2012年中考数学二轮复习讲义专题几何图形的归纳,猜想,证明(精)

第一篇：2012年中考数学二轮复习讲义专题几何图形的归纳,猜想,证明(精)

飘蓝工作室出品 版权所有 @Peuland.com 精英数学(www.xiexiebang.com 2012年中考数学二轮专题几何图形的归纳 , 猜想 , 证明问题 第一部分 真题精讲 【例 1】 2011,海淀,一模

如图, n +1个边长为 2的等边三角形有一条边在同一直线上,设 211B D C ∆的面积为 1S , 322B D C ∆的面 积为 2S , … , 1n n n B D C +∆的面积为 n S ,则 2S n S n 的式子表示.C 5C 4 C 3 C 2 C 1 B B B 2B A 【思路分析】 拿到这种题型,第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好,将阴影部分标 出,不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是 22B AC ∆, 33B AC ∆这种的 , 第二步就是看这

些图形之间有什么共性和联系.首先 2S 所代表的三角形的底边 2C 2D 是三角形 2AC 2D 的底边 , 而这个三角 形和△ 3AC 3B 是相似的.所以边长的比例就是 2AC 与 3AC 的比值.于是

212223S = 接下来通过

总结 , 我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等 ，B 点,将阴影部分放在 反过来的等边三角形中看。那么既然是求面积,高相等,剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有 的 B,C 点连线的边都是平行的, 于是自然可以得出 n D 自然是所在边上的 n+1等分点.例如 2D 就是 2B 2C 的 一个三等分点.于是 1121n n n D C n +-=⋅+(n+1-1是什么意思 ? 为什么要减

1? 11122n n n B D C n n S D C +∆= = 【例 2】 2011,山西,一模

在平面直角坐标系中,我们称边长为 1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形,如 图,菱形 ABCD 的四个顶点坐标分别是(80-, ,(04 , ,(80 , ,(04-, ,则菱形 ABCD 能覆盖的单位 格点正方形的个数是 _______个;若菱形 n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20-, n ,(0 , n ,(20 , n ,(0-, n(n 为正整数 ,则菱形 n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为 _________(用含有 n 的式子 表示.飘蓝工作室出品 版权所有 @Peuland.com 精英数学(www.xiexiebang.com

【思路分析】 此题方法比较多,例如第一空直接数格子都可以数出是 48(笑。这里笔者提供一种方 法,其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数,所以只需求出被 X,Y 轴所分的 四个三角形包涵的个数, 再乘以 4即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过(-2n,0(0,n,自然可以写出直线解析式为

12y x n = +, 斜率 1 2 意味着什么 ? 看上图 , 注意箭头标注的那些空白三角形 , 这些 RT 三角形一共有 2n/2=n个 , 他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是 12 ? 而且这些直角三角形都是

全等的 , 面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△ AOB 的面积自然就是 1 n n ⋅⋅, 所有 n 个空白小 三角形的面积之和为 1212 n ⋅⋅⋅, 相减之后自然就是所有格点正方形的面积 2 n n-, 也就是数量了.所以整个 菱形的正方形格点就是 2 44n n-.【例 3】 2011,平谷,一模

如图, 45AOB ∠=︒,过 OA 上到点 O 的距离分别为 1357911...，，, 的点作 OA 的垂线与 OB 相交,得 到 并 标 出 一 组 黑 色 梯 形 , 它 们 的 面 积 分 别 为 1234S S S S , , , ,.则 第 一 个 黑 色 梯 形 的 面 积

1S =;观察图中的规律,第 n(n 为 正 整 数 个 黑 色 梯 形 的 面 积 n S = 飘蓝工作室出品 版权所有 @Peuland.com 精英数学

(www.xiexiebang.com A...1311975310 【思路分析】 本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形,而因为 45AOB ∠=︒,所以梯 形的上下底长度分别都对应了垂足到 0点的距离 , 而高则是固定的 2。第一个梯形上底是 1,下底是 3,所 以(1113242 S =⋅+⋅=.第二个梯形面积(21572122S =⋅+⋅=, 第三个是(319112202S =⋅+⋅=, 至此 , 我们发 现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上 4。于是第 n 个梯形的上底就是 1+4(n-1=4n-3,(第一个梯形的上底 1加上(n-1个 4.下底自然就是 4n-1, 于是 n S 就是 8n-4.【例 4】 2011,丰台,一模

