6.第五节 二次函数的综合应用

第三章

函数

第五节

二次函数的综合应用

第1课时

二次函数的实际应用

(建议时间：40分钟)

1.如图是我省最古老的石拱桥——晋城“景德桥”，是晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，也是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．已知AB的长约20米、桥拱最高点C到AB的距离为9米，以水平方向为x轴，选取点A为坐标原点建立直角坐标系，则抛物线的表达式是y＝－x2＋x，则选取点B为坐标原点时的抛物线的表达式为()

第1题图

A.y＝x2－x　　　B.y＝x2＋x

C.y＝－x2

D.y＝－x2－x

2.(2019连云港)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12

m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()

第2题图

A.18

m2

B.18m2

C.24m2

D.m2

3.(2019襄阳)(人教九上P43问题改编)如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.第3题图

4.(2019锦州)2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可销售出100件，根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每月少销售出2件，设每件商品的售价为x元．每个月的销售为y件．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；

(3)当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？

5.(2019成都)随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待．某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．

(1)求y与x之间的关系式；

(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台)，p与x的关系可以用p＝x＋来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

第5题图

6.(2019武汉)某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价，周销售量，周销售利润w(元)的三组对应值如下表：

售价x(元/件)

周销售量y(件)

周销售利润w(元)

1000

1600

1600

注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价)

(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；

②该商品进价是________元/件；当售价是____元/件时，周销售利润最大，最大利润是______元；

(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．

7.为迎接第二届全国青年运动会的召开，山西体育场周边社区积极参与社区改造，晋阳社区将一片空地进行修建改造，已知投资50000元修建的休闲区与投资40000元修建的鹅卵石健身道的面积相等，且修建1平方米的休闲区比修建1平方米的鹅卵石健身道费用高20元．

(1)求修建1平方米的休闲区与修建1平方米的鹅卵石健身道的费用各是多少元？

(2)如图，新入住的一个小区需要在一块长为60

米，宽为40米的矩形空地上修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向的宽为x

米，纵向的宽为10米的鹅卵石健身道，且横向的宽度不超过纵向的宽度，所用工程队与晋阳社区相同且费用不变．

①用含x(米)的代数式表示休闲区的面积S(平方米)，并注明x的取值范围；

②综合实际情况现要求横向宽满足1≤x≤5，则当x为多少时修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w最低，最低造价为多少元？

第7题图

第2课时

二次函数综合题

(建议时间：40分钟)

1.(2019贺州改编)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC，抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)的图象经过A，B，C三点．

(1)求点C的坐标及抛物线的表达式；

(2)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．

第1题图

2.(2019德阳改编)综合与探究

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B(2，0)，C(0，－3)，点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点(不与B、C两点重合)．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)如图，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

第2题图

3.综合与探究

如图，抛物线y＝－x2＋x＋4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于B，C两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD与BC交于点E，设点P的横坐标为m.(1)求直线l的表达式及点A坐标；

(2)试探究是否存在点P，使△PCE为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由．

第3题图

4.综合与探究

如图，已知抛物线y＝x2－x－4的图象与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，点D沿AB以每秒1个单位长度的速度在AB之间由点A向点B运动(点D不与A、B重合)．连接AC、BC、CD.设点D的运动时间是t(t＞0)．

(1)求直线BC的函数表达式和此抛物线的顶点坐标；

(2)E为抛物线上一点，是否存在这样的t值，使以B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

第4题图

参考答案

第1课时

二次函数的实际应用

1.D　【解析】当以点B为坐标原点时，相当于在以点A为坐标原点的基础上向左平移了20个单位，将y＝－x2＋x化为顶点式为y＝－(x－10)2＋9，∴平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－10＋20)2＋9＝－x2－x.【一题多解】如解图，当点B为坐标原点时，设抛物线的表达式是y＝ax2＋bx，点A的坐标为(－20，0)，点C的坐标为(－10，9)，将A、C坐标代入表达式得，解得，∴当点B为坐标原点时，抛物线的表达式为y＝－x2－x.第1题解图

