第一篇：高考卷,07普通高等学校招生考试全国2,理科数学（必修+选修II）全解全析
2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)理科数学(必修+选修II)全解全析 注意事项: 1． 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页,总分150分考试时间120分钟.2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。
3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。
5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；
在草稿纸、本试题卷上答题无效。
6． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
球的表面积公式 S=4 其中R表示球的半径，球的体积公式 V=，其中R表示球的半径 参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CPk(1－P)n－k 一．选择题 1．sin2100 =(A)(B)-(C)(D)-2．函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(A)（－，）(B)（，）(C)（p，）(D)（，2p）3．设复数z满足=i，则z =(A)-2+i(B)-2-i(C)2-i(D)2+i 4．以下四个数中的最大者是(A)(ln2)2(B)ln(ln2)(C)ln(D)ln2 5．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=,则l=(A)(B)(C)-(D)-6．不等式:>0的解集为(A)(-2, 1)(B)(2, +∞)(C)(-2, 1)∪(2, +∞)(D)(-∞,-2)∪(1, +∞)7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于(A)(B)(C)(D)8．已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(A)3(B)2(C)1(D)9．把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，得到y=f(x)的图象，则f(x)=(A)ex-3+2(B)ex+3－2(C)ex-2+3(D)ex+2－3 10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(A)40种(B)60种(C)100种(D)120种 11．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为(A)(B)(C)(D)12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B)6(C)4(D)3 第II卷（非选择题）本卷共10题，共90分。
二．填空题 13．（1+2x2）(x－)8的展开式中常数项为。（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），若x在（0，1）内取值的概率为0.4，则x在（0，2）内取值的概率为。
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.16．已知数列的通项an=－5n+2,其前n项和为Sn, 则=。
三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.在 ∆ABC中，已知内角A=,边 BC=2,设内角B=x, 周长为y（1）求函数y=f(x)的解析式和定义域；
A B C D P E F（2）求y的最大值 18.从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;（2）若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，x表示取出的2件产品中二等品的件数，求x的分布列 19.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥ 底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小 20．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。
21．设数列{an}的首项a1∈(0,1), an=，n=2,3,4…（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求证<，其中n为正整数。
22.已知函数f(x)=x3－x（1）求曲线y=f(x)在点M(t, f(t))处的切线方程（2）设a>0,如果过点（a, b）可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：－a 1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D A C A A C B B B 1．sin2100 =，选D。 2．函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(p，)，选C。 3．设复数z=,(a，b∈R)满足=i，∴，∴ z =，选C。 4．∵，∴ ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln=ln2 5．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则 =，∴ l=，选A。 6．不等式:>0，∴，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选C。 7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，选A。 8．已知曲线的一条切线的斜率为，=，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A。 9．把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)=，选C。 10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B。 11．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，∴ 离心率，选B。 12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，∴ |FA|+|FB|+|FC|=，选B。 二、填空题 题号 13 14 15 16 答案 13．(1+2x2)(x－)8的展开式中常数项为=－42。 14．在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），正态分布图象的对称轴为x=1，x在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于x在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2.16．已知数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn，则=－。 三、解答题 17．解：（1）的内角和，由得． 应用正弦定理，知，． 因为，所以，（2）因为，所以，当，即时，取得最大值． 18．解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则互斥，且，故 于是． 解得（舍去）．（2）的可能取值为． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故 ． ． ． 所以的分布列为 0 1 2 A E B C F S D H G M 19．解法一： （1）作交于点，则为的中点． 连结，又，故为平行四边形．，又平面平面． 所以平面．（2）不妨设，则为等 腰直角三角形． 取中点，连结，则． 又平面，所以，而，所以面． 取中点，连结，则． 连结，则． 故为二面角的平面角 A A E B C F S D G M y z x ． 所以二面角的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系． 设，则，． 取的中点，则．平面平面，所以平面．