2021-2022学年上海市黄浦区中考数学测试模仿试题（二模）
（原卷版）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.下列实数中，介于与之间的是（）
A.；
B.；
C.；
D.．
2.下列方程中没有实数根的是（）
A.x2+x﹣1=0
B.x2+x+1=0
C.x2﹣1=0
D.x2+x=0
3.一个反比例函数与一个函数在同一坐标平面内的图像如图示，如果其中的反比例函数解析式为，那么该函数可能的解析式是（）
A
B.C.D.4.一个民营企业10名员工的月平均工资如下表，则能较好反映这些员工月平均工资程度的是（）
人次
工资
1.5
1.2
08
（工资单位：万元）
A.平均数；
B.中位数；
C.众数；
D.标准差．
5.计算：（）
A.；
B.；
C.；
D.0．
6.下列命题中，假命题（）
A.如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线圆心，并且垂直于这条弦；
B.如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线圆心，并且垂直于这条弦；
C.如果一条直线圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D.如果一条直线圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
二、填
空
题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.化简：=______．
8.因式分解：______．
9.方程x+1=的解是_____．
10.不等式组的解集是
.11.已知点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4，若反比例函数图像点P，则该反比例函数的解析式为______．
12.如果函数的图象、二、四象限，那么其函数值y随自变量x的值的增大而_____．（填“增大”或“减小”）
13.女生小琳所在班级共有40名先生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需求从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是______．
14.已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角度数是_____．
15.半径为r的圆内接正三角形的边长为________.（结果可保留根号）
16.如图，点D、E分别为△ABC边CA、CB上的点，已知DE∥AB，且DE△ABC的重心，设，则__________．（用、表示）
17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为_____．
18.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B翻折到点E处，如果DE∶AC=1∶3，那么AD∶AB=____________．
三、解
答
题：（本大题共7题，满分78分）
19.计算：.20.解方程组：.21.如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E.已知AB=AC=6，co=，AD∶DB=1∶2
（1）求△ABC的面积；
（2）求CE∶DE.22.今年1月25日，上海地区下了一场大雪.这天早上王大爷去买菜，他先去了超市，发现蔬菜普遍跌价了，青菜、花菜和大白菜这两天的价格如下表.王大爷觉得超市的菜不够新颖，所以他又去了菜市场，他花了30元买了一些新颖菠菜，他跟卖菜阿姨说：“你今天的菠菜比昨天涨了5元/斤．”卖菜阿姨说：“下雪天从地里弄菜不容易啊，所以你花这些钱要比昨天少买1斤了．”王大爷回答道：“应该的，你们也真的辛劳．”
青菜
花菜
大白菜
1月24日
2元/斤
5元/斤
1元/斤
1月25日
2.5元/斤
7元/斤
1.5元/斤
（1）请问超市三种蔬菜中哪种涨幅？并计算其涨幅；
（2）请你根据王大爷和卖菜阿姨的对话，来算算，这天王大爷买了几斤菠菜？
23.如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.（1）求证：BE=BF；
（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.24.已知抛物线点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB类似，求点P的坐标.25.如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；
（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.2021-2022学年上海市黄浦区中考数学测试模仿试题（二模）
（解析版）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.下列实数中，介于与之间的是（）
A.；
B.；
C.；
D.．
【答案】A
【解析】
【分析】根据开方数越大对应的算术平方根越大求解即可．
【详解】∵＜＜＜＜π＜，∴介于与之间的是．
故选A．
2.下列方程中没有实数根的是（）
A.x2+x﹣1=0
B.x2+x+1=0
C.x2﹣1=0
D.x2+x=0
【答案】B
【解析】
【分析】分别进行判别式求值，再利用判别式的意义对各项进行判断．
【详解】在x2+x﹣1=0中，△=12﹣4×（﹣1）=5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A不正确；
在x2+x+1=0中，△=12﹣4×1=﹣3＜0，故该方程没有实数根，故B正确；
在x2﹣1=0中，△=0﹣4×（﹣1）=4＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故C不正确；
在x2+x=0中，△=12﹣4×0=1＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故D不正确．
故选B．
3.一个反比例函数与一个函数在同一坐标平面内的图像如图示，如果其中的反比例函数解析式为，那么该函数可能的解析式是（）
