“双减”优秀作业设计：初中数学作业设计案例

“双减”优秀作业设计：初中数学作业设计案例三篇

（一）消元—解二元一次方程组的拓展练习

初一年级人教版数学第八章

课题：消元法—解二元一次方程组的拓展练习

作业设计目标：

针对学生的实际情况，可以把作业分成三个部分，第一个部分探究知识技能，让学生会使用消元法解二元一次方程组；第二部分为数学思考，使学生对二元一次方程组的理解

更加深刻，可以解较复杂的二元一次方程组；第三部分为问

题解决，让学生可以用二元一次方程组解决生活中遇到的问题。

作业的分层使优等生能在巩固基础知识的同时不断拓展，使自己的知识量和灵活性都有所提升；中等生可以在保证基础知识扎实的情况下有较大的进步，在灵活运用方面有所提高；而学困生则确保能掌握课标设定的教学底线。

实施过程：

一共分为三部分作业，前俩部分作业由学生任选其一完成，第三部分作业任选其中俩道完成，第三道题为选做题。这样分层可以使学生根据自身条件有选择的完成作业，而不是由老师主观上给学生进行分层，这样即维护了学生的自尊心，同时也使学生在完成作业时有了可操作性。

效果分析：

学生完成分层作业后，各层次的学生在作业本上把当天的知识进行小结。通过小结当天的知识点、解题方法以及解

题时的独到见解，积累方法，优化解题策略。对他们成功的尝试给予大胆的鼓励和表扬，让他们感受到自己成功的愉悦，进一步增强学习的自信心和提高学习兴趣，让他们养成善于

思考的好习惯。

案例反思：

学生在这样的激励机制下，学习有压力也有动力，在成功的尝试中来树立学习的自信心，培养学习数学的兴趣，从而可实现：“人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标。

要设计好分层作业的题目，需要我们老师花更多的时间

和精力，需要对所教内容的知识点有非常深刻的理解和把握，精心挑选，这样才能设计出适合各个层次学生完成的作业，从而增强学生做数学作业的兴趣，提高数学作业的质量，进

而提高数学教学的质量。

一、知识技能练习：

1、解下列方程组

ì

y

=

í

x

ì

y

=

í

x

î3x

y

=

î3x

y

=

ì3x

+

y

（3）

í

=



（4）

ìx

+1

=

5（y

+

2)

ï

í

x

y

=

î2x

y

=

îï

62、选择题

（1）．将方程

x＋2y＝11

变形为用含

x的式子表示

y，下列变形中正

确的是（）

x



x

A.y＝

B.y＝



ì3x

y

=

C．x＝2y﹣11

D．x＝11﹣2y

î

（2）．二元一次方程组í2x

+

y

=

3更适合用哪种方法消元（）

A．代入消元法

B．加减消元法C．代入、加减消元法都可以

D．以上都不对

二、数学思考

1、解下列方程组

ìx

+

y

=

0



ì

x

+1

ï



y

=

(1)

í

(2)

í

î3x

+

y

=

0

ìx

+

y

=

ï

ïî3x

+

y

=

ì

x

+

=

5（y

+

2)

ï

(3)

í

x

y

=

(4)

í

x

y

=

îï

îï

62、填空题

（1）．若

x

+

y

+



2x

y

=

0，则x

y的值为

．

2x

+

y

（2）．已知（x﹣y+3）2+

＝0，则（x+y）2021＝

．

ìx

y

=

2m

+

（3）．若关于

x、y的二元一次方程组í

î

x

+

3y

=

的解满足

x+y=1，则

m的值为

．

三、问题解决

甲种货车（辆）

乙种资车（辆）

总量（吨）

第一次

第二次

1.疫情期间，某人要将一批抗疫物资运往西安，准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车、已知过去两次租用这两种货车（均装满货物）的情况如下表：

(1)

甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？

(2)