2.C　【解析】设BC的长为x

m，则CD＝(12－x)m，如解图，过点C作CE⊥AB于点E，∵∠DCB＝120°，∴∠BCE＝30°，∴CE＝CB·cos30°＝x，BE＝CB·sin30°＝x，∴S四边形ABCD＝·CE＝·x＝－x2＋6x,∵－<0，∴当x＝－＝8时，面积有最大值为：－×82＋6×8＝24(m2)．

第2题解图

3.4　【解析】∵小球的飞行高度h与飞行时间t满足二次函数关系，h＝20

t－5

t2＝－5(t－2)2＋20.∴当t＝2时，小球运动到最高点．∴小球从飞出到落地所用的时间为4s.4.解：(1)根据题意得y＝

100－2(x－60)＝－2x＋220(60≤x≤110)；

(2)由题意可得：(－2x＋220)(x－40)＝2250.x2－150x＋5525＝0，解得x1＝65，x2＝85.答：当每件商品的售价定为65元或85元时，利润恰好是2250元；

(3)设利润为W元，∴W＝(x－40)(－2x＋220)＝－2x2＋300x－8800＝－2(x－75)2＋2450.∵a＝－2<0，∴抛物线开口向下．

∵60≤x≤110，∴当x＝75时，W有最大值，W最大＝2450(元)．

答：当售价定为75元时，获得最大利润，最大利润是2450元．

5.解：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由图象可知，将点(1，7000)，(5，5000)代入得

解得

∴y关于x的函数关系式为y＝－500x＋7500；

(2)设销售收入为W，根据题意得

W＝yp＝(－500x＋7500)·(x＋)，整理得W＝－250(x－7)2＋16000，∵－250＜0，∴W在x＝7时取得最大值，最大值为16000元，此时该产品每台的销售价格为－500×7＋7500＝4000元．

答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格为4000元．

6.解：(1)①y＝－2x＋200；

②40，70，1800；

(2)由题意可知w＝(－2x＋200)×(x－40－m)＝－2x2＋(280＋2m)x－8000－200m，对称轴为直线x＝，∵m＞0，∴对称轴x＝＞70，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴当x＝65时，ymax＝1400，代入表达式解得m＝5.7.解：(1)设修建1平方米的鹅卵石健身道费用为m元，则修建1平方米的休闲区费用为(m＋20)元，根据题意，得

＝，解得m＝80.经检验，m＝80是原分式方程的解，且符合实际，m＋20＝80＋20＝100.答：修建1平方米的休闲区费用是100元，修建1平方米的鹅卵石健身道的费用是80元；

(2)①S＝(60－3×10)(40－3x)

＝－90x＋1200(0＜x≤10)；

②w＝100(－90x＋1200)＋80[60×40－(－90x＋1200)]

＝－1800x＋216000.∵－1800<0，∴w随x的增大而减小．

∵1≤x≤5，∴当x＝5时，w最小＝－1800×5＋216000＝207000(元)．

答：当x＝5时，修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w最低，最低造价为207000元．

第2课时

二次函数综合题

1.解：(1)由题意得C(0，－4)．

∵OA＝OC，∴A(4，0)．

将A(4，0)，B(－1，0)带入y＝ax2＋bx－4得，解得

∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4；

(2)如解图，过点P作PE⊥x轴交AC于点E，第1题解图

∴PE∥y轴．

∵OA＝OC，∴∠PED＝∠OCA＝45°.∴△DEP为等腰直角三角形，∴PD＝PE，∴当PE取得最大值时，PD取得最大值，易得直线AC的解析式为y＝x－4，设P(x，x2－3x－4)，则E(x，x－4)，则PE＝(x－4)－(x2－3x－4)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∵0＜x＜4，∴当x＝2时，PE取得最大值，最大值为4.此时PD取得最大值，最大值为4×＝2，点P坐标为(2，－6)．

2.解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴－＝，则b＝－a.∵抛物线过点C(0，－3)，∴代入得c＝－3.∴抛物线的表达式为y＝ax2－ax－3.又∵抛物线过点B(2，0)，∴代入得a＝，则b＝－.∴此抛物线的表达式为y＝x2－x－3；

