浅谈极限对数学的意义

第一篇：浅谈极限对数学的意义

浅谈极限对数学的意义

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

极限的思想由来已久.公元前三世纪,古代伟大的科学家阿基米德，利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，而公元前五世纪，我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这其中就用到了极限思想。这些早期的极限思想还很原始与朴素，但为其后极限的发展奠定了基础。

说到极限的作用，就不得不提到微积分。可以说极限就是微积分的基础，而微积分的发展是建立在极限理论发展之上的。而微积分对现代文明的贡献之大毋庸置疑。由此极限的重要性可见一斑。现在任何一所大学的数学系的学生都会先学极限，之后再学微积分。但历史上微积分却比极限产生的早，可以说微积分是一个早产儿。这个早产儿在实际中应用的非常好，但是在理论上却是模糊不清。由此还引发了第二次数学危机。拯救危机的方法就是清晰的定义极限。

十七世纪，微积分出现了。领军人物是两个伟大的智者。一个家伙叫牛顿，而另一个叫莱布尼茨。牛顿通过对力的研究发明了微积分，虽然现在看来这样的微积分还很原始，仅仅涉及一重，只有一个变量。但是它的意义是无可估量的。而莱布尼茨则通过对切线的研究，得到了微积分。他不仅发明了微积分，而且现代微积分很多符号都是他定义的，他在理论方面的研究价值巨大。可是无论是牛顿，还是莱布尼茨，都有一些基本的理论问题无法解决。而这些问题也困扰了他们一生。

到底是什么样的问题呢？首先我们要来了解微积分是什么。微积分分为微分和积分。微分的定义为：设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx)− f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。其中的A就是我们高中时所学的导数。我们的确这样定义了微分，可是问题来了，什么事无穷小量，这是一个毫无概念东西，既无数学公式，又无严谨的证明。至于高阶无穷小量，它本身就是一个基于无穷小量的概念，没有无穷小量，高阶更无从谈起。积分的定义：首先有一个连续函数......，其中分为间隔成 子区间（细分）。让

在区间

上。让

是任意（随机选择）的间隔分区

......采样（采样点）的子区间选择。也就是说，......，和

在

在，在，在

。定义分区网格最大的子区间的长度。也就是说，让 定积分 在区间，为

是最普遍的定义为

并定义

。定积分这里同样有问题，mesh趋近与0到底是一个什么样的概念呢。与0距离是多少算趋近，1,1/2，还是1/n。

后来人们发现，微积分的问题不在本身，而在于它的理论基础。十九世纪，一个伟大的数学大师解决了这个问题：柯西。法国数学家柯西通过对极限的严格定义，来澄清微积分上的基础问题的混乱。他是这样定义函数极限的：设f:(a,+∞)→R是一个一元实值函数，a∈R.如果对于任意给定的ε>0，存在正数X，使得对于适合不等式x>X的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式.│f(x)-A│<ε

则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作f(x)→A(x→+∞).这样对极限的完美定义，使得微积分一下变得清晰明了。而他对极限的定义方法，却是用有限的数X来定义无限趋近这一概念。这样的定义既简单，又容易让人理解。同时也让人们对微积分有了更深一步的认识，为微积分的发展做出了巨大贡献。因为在二重，三重，甚至多重微积分中，直观的感受已经无法描述出微积分的概念。而通过极限却可以让人很好的理解，研究微积分。二重积分定义：设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞(n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时, 此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即 ∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞（Σf(ξi,ηi)Δδi）

三重积分定义：如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分。多重微积分的发展极大的推动了科学的进步，不光是物理学等基础学科的发展。工程力学，机械科学等实用性学科也发展了起来。

同时极限理论的发展导致了微积分的大发展。从而一个新的数学分支出现了：数学分析。数学分析分支现在成为了数学系学生的必修课，而其他理工科类也必须学习一定的数学分析知识，可以说数学分析分支是数学分支中应用最广的。我是数学系学生，学得一年，自我感受，数学分析整本书最重要的就是极限理论。极限的思想是无限靠近，通过有限来定义无限。这个思想贯穿了整本书。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

总而言之，极限是数学中极其重要的一个概念，它是第二次数学危机的产物，是几千年人类思想的结晶。我还记得我第一次上数学分析课时老师说过的话：“今天我们要讲的内容很重要，实际上学完这本书后你会发现这本书实际上就讲了这么一个概念：极限。”

第二篇：数列、极限、数学归纳法·数学归纳法

数列、极限、数学归纳法·数学归纳法·教案

教学目标

1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．

2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤． 3．抽象思维和概括能力进一步得到提高． 教学重点与难点

重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析． 难点：数学归纳法中递推思想的理解． 教学过程设计

（一）引入

师：从今天开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢？应该从认识什么是归纳法开始．

（板书课题：数学归纳法）

（二）什么是归纳法（板书）

师：请看下面几个问题，并由此思考什么是归纳法，归纳法有什么特点．

问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？（可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片事先准备好）生：把它倒出来看一看就可以了．