（2）不妨设，则． 中点 又，所以向量和的夹角等于二面角的平面角． ． 所以二面角的大小为． 20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即 ． 得圆的方程为．（2）不妨设．由即得 ． 设，由成等比数列，得，即 ． 由于点在圆内，故 由此得． 所以的取值范围为． 21．解：（1）由 整理得 ． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一： 由（1）可知，故． 那么，又由（1）知且，故，因此 为正整数． 方法二： 由（1）可知，因为，所以 ． 由可得，即 两边开平方得 ． 即 为正整数． 22．解：（1）求函数的导数； ． 曲线在点处的切线方程为：，即 ．（2）如果有一条切线过点，则存在，使 ． 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根． 记，则 ． 当变化时，变化情况如下表： 0 0 0 极大值 极小值 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根； 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根； 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根． 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即 ． 2007年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷 数学（文史类）全解全析 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式的解集是 A． B.C.D.【答案】D 【解析】由得x（x-1）>0，所以解集为 2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 A． B.C.D.【答案】B 【解析】由向量的减法知 3.设，有实根，则是的A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】判别式大于0，关于的方程有实根；但关于的方程有实根，判别可以等于0 4．在等比数列中，若，则该数列的前10项和为 A． B.C.D.【答案】B 【解析】由，所以 5．在的二项展开式中，若只有的系数最大，则 A．8 B.9 C.10 D.11 【答案】C 【解析】只有的系数最大，是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=10 6．如图1，在正四棱柱 中，E、F 分别是的中点，则以下结论中不成立的是 A． B.C.D.【答案】D 图1 【解析】连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角 形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以；又AC⊥BD，所以。由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1 7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 A．48米 B.49米 C.50米 D.51米 图2 【答案】C 【解析】由频率分布直方图知水位为50米的频率/组距为1%，即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米。 8．函数的图象和函数的图象的交点个数是 A．1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】由图像可知交点共有3个。 9．设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是 A． B.C.D.【答案】D 【解析】由已知P（），所以化简得 10.设集合，的含两个元素的子集，且满 足：对任意的，都有.则的最大值是 A．10 B.11 C.12 D.13 【答案】B 【解析】含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个。 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.11.圆心为且与直线相切的圆的方程是 .【答案】 【解析】半径R=，所以圆的方程为 12.在中，角A、B、C所对的边分别为，若，则 A=.【答案】 【解析】由正弦定理得，所以A= 13.若.【答案】3 【解析】由得，所以 b 14.设集合，（1）的取值范围是 .（2）若且的最大值为9，则的值是 .【答案】（1）（2） 【解析】（1）由图象可知的取值范围是；（2）若则（x，y）在图中的四边形内，t=在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以b= 15.棱长为1的正方形的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是 ；设分别是该正方形的棱的中点，则直线被球O截得的线段长为 .【答案】，【解析】正方体对角线为球直径，所以，所以球的表面积为；由已知所求EF是正方体在球中其中一个截面的直径，d=，所以，所以EF=2r=。 三．解答题：本大题共６小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分１２分） 已知函数.求： (Ⅰ)函数的最小正周期； （Ⅱ）函数的单调增区间.解： ． （I）函数的最小正周期是； （II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）． 17.（本小题满分１２分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率.解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，． （I）解法一 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是． 解法二 任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 该人参加过两项培训的概率是． 所以该人参加过培训的概率是． （II）解法一 任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是 ． 3人都参加过培训的概率是． 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是． 解法二 任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是 ． 3人都没有参加过培训的概率是． 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是 18.（本小题满分１4分） 如图，已知直二面角，直线CA和平面所成的角为.(Ⅰ)证明； (Ⅱ)求二面角的大小.解：（I）在平面内过点作于点，连结． 因为，所以，A B C Q P O H 又因为，所以． 而，所以，．从而．又，所以平面．因为平面，故． （II）解法一：由（I）知，又，，所以． 过点作于点，连结，由三垂线定理知，． 故是二面角的平面角． 由（I）知，所以是和平面所成的角，则，不妨设，则，． 在中，所以，于是在中，． 故二面角的大小为． 解法二：由（I）知，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为，所以是和平面所成的角，则． 不妨设，则，． A B C Q P O x y z 在中，所以． 则相关各点的坐标分别是，，． 所以，． 设是平面的一个法向量，由得 取，得． 易知是平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，由图可知，． 所以． 故二面角的大小为． 19.（本小题满分13分） 已知双曲线的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）.（Ｉ）证明为常数； （Ⅱ）若动点（其中为坐标原点），求点的轨迹方程.解：由条件知，设，． （I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，此时． 当不与轴垂直时，设直线的方程是． 代入，有． 则是上述方程的两个实根，所以，于是 ． 综上所述，为常数． （II）解法一：设，则，，．