第三章
函数
第五节
二次函数的综合应用
第1课时
二次函数的实际应用
(建议时间:40分钟)
1.如图是我省最古老的石拱桥——晋城“景德桥”,是晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道,也是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一.已知AB的长约20米、桥拱最高点C到AB的距离为9米,以水平方向为x轴,选取点A为坐标原点建立直角坐标系,则抛物线的表达式是y=-x2+x,则选取点B为坐标原点时的抛物线的表达式为()
第1题图
A.y=x2-x B.y=x2+x
C.y=-x2
D.y=-x2-x
2.(2019连云港)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12
m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是()
第2题图
A.18
m2
B.18m2
C.24m2
D.m2
3.(2019襄阳)(人教九上P43问题改编)如图,若被击打的小球飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有的关系为h=20t-5t2,则小球从飞出到落地所用的时间为________s.第3题图
4.(2019锦州)2019年在法国举办的女足世界杯,为人们奉献了一场足球盛宴.某商场销售一批足球文化衫,已知该文化衫的进价为每件40元,当售价为每件60元时,每个月可销售出100件,根据市场行情,现决定涨价销售,调查表明,每件商品的售价每上涨1元,每月少销售出2件,设每件商品的售价为x元.每个月的销售为y件.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰好为2250元;
(3)当每件商品的售价定为多少元时,每个月获得利润最大?最大月利润为多少?
5.(2019成都)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化,设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的关系式;
(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p=x+来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?
第5题图
6.(2019武汉)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价,周销售量,周销售利润w(元)的三组对应值如下表:
售价x(元/件)
周销售量y(件)
周销售利润w(元)
1000
1600
1600
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品进价是________元/件;当售价是____元/件时,周销售利润最大,最大利润是______元;
(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.
7.为迎接第二届全国青年运动会的召开,山西体育场周边社区积极参与社区改造,晋阳社区将一片空地进行修建改造,已知投资50000元修建的休闲区与投资40000元修建的鹅卵石健身道的面积相等,且修建1平方米的休闲区比修建1平方米的鹅卵石健身道费用高20元.
(1)求修建1平方米的休闲区与修建1平方米的鹅卵石健身道的费用各是多少元?
(2)如图,新入住的一个小区需要在一块长为60
米,宽为40米的矩形空地上修建四个面积相等的休闲区,并将余下的空地修建成横向的宽为x
米,纵向的宽为10米的鹅卵石健身道,且横向的宽度不超过纵向的宽度,所用工程队与晋阳社区相同且费用不变.
①用含x(米)的代数式表示休闲区的面积S(平方米),并注明x的取值范围;
②综合实际情况现要求横向宽满足1≤x≤5,则当x为多少时修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w最低,最低造价为多少元?
第7题图
第2课时
二次函数综合题
(建议时间:40分钟)
1.(2019贺州改编)综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且OA=OC,抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)的图象经过A,B,C三点.
(1)求点C的坐标及抛物线的表达式;
(2)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PD⊥AC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及PD的最大值.
第1题图
2.(2019德阳改编)综合与探究
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴的负半轴交于点C,已知抛物线的对称轴为直线x=,B、C两点的坐标分别为B(2,0),C(0,-3),点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点(不与B、C两点重合).
(1)求此抛物线的表达式;
(2)如图,连接PB、PC得到△PBC,问是否存在着这样的点P,使得△PBC的面积最大?如果存在,求出面积的最大值和此时点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
第2题图
3.综合与探究
如图,抛物线y=-x2+x+4的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l与抛物线交于B,C两点,点P是第一象限内抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴,垂足为点D,PD与BC交于点E,设点P的横坐标为m.(1)求直线l的表达式及点A坐标;
(2)试探究是否存在点P,使△PCE为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的横坐标m的值;若不存在,请说明理由.
第3题图
4.综合与探究
如图,已知抛物线y=x2-x-4的图象与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,点D沿AB以每秒1个单位长度的速度在AB之间由点A向点B运动(点D不与A、B重合).连接AC、BC、CD.设点D的运动时间是t(t>0).
