「精编整理」北师大版2021-2022学年中考数学模拟试题（一模）（解析版）

【精编整理】北师大版2021-2022学年中考数学模仿试题（一模）

（解析版）

一、选一选（共13小题；每小题3分,共39分）

1.一个直角三角形有两条边长为3，4，则较小的锐角约为（）

A.B.C.或

D.以上答案均不对

【答案】C

【解析】

【详解】试题解析：①若3、4直角边，∵两直角边为3，4，∴斜边长==5，∴较小的锐角所对的直角边为3，则其正弦值为；

②若斜边长为4，则较小边=≈2.65，∴较小边所对锐角正弦值约==0.6625，利用计算器求得角约为37°或41°．

故选C．

2.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的地位关系是（）

A.点P在⊙O上

B.点P在⊙O内

C.点P在⊙O外

D.无法确定

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由于OP=6＞5，所以点P与⊙O的地位关系是点在圆外．

故选C．

考点：点与圆的地位关系．

3.若⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6，圆心距O1O2=8，则⊙O1与⊙O2的地位关系是（）

A.内切

B.相交

C.外切

D.外离

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：⊙O1、⊙O2的直径分别为4和6，圆心距O1O2=2，⊙O1、⊙O2的半径之和为5，只差为1，而1

考点：两圆的地位关系

点评：考查两圆的地位关系，利用两圆的圆心距和两圆的半径之差或者之和，来判断两圆的地位

4.在△ABC中，∠C=90°，∠A=72°，AB=10，则边AC的长约为（到0.1）（）

A.9.1

B.9.5

C.3.1

D.3.5

【答案】C

【解析】

【详解】分析：在Rt△ABC中，根据三角函数的定义，易得AB、AC及∠A的关系，进而计算可得答案．

解答：解：根据题意

在Rt△ABC中，有cosA=，sinA=；

则AC=AB?cosA=10×cos72°≈3.1；

故选C．

5.已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA类似吗？（）

A.一直不类似

B.一直类似

C.只要AB=AD时类似

D.无法确定

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：设A（x，-x2+1）根据题意可求出PA、PD、PE的值，从而得出，又∠APE=∠DPA，因此，△PAD∽△PEA.故选B.考点:

二次函数综合题.6.已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（）

A.d＝r

B.0≤d≤r

C.d≥r

D.d＜r

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：圆与直线有交点，即可能为1个交点或2个交点，当时，圆与直线相切，即有一个交点，当时，有两个交点

考点：圆与直线的关系

点评：圆与直线有相交、相切、相离三种关系，其中相交、相切有交点，即当点与直线距离小于或者等于半径时，圆与直线有交点

7.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【

】

A.B.C.且

D.x＜－1或x＞5

【答案】D

【解析】

【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，图象可得出的解集：

由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．

由图象可知：解集即是y＜0的解集，∴x＜－1或x＞5．故选D．

8.已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）

A.1或﹣5

B.﹣1或5

C.1或﹣3

D.1或3

【答案】B

【解析】

【分析】讨论对称轴的不同地位，可求出结果．

【详解】∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；

②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）．

综上，h的值为﹣1或5，故选B．

【点睛】本题次要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．

9.已知函数y1=4x，二次函数y2=2x2+2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（）

A.y1＞y2

B.y1≥y2

C.y1＜y2

D.y1≤y2

【答案】D

【解析】

【详解】试题解析：由

消去y得到：x2-2x+1=0，∵△=0，∴直线y=4x与抛物线y=2x2+2只要一个交点，如图所示，观察图象可知：y1≤y2，故选D．

10.如图，半圆O的半径OA＝4，P是OA延伸线上一点，线段OP的垂直平分线分别交OP、半圆O于B、C两点，射线PC交半圆O于点D．设PA＝x，CD＝y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）

A.B.C.D.【答案】A

【解析】

【详解】试题解析：作OE⊥CD，垂足为E，如图1，则CE=CD=y，∵∠P=∠P，∠PBC=∠PEO=90°，∴△PBC∽△PEO，∴，而PB=OP=（x+4），PE=PC+CE=4+y，∴，∴y=x2+2x-4（4-4＜x＜4）；

