2015春八年级数学下册《6.4 多边形的内角和与外角和》教案1 (新版)北师大版

第一篇：2015春八年级数学下册《6.4 多边形的内角和与外角和》教案1 (新版)北师大版

《多边形的内角和与外角和》

第1课时

教学目标 知识与技能：

表述多边形的有关概念（内角、外角、对角线、凸多边形、凹多边形）； 情感态度价值观：

1、通过探索过程进一步体会知识点之间的联系；

2、通过本节的学习进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 教学重难点

表述多边形的有关概念（内角、外角、对角线、凸多边形、凹多边形）． 教学过程

（一）引入

你能从图1中找出几个由一些线段围成的图形吗？

图1

（二）知识点

我们学过三角形，类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（polygon）．

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．如图2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形．

图2 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．图3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角．多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．图4中的∠1是五边形ABCDE的一个外角．

图3 图4 图5 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）．图5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线．

特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线n(n3)条． 2例如：十边形有________条对角线．在这里n=10，就可套用对角线条数公式n(n3)10(103)35（条）． 22

图6 如图6（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形．而图6（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．本节只讨论凸多边形．

我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．图7是正多边形的一些例子．

图7 特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备：①各内角都相等；②各边都相等．例如： 矩形各个内角都相等，它就不是正四边形．再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形．

第2课时

教学目标 知识与技能：

1、探索并说出多边形的内角和与外角和公式；

2、进一步发展说理能力和简单的推理能力． 过程与方法：

经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，实际测量，推理． 情感态度价值观：

1、通过探索过程进一步体会知识点之间的联系；

2、通过本节的学习进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 教学重难点

重点是多边形的内角和与外角和定理．

难点是学会善于运用三角形的有关知识来研究多边形的问题，能够灵活运用多边形内角和与外角和解决相关问题． 教学过程

（一）思考

三角形的内角和等于180°．正方形、长方形的内角和都等于360°，其他四边形的内角和等于多少？

（二）探究

任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．

再画几个四边形，量一量，算一算．你能得出什么结论？能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？

如图8，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形．这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°．

图8 从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图9，请填空： 图9 从五边形的一个顶点出发，可以引_______条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的内角和等于180°×_________．

从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于180°×__________．

通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？ 一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：

从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°×______．

总结：过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形内角和180°．

所以n边形内角和（n－2）×180°．

把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？

方法2：如图：10过n边形内任意一点与n边形各顶点连接，可得n个三角形，其内角和n×180°．再减去以O为顶点的周角．

即得n边形内角和n·180°－360°．

图10 得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n－2）·180°．

（三）例题

例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

图11 解：如图11，四边形ABCD中，∠A＋∠C=180°．

因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D=（4－2）×180°=360°，所以∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°．

这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．

例2：如图12，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

图12 分析：考虑以下问题：

（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？

（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？ 联系这些问题，考虑外角和的求法．

解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°．6个外角连同它们各自相邻的内角，共有12个角．这些角的总和等于6×180°．

这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°．

（四）探究

如果将例2中六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？ 思路：（用计算的方法）

设n边形的每一个内角为∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相邻的外角分别为180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，……180°－∠n．外角和为（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋……＋（180°－∠n）=n×180°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n×180°－（n－2）×180°=360°

注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想． 由上面的探究可以得到： 多边形的外角和等于360°．