由得： 即 于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时，即． 又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即． 将代入上式，化简得． 当与轴垂直时，求得，也满足上述方程． 所以点的轨迹方程是． 解法二：同解法一得……………………………………① 当不与轴垂直时，由（I） 有．…………………② ．………………………③ 由①②③得．…………………………………………………④ ．……………………………………………………………………⑤ 当时，由④⑤得，将其代入⑤有 ．整理得． 当时，点的坐标为，满足上述方程． 当与轴垂直时，求得，也满足上述方程． 故点的轨迹方程是． 20.（本小题满分13分） 设，.（Ⅰ）证明数列是常数数列； （Ⅱ）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项.解：（I）当时，由已知得． 因为，所以． …………………………① 于是． …………………………………………………② 由②－①得：．……………………………………………③ 于是．……………………………………………………④ 由④－③得：．…………………………………………………⑤ 即数列（）是常数数列． （II）由①有，所以． 由③有，所以，而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列． 所以，． 由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项． 若是数列中的第项，由得，取，得．此时，由得，从而是数列中的第项． （注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可） 21.（本小题满分13分） 已知函数在区间内各有一个极值点.（Ⅰ）求的最大值； （Ⅱ）当时，设函数在点处的切线为，若在点A处穿过的图象（即动点在点A附近沿曲线运动，经过点A时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式.解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，且当，即，时等号成立．故的最大值是16． （II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点． 而，且 ． 若，则和都是的极值点． 所以，即．又由，得．故． 解法二：同解法一得 ． 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在（）． 当时，当时，； 或当时，当时，． 设，则 当时，当时，； 或当时，当时，． 由知是的一个极值点，则． 所以．又由，得，故． 2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（文史类）全解全析 第I卷 （选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 （1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},则（CUB）等于 A.{2} B.{5} C.{3,4} D.{2,3,4,5} 解析：（CUB）={3，4，5}，（CUB）={3，4}，选C (2)等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 A.4 B.8 C.16 D.32 解析：a2·a6= a42=16，选C (3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于 A.0 B.C.D.1 解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin215°+cos215°=1，选D （4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由|x|<2得-2 x2-x-6<0得-2 （5）函数y=sin(2x+)的图象 A.关于点（，0）对称 B.关于直线x=对称 C.关于点（，0）对称 D.关于直线x=对称 解析：由2x+=kπ得x=，对称点为（，0）（），当k=1时为（，0），选A （6）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于 A.45° B.60° C.90° D.120° 解析：连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于.60°，选B （7）已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是 A.（-，1） B.（1，+） C.（-，0）（0，1） D.（-，0）（1，+） 解析：由已知得解得或x>1，选D （8）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是 A.若a·b＝0，则a=0或b=0 B.若a=0,则＝0或a=0 C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a-b=a·c，则b=c 解析： a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B (9)已知m,n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.∥，n∥ ∥ B.∥，m∥n C.m⊥，m⊥nn∥ D.n∥m,n⊥m⊥ 解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D (10)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是 A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0 C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0 解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为，即x2+y2-4x+3=0，选B (11)已知对任意实数x,有f（-x）=-f (x)，g(-x)=g(x),且x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,则x<0时 A.f’(x)>0,g’(x)>0 B.f ’(x)>0,g’(x)<0 C.f ’(x)<0,g’(x)<0 D.f ’ (x)<0,g’(x)<0 解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反,x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当x<0时,f(x) 递增,f ’(x)>0; g(x)递减,g’(x)<0,选B (12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为 A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 （13）（x2+）6的展开式中常数项是 .（用数字作答） 解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x2，4个，故常数项为 法二：展开后可得常数项为15 （14）已知实数x、y满足则z=2x-y的取值范围是 .解析：画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7] （15）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。 解析：由已知C=2，（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a∈A,都有a-a; (2)对称性：对于a,b∈A，若a-b,则有b-a; (3)传递性：对于a,b,c∈A,若a-b,b-c,则有a-c.则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系： .解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分） 在△ABC中，tanA=,tanB=.