A.B.C.D.【答案】B
【解析】
【分析】首先判断k的符号进而分析得出函数各部分符号，进而得出答案．
【详解】由反比例函数图象分布在二、四象限，可得：k＜0，由函数的图象、二、四象限，可得：项系数为负数，常数项为负数，故只要B选项正确．
故选B．
4.一个民营企业10名员工的月平均工资如下表，则能较好反映这些员工月平均工资程度的是（）
人次
工资
1.5
1.2
0.8
（工资单位：万元）
A.平均数；
B.中位数；
C.众数；
D.标准差．
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用平均数以及中位数和众数的定义求法和标准差的意义分别分析得出答案．
【详解】平均数为：（30+3+2+1.5×2+1.2+2+0.8×3）÷10=4.36（万元），中位数是：（1.5+1.2）÷2=1.35（万元），众数是：0.8万元，标准差反映的是数据的波动大小，无法反映这些员工月平均工资程度，只要中位数1.35万元，能够较好反映这些员工月平均工资程度．
故选B．
【点睛】本题次要考查了平均数以及中位数和众数的定义求法和标准差的意义，正确把握相关定义是解题的关键．
5.计算：（）
A.；
B.；
C.；
D.0．
【答案】C
【解析】
【分析】根据零向量的定义即可判断．
【详解】．
故选C．
6.下列命题中，假命题是（）
A.如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线圆心，并且垂直于这条弦；
B.如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线圆心，并且垂直于这条弦；
C.如果一条直线圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D.如果一条直线圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
【答案】C
【解析】
【分析】利用垂径定理及其推论逐一判断即可求得答案．
【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对一条弧，那么这条直线圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
C．如果一条直线圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；
D．如果一条直线圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．
二、填
空
题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.化简：=______．
【答案】
【解析】
【分析】进行分母有理化运算即可．
【详解】原式=．
故答案为：+1
【点睛】此题考查分母有理化运算，平方差公式，确定分母与分子的分母有理化因式是解题的关键．
8.因式分解：______．
【答案】；
【解析】
【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．
【详解】x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
故答案为（x﹣4）（x+3）．
9.方程x+1=的解是_____．
【答案】x=2
【解析】
【分析】在理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到在理方程的解．
【详解】两边平方得：（x+1）2=2x+5，即x2=4，开方得：x=2或x=-2，经检验x=-2是增根，在理方程的解为x=2．
故答案为x=2
10.不等式组的解集是
.【答案】；
【解析】
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】
由不等式①得，x＞；
由不等式②得，x≤6，∴此不等式组的解集为：＜x≤6．
故答案为＜x≤6．
11.已知点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴距离分别为2和4，若反比例函数图像点P，则该反比例函数的解析式为______．
【答案】；
【解析】
【分析】直接利用已知得出P点坐标，再利用反比例函数解析式求法得出答案．
【详解】∵点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4，∴P点坐标为：（-2，-4）或（-4，-2），则该反比例函数的解析式为：y=．
故答案为y=．
12.如果函数的图象、二、四象限，那么其函数值y随自变量x的值的增大而_____．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小；
【解析】
【分析】由函数图象的象限可得出k＜0、b＞0，再利用函数的性质可得出y随x的增大而减小，此题得解．
【详解】∵函数的图象、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴y随x的增大而减小．
故答案为减小．
13.女生小琳所在班级共有40名先生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需求从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出小琳所在班级的女生人数，再根据概率公式计算可得．
【详解】∵小琳所在班级的女生共有40×60%=24人，∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，小琳被抽到的概率是．
故答案为．
14.已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的度数是_____．
【答案】70°
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠C=180°，由已知条件得出∠C-∠B=40°，解答即可．
【详解】如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠C-∠B=40°，解得：∠B=70°，故答案是：70°．