若有

吨的物资需要运往西安，准备同时租用这两种货车，每辆全部均装满货物，问有哪几种租车方案？请全部设计出来．

2.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时

千米的速度行驶，就会迟到

分钟，如果他以每小时

千米的速度行驶，则可提前

分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离．

3.甲、乙两工程队共同修建

150km的公路，原计划

个月完工．

实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了

50%，乙队施工效率不变，结果提前

个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？

（二）《平行四边形的性质与判定》作业设计

人教版八年级下册

数学

【作业设计目标】

1、通过思考与推理运算，建构平行四边形的性质和判定的知识网络。加深对平行四边形的性质和判定方法的理解。

2、综合运用平行四边形的判定和性质解决问题，加强对“数形结合”、“分类讨论”、“化归”等数学思想与方法的体会，提

升推理能力、逻辑思维能力和直观想象能力。

3、经历数学问题的剖析、思维过程及实际问题的解决，感受数学的实际应用价值和应用数学的意识，提高运用数学知识解

决实际问题的能力，提升数学核心素养。

【作业实施过程与策略】

学生独立完成，教师面批，一共分为三部分作业，学生根据自

身学习力有选择的完成作业，教师不对学生进行主观上的分层。

【作业内容】

（一）基础巩固性作业

1、(教材

P43

练习

T1

变式)在▱

ABCD

中，AD＝3

cm，AB＝2

cm，则▱

ABCD的周长为

2、在▱

A

B

C

D中,(1)若∠A=125°，则∠B=

°，∠C=

°，∠D=

°

(2)若∠A+∠C

=

140°，则∠A=

°，∠B=

°

(3)若∠A∶∠B

=

3∶2,则∠A=∠C=

°,∠B=∠D=

°.3、(教材

P44

练习

T1

变式)如图，▱

ABCD的对角线

AC，BD

相交于点

O，且

AD＝

8，BD＝

12，AC＝

6，则△

OBC的周长为

.4、已知：四边形

A

B

C

D，从下列条件中任取两个条件加以组合，能判定四边形

A

B

C

D是平行四边形的组合是

．

①AB

//

CD

②B

C//A

D

③A

B

＝

C

D

④B

C＝A

D

⑤∠A＝∠C

⑥∠B

＝∠

D

⑦

AO＝OC；⑧

DO＝BO；

5、（教材第47

页例

改编）如图，在▱

A

B

C

D

中，E、F分别为

A

B、C

D上两点，（1）

若A

E

＝

C

F，连接

D

E、B

F．四边形D

E

B

F为平行四边形吗？

你能用不同方法说明吗？

（2）

若

D

E、B

F分别是∠A

D

C

和∠A

B

C的角平分线，交

A

B、C

D

于点

E、F．四边形

B

E

D

F还是平行四边形吗？说明理由．

[设计意图]第1、2、3

题分别从边、角、对角线考查对平行四边形性质的理解，第4

题考查对平行四边形判定的理解，第5

题是对平行四边形性质与判定的综合应用。以题代知识点，通

过对教材的例题和习题的变式与改编，以问题串形式回顾平行四边形的概念、性质和判定等知识，让学生通过推理、计算等过程，进一步完善知识体系，尝试构建思维导图。通过问题串，反馈学生对平行四边形的性质和判定的理解和简单应用。

（二）能力提升性作业

1、如图，在▱

A

B

C

D

中，D

E平分∠A

D

C，A

D

=

6,B

E

=

2,则▱

A

B

C

D的周长是

.[设计意图]数形结合，考查平行四边形性质的理解与运用，渗

透“平行线+角平分线⟹

等腰三角形”模型，发展几何直观能力

2、李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他

想星期六回家去割一块放回实验室，他拿着剩下的玻璃去玻璃店,聪明的技师很快就给他割一块和原来的平行四边形一样大小的玻璃片，你知道他用的是什么方法吗?

[设计意图]

创设实际生活中的问题情境，将实际问题数学化，考查平行四边形定义与判定的理解，发展应用意识。

3、(教材

P50

练习

T8

延伸)如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△A

B

C中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣

2，0），C点坐标为（0，﹣1），若以

A、B、C及点

D为顶点的四边形为平行四边形

A

B

C

D，在图中画出平行四边形

A

B

C

D，并

写出

D点的坐标

．

[设计意图]通过对教材习题的变式，体会数形结合、分类讨论的思想方法。总结平行四边形存在性问题的通性通法，理解这一类数学问题的解决方法，提升直观想象等数学核心素养。

4、（教材第46

页例

变式）如图，在▱

A

B

C

D

中，E,F

是线段AC上的两点,且有

A

E

=

C

F，（1）

四边形

B

F

D

E

是平行四边形吗?为什么?

（2）

当点E,F在直线A

C上时,四边形B

F

D

E

还是平行四边形吗?

为什么?