你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°．

如图13，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．

图13 6

第二篇：北师大版八年级数学下册6.4多边形的内角和与外角和同步测试题

6.4

多边形的内角和与外角和

同步测试题

（满分120分；时间：90分钟）

一、选择题

（本题共计

小题，每题

分，共计24分，）

1.一个n边形的内角和是外角和的2倍，则n的值为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

2.若正多边形的内角和是540∘，则该正多边形的一个外角为（）

A.45∘

B.60∘

C.72∘

D.90∘

3.若正多边形的一个外角为60∘，则这个正多边形的内角和为（）

A.720∘

B.900∘

C.1080∘

D.1980∘

4.如果一个正多边形的每一个外角都是36∘，那么这个多边形的边数是（）

A.10

B.11

C.12

D.13

5.已知一个多边形的内角和是1260∘，则这个多边形是

（）

A.六边形

B.七边形

C.八边形

D.九边形

6.如果一个多边形的内角和是

540∘，那么这个多边形是（）

A.四边形

B.五边形

C.六边形

D.七边形

7.一个正多边形每个外角都是30∘，则这个多边形边数为（）

A.10

B.11

C.12

D.13

8.小明同学在计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2005∘．则n等于（）

A.11

B.12

C.13

D.14

二、填空题

（本题共计

小题，每题

分，共计21分，）

9.五边形的外角和是________度．

10.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260∘，则这个多边形边数是________．

11.若十二边形的每一个内角都相等，那么它每个内角的度数是________．

12.已知一个正多边形的内角和为1440∘，则它的一个外角的度数为________度．

13.如果正多边形的一个外角是72∘，则这个多边形的内角和度数是________.14.一个正多边形的每个内角度数均为135∘，则它的边数为________．

15.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180∘，这个多边形的边数是________．

三、解答题

（本题共计

小题，共计75分，）

16.已知多边形的一个外角与其内角和的总和为600∘，求此多边形的边数．

17.已知一个多边形的外角和是内角和的27，求这个多边形的边数及内角和．

18.已知一个多边形的内角和是外角和的2倍多180∘，则这个多边形的边数是多少？

19.一个多边形除去一个内角外，其余各角之和为2 750∘，求这个多边形的边数及去掉的角的度数．

20.一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角等于它的相邻内角的23，求这个多边形的外角．

21.已知四边形的一个内角是56∘，第二个内角是它的2倍，第三个内角比第二个内角小10∘．求第四个内角的大小．

22.如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，求图中五扇形（阴影部分）的面积之和．

23.如图，在四边形ABCD中，BE和DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，BE与DF相交于点G，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．

（1）如图1，若α+β＝168∘，求∠MBC+∠NDC的度数．

（2）如图1，若∠BGD＝35∘，试猜想α、β所满足的数量关系式，并说明理由．

（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

第三篇：八年级数学上4.6探索多边形的内角和与外角和教案北师大版

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http://www.xiexiebang.com 探索多边形的内角和与外角和(二)教学目标(一)教学知识点

1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.2.掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.(二)能力训练要求

1.经历探索多边形的外角和公式的过程.进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.(三)情感与价值观要求

（1）.经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯；（2）.通过对内角、外交之间的关系，体会知识之间的内在联系。.教学重点：多边形的外角和公式及其应用.教学难点：多边形的外角和公式的应用.教学过程：

一.巧设情景问题，引入课题

清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步.(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

(3)在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？

（请同学们探讨解决，教师总结）

下面大家来看小亮的思考：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ,其中：∠α=∠1,∠β=∠2，∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5.亿库教育网

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大家看图，∠

1、∠

2、∠

3、∠

4、∠5不是五边形的角，那是什么角呢？ 它们的和叫什么呢？

（这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和.）我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和.二.讲授新课

那什么是多边形的外角、外角和呢？我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角.另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。

在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.一般地，在多边形的任一顶点处按顺(逆)时针方向可作外角，n边形有n个外角.那多边形的外角和是多少呢？我们来回忆一下：三角形的外角和为多少？（360°）刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，那大家想一想： 如果广场的形状是六边形、八边形.它们的外角和也等于360°吗？

(学生讨论，得出结论)（六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°）

那么能不能由此得出：多边形的外角和都等于360°呢？能得证吗？ 因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n－2)·180°= 360°.性质：多边形的外角和都等于360°

由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°.下面大家来想一想、议一议：利用多边形外角和的结论，能不能推导多边形内角和的结论呢？

（请学生思考后回答）

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http://www.xiexiebang.com（因为对于n(n是大于或等于3的整数)边形，每个顶点处的内角及其一个外角恰好组成一个平角.因此，n边形的内角和与外角和的和为n·180°，所以，n边形的内角和就等于n·180°－360°=n·180°－2×180°=(n－2)·180°）.三．知识应用