【点睛】考查了平行四边形的性质、平行线的性质；纯熟掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是处理成绩的关键．
15.半径为r的圆内接正三角形的边长为________.（结果可保留根号）
【答案】r
【解析】
【详解】作辅助线，构建直角三角形，利用三角函数可求出．
解：
正三边形的O作边AB的垂线OC，则∠O=60度；在直角△OBC中，根据三角函数得到AB=2OBsin60°=r，内接正三角形的边长为r
16.如图，点D、E分别为△ABC边CA、CB上的点，已知DE∥AB，且DE△ABC的重心，设，则__________．（用、表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的重心的性质得到DE=AB，根据题意求出AB的向量，计算即可．
【详解】∵DE∥AB，DE△ABC的重心，∴DE=AB．
∵==，∴=﹣，∴=（﹣）．
故答案为（﹣）．
【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行向量的知识，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=DM=13，根据等腰三角形的性质得到BN=12，根据勾股定理得到答案.【详解】连接BM、DM，∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=AC，DM=AC，∴BM=DM=13，又N是BD的中点，∴BN=DN=BD=12，∴MN==5，故答案为5.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.18.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B翻折到点E处，如果DE∶AC=1∶3，那么AD∶AB=____________．
【答案】∶1．
【解析】
【详解】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，∴∠BCA=∠ECA，AE=AB=CD，EC=BC=AD．∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠ECA=∠DAC，设AD与CE相交于F，则AF=CF，∴AD﹣AF=CE﹣CF，即DF=EF，∴=．又∵∠AFC=∠DFE，∴△ACF∽△DEF，∴===，设DF=x，则AF=FC=3x．在Rt△CDF中，CD==2x．又∵BC=AD=AF+DF=4x，∴==．故答案为．
点睛：本题考查了翻折变换（折叠成绩），矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，类似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
三、解
答
题：（本大题共7题，满分78分）
19.计算：.【答案】4.【解析】
【详解】试题分析：直接利用分数指数幂的性质以及零指数幂的性质和值的性质分别化简即可．
试题解析：解：原式===4．
20.解方程组：.【答案】，，【解析】
【详解】试题分析：变形方程组中①，得两个一元方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可．
试题解析：解：
由①得：（x﹣y）2=9
所以x﹣y=3③，x﹣y=﹣3④
③②与④②联立得：
解方程组，得：；
解方程组，得：．
所以原方程组的解为：．
点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元方程用代入法求解．
21.如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E.已知AB=AC=6，co=，AD∶DB=1∶2.（1）求△ABC的面积；
（2）求CE∶DE.【答案】解：（1）；（2）.【解析】
【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH和AH的长，从而可以求得△ABC的面积；
（2）根据三角形的类似和题意可以求得CE：DE的值．
试题解析：解：（1）∵AB=AC=6，co=，AH是△ABC的高，∴BH=4，∴BC=2BH=8，AH=，∴△ABC的面积是；==8；
（2）作DF⊥BC于点F．∵DF⊥BH，AH⊥BH，∴DF∥AH，∴．∵AD：DB=1：2，BH=CH，∴AD：AB=1：3，∴，∴，即CE：DE=3：1．
点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求成绩需求的条件，利用数形的思想解答．
22.今年1月25日，上海地区下了一场大雪.这天早上王大爷去买菜，他先去了超市，发现蔬菜普遍跌价了，青菜、花菜和大白菜这两天的价格如下表.王大爷觉得超市的菜不够新颖，所以他又去了菜市场，他花了30元买了一些新颖菠菜，他跟卖菜阿姨说：“你今天的菠菜比昨天涨了5元/斤．”卖菜阿姨说：“下雪天从地里弄菜不容易啊，所以你花这些钱要比昨天少买1斤了．”王大爷回答道：“应该的，你们也真的辛劳．”
青菜
花菜
大白菜
1月24日
2元/斤
5元/斤
1元/斤
1月25日
2.5元/斤
7元/斤
1.5元/斤
（1）请问超市三种蔬菜中哪种涨幅？并计算其涨幅；
（2）请你根据王大爷和卖菜阿姨的对话，来算算，这天王大爷买了几斤菠菜？
【答案】（1）大白菜涨幅，为50%；（2）这天王大爷买了2斤菠菜.【解析】
【详解】试题分析：（1）算出三种蔬菜的跌价率，比较即可；
（2）设买了x斤菠菜，根据题意列分式方程，求解即可．
试题解析：解：（1）（2.5-2）÷2=25%，（7-5）÷5=40%，(1.5-1)÷1=50%．故大白菜涨幅．
答：大白菜涨幅，为50%．
（2）设买了x斤菠菜，根据题意得：
化简得：
解得：（不合题意，舍去）
答：这天王大爷买了2斤菠菜．
23.如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.（1）求证：BE=BF；
（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到AB=CB，AD=CD，∠A=∠C，再根据中点的定义得到AE=CF，根据SAS可证△BAE≌△BCF，根据全等三角形的性质得到BE=BF即可；
