{bm}：3,7,11，…，都有100项，问它们有多少个共同的项． 解析 解法一：∵an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2，bm＝3＋(m－1)×4＝4m－1，∴两数列共同的项需3n＋2＝4m－1，∴n－1，而n∈N*，m∈N*

1≤3r≤100，∴设m＝3r(r∈N)，得n＝4r－1.∴1≤r≤25，∴共有25个共同的项．

1≤4r－1≤100.*

解法二：设两数列共同项组成新数列{Cn}，则C1＝11，又an＝3n＋2，bm＝4m－1，由题意知{Cn}为等差数列，且公差d＝12，∴Cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，∴Cn＝12n－1≤302，由n∈N*得n≤25，∴两数列有25个共同的项． 点评 可以看出，新数列的公差应是原来两数列的公差的最小公倍数.【例7】在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，则标有*号的空格中的数是

解析 记aij为从上到下第i行，从左到右第j列的空格中所填的数，则a52＝x，a41＝y.由第3行得a33＝2y＋186，由第3列得a33＝2×103－2x，所以2x＋y＝113.① 2

由第2行得a23＝2×74－3y，由第3列得a23＝2a33－103＝3×103－4x，所以148－3y＝3×103－4x，整理得4x－3y＝161.②

联立①②解得x＝50，y＝13.所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＋a15a13＝2a33－a53＝112，故a14＝＝142.故标有*号的空格应填142.【例8】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋cn(c∈R，n＝1,2,3…)，且S1，S3

成等差数列.3

(1)求c的值；

(2)求数列{an}的通项公式.Sn＋cnSSSSSS解：(1)∴－n＝1,2,3，…).∵S1，成等差数列，∴∴c＝1.232132n＋1nn(n＋1)

S2，2

Sn＋1

Sn＋1SSS(2)由(1)得1(n＝1,2,3，…).∴数列{}，公差为1的等差数列.n1n＋1n

SS∴(n－1)·1＝n.∴Sn＝n2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.n1

当n＝1时，上式也成立∴an＝2n－1(n＝1,2,3，…).【例9】（1）设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝an－1)(n∈N *)．求数列{an}的通项公式．

2an2an120

（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，a1＝12，且满足Sn＝.试证明{an}为等差数列，并求{an}的通项公式．

解析（1）∵Sn＝(an－1)，∴当n＝1时，S1＝a1＝·(a－1)．解得a1＝3.当n≥2时，22133aan＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得3，22an－1∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a2＝3a1＝9.∴n≥2时，an＝9·3n－2＝3n.显然，当n＝1时也成立．故数列的通项公式为an＝3n(n∈N *).22an－1＋2an－1－120an2an120

（2）当n≥2时，Sn＝，①Sn－1＝②

①－②整理得：(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0，又an>0，则an

－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，因此

{an}为等差数列，an＝a1＋2(n－1)＝2n＋10.【例10】（1）求sin21sin22sin23sin288sin289的值；

（2的前n项和；

111cos1

（3）求证：.

cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin21

【解】（1）倒序相加法：2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89 ∴S＝44.5（2）裂项相消法：

Sn

1.sin1111（3）解：设S，∵tan(n1)tann 

cosncos(n1)cos0cos1cos1cos2cos88cos89

S

cos0cos1cos1cos2cos88cos891＝{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]} 

sin1

cos11

＝(tan89tan0)＝2.∴ 原等式成立

sin1sin1

反馈练习

1.在等差数列{an}中，2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前13项之和等于()（A）13（B）26（C）52（D）156 2.若等差数列{an}的前5项和为S5=25，且a2=3,则a7=()(A)12(B)13(C)14(D)15

3.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()(A)14(B)21(C)28(D)35

n1(n为奇数）

4.已知数列an则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=()

n(n为偶数）

（A）4 800（B）4 900（C）5 000（D）5 100

5.已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0；Sn是数列{an}的前n项和，则()（A）S5>S6(B)S5

6.在递减等差数列{an}中，若a1+a100=0,则其前n项和Sn取最大值时的n值为()(A)49(B)51(C)48(D)50 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且

SS41

，则8=_______． S83S16

8.各项均不为零的等差数列{an}中，若anan1an10（n∈N*,n≥2),则S2 012等于________.9.项数大于3的等差数列{an}中，各项均不为零，公差为1，且_______.10.在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n,设bn,求证：数列{bn}是等差数列.2n1

11.已知数列{an}中，a1=8,a4=2,且满足an+2+an=2an+1.（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.【答案】1.B，2.B，3.C，4.C，5.D，6.D

an

1111,则其通项公式为a1a2a2a3a1a3

3*；

8、4 024；

9、an=n(n∈N)10

an12an2nann

1bn1，10.【证明】∵an+1=2an+2，∴bn1n

22n2n

17、∴bn+1-bn=1.又b1=a1=1，∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.11.【解析】（1）∴an=a1+(n-1)d=-2n+10.n29n(n5),(2)令an≥0得n≤5.即当n≤5时，an≥0；n≥6时，an<0.∴Sn=2

n9n40(n6).

第五篇：等差数列练习题学生版

一、选择题

1．在等差数列{an}中，a1＝21，a7＝18，则公差d＝（）A.12 B.13 C．－12 D．－13 2．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14＝（）A．45 B．41 C．39 D．37 3．已知数列{an}对任意的正整数n，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则数列{an}为（）A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列 C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列

4．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．9 5．下面数列中，是等差数列的有（）①4,5,6,7,8，…

②3,0，－3,0，－6，…

③0,0,0,0，… ④110，210，310，410，…

A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个

6．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝2，则a4等于（）A．B．6 C．7 D．9 8．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项公式an＝（）A．2n＋1 B．2n－1 C．2n D．2(n－1)

二、填空题

9．△ABC三个内角A、B、C成等差数列，则B＝__________.10．已知等差数列{an}，an＝4n－3，则首项a1为__________，公差d为__________．

11．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________.12．已知数列{an}满足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝________.三、解答题

13．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通项公式．

14．已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2－10x＋16＝0的两个实根．

(1)求此数列{an}的通项公式；

(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由． 15．已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象；(3)判断这个数列的单调性．