［例1］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用.根据题意，可列方程解答.(让学生动手解答)解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°,外角和等于360°，所以：

(n－2)·180°=3×360° 解得：n=8 这个多边形是八边形.四.课堂练习

(一)课本P112随堂练习

1.一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是n边形？

解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是： 360°÷60°=6 2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？

解：这种正多边形是正六边形，理由是：设：这个正多边形的一个内角为x°，则由题图得：3x=360°.x=120°.再根据多边形的内角和公式得： n×120°=(n－2)×180°.解得n=6(二)试一试

1.是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的1？为什么？ 5解：不存在，理由是：

如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°－α，于是：

1×α=180°－α,解得α=150°.5这个多边形的边数为：360°÷150°=2.4,而边数应是整数，因此不存在这样的多边形.亿库教育网

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http://www.xiexiebang.com 2.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？ 解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角.理由是： 设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°.α+β+γ+δ＞360°.同理最多能有三个小于90°.五.课时小结

本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式.知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便.六.课后作业:课本P112习题4.12 1、2、3

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第四篇：沪科版数学八年级下册19.1多边形内角和-学案（1）

19.1

多边形内角和

教材分析

多边形是人们日常生活和实践中应用较广的图形，尤其是各种特殊的多边形——三角形、平行四边形，更是随处可见。多边形内角和是在学习了三角形内角和的基础上研究的，并为后面学习设计镶嵌图做准备。通过学习，学生可以经历从实际问题抽象到数学问题，建立数学模型，综合应用已有的知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解。

教学目标

知识与技能

1.了解多边形及相关概念。联系三角形的相关概念，渗透类比思想。

2.掌握多边形内角和公式，并会应用它进行有关的计算。

过程与方法

经历多边形内角和公式的探究过程，向学生渗透化归转化的数学思想。

情感、态度与价值观

通过多边形内角和定理的教学，渗透统一美、应用美。

教学重难点

重点

多边形及其相关概念；多边形内角和公式。

难点

把多边形转化成三角形，用分割法导出多边形内角和公式。

教学准备

多媒体课件

教学方法

类比、观察、引导、讲解相结合。

教学过程

一、创设问题情境，引入新知

小亮家要装修新房子，他陪爸爸去买瓷砖，他发现了一块很漂亮的正方形瓷砖，于是拿了起来，可是他没拿稳，不小心把瓷砖摔去了一个角。被小亮摔缺了角的瓷砖是几边形呢？还剩几个角呢？内角和又是多少呢？

二、探索新知

师：什么是三角形？

生：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。

师：四边形该怎样定义？多边形你会定义吗？试一试。

学生回答，教师补充。

（板书）在平面内，有若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形。

师:认识了多边形，你会表示吗？类比三角形。

B

B

B

A

C

A

C

D

A

C

D

E

F

生：△ABC

四边形ABCD

六边形ABCDEF

A

师：看图，它们有什么相同点与不同点？

B

A

B

C

C

D

D

多媒体展示两个四边形，让学生认识凸多边形和凹多边形。

教师问出问题4，让学生了解多边形还有一个重要的知识点——对角线。

（板书）多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

师：三角形内角和是多少？正方形和长方形内角和呢？普通四边形你会求内角和吗？探索四边形的内角和你有几种方法?请和同伴一起交流.生：

180°×3

-180°

=360°

180°×4

360°

=

360°

180°×2=

360°

通过以上的学习，让我知道了解决问题方法的多样化，了解到数学中一种重要的解题思想叫做转化的思想．如求四边形的内角和可以通过分割转化为三角形问题来解决,对于其它的多边形也可以采用同样的方法。