在平面直角坐标系中, 横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形 A 1B 1C 1D 1, A 2B 2C 2D 2, A 3B 3C 3D 3…… 每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形 A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个.【思路分析】此题看似麻烦,但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于 n n n n A B C D 来说 , 每

条边的长度是 2n, 那么自然整点个数就是 2n+1, 所以四条边上整点一共有(2n+1x4-4=8n(个(要减去四个 被重复算的顶点 , 于是 10101010A B C D 就是 80个.【例 5】 2011,河北,一模 如图, △

ABC 中,∠ ACB=90°, AC=BC=1,取斜边的中点,向斜边做垂线,画 出一个新的等腰直角三角形,如此继续下去,直到所画直角三角形的斜边与 △

ABC 的 BC 边重叠为止,此时

飘蓝工作室出品 版权所有 @Peuland.com 精英数学(www.xiexiebang.com 这个三角形的斜边长为 _____.【思路分析】 本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词 “中点” “垂线” “等 腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是 45度,并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈 是 360度,包涵了 8个 45°。于是绕到第八次就可以和 BC 重叠了,此时边长为△ ABC 的 1 ,故而得解。【例 6】 2010,上海,二模

如图,以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2个等腰直角三角形 1 ABA ,再以等腰直角三角形

1ABA 的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形 11A BB ,„„,如此作下去,若 1OA OB ==,则第 n 个等

腰直角三角形的面积 n S = ________(n 为正整数.B 2 B 1 A 1 B O A 【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可 得

123124...222S S S ===, , , 分子就是 1,2,4,8,16这样的数列。于是 22 n n S = 【总结】 几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题,只不过需要考生自己找出图形 与图形之间的联系而已。对于这类问题,首先就是要仔细读题,看清楚题目所求的未知量是什么,然后找 出各个未知量之间的联系,这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中,哪些变了,哪些没有变。最后根据 这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时,不妨先写出第一项,第二项,第三项然后去 找数式上的规律,如上面例 6就是一例,如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方,反而会使问 题复杂化,直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大,重在思考和 分析的方法,还请考生细心掌握。

第二部分 发散思考

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(www.xiexiebang.com 【思考 1】 2011,浙江,二模

如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 1B(0,1, 2B(0,3, 3 B(0,6, 4B(0,10,„,以 12B B 为对角线作第一个正方形 1112A B C B ,以 23B B 为对角线作第二个正方形 2223A B C B ,以 34B B 为对角线作第

三个正方形 3334A B C B ,„,如果所作正方形的对角线 1n n B B +都在 y 轴上,且 1n n B B +的长度依次增加 1个单位,顶点 n A 都在第一象 限内(n ≥ 1,且 n 为整数.那么 1

A 的纵坐标为;用 n 的代数式表示 n A 的纵坐标:.【思考 2】 2011,朝阳,一模

如图,在平面直角坐标系中,一颗棋子从点 P 处开始跳动,第一 次跳到点 P 关于 x 轴的对称点 1 P 处,接着跳到点 1 P 关于 y 轴 的对称点 2P 处,第三次再跳到点 2P 关于原点的对称点处, … , 如此循环下去.当跳动第 2009次时,棋子落点处的坐标是.【思考 3】 2011,昌平, 一模

对于大于或等于 2的自然数 n 的平方进行如下“分裂” ,分裂成 n 个连续奇数的和,则自然数 72 的分

裂数中最大的数是 ,自然数 n 的分裂数中最大的数是.【思考 4】 2011,湖北,一模

一个质点在第一象限及 x 轴、y 轴上运动,在第一秒钟,它从原点运动到(01 , ,然后接着按图中箭头 所示方向运动 , 即(00(01(11(10 →→→→, , , , … ,且每秒移动一个单位,那么第 35秒时质点所在位 置的坐标是 _______ 1 3 1 3 5 本站部分资源网友上传，来源于网络，如果涉及版权问题，请及时联系我站，我们会第一时间删除，精英部落 QQ 群： 172077288 y 3 2 1 0 1 2 3 „ x 【思考 5】2011，海淀，二模 如图，将边长为 其对应的正方形的中心依 的正方形纸片从左到右顺次摆放，次为 A1, A2, A3, „.①若摆放前 6 个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 ；②若摆放前 n（n 为大于 1 的正.A1 A2 A3 A4 整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 第三部分 思考题解析 【思考 1 答案】2；