(I)求角C的大小; (II)若AB边的长为，求BC边的长 本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分.解：（I）∵C＝-(A+B),∴tanC=-tan(A+B)= 又∵0 (II)由且A∈（0，），得sinA= ∵∴BC＝AB·.（18）（本小题满分12分） 甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： （I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率; (II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (III)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力.解：记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1.依题意得P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互独立.(I)“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，∴P（A3）＝P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063.答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，解法一：C＝A1彼此互斥，∴P（C） ＝ ＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6 = 0.88.解法二：P（C）＝1-＝1-0.3×0.4=0.88.答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0,1,2）,“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2),∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1为互斥事件.∴所求的概率为 ＝×0.7×0.3×0.42+0.72××0.6×0.4 =0.0672+0.2352 =0.3024.答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.（19）（本小题满分12分） 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.(I)求证：AB1⊥平面A1BD; (II)求二面角A-A1D-B的大小.本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 解法一：（I）取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1,∴AO⊥平面BCC1B1,连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD,∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD.(II)设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG为二面A-A1B-B的平面角.在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝，又∵AG＝=,∴sin∠AFG=,所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin.解法二：（I）取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中点O1，以a为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1,0,0）,D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),∴ ∵ ∴⊥⊥,∴AB1⊥平面A1BD.(II)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).∵n⊥⊥,∴ ∵ ∴ 令z=1得a=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.由（I）知AB1⊥A1BD.∴为平面A1BD的法向量.cos 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(I)求f (x)的最小值h(t); (II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.解：（I）∵ （），∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.当t变化时g’(t)、g(t)的变化情况如下表： T (0,1) (1,2) g’(t) + 0 g(t) 递增 极大值1-m 递减 ∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-m h(t)<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)<0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m<0 所以m的取值范围为m>1 （21）（本小题满分12分） 数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (n∈N*).(I)求数列{an}的通项an; (II)求数列｛nan｝的前n项和T.本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分.解：（I）∵an+1=2Sn，∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1＝a1=1,∴数列｛Sn｝是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*).∴当n2时，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),∴an= (II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.当n=1时，T1=1; 当n2时，Tn=1+4·30+6·31+2n·3 n-2,…………① 3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………② ①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3 n-1 =2+2· =-1+(1-2n)·3n-1 ∴Tn=+(n-)3n-1 (n2).又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*) (22)（本小题满分14分） 如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且· （I）求动点P的轨迹C的方程; （II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.（1）已知的值; (2)求||·||的最小值.本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得： (x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C：y2=4x.(II)（1）设直线AB的方程为： x=my+1(m≠0).设A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.联立方程组,消去x得： y2-4my-4=0,△ =(-4m)2+12>0,由得：，整理得：,∴ = =-2- =0.解法二：（I）由 ∴·，∴=0,∴ 所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.(II)(1)由已知 则：…………① 过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1,则有：…………② 由①②得： （II）（2）解：由解法一： ·＝（）2|y1-yM||y2-yM| =(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2| =(1+m2)|-4+ ×4m+| = =4(2+m2+) 4(2+2)=16.