（2）作辅助线，先根据线段垂直平分线的逆定理证明BD是EF的垂直平分线，由等边三角形三线合一得：EG=FG，∠EBG=∠EBF=30°，设EG=x，则BE=2x，BG=x，根据中位线定理得：AO=2EG=2x，OB=x，证明△BHO∽△BEG，列比例式可得OH=，BH=x，再求AH=x，则AH=BH，可得∠DAB=60°，∠ADC=120°，从而得出结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AB=BC=AD=CD．∵点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点，∴AE=AD，CF=CD，∴AE=CF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE=BF；
（2）如图，连接AC、BD交于点O，设BD与EF交于G，AC与BE交于H，则AC⊥BD．∵BE=BF，ED=DF，∴BD是EF的垂直平分线，∴EG=FG，∠EBG=∠EBF=30°，Rt△BEG中，设EG=x，则BE=2x，BG=x．∵EG∥AO，E为AD的中点，∴G是OD的中点，∴AO=2EG=2x，OB=x．∵OH∥GE，∴△BHO∽△BEG，∴，∴==，∴OH=，BH=x，∴AH=AO﹣OH=2x﹣x=x，∴AH=BH，∴∠HAB=∠ABH．∵∠BHC=∠HAB+∠ABH=60°，∴∠HAB=30°，∴∠DAB=60°，∴∠ADC=120°，∴∠ADC=2∠DAB，即∠D=2∠A．
【点睛】本题次要考查先生对菱形的性质，全等、类似三角形的判定，三角形的中位线定理及等边三角形的性质等知识的理解及运用，第二问有难度，证明BD是EF的中垂线是关键．
24.已知抛物线点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB类似，求点P的坐标.【答案】（1）；（2）点P的坐标为（5,8），.【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）直线BD交x轴于E，如图，先把解析式配成顶点式得到D（2，-1），再利用待定系数法求出直线BD的解析式，则可确定E点坐标，然后根据三角形的面积公式，利用S△ABD=S△ABE+S△ADE进行计算即可；
（3）先确定抛物线的对称轴为直线x=2，设P（x，x2-4x+3）（x＞2），则H（2，x2-4x+3），再表示出PH=x-2，HD=x2-4x+4，根据类似三角形的判定方法，当时，△PHD∽△AOB，即；当时，△PHD∽△BOA，即，然后分别解方程即可得到满足条件的P点坐标．
【详解】（1）把A（1，0）和B（0，3）代入y=x2+bx+c得，解得：，∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；
（2）直线BD交x轴于E，如图，∵y=（x-2）2-1，∴D（2，-1），设直线BD的解析式为y=mx+n，把B（0，3），D（2，-1）代入得，解得，∴直线BD的解析式为y=-2x+3，当y=0时，-2x+3=0，解得x=，则E（，0），∴S△ABD=S△ABE+S△ADE=×（-1）×3+×（-1）×1=1；
（3）抛物线的对称轴为直线x=2，设P（x，x2-4x+3）（x＞2），则H（2，x2-4x+3），∴PH=x-2，HD=x2-4x+3-（-1）=x2-4x+4，∵∠PHD=∠AOB=90°，∴当时，△PHD∽△AOB，即，解得x1=2（舍去），x2=5，此时P点坐标为（5，8）；
当时，△PHD∽△BOA，即，解得x1=2（舍去），x2=，此时P点坐标为（，-）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（5，8）或（，-）．
25.如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当∠B=70°时，求∠AEC度数；
（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.【答案】（1）；（2）∠AEC=105°；（3）边BC的长为2或.【解析】
【详解】试题分析：（1）过A作AH⊥BC于H，得到四边形ADCH为矩形．在△BAH中，由勾股定理即可得出结论．
（2）取CD中点T，连接TE，则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD，∠AET=∠B=70°．
又AD=AE=1，得到∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，即可得到结论．
（3）分两种情况讨论：①当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，解△ABH即可得到结论．
②当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，由类似三角形对应边成比例即可得到结论．
试题解析：解：（1）过A作AH⊥BC于H．由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形．
在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=，∴，则
（2）取CD中点T，联合TE，则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD，∴∠AET=∠B=70°．
又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，∴∠AEC=70°＋35°=105°．
（3）分两种情况讨论：①当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，得BH=1，于是BC=2．
②当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又，则（舍负）
易知∠ACE<90°，所以边BC的长为．
综上所述：边BC的长为2或．
点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，类似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．
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