故选A.11.若二次函数的图象的对称轴是点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（）．

A.，B.，C.，D.，【答案】D

【解析】

【详解】∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是点(2，0)且平行于y轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−=−=2，解得：b=−4，∴x2+bx=5即为x2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x1=5，x2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标成绩转化为关于x的一元二次方程的成绩.12.如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c>0；④当x>1时，y随x的增大而增大．正确的有：_______．

【答案】②④

【解析】

【详解】试题解析：根据图象可得则故①正确.二次函数与x轴的交点是和则方程的根为，故②正确.当时，故③错误.对称轴是，当时，随的增大而增大.故④正确.故答案为①②④

13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（）

A.B.C.D.【答案】A

【解析】

【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求si．

【详解】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB3．

∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠B．

故选A．

【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的运用，要纯熟掌握好边角之间的关系，难度适中．

二、填

空

题（共10题；共30分）

14.已知抛物线y=x2﹣4x+3，如果点P(0，5)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q的坐标是_____．

【答案】（4，5）．

【解析】

【分析】首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可．

【详解】∵y=x2﹣4x+3的对称轴为x=2，∴点P（0，5）关于该抛物线的对称轴对称点Q的坐标为（4，5），故答案为（4，5）．

15.将函数y＝x2的图象向右平移2个单位得函数y1的图象，将y与y1合构成新图象，直线y＝m被新图象依次截得三段的长相等，则m＝___________

【答案】

【解析】

【详解】试题解析：∵二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，∴平移后的解析式为：y=（x-2）2，把y=m代入y=x2得m=x2，解得x=±，把y=m代入y=（x-2）2得m=（x-2）2，解得x=2±，当0＜m＜1时，则-（-）=2--，解得m=，当m＞1时，则2+-=-（2-），解得m=4，故答案为或4．

16.已知抛物线y=﹣x2﹣3x点（﹣2，m），那么m=________．

【答案】4

【解析】

【详解】试题解析：∵y=-x2-3x点（-2，m），∴m=-×22-3×（-2）=4，故答案为4．

17.已知圆的半径是6cm，则120°的圆心角所对的弧长是_____cm．

【答案】4π

【解析】

【分析】直接利用扇形的弧长公式计算即可得出结论．

【详解】解：由题意知，r=6cm，n=120，∴（cm），故答案为：4π．

【点睛】此题次要考查了扇形的弧长公式，解本题的关键是熟记扇形的弧长公式．

18.一个扇形的面积为6πcm2，弧长为πcm，则该扇形的半径为___．

【答案】12cm.【解析】

【详解】试题解析：设半径是r，∵一个扇形的弧长是πcm，扇形的面积为6πcm2，∴6π=×π×r，∴r=12．

考点：1.扇形面积的计算；2.弧长的计算．

19.在平面直角坐标系中，将函数y=﹣2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数表达式是_____．

【答案】y=2（x﹣1）2+5．

【解析】

【详解】试题分析：由“左加右减”的准绳可知，抛物线y=﹣2x2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=﹣2（x﹣1）2；

由“上加下减”的准绳可知，抛物线y=﹣2（x﹣1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=2（x﹣1）2+5．

考点：二次函数图象与几何变换．

20.如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=2，AB=6，点P射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时，若⊙O与线段AB有公共点，则BP值为_______．

【答案】．

【解析】

【详解】试题分析：首先判断当AB与⊙O相切时，PB的值，设AB与⊙O相切于E，连接OE，则OE⊥AB，过点C作CF⊥PB于F，由CA⊥AB，DB⊥AB，得到AC∥OE∥PB，四边形ABPC是矩形，证得CF=AB=6，在直角三角形PCF中，由勾股定理列方程求解．

试题解析：当AB与⊙O相切时，PB的值，如图，设AB与⊙O相切于E，连接OE，则OE⊥AB，过点C作CF⊥PB于F，∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴AC∥OE∥PB，四边形ABPC是矩形，∴CF=AB=6，∵CO=OP，∴AE=BE，设PB=x，则PC=2OE=2+x，PF=x-2，∴（x+2）2=（x-2）2+62，解得；x=，∴BP值为：．