当且仅当，即m=1时等号成立，所以·最小值为16. 2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）全解全析 第I卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）“”是“”的（） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 【答案】：A 【分析】：由可得,可得到,但得不到.故选A.（2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（） A． B． C． D． 【答案】：D 【分析】：由由 故选D.（3）直线关于直线对称的直线方程是（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】：D 【分析】：解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x,y) 在直线上,化简得故选答案D.解法二：根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线选答案D.（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪 都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】B 【分析】：因为龙头的喷洒面积为36π，正方形面积为256,故至少三个龙头。 由于，故三个龙头肯定不能 保证整个草坪能喷洒到水。当用四个 龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于，故可以保证整个草坪能喷洒到水。 （5）已知随机变量服从正态分布，则（） A． B． C． D，【答案】：A 【分析】：由又 故选A.（6）若两条异面直线外的任意一点，则（） Ａ．过点有且仅有一条直线与都平行 Ｂ．过点有且仅有一条直线与都垂直 Ｃ．过点有且仅有一条直线与都相交 Ｄ．过点有且仅有一条直线与都异面 【答案】：B 【分析】：设过点P的直线为，若与l、m都平行，则l、m平行，与已知矛盾，故选项A错误。 由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与 公垂线平行的直线只有一条，故B正确。 对于选项C、D可参考右图的正方体，设AD为直线l，为直线m; 若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误。 若P在P2点，则由图中可知直线均与l、m异面，故选项D错误。 （7）若非零向量满足，则（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】：C 【分析】： 由于是非零向量，则必有故上式中等号不成立。 ∴。故选C.（8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（） y x O y x O y x O y x O A． B． C． D． 【答案】：D 【分析】：检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为均不成立。 （9）已知双曲线的左、右焦点分别为，是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】：B 【分析】：设准线与x轴交于A点.在中，又,化简得,故选答案B （10）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（） A． B． C． D． 【答案】：C 【分析】：要的值域是，则又是二次函数，定义域连续，故不可能同时结合选项只能选C.第II卷（共100分） 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． （11）已知复数，则复数 ． 【答案】： 【分析】： （12）已知，且，则的值是 ． 【答案】： 【分析】：本题只需将已知式两边平方即可。∵ ∴两边平方得：，即，∴ .（13）不等式的解集是 ． 【答案】： 【分析】： （14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种.小张用10元钱买杂志 （每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）． 【答案】：266 【分析】：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本共有 ②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有 故210+56=266.（15）随机变量的分布列如下： 其中成等差数列，若则的值是 ． 【答案】： 【分析】：成等差数列，有 联立三式得 （16）已知点在二面角的棱上，点在内，且．若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是 ． 【答案】： 【分析】：设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只 有作于H,则面,故为.（17）设为实数，若，则的取值范围是 ． 【答案】： 【分析】：作图易知,设若不成立; 故当且斜率大于等于时方成立.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （18）（本题14分）已知的周长为，且． （I）求边的长； （II）若的面积为，求角的度数． 解：（I）由题意及正弦定理，得，两式相减，得． （II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以． （第19题） （19）（本题14分）在如图所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点． （I）求证：； （II）求与平面所成的角． 本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一： （I）证明：因为，是的中点，所以． 又平面，所以． （II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，．是直线和平面所成的角． 因为平面，所以，又因为平面，所以，则平面，因此． 设，在直角梯形中，是的中点，所以，，得是直角三角形，其中，所以． 在中，所以，故与平面所成的角是． 方法二： 如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，．，． （I）证明：因为，所以，故． （II）解：设向量与平面垂直，则，即，． 因为，所以，即，直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，因此直线与平面所成的角是． （第20题） （20）（本题14分）如图，直线与椭圆 交于两点，记的面积为． （I）求在，的条件下，的最大值； （II）当，时，求直线的方程． 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分． （Ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以． 当且仅当时，取到最大值． （Ⅱ）解：由 得，． ② 设到的距离为，则，又因为，所以，代入②式并整理，得，解得，代入①式检验，故直线的方程是 或或，或． （21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且． （I）求，，； （II）求数列的前项和； （Ⅲ）记，求证：． 本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分． （I）解：方程的两个根为，当时，所以； 当时，，所以； 当时，，所以时； 当时，，所以． （II）解： ． （III）证明：，所以，．当时，，同时，． 综上，当时，． （22）（本题15分）设，对任意实数，记． （I）求函数的单调区间； （II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立； （Ⅲ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立． 本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分． （I）解：．由，得． 