师：下面我们来探讨多边形内角和，过多边形的一个顶点作对角线。

填表：

图形：

五边形

六边形

七边形

N边形

对角线条数：

三角形个数：

内角和：

学生找出规律，教师板书定理。

定理

n边形的内角和等于(n－2)×

180°（n为不小于3的整数）

三、学以致用

例１、已知一个多边形，它的内角和

等于720°，求这个多边形的边数。

解：

设多边形的边数为n，因为它的内角和等于

(n-2)•180°，所以，(n-2)•180°=

720º。

解得:

n=6

＼这个多边形的边数为6。

基础训练

1.十二边形的内角和为

°

2.一个多边形的内角和为1080°，求这个多边形的边数．

3.一个四边形的四个内角之比为7：8：2：1，则这四个角的大小分别为多少？

四、课堂小结

师：通过这节课的学习活动你有哪些收获？

你还有什么困惑吗？

生：

１.多边形的定义。

２.多边形的内角和定理．

３.知道了多边形内角和的多种求解方法．

４.能利用多边形的内角和定理进行相关的计算．

5、在探求过程中我们使用了观察、归纳的数学方法，并且运用了类比、转化等数学思想。

五、布置作业

同步练习

19.1

基础平台（一）

六、板书设计

19.1多边形内角和

例1

练习

多边形

对角线

定理

第五篇：苏科版数学七年级下册7.5多边形的内角和与外角和同步测试题

7.5

多边形的内角和与外角和

同步测试题

（满分120分；时间：90分钟）

一、选择题

（本题共计

小题，每题

分，共计21分，）

1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果∠A=50∘，那么∠1+∠2等于（）

A.230∘

B.180∘

C.130∘

D.260∘

2.如图，已知∠2是△ABC的一个外角，那么∠2与∠B+∠1的大小关系是（）

A.∠2<∠B+∠1

B.∠2=∠B+∠1

C.∠2>∠B+∠1

D.无法确定

3.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）

A.180∘

B.360∘

C.540∘

D.720∘

4.如图，有两块形状大小完全相同的三角板，把它们相等的边靠在一起，可以拼出许多图形，其中形状不同的四边形的种数是（）

A.3

B.4

C.5

D.6

5.墨墨发现从某多边形的一个顶点出发，可以作4条对角线，则这个多边形的内角和是（）

A.1260∘

B.1080∘

C.900∘

D.720∘

6.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）

A.180∘

B.270∘

C.360∘

D.540∘

7.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：

①AD // BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC=90◦-∠ABD；

⑤∠BDC=12∠BAC.其中正确的结论是（）

A.①②③④

B.①③④⑤

C.①②④

D.①②④⑤

二、填空题

（本题共计

小题，每题

分，共计24分，）

8.在△ABC中，∠A=34∘，∠B=72∘，则与∠C相邻的外角为________．

9.如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为________．

10.若正n边形的内角和等于它的外角和，则边数n为________．

11.若某正多边形的一条边长为2，一个外角为45∘，则该正多边形的周长为________.12.AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B=40∘，∠ACD=70∘，则∠DAE的度数为________．

13.如图是叠放在一起的两张长方形卡片，图中有∠1、∠2、∠3，则其中一定相等的是________．

15.将完全相同的正五边形按图排列组成一个圆圈，图中排列了前两个正五边形．若需要n个这样的正五边形才能组成一个完整的圆圈，则n的值为________．

三、解答题

（本题共计

小题，共计75分，）

16.如图，∠A=∠B，∠C=α，DE⊥AC，FD⊥AB，若设∠EDF=β，探究α与β的关系．

17.如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63∘，求∠DAC的度数．

18.如图，以AB为边，在正六边形ABCDEF内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的度数.19.如图1，△ABC是一个三角形的纸片，D，E分别是△ABC边上的两点．

研究(1)：若沿直线DE折叠，则∠BDA＇与∠A的关系是∠BDA＇=2∠A．

研究(2)：若折成图2的形状，猜想∠BDA＇，∠CEA＇和∠A的关系，并说明理由．

研究(3)：若折成图3的形状，猜想∠BDA＇，∠CEA＇和∠A的关系，并说明理由．

20.如图，在△ABC中，三个内角的平分线AD，BM，CN交于点O，OE⊥BC于点E．

(1)求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；

(2)∠BOD与∠COE是否相等？请说明理由．

21.如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C．

（1）若∠A=30∘，则∠ABX+∠ACX的大小是多少？

（2）若改变三角板的位置，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX+∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．