(2)存在．如解图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，第2题解图

设直线BC的表达式为y＝mx＋n，将B(2，0)，C(0，－3)代入y＝mx＋n，得

解得

∴直线BC的表达式为y＝x－3.设点P的坐标为(x,x2－x－3)，则点F的坐标为(x，x－3)，∵点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点，∴PF＝x－3－(x2－x－3)＝－x2＋x.∴S△PBC＝S△PFB＋S△PFC＝PF·BE＋PF·OE

＝PF·OB

＝·(－x2＋x)·2

＝－x2＋3x

＝－(x－)2＋.∵－<0，∴当x＝时，△PBC的面积取得最大值，最大值为.当x＝时，y＝x2－x－3＝－3，∴此时点P的坐标为(，－3)．

3.解：(1)∵抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4.令x＝0，解得y＝4，∴C(0，4)．

令y＝0，即－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∵点A在点B左侧，∴A(－1，0)，B(3，0)．

设直线l的表达式为y＝kx＋n(k≠0)，将B(3，0)，C(0，4)代入y＝kx＋n得，解得

∴直线l的表达式为y＝－x＋4；

(2)存在，当m的值为1，或时，△PCE为等腰三角形．

【解法提示】根据题意有以下三种情况：

①当CP＝CE时，如解图①，过点C作CH⊥PE于点H，则有PE＝2PH，第3题解图①

由(1)得PE＝－m2＋4m，∵PH＝－m2＋m＋4－4＝－m2＋m，∴－m2＋4m＝2×(－m2＋m)．

解得：m＝1或m＝0(不合题意，舍去)；

②当EP＝EC时，如解图②，过点C作CH⊥PE于点H，第3题解图②

易得△EHC∽△COB，∴＝

.∵CH＝m，BC＝5，BO＝3，∴CE＝＝m.由(1)得PE＝－m2＋4m，∴－m2＋4m＝m.解得：m＝或m＝0(不合题意，舍去)；

③当PC＝PE时，如解图③，过点P作PG⊥CE于点G，第3题解图③

易证△PGE∽△BOC，∴＝＝，∴GE＝PE＝×(－m2＋4m)＝－m2＋m.∵PC＝PE，PG⊥CE，CE＝m，∴GE＝CE＝－m2＋m＝m.解得m＝或m＝0(不合题意，舍去)，综上所述，m的值为1，或时，△PCE为等腰三角形．

4.解：(1)在抛物线y＝x2－x－4中，当y＝0时，x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴A(－2，0)，B(8，0)，当x＝0时，y＝－4，∴C(0，－4)，设直线BC的表达式为y＝ax＋b，∵直线BC过B(8，0)，C(0，－4)两点，∴解得

∴直线BC的表达式为y＝x－4，又∵抛物线y＝x2－x－4＝(x－3)2－，∴抛物线的顶点坐标为(3，－)；

(2)存在．满足条件的t的值为4或－3.【解法提示】根据题意分以下三种情况讨论(如解图)：①当BC为边且点E位于x轴上方时，此时的点E为直线y＝4与抛物线的交点，∴x2－x－4＝4，解得x1＝3＋，x2＝3－，∴xD1＝3＋－8＝－5，xD2＝3－－8＝－－5，∴D1(－5，0)，D2(－－5，0)(在点A的左侧，不合题意，舍去)，此时D1A＝－3，∴t＝－3；②当BC为边且点E位于x轴下方时，此时的点E为直线y＝－4与抛物线的交点，∴x2－x－4＝－4，解得x1＝6或x2＝0(与点C重合，不合题意，舍去)，∴xD3＝6＋8＝14，∴D3(14，0)(在B点右侧，不合题意，舍去)；③当BC为对角线时，此时满足条件的点E的横坐标仍然是6，且CE4＝BD4＝6，xD4＝8－6＝2，∴D4(2，0)，此时D4A＝4，∴t＝4.综上t的值为4或－3.第4题解图