【思考 2 答案】（3，－2）

【思考 4 答案】（5，0）【思考 3 答案】13；2n-1 【思考 5 答案】10，飘蓝工作室出品 版权所有@Peuland.com 精英数学(www.xiexiebang.com

第二篇：2014年中考数学二轮复习题型：猜想型问题

2014年中考数学二轮复习题型：猜想型问题进入中考二轮复习阶段，考生们应该进行专项的有针对性的复习，哪里薄弱攻哪里？中考数学题型中有这么一类——归纳猜想型问题的中考题，高分网小编和考生分享下这类题型的特点及知识点分类，希望对大家有所帮助！

【猜想型问题的特点】

猜想是对研究的对象或问题，进行认真细致的观察，通过实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料知识，自己“发现”数学结论，作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。现代认知理论认为，学习是主体主动的意义建构活动，是主体头脑里建立和发展数学认知结构的过程，是数学活动及其经验内化的过程，而猜想是对抽象化的、形式化的数学进行思辨过程。

【猜想型问题的解决方法】

通过动手实践、自主探索，动脑独立思考，经过实验、操作、观察、类比、归纳、猜想等活动，自己“发现”数学结论。同时，需要将猜想与动手操作有机的结合起来，并对此探索出来的结论进行证明。依据“操作-猜想”与体验教学的相通性，根据自己的观察实验，在感性认知的基础上提出合理的猜想，在“手脑并用”中体会“观察--联想--类比--猜想”的思想方法，猜想也不是直观而苍白无力的主观判断，而是经过了观察、动手操作、测量，运用了测量归纳、类比验证等数学思想方法，得出来的符合一定的经验与事实的数学结论。

【猜想型问题的分类】

这一类题目，主要集中在数式规律、图形规律、数型规律、图形中的规律探索这几个方面，因而，根据其特点，我们将其分为：数式规律、图形规律、数型规律、探究图形中的规律这几类。

第三篇：2018届中考数学一轮复习讲义 第14讲几何图形初步

2018届中考数学一轮复习讲义 第14讲平面几何图形初步

【知识巩固】

一、直线、射线、线段和角

（一）几何图形：

1、几何图形：从形形色色的物体外形中得到的图形叫做几何图形。

2、立体

图形：这些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

3、平面图形：这些几何图形的各部分都在同一个平面内。

4、虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。立体图形中某些部分是平面图形。

5、三视图：从左面看，从正面看，从上面看

6、展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

7、⑴几何体简称体；包围着体的是面；面面相交形成线；线线相交形成点；

⑵点无大小，线、面有曲直； ⑶几何图形都是由点、线、面、体组成的； ⑷点动成线，线动成面，面动成体； ⑸点：是组成几何图形的基本元素。

（二）直线、射线、线段：

1、直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。即：两点确定一条直线。

2、当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。

3、把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做这条线段的中点。

4、线段公理：两点的所有连线中，线段做短（两点之间，线段最短）。

5、连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

6、直线的表示方法：

7、在直线上取点O，把直线分成两个部分，去掉一边的一个部分，保留点0和另一部分就得到一条射线，如上图就是一条射线，记作射线OM或记作射线a． 注意：射线有一个端点，向一方无限延伸．

8、在直线上取两个点A、B，把直线分成三个部分，去掉两边的部分，保留点A、B和中间的一部分就得到一条线段．如图就是一条线段，记作线段AB或记作线段a． 注意：线段有两个端点．

（三）角：

1.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫角。这个公共端点是角的顶点，两条射线为角的两边。如图，角的顶点是O，两边分别是射线OA、OB．