因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是． （II）证明：（i）方法一： 令，则，当时，由，得，当时，所以在内的最小值是． 故当时，对任意正实数成立． 方法二： 对任意固定的，令，则，由，得． 当时，． 当时，所以当时，取得最大值． 因此当时，对任意正实数成立． （ii）方法一： ． 由（i）得，对任意正实数成立． 即存在正实数，使得对任意正实数成立． 下面证明的唯一性： 当，时，，由（i）得，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立． 故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立． 方法二：对任意，因为关于的最大值是，所以要使 对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，① 又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立． 2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工农医类）全解全析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（） Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 答案：选Ｂ 解析：由展开式通项有 由题意得，故当时，正整数的最小值为5，故选Ｂ 点评：本题主要考察二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求。本题中“ 非零常数项”为干扰条件。 易错点：将通项公式中误记为，以及忽略为整数的条件。 2．将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：选Ａ 解析：法一 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点，则，带入到已知解析式中可得选Ａ 法二 由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位。 点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为简单题。 易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ 3．设和是两个集合，定义集合，如果，那么等于（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：选Ｂ 解析：先解两个不等式得。由定义，故选Ｂ 点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。 易错点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选Ａ，以及解时出错。 4．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题： A B C D A1 B1 C1 D1 ①； ②； ③与相交与相交或重合； ④与平行与平行或重合． 其中不正确的命题个数是（） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：选Ｄ 解析：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，可知①②③④均错,具体可观察如图的正方体： 但不垂直，故①错；但在底面上的射影都是 故②错；相交，但异面，故③错；但异面，故④错 点评：本题主要考察空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解。关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同。要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力。 易错点：空间想象力不够，容易误判③、④正确，而错选Ｂ或Ｃ 5．已知和是两个不相等的正整数，且，则（） A．0 B．1 C． D． 答案：选C 解析：法一 特殊值法，由题意取，则，可见应选C 法二 令，分别取和，则原式化为 所以原式=（分子、分母1的个数分别为个、个） 点评：本题考察数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考察学生思维的灵活性。当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可。本题也体现了等比数列求和公式的逆用。 易错点：取特值时忽略和是两个不相等的正整数的条件，误选B；或不知变形而无法求解，或者认为是型而误选B，看错项数而错选D 6．若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”． 甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：选B 解析：由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即 即公比不一定为，则命题乙不成立，故选B 点评：本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换。要是等比数列，则公比应唯一确定。 易错点：本题是易错题。由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C x y M F1 F2 D L O 7．双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于 （）A． B． C． D． 答案：选A 解析：由题设可知点同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上,故 由定义可得 故原式，选A 点评：本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性。 易错点：由于畏惧心理而胡乱选择，不能将几何条件有机联系转化，缺乏消元意识。 8．已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得 为整数的正整数的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：选D 解析：由等差数列的前项和及等差中项，可得，故时，为整数。故选D 点评：本题主要考察等差数列的性质，等差中项的综合应用，以及部分分式法，数的整除性 是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用。 易错点：不能将等差数列的项与前项和进行合理转化，胡乱选择。 9．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（） A． B． C． D． 答案：选C 解析：由向量夹角的定义，图形直观可得，当点位于直线上及其下方时，满足，点的总个数为个，而位于直线上及其下方的点有个，故所求概率，选C 点评：本题综合考察向量夹角，等可能事件概率的计算以及数形结合的知识和方法。 易错点：不能数形直观，确定点的位置，或忽略夹角范围中的，而误选A 10．已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（） A．60条 B．66条 C．72条 D．78条 答案：选A 解析：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆 上的整数点共有12个，分别为，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有条，选A 点评：本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征。是较难问题 易错点：不能准确理解题意，甚至混淆。对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数的反函数是，则； ． 答案： 解析：由互反函数点之间的对称关系，取特殊点求解。在上取点，得点 在上，故得；又上有点，则点在点评：本题主要考察反函数的概念及其对称性的应用。直接求反函数也可，较为简单。 易错点：运算错误导致填写其他错误答案。 12．复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 答案：或满足的任意一对非零实数对 解析：由复数运算法则可知，由题意得，答案众多，如也可。 