(1)求直线BC的函数表达式和此抛物线的顶点坐标;
(2)E为抛物线上一点,是否存在这样的t值,使以B,C,D,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
第4题图
参考答案
第1课时
二次函数的实际应用
1.D 【解析】当以点B为坐标原点时,相当于在以点A为坐标原点的基础上向左平移了20个单位,将y=-x2+x化为顶点式为y=-(x-10)2+9,∴平移后的抛物线的表达式为y=-(x-10+20)2+9=-x2-x.【一题多解】如解图,当点B为坐标原点时,设抛物线的表达式是y=ax2+bx,点A的坐标为(-20,0),点C的坐标为(-10,9),将A、C坐标代入表达式得,解得,∴当点B为坐标原点时,抛物线的表达式为y=-x2-x.第1题解图
2.C 【解析】设BC的长为x
m,则CD=(12-x)m,如解图,过点C作CE⊥AB于点E,∵∠DCB=120°,∴∠BCE=30°,∴CE=CB·cos30°=x,BE=CB·sin30°=x,∴S四边形ABCD=·CE=·x=-x2+6x,∵-<0,∴当x=-=8时,面积有最大值为:-×82+6×8=24(m2).
第2题解图
3.4 【解析】∵小球的飞行高度h与飞行时间t满足二次函数关系,h=20
t-5
t2=-5(t-2)2+20.∴当t=2时,小球运动到最高点.∴小球从飞出到落地所用的时间为4s.4.解:(1)根据题意得y=
100-2(x-60)=-2x+220(60≤x≤110);
(2)由题意可得:(-2x+220)(x-40)=2250.x2-150x+5525=0,解得x1=65,x2=85.答:当每件商品的售价定为65元或85元时,利润恰好是2250元;
(3)设利润为W元,∴W=(x-40)(-2x+220)=-2x2+300x-8800=-2(x-75)2+2450.∵a=-2<0,∴抛物线开口向下.
∵60≤x≤110,∴当x=75时,W有最大值,W最大=2450(元).
答:当售价定为75元时,获得最大利润,最大利润是2450元.
5.解:(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),由图象可知,将点(1,7000),(5,5000)代入得
解得
∴y关于x的函数关系式为y=-500x+7500;
(2)设销售收入为W,根据题意得
W=yp=(-500x+7500)·(x+),整理得W=-250(x-7)2+16000,∵-250<0,∴W在x=7时取得最大值,最大值为16000元,此时该产品每台的销售价格为-500×7+7500=4000元.
答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格为4000元.
6.解:(1)①y=-2x+200;
②40,70,1800;
(2)由题意可知w=(-2x+200)×(x-40-m)=-2x2+(280+2m)x-8000-200m,对称轴为直线x=,∵m>0,∴对称轴x=>70,∵抛物线开口向下,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,∴当x=65时,ymax=1400,代入表达式解得m=5.7.解:(1)设修建1平方米的鹅卵石健身道费用为m元,则修建1平方米的休闲区费用为(m+20)元,根据题意,得
=,解得m=80.经检验,m=80是原分式方程的解,且符合实际,m+20=80+20=100.答:修建1平方米的休闲区费用是100元,修建1平方米的鹅卵石健身道的费用是80元;
(2)①S=(60-3×10)(40-3x)
=-90x+1200(0<x≤10);
②w=100(-90x+1200)+80[60×40-(-90x+1200)]
=-1800x+216000.∵-1800<0,∴w随x的增大而减小.
∵1≤x≤5,∴当x=5时,w最小=-1800×5+216000=207000(元).
答:当x=5时,修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w最低,最低造价为207000元.
第2课时
二次函数综合题
1.解:(1)由题意得C(0,-4).
∵OA=OC,∴A(4,0).
将A(4,0),B(-1,0)带入y=ax2+bx-4得,解得
∴抛物线的表达式为y=x2-3x-4;
(2)如解图,过点P作PE⊥x轴交AC于点E,第1题解图
∴PE∥y轴.
∵OA=OC,∴∠PED=∠OCA=45°.∴△DEP为等腰直角三角形,∴PD=PE,∴当PE取得最大值时,PD取得最大值,易得直线AC的解析式为y=x-4,设P(x,x2-3x-4),则E(x,x-4),则PE=(x-4)-(x2-3x-4)=-x2+4x=-(x-2)2+4,∵0<x<4,∴当x=2时,PE取得最大值,最大值为4.此时PD取得最大值,最大值为4×=2,点P坐标为(2,-6).