2、角有以下的表示方法：

① 用三个大写字母及符号“∠”表示．三个大写字母分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间．如上图的角，可以记作∠AOB或∠BOA． ② 用一个大写字母表示．这个字母就是顶点．如上图的角可记作∠O．当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不能用一个大写字母表示． ③ 用一个数字或一个希腊字母表示．在角的内部靠近角的顶点

处画一弧线，写上希腊字母或数字．如图的两个角，分别记作∠、∠1

2、以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。角的度、分、秒是60进制的。1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度

3、角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做 这个角的平分线。

4、如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个叫互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角；

如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个叫互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角。

5、同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等。

6、方位角：一般以正南正北为基准，描述物体运动的方向。

二、相交线

1、相交线中的角

两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。临补角互补，对顶角相等。

直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角

1叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

2、垂线

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

三、平行线

1、平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

2、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3、平行线的判定

平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。平行线的两条判定定理：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

4、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。

四、命题、定理、证明

1、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

2、命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。【典例解析】 典例

一、几何图形

（2016·浙江省绍兴市·4分）如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（A． B． C． D．

【考点】几何体的展开图．）【分析】根据含有田字形和凹字形的图形不能折成正方体可判断A、C，D，故此可得到答案．

【解答】解：A、含有田字形，不能折成正方体，故A错误； B、能折成正方体，故B正确；

C、凹字形，不能折成正方体，故C错误； D、含有田字形，不能折成正方体，故D错误． 故选：B． 【变式训练】

4分）如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（）（2016·浙江省绍兴市·

A． B． C． D．

【考点】几何体的展开图．

【分析】根据含有田字形和凹字形的图形不能折成正方体可判断A、C，D，故此可得到答案.【解答】解：A、含有田字形，不能折成正方体，故A错误； B、能折成正方体，故B正确；

C、凹字形，不能折成正方体，故C错误； D、含有田字形，不能折成正方体，故D错误． 故选：B．

典例

二、直线、射线和线段

（2016•金华）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（）

A．点C B．点D或点E C．线段DE（异于端点）上一点 D．线段CD（异于端点）上一点 【分析】连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，再比较∠ACB，∠ADB，∠AEB的大小即可．

【解答】解：连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，通过测量可知∠ACB＜∠ADB＜∠AEB，所以射门的点越靠近线段DE，角越大，故最好选择DE（异于端点）上一点，故选C．

【点评】本题考查了比较角的大小，一般情况下比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． 【变式训练】

（2016•台湾）如图

（一），=1：3，：

为一条拉直的细线，A、B两点在折向，使得

上，且重迭在： =3：5．若先固定B点，将上，如图

（二），再从图

（二）的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（）

A．1：1：1 B．1：1：2 C．1：2：2 D．1：2：5 【分析】根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决． 【解答】解：设OP的长度为8a，∵OA：AP=1：3，OB：BP=3：5，∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a，又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图

（二），再从图

（二）的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a，∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a=1：1：2，故选B．

【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度． 典例

三、角

（2017广东）已知∠A=70°，则∠A的补角为（）A．110° B．70° C．30° D．20°

【考点】IL：余角和补角．

【分析】由∠A的度数求出其补角即可． 【解答】解：∵∠A=70°，∴∠A的补角为110°，故选A 【变式训练】

（2017广西河池）如图，点O在直线AB上，若∠BOC=60°，则∠AOC的大小是（）

A．60° B．90° C．120° 【考点】IF：角的概念．

D．150°

【分析】根据点O在直线AB上，∠BOC=60°，即可得出∠AOC的度数． 【解答】解：∵点O在直线AB上，∴∠AOB=180°，又∵∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，故选：C． 典例

四、相交线

（2016·福建龙岩·4分）下列命题是假命题的是（）A．若|a|=|b|，则a=b B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等

D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根 【考点】命题与定理．

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：A、若|a|=|b|，则a﹣b=0或a+b=0，故A错误； B、两直线平行，同位角相等，故B正确； C、对顶角相等，故C正确；

D、若b﹣4ac＞0，则方程ax+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确； 故选：A． 【变式训练】

