第十章
相交线、平行线和平移
10.1
相交线
第一课时
对顶角及其性质
一、教学目标
1．理解并掌握对顶角的概念及性质；
2．经历质疑、猜想、归纳等数学活动，培养学生的观察、转化、说理能力和数学语言规范表达能力；
3．通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充满探索和创造．
二、教学重点及难点
重点：邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质；
难点：写出对顶角相等的推理过程.三、教学用具
多媒体课件．
四、相关资料
微课，图片．
五、教学过程
【情景引入】
如图，直线AB、CD相交于点O，∠1和∠3大小有什么关系？
你能说明具有这种关系的道理吗？
学生讨论回答.今天我们就一起来学习对顶角.设计意图：从一个简单的小问题来引出今天的知识点，激发兴趣，增强学生的学习热情．
【探究新知】
1．对顶角的概念
两条直线相交，有公共顶点且两边分别互为反向延长线的两个角互为对顶角．
2.对顶角的性质——对顶角相等
已知直线AB、CD、EF相交于点O,∠DOE=90°,∠AOE=36°,求∠BOE、∠BOC的度数.答案：解:∵A,O,B在同一直线上,∴∠AOE与∠BOE是互为邻补角,∴∠AOE+∠BOE=180°.又∵∠AOE=36°,∴∠BOE=180°-36°=144°.又∵∠DOE=90°,∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=126°.又∵∠BOC与∠AOD是对顶角,∴∠BOC=∠AOD=126°.总结:(1)对顶角是既有位置关系又有数量关系的一对角.(2)当两相交线所成四个角中有一个角是90°时,那么这两直线互相垂直.【合作探究】
教师将学生分成组布置任务，小组讨论得出结果再向全班汇报，并根据实际情况分别给各组打分．
问题：下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是()
学生交流，回答.解析：选项A中的两个角没有公共顶点；选项B、D中的两个角的两边没有在互为反向延长线的两条直线上，只有选项C中的两个角符合对顶角的定义．故选C.方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
【典型例题】
1.如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．
解析：结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据对顶角相等可得∠2的度数．
答案：解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.因为∠BOF＝∠2
(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)．
方法总结：两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及平角等关系找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．
2.如图，∠1＝∠2，∠1＋∠2＝162°，求∠3与∠4的度数．
解析：由已知∠1＝∠2，∠1＋∠2＝162°，可求∠1、∠2；又∠1与∠3是对顶角，∠4与∠2是邻补角，根据对顶角，邻补角的数量关系可求解．
答案：解：由已知∠1＝∠2，∠1＋∠2＝162°，解得∠1＝54°，∠2＝108°.∵∠1与∠3是对顶角，∴∠3＝∠1＝54°.∵∠2与∠4是邻补角，∴∠4＝180°－∠2＝72°.方法总结：解决本题的关键是先求出∠1与∠2的度数，再利用对顶角，邻补角的性质求解．
【新知应用】
如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量请你写出测量方法，并说明几何道理．
解析：可以利用对顶角相等的性质，把∠AOB转化到另外一个角上．
答案：解：反向延长射线OB到E，反向延长射线OA到F，则∠EOF和∠AOB是对顶角，所以可以测量出∠EOF的度数，故∠EOF的度数就是∠AOB的度数．
方法总结：解决此类问题的关键是根据对顶角的性质把不能测量的角进行转化．
【随堂检测】
我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…
(1)十条直线交于一点，对顶角有________对；
(2)n(n≥2)条直线交于一点，对顶角有________对．
解析：(1)如图①，两条直线交于一点，图中共有＝2对对顶角；如图②，三条直线交于一点，图中共有＝6对对顶角；如图③，四条直线交于一点，图中共有＝12对对顶角；…；按这样的规律，十条直线交于一点，那么对顶角共有＝90对，故答案为90；
(2)由(1)得n(n≥2)条直线交于一点，对顶角有＝n(n－1)对．故答案为n(n－1)．
方法总结：像这样探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数列的特征．
设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生对知识点的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．
【课堂小结】
1．对顶角的概念
两条直线相交，有公共顶点且两边分别互为反向延长线的两个角互为对顶角．
2．对顶角的性质
对顶角相等．
设计意图：将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识．
【板书设计】
10.1
相交线
第一课时
对顶角及其性质
1．对顶角的概念
两条直线相交，有公共顶点且两边分别互为反向延长线的两个角互为对顶角．
2．对顶角的性质
对顶角相等．
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