考点：直线与圆的地位关系．

21.已知函数的图象与

轴有交点，则的取值范围为______．

【答案】k≤4

【解析】

【分析】分为两种情况：①当k-3≠0时，（k-3）x2+2x+1=0，求出Δ=b2-4ac=-4k+16≥0的解集即可；②当k-3=0时，得到函数y=2x+1，与x轴有交点；即可得到答案．

【详解】解：①当k-3≠0时，（k-3）x2+2x+1=0，Δ=b2-4ac=22-4（k-3）×1=-4k+16≥0，解得：k≤4；

②当k-3=0时，y=2x+1，与x轴有交点；

故k的取值范围是k≤4，故答案为：k≤4．

【点睛】本题次要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．

22.某服装店购进单价为15元的童装若干件，一段工夫后发现：当价为25元时平均每天能售出8件，而当价每降低1元，平均每天能多售出2件.当每件的定价为_______元时，该服装店平均每天的利润.【答案】22

【解析】

【详解】试题分析：设定价为x元时，利润为w元，由题意建立w与x的二次函数关系：w=（x-15）（×4+8）,化简得：w=，∵-2<0,∴当x===22时，w有值,∴当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的利润．

考点：利用二次函数处理实践成绩．．

23.△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为_____．

【答案】9

【解析】

【详解】分两种情况讨论：若∠OAB＝∠OBA＝70°，则∠BOA＝40°，边数为：＝9；

若∠BOA＝70°，则边数为：不为整数，故不存在．综上所述，边数为9．

三、解

答

题（共5题；共51分）

24.如图，⊙O直径AB垂直弦CD于点E，点F在AB的延伸线上，且∠BCF＝∠A．

（1）求证：直线CF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，DB＝4.求sin∠D的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】

【详解】试题分析：（1）连接OC，由OA=OA可知∠ACO=∠A，再根据∠FCB=∠A可知∠ACO=∠FCB，由于AB是⊙O的直径，所以∠ACO+∠OCB=90°故∠FCB+∠OCB=90°故可得出结论；

（2）由AB是⊙O的直径，CD⊥AB可知

试题解析:（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，又∵∠FCB=∠A

∴∠ACO=∠FCB，又∵AB是⊙O的直径

∴∠ACO+∠OCB=90°，∠FCB+∠OCB=90°

∴直线CF为⊙O的切线，（2）∵AB是⊙O

直径

∴∠ACB=90°

∵DC⊥AB

∴

∴BC=BD，∠A=∠D

∴

考点:

1.切线的判定；2.圆周角定理；3.解直角三角形.25.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，半径OD⊥AC于点E，过点D的切线与BA延伸线交于点F．

(1)求证：∠CDB=∠BFD；

(2)若AB=10，AC=8，求DF的长．

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】（1）根据切线的性质得到DF⊥OD，由于OD⊥AC，推出DF∥AC，根据平行线的性质得到∠CAB=∠BFD，再根据圆周角定理即可得到结论；

（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用类似三角形的判定与性质得出DF的长．

【详解】解：（1）∵DF与⊙O相切，D为切点，∴DF⊥OD，∵OD⊥AC，∴DF∥AC，∴∠CAB=∠BFD，∵∠CAB=∠CDB，∴∠CDB=∠BFD；

（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，∴AE=AC=×8＝4，∵AB是⊙O的直径，∴OA=OD=AB=×10=5，Rt△AEO中，OE==3，∵AC∥DF，∴△OAE∽△OFD，∴，∴，∴DF=．

【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、平行线的判定与性质、类似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，纯熟掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.26.水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=600，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米．

（1）已知需加固的大坝长为150米，求需求填土石方多少立方米？

（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．

【答案】解：（1）需求填土石方立方米.（2）加固后的大坝背水坡面DE的坡度为.【解析】

【分析】（1）分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；以CE为底，DG为高即可求出△CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积.（2）在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长；Rt△DEG中，根据DG、GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比.【详解】解：（1）如图，分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G．