（3）

若

A

F

=

C

E,结论是否仍然成立?请说明理由.（4）

若

B

E

∥D

F,结论是否仍然成立?请说明理由.（5）

B

E

⊥

A

C

于E,D

F

⊥

A

C

于F,结论是否仍然成立?请说明理由.[设计意图]（用不同方法解决）考查证明平行四边形的方法的确定及平行四边形的判定定理的应用,通过条件的变化,体会

判定方法的灵活运用及解决问题策略的多样性，及不同方法之

间的比较,体会到证明方法的优化选择。发展推理能力、逻辑思维能力。

（三）拓展拔高性作业

1、(教材

P51

练习

T14

改编)从前,一位农场主有一大块田地,其形状是一个平行四边形(图中的▱

A

B

C

D)

.田地内有一口井,位于图中的点P

处.井所占的面积非常有限,与整片田地比起来简直可以看成“一点”(面积可忽略不计)，现在农场主要把

这块田平均分给两个儿子，且使两块地共用这口水井，请你利

用所学数学知识进行设计，并说明你的理由

[设计意图]利用平行四边形性质解决面积相等问题，把知识融入到实际问题的故事情境中,让学生感受到数学知识来源于生活,又服务于生活.体会数学知识的应用价值，发展应用意识。

2、以“思维导图”，“手抄报”或“数学日记”等形式

对本节知识内容进行梳理；总结求解平行四边形问题常用的数学思想方法；回顾平行四边形的研究要素、研究思路、研究方法是

什么？归纳几何图形研究的一般思路和方法。

【作业设计效果反思】

本节是在学习了平行四边形的定义、性质、判定后设计的，旨在复习巩固平行四边形的定义、性质、判定，达到理解与应用的目的；作业设计有层次梯度性，通过层层递进习题，使不同层次学生都能得到提高，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，基础巩固类作业适用于全体学生，能力提升类适用于中等偏上学生，拔高拓展类适用于学优生；

学生根据自身学习力有选择的完成作业，教师不对学生进行主观上的分层，以保护学生的自尊心。学优生在巩固基础知识的同时不断拓展，提高了数学思维能力和综合运用能力，学困生不因解决不了难题而抄袭作业，学生更感兴趣，乐于完成。基于“双减”的数学课，重在提升学生的能力，发展学生的核心素养，本设计注重对学生基础知识与基本能力的考查，通过对问题的解决，总结求解平行四边形问题常用的数学思想方法以及几何图形研究的一般思路和方法，为后续学习特殊平行四边形做基础；加深学生对数学学科思想方法（“数形结合”、“分类讨论”、“化归”等）和关键能力（推理能力、逻辑思维能力和直观想象能力，应用意识）的培养。

（三）《图形的旋转》作业设计

学段：初中

学科：数学

主题

图形的旋转

教材来源

人教版初中数学九年级上册

23.1

图形的旋转

作业目标

1、通过作业的练习，巩固有关旋转的定义，图形旋转的三个要素，以及旋转的性质相关知识。

2、能运用旋转的定义和性质相关知识解决生活中遇到的有关旋转的问题，培养其观察分析能力以及实践运用的能力。

3、感受图形旋转变换的美学价值感受数学美，发展学

生的审美观念。

作业实施过程与策略

本次作业设计基于“双减”政策的要求，做到“减量提质”，在有限的题型中达到无限的可能性。设计时

将作业分为基础性、拓展性和实践性，让每一个学生都能在合适自己的作业中巩固自己，提升自己。作业的形式也进行多样化处理，有简单的、有趣的读图选择题，通过图形的变化来训练学生的观察能力；还有操作题，让学生通过动手操作来加深对旋转的含义和性质的理解。拓展题为探究题，让学生在自主学习和合作探究中展现自我，同时搭建了一个自主、合作、探究的舞台，引导学生个性化学习，潜力也被充分挖掘。