（2016•贺州）如图，已知∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）

22A．70° B．100° C．110° D．120°

【分析】先根据补角的定义求出∠2的度数，再由平行线的性质即可得出结论．

【解答】解：∵∠1=60°，∴∠2=180°﹣60°=120°． ∵CD∥BE，∴∠2=∠B=120°． 故选D．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 典例

五、平行线

（2017毕节）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED=（）

A．55° B．125° C．135°

D．140°

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】根据平行线性质求出∠CAB，根据角平分线求出∠EAB，根据平行线性质求出∠AED即可．

【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=70°，∴∠CAB=180°﹣70°=110°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=55°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣55°=125°． 故选：B． 【变式训练】

(2017湖南怀化)如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（）

A．130° B．50° C．40° D．150°

【考点】JA：平行线的性质． 【分析】利用平行线的性质得出∠1=∠3=50°，再利用对顶角的定义得出即可． 【解答】解：如图：∵直线a∥直线b，∠1=50°，∴∠1=∠3=50°，∴∠2=∠3=50°． 故选：B．

典例

六、命题、定理、证明

（2017广西百色）下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有 ②（填序号）【考点】O1：命题与定理．

【分析】要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

【解答】解：①对顶角相等是真命题； ②同旁内角互补是假命题；

③全等三角形的对应角相等是真命题； ④两直线平行，同位角相等是真命题； 故假命题有②，故答案为：②． 【变式训练】

（2017呼和浩特）下面三个命题： ①若是方程组

2的解，则a+b=1或a+b=0；

2②函数y=﹣2x+4x+1通过配方可化为y=﹣2（x﹣1）+3； ③最小角等于50°的三角形是锐角三角形，其中正确命题的序号为 ②③ ． 【考点】O1：命题与定理．

【分析】①根据方程组的解的定义，把

代入，即可判断；

②利用配方法把函数y=﹣2x2+4x+1化为顶点式，即可判断； ③根据三角形内角和定理以及锐角三角形的定义即可判断． 【解答】解：①把

代入，得，如果a=2，那么b=1，a+b=3； 如果a=﹣2，那么b=﹣7，a+b=﹣9． 故命题①是假命题；

②y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故命题②是真命题；

③最小角等于50°的三角形，最大角不大于80°，一定是锐角三角形，故命题③是真命题． 所以正确命题的序号为②③． 故答案为②③．

典例

七、平行相交的综合应用

（2017呼和浩特）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=48°，则∠AED为 114 °．

【考点】JA：平行线的性质；IJ：角平分线的定义．

【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可． 【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=48°，∴∠CAB=180°﹣48°=132°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=66°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣66°=114°，故答案为：114． 【变式训练】

（2017湖北荆州）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）

A．40° B．45° C．50° D．10° 【考点】JA：平行线的性质．

【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小． 【解答】解：由图可得，∠CDE=40°，∠C=90°，∴∠CED=50°，又∵DE∥AF，∴∠CAF=50°，∵∠BAC=60°，∴∠BAF=60°﹣50°=10°，故选：D． 【能力检测】

1.（2017贵州安顺）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（）

A．100° B．110° C．120° D．130°

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】先根据互余计算出∠3=90°﹣40°=50°，再根据平行线的性质由a∥b得到∠2=180°﹣∠3=130°．

【解答】解：∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣40°=50°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°． ∴∠2=180°﹣50°=130°． 故选：D．

2.（2016•荆州）如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1=115°，则∠2的度数是（）

A．55° B．65° C．75° D．85°

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数． 【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠F=180°，∵∠1=115°，∴∠AFD=65°，∵∠2和∠AFD是对顶角，∴∠2=∠AFD=65°，故选B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．

3.（2017四川南充）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（）

A．30° B．32° C．42° D．58° 【考点】JA：平行线的性质．

【分析】先利用平行线的性质得出∠3，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行线的性质即可； 【解答】解：如图，过点A作AB∥b，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°﹣∠3=32°，∵a∥b，AB∥B，∴AB∥b，∴∠2=∠4=32°，故选B．

4.（2016•陕西）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）

A．65° B．115° C．125° D．130°

【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可． 【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故选B．

【点评】本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，注意：平行线的性质有：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 5.（2017日照）如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠1=60°，则∠2等于（）