点评： 本题主要考察复数的基本概念和运算，有一般结论需要写出一个具体结果，属开放性问题。 易错点：复数运算出错导致结果写错，或审题马虎，只写出，不合题意要求。 x y o 13．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 答案： 解析：由约束条件得如图所示的三角形区域，令，显然当平行直线过点 时，取得最小值为 点评：本题主要考察线性规划的基本知识，考察学生的动手能力作图观察能力。 易错点：不能准确画出不等式组的平面区域，把上下位置搞错，以及把直线间的相对位置搞错，找错点的位置而得到错误结果。 14．某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答） 答案： 解析：由题意知所求概率 点评：本题考察次独立重复试验中，某事件恰好发生次的概率，直接用公式解决。 易错点：把“恰好投进3个球”错误理解为某三次投进球，忽略“三次”的任意性。 （毫克） （小时） 15为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比； 药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示． 据图中提供的信息，回答下列问题： （I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间 （小时）之间的函数关系式为； （II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 答案：（I）（II） 解析：（I）由题意和图示，当时，可设（为待定系数），由于点在直线上，；同理，当时，可得 （II）由题意可得，即得或或，由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室． 点评：本题考察函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力。 易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，在（II）中填写了其他错误答案。 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，则由，可得，． （Ⅱ） ．，． 即当时，；当时，． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ） 分组 频数 频率 0.04 0.25 0.30 0.29 0.10 0.02 合计 1.00 样本数据 频率/组距 1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 （Ⅱ）纤度落在中的概率约为，纤度小于1.40的概率约为． （Ⅲ）总体数据的期望约为 ． 18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，又底面．．于是平面． 又平面，平面平面． （Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面． 连接，于是就是直线与平面所成的角． 在中，； 设，在中，．，A D B C H V，． 又，． 即直线与平面所成角的取值范围为． 解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，，． 从而，即． 同理，即．又，平面． 又平面．平面平面． A D B C V x y z （Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，则由． 得 可取，又，于是，，． 又，． 即直线与平面所成角的取值范围为． 解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，． 从而，即． 同理，即． 又，平面． 又平面，平面平面． （Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，则由，得 A D B C V x y 可取，又，于是，，． 又，即直线与平面所成角的取值范围为． 解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设． A D B C V x y z （Ⅰ），即．，即． 又，平面． 又平面，平面平面． （Ⅱ）设直线与平面所成的角为，设是平面的一个非零法向量，则取，得． 可取，又，于是，关于递增．，． 即直线与平面所成角的取值范围为． 19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力． 解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，N O A C B y x 直线的方程为，与联立得消去得． 由韦达定理得，． 于是．，当时，． （Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，N O A C B y x l 则，点的坐标为．，，． 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得． 从而，当时，． （Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则． 设直线与以为直径的圆的交点为，则有． 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线． 20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，由题意，． 即由得：，或（舍去）． 即有． 令，则．于是 当，即时，； 当，即时，． 故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为． （Ⅱ）设，则． 故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是． 故当时，有，即当时，． 21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立； （ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，，于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立． （Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，于是，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，． 即．即当时，不存在满足该等式的正整数． 故只需要讨论的情形： 当时，等式不成立； 当时，等式成立； 当时，等式成立； 当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立； 当时，同的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的只有． 解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当，且时，． ① （ⅰ）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立； （ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，因为，所以．又因为，所以． 于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式①也成立． 综上所述，所证不等式成立． （Ⅱ）证：当，时，，而由（Ⅰ），． （Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，即有． ② 又由（Ⅱ）可得，与②式矛盾． 故当时，不存在满足该等式的正整数． 下同解法1．第二篇：高考卷 普通高等学校招生考试湖南 数学（文史类）全解全析
第三篇：高考卷 07普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（文史类）全解全析
第四篇：高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）全解全析
第五篇：高考卷 普通高等学校招生考试湖北理 数学（理工农医类）全解全析
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