在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°，∴，即DG=．

又∵CE=8，∴.又∵需加固的大坝长为150，∴需求填方：.答：需求填土石方立方米.（2）在Rt△DGC中，DC=，DG=，∴.∴GE=GC+CE=32.∴DE的坡度.答：加固后的大坝背水坡面DE的坡度为.27.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径．

（1）判断BC与⊙O的地位关系，并证明你的结论；

（2）求证：△ABD∽△DBE；

（3）若co=，AE=4，求CD．

【答案】（1）BC与⊙O相切；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

【详解】试题分析：（1）结论：BC与⊙O相切，连接OD只需证明OD∥AC即可．

（2）欲证明△ABD∽△DBE，只需证明∠BDE=∠DAB即可．

（3）在Rt△ODB中，由co==，设BD=k，OB=3k，利用勾股定理列出方程求出k，再利用DO∥AC，得列出方程即可处理成绩．

试题解析：（1）结论：BC与⊙O相切．

证明：如图连接OD．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．

（2）∵BC是⊙O切线，∴∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODE=90°，∵AE是直径，∴∠ADE=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∴∠BDE=∠DAB，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△DBE．

（3）在Rt△ODB中，∵co==，设BD=k，OB=3k，∵OD2+BD2=OB2，∴4+8k2=9k2，∴k=2，∴BO=6，BD=，∵DO∥AC，∴，∴，∴CD=．

考点：圆的综合题；探求型．

28.如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．

（1）写出点D的坐标

．

（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A．

①试阐明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；

②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为

时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只要三个点到x轴的距离等于2d；

③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．

【答案】（1）（3，﹣1）；

（2）①证明见解析；②（3﹣，1）、（3+，1）或（3，﹣1）；③当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．

【解析】

【详解】试题分析：（1）利用配方法将二次函数=（x﹣2）（x﹣4）变形为顶点式，由此即可得出结论；

（2）①由点P在对称轴l上，可得出二次函数的图象的对称轴为直线l，再点A、B关于对称轴l对称，二次函数（a≠0）的图象过点A，即可得出二次函数（a≠0）的图象过点B；

②由二次函数（a≠0）的图象上有且只要三个点到x轴的距离等于2d，即可得出d=1，再令二次函数=（x﹣2）（x﹣4）中y1=±1求出x值，即可得出结论；

③设N（n，0），则H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），由此即可得出，根据类似三角形性质即可得出，再根据对称性可得出，设KG=t（t＞0），则G的坐标为（3﹣t，m），E的坐标为（3﹣2t，m），由此即可得出关于m、t的二元方程组，解方程组即可求出m值．

试题解析：（1）∵=（x﹣2）（x﹣4）==，∴顶点D的坐标为（3，﹣1）．

故答案为（3，﹣1）．

（2）①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，∴点P的坐标为（3，2），∴二次函数=（x﹣2）（x﹣4）与的图象的对称轴均为x=3，∵点A、B关于直线x=3对称，∴二次函数（a≠0）的图象过点B．

②∵二次函数的顶点坐标P（3，2），且图象上有且只要三个点到x轴的距离等于2d，∴2d=2，解得：d=1．

令=（x﹣2）（x﹣4）=中y1=±1，即=±1，解得：x1=，x2=，x3=3，∴点R的坐标为（，1）、（，1）或（3，﹣1）．

故答案为（，1）、（，1）或（3，﹣1）．

③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，直线l也是二次函数（a≠0）的图象的对称轴．

∵二次函数过点A、B，且顶点坐标为P（3，2），∴二次函数=﹣2（x﹣2）（x﹣4）．

设N（n，0），则H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），∴HN=2（n﹣2）（n﹣4），QN=（n﹣2）（n﹣4），∴=2，即．

∵△GHN∽△EHQ，∴．

∵G、H关于直线l对称，∴KG=KH=HG，∴．

设KG=t（t＞0），则G的坐标为（3﹣t，m），E的坐标为（3﹣2t，m），由题意得：，解得：或（舍去）．

故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．