A．120° B．30° C．40° D．60°

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】根据对顶角的性质和平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠AEF=∠1=60°，∵AB∥CD，∴∠2=∠AEF=60°，故选D．

6.（2017内江）如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（）

A．19° B．38° C．42° D．52°

【考点】JA：平行线的性质；IL：余角和补角．

【分析】过C作CD∥直线m，根据平行线性质得出∠DCA=∠FAC=38°，∠α=∠DCB，求出即可．

【解答】解：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°． 故选D．

7.（2016·山东省滨州市·3分）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（）

A．∠EMB=∠END B．∠BMN=∠MNC C．∠CNH=∠BPG D．∠DNG=∠AME 【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质，找出各相等的角，再去对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：A、∵AB∥CD，∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）； B、∵AB∥CD，∴∠BMN=∠MNC（两直线平行，内错角相等）； C、∵AB∥CD，∴∠CNH=∠MPN（两直线平行，同位角相等），∵∠MPN=∠BPG（对顶角），∴∠CNH=∠BPG（等量代换）； D、∠DNG与∠AME没有关系，无法判定其相等． 故选D．

【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是结合平行线的性质来对照四个选择．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．

8.（2016海南3分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）

A．30° B．45° C．60° D．75° 【考点】矩形的性质；平行线的性质．

【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．

【解答】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°． 故选C．

【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

第四篇：3+1复习5.6数学归纳法归纳猜想证明

高三3+1复习——5.6数学归纳法归纳猜想证明

5．6归纳、猜想、证明（讲义）

复习目标：1.掌握数学归纳法证明的书写过程

2.掌握用数归法证明恒等式及整除问题

3.培养观察、归纳、猜想、证明的能力

例1.求证：2＋462n22222nn12n1 nN* 3

用数学归纳法证明命题的步骤：

1）证明

2）假设命题成立；证明 由1）2）得：命题对于都成立。

11111111例2.求证 ：1 2342n12nn1n2nn

例3.设fn111＋＋＋nN*，那么fn1fn＝__________ n1n22n

111111(A)；(B)；(C)＋；（D）－ 2n12n22n12n22n12n2

例4.用数学归纳法证明12－22＋32－42＋＋2n－12nn2n1 时，当nk1时2

2比nk时，等式左边增加的项是____________________

例5.在数列an中，9Sn10an7n nN*

（1）求出a1,a2,a3，并猜想an的通项公式；

（2）用数归法证明你的结论.

高三3+1复习——5.6数学归纳法归纳猜想证明

5．6归纳、猜想、证明（学生版）

1.某个与自然数有关的命题，如果nknN*时该命题成立，可推得nk1时命题成立，现

为了推得n5时该命题不成立，则有（）

(A)n6时命题不成立；(B)n6时命题成立；

(C)n4时命题不成立；(D)n4时命题成立；

2.用数学归纳法证明1aaa

____________________________

2n11an2a1，在验证n1时，左端计算所得项为1a

nn1 nN*时，在假设2

nk等式成立后.要证明nk1时也成立，这时要证明的等式为_____________________________________________

111111114.数学归纳法证明：1nN*时，当n从k到2342n12nn1n2nn

k1时等式左边增加的项为____________________________________；等式右边增加的项为______________________________________

3.用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋＋－1n1n21n1

5.用数学归纳法证明：352n1222n4n212n11 3

6.已知正数列annN*中前n项和为Sn，且2Snan

然后用数归法证明.1，求a1,a2,a3，并猜测通项an，an

第五篇：中考数学猜想证明题

2012年的8个解答题的类型

一实数的计算、整式的化简求值、分式的化简求值、解分式方程、解二元一次方程组、解不等式组并在数轴上表示解集

二画图与计算、圆的证明与计算、三角函数应用题

三统计应用题、用列表法或树形图求某以事件的概率、统计与概率的综合应用题

四一次与反比例函数的数形结合、二次函数的数形结合、列方程或方程组解应用题

五、猜想与证明题

六、综合应用题

七、探索发现应用题

八、动点应用题

现在举出典例来领悟猜想与证明题的解题思路：