2.解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=,∴-=,则b=-a.∵抛物线过点C(0,-3),∴代入得c=-3.∴抛物线的表达式为y=ax2-ax-3.又∵抛物线过点B(2,0),∴代入得a=,则b=-.∴此抛物线的表达式为y=x2-x-3;
(2)存在.如解图,过点P作PE⊥x轴于点E,交BC于点F,第2题解图
设直线BC的表达式为y=mx+n,将B(2,0),C(0,-3)代入y=mx+n,得
解得
∴直线BC的表达式为y=x-3.设点P的坐标为(x,x2-x-3),则点F的坐标为(x,x-3),∵点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点,∴PF=x-3-(x2-x-3)=-x2+x.∴S△PBC=S△PFB+S△PFC=PF·BE+PF·OE
=PF·OB
=·(-x2+x)·2
=-x2+3x
=-(x-)2+.∵-<0,∴当x=时,△PBC的面积取得最大值,最大值为.当x=时,y=x2-x-3=-3,∴此时点P的坐标为(,-3).
3.解:(1)∵抛物线的表达式为y=-x2+x+4.令x=0,解得y=4,∴C(0,4).
令y=0,即-x2+x+4=0,解得x1=-1,x2=3.∵点A在点B左侧,∴A(-1,0),B(3,0).
设直线l的表达式为y=kx+n(k≠0),将B(3,0),C(0,4)代入y=kx+n得,解得
∴直线l的表达式为y=-x+4;
(2)存在,当m的值为1,或时,△PCE为等腰三角形.
【解法提示】根据题意有以下三种情况:
①当CP=CE时,如解图①,过点C作CH⊥PE于点H,则有PE=2PH,第3题解图①
由(1)得PE=-m2+4m,∵PH=-m2+m+4-4=-m2+m,∴-m2+4m=2×(-m2+m).
解得:m=1或m=0(不合题意,舍去);
②当EP=EC时,如解图②,过点C作CH⊥PE于点H,第3题解图②
易得△EHC∽△COB,∴=
.∵CH=m,BC=5,BO=3,∴CE==m.由(1)得PE=-m2+4m,∴-m2+4m=m.解得:m=或m=0(不合题意,舍去);
③当PC=PE时,如解图③,过点P作PG⊥CE于点G,第3题解图③
易证△PGE∽△BOC,∴==,∴GE=PE=×(-m2+4m)=-m2+m.∵PC=PE,PG⊥CE,CE=m,∴GE=CE=-m2+m=m.解得m=或m=0(不合题意,舍去),综上所述,m的值为1,或时,△PCE为等腰三角形.
4.解:(1)在抛物线y=x2-x-4中,当y=0时,x2-x-4=0,解得x1=-2,x2=8,∴A(-2,0),B(8,0),当x=0时,y=-4,∴C(0,-4),设直线BC的表达式为y=ax+b,∵直线BC过B(8,0),C(0,-4)两点,∴解得
∴直线BC的表达式为y=x-4,又∵抛物线y=x2-x-4=(x-3)2-,∴抛物线的顶点坐标为(3,-);
(2)存在.满足条件的t的值为4或-3.【解法提示】根据题意分以下三种情况讨论(如解图):①当BC为边且点E位于x轴上方时,此时的点E为直线y=4与抛物线的交点,∴x2-x-4=4,解得x1=3+,x2=3-,∴xD1=3+-8=-5,xD2=3--8=--5,∴D1(-5,0),D2(--5,0)(在点A的左侧,不合题意,舍去),此时D1A=-3,∴t=-3;②当BC为边且点E位于x轴下方时,此时的点E为直线y=-4与抛物线的交点,∴x2-x-4=-4,解得x1=6或x2=0(与点C重合,不合题意,舍去),∴xD3=6+8=14,∴D3(14,0)(在B点右侧,不合题意,舍去);③当BC为对角线时,此时满足条件的点E的横坐标仍然是6,且CE4=BD4=6,xD4=8-6=2,∴D4(2,0),此时D4A=4,∴t=4.综上t的值为4或-3.第4题解图