最后的综合实践作业设计是制作实物装置，在制作过程中可以掌握多学科知识和生活经验技能，掌握完成任务的综合能力。

评价方式也是比较多样化，可以是老师点评，也可以是学生自评以及生生互评，让学生在点评中从不

同角度认识本课知识。

作业内容

基础巩固（必做）

1、下列四个图形中，不能由左边第一个图通过平移或旋转得到的图形是（）

A．

B.C．

D．

【设计意图】本题通过生动的图形考查平

移、旋转变换，了解图形的变换特征。

【答案】B2、下列图形不能由旋转得到的是（）

A．

B．

C．

D．

【设计意图】

本题通过立体图形考查旋转的性质，掌握旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、性质都不改变。

【答案】A3、2022

年

月

日－2

月

日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花

图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转

（）

A．180°

B．120°

C．90°

D．60°

【设计意图】本题通过冬奥会这个热点事件考查生活中对称图形的旋转等知识，还可以巩固正六边形的性质等知识。

【答案】D4、操作题

下图的△DEF

是由△ABC

通过一次旋转得到的，请用直尺和圆规在图下的方框中画出旋转中心。

【设计意图】本题是让学生通过自己的动手操作，来了解旋转的性质和特点，发展学生的空间观念以及培养其

观察分析能力、实践运用的能力。

【答案】解：如图所示点P

即为所求作的旋转中心。

拓展提升（选做）

5、探究三角形中的“费马点”

要求：大家可以

个人分成一个小组，根据背景资料以及探究引导，认识不同三角形的“费马点”的特点，完成下列探究任务。

背景资料：在已知VABC

所在平面上求一点

P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640

年前后向意大

利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们

【设计意图】本题通过费马这个伟大的数学

家的理论为主题，吸引感兴趣的学生来挑战，然后通过阅读资料，步骤引导等方式，让学生探索自主学习的魅力，还有分小组合作探究，也可以培养学生交流

沟通的能力，同时设置的问题还能考查学生，称为“费马点”。如图

1，当VABC

三个内角均小于

120°时，费马点

P

在VABC

内部，当

ÐAPB

=

ÐAPC

=

ÐCPB

=

120°

时，则PA

+

PB

+

PC

取得最小值。

（1）

初步探究：如图

2，等边VABC

内有一点

P，若点P

是VABC的费马点，求、、的度数。

（2）

深入探究：如图

3，在RT

VABC

中，ÐC

=

90°

AC

=1，ÐABC

=

30°，点

P

为VABC的费马点，连接AP、BP、CP，求PA

+

PB

+

PC的值。

（3）

“费马点”在实际生活中的运用，举一个例子说明即可。

图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质等综合知识的运用，最后“费马点”的实际运用则是将学

生抽象的概念转化成具体的实际运用，提升，学生的逆向思维和发散思维能力。

【答案】(1）三个角都是

120°；

（2）

7；

（3）比如：三个不同的小镇之间要建一个大型商场，可以利用“费马点”来寻找最佳建设地点。

综合实践（选做）

5、（1）请用合适的材料按要求设计制作类似下

【设计意图】本题第图的旋转摆动装置，并在下面方框中写出你的（1）题通过让学生动

设计样图以及设计思路。

手制作一个旋转摆动

装置规格：如下图

1，BC

在地面上，支架

装置，培养学生的动手

ABC

是底边为BC的等腰直角三角形，BC

=

10，实践能力，因为制作题

摆动臂AD

可绕点A

旋转，AD

=

2。

为开放题，不限制设计

提示：使用材料可以为细铁线、木条等。

思路，让学生在规则之

内完成对装置的美学设计，初步感受旋转变换的美学价值，发展学生的审美观念。第（2

题属于几何变换综合题，考查了旋转的性

（2）装置如下图

2，若摆动臂AD

顺时针旋转

质，等腰直角三角形的90°，点D的位置由△ABC

外的点D1

转到其内的点D2

处，此时∠AD2C＝135°，CD2＝1，求

BD2的长。

判定与性质，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定和性质

等知识，充分融合各个阶段的知识进行融会贯通。

【答案】（1）略

(2)

5；）

效果分析

此次作业的设计效果总体表现尚佳，同学们表现较为积极，因为

基础题较为简单，而且不再是单一的文字，图文并茂也增加一些趣味操作题虽然颇具难度，但是强度不大，能让基础较差的学生体验成功的愉悦感，而探索研究题又是著名数学家费马的经典问题，反应也比

较积极，最后的制作实物也让学生颇感兴趣，在简单的设计和制作过

程中，让学生感悟使用数学模型的简便性和直观性。

案例反思

本次作业的设计都围绕旋转这一课题做延伸和拓展，但是在探究“费马点”这个知识的时候，大家还是比较会忽略这个旋转的简单解

题模式，进而尝试别的思路，所以会造成偏离主题的可能，但是后来

经过引导，发现旋转不仅具有美学价值，还充当了几何数学解题思路的桥梁，这样一旋转一搭配，就有了一个新的捷径。，（一）