师：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．顺序操作怎么做？ 生：一个一个拿，拿一个看一个． 师：对．问题的结果是什么呢？（演示操作过程）

第一个白球，第二个白球，第三个白球，„„，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．

特点吗？

生：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法． 特点是由特殊→一般（板书）．

师：很好！其实在中学数学中，归纳法我们早就接触到了．例如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确定等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法，今后的学习还会看到归纳法的运用．

在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．

还应该指出，问题1和问题2运用的归纳法还是有区别的．问题1中，一共12个球，全看了，由此而得到了结论．这种把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法．对于问题2，由于自然数有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前4项体现的规律，进行推测，得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法．

（三）归纳法的认识（板书）

归纳法分完全归纳法和不完全归纳法（板书）． 师：用不完全归纳法既然要推测，推测是要有点勇气的，请大家鼓起勇气研究问题3．

资料1（事先准备好，由学生阅读）

费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献． 但是，费马曾认为，当n∈N时，22n+1一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4作了验证后得到的．

18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了225+1=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．

师：有的同学说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）：

师：算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来． 师：归纳法为什么会出错呢？ 生：完全归纳法不会出错．

师：对！但运用不完全归纳法是不可避免的，它为什么会出错呢？ 生：由于用不完全归纳法时，一般结论的得出带有猜测的成份． 师：完全同意．那么怎么办呢？ 生：应该予以证明．

师：大家同意吧？对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明．

（四）归纳与证明（板书）

师：怎么证明呢？请结合以上问题1思考．

生：问题1共12个球，都看了，它的正确性不用证明了．

师：也可以换个角度看，12个球，一一验看了，这一一验看就可以看作证明．数学上称这种证法为穷举法．它体现了分类讨论的思想．

师：如果这里不是12个球，而是无数个球，我们用不完全归纳法得到，这袋球全是白球，那么怎么证明呢？

（稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）

师：这类问题的证明确不是一个容易的课题，在数学史上也经历了多年的酝酿．第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科．他运用递推的思想予以证明． 结合问题1来说，他首先确定第一次拿出来的是白球． 然后再构造一个命题予以证明．命题的条件是：“设某一次拿出来的是白球”，结论是“下一次拿出来的也是白球”．

这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性． 大家看，是否证明了上述两条，就使问题得到解决了呢？

生：是．第一次拿出的是白球已确认，反复运用上述构造的命题，可得第二次、第三次、第四次、„„拿出的都是白球．

师：对．它使一个原来无法作出一一验证的命题，用一个推一个的递推思想得到了证明． 生活上，体现这种递推思想的例子也是不少的，你能举出例子来吗？ 生：一排排放很近的自行车，只要碰倒一辆，就会倒下一排． 生：再例如多米诺骨牌游戏．（有条件可放一段此种游戏的录相）

师：多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：

（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒．

用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．

（五）数学归纳法（板书）

师：用数学归纳法证明以上问题2推测而得的命题，应该证明什么呢？ 生：先证n=1时，公式成立（第一步）；

再证明：若对某个自然数（n=k）公式成立，则对下一个自然数（n=k+1）公式也成立（第二步）． 师：这两步的证明自己会进行吗？请先证明第一步．

师：于是由上述两步，命题得到了证明．这就是用数学归纳法进行证明的基本要求． 师：请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤． 生：共两步（学生说，教师板书）：（1）n=1时，命题成立；

（2）设n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立．

师：其实第一步一般来说，是证明开头者命题成立．例如，对于问题3推测得的命

（若有时间还可讨论此不等关系证明的第二步，若无时间可布置学生课下思考）

（六）小结

师：把本节课内容归纳一下：

（1）本节的中心内容是归纳法和数学归纳法．

（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法．分完全归纳法和不完全归纳法二种．（3）由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确，因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行．（4）数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推（递归）思想，它的操作步骤必须是二步．

数学归纳法在数学中有广泛的应用，将从下节课开始学习．

（七）课外作业

（1）阅读课本P112～P115的内容．（2）书面作业P115练习：1，3． 课堂教学设计说明

1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．

数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束． 把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试． 2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．

3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件．

第三篇：数列、极限、数学归纳法专题

数

列

专

题

复

习

选题人：董越

【考点梳理】

一、考试内容

1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。3.数列的极限及其四则运算。4.数学归纳法及其应用。

二、考试要求

1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。

5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、考点简析

1.数列及相关知识关系表

2.作用地位

（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。

（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综

合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。

（4）数列、极限、数学归纳法这部分知识，在高考中占有相当的比重。这部分知识是必考的内容，而且几乎每年有一道综合题。

3.等差数列

（1）定义：an+1－an=d(常数d为公差)

（2）通项公式：an=a1+(n－1)d（3）前n项和公式：Sn=

n(a1an)n(n1)=na1+d（4）通项公式推广：an=am+(n－m)d

224.等差数列{an}的一些性质

（1）对于任意正整数n，都有an+1－an=a2－a1（2）{an}的通项公式：an=（a2－a1）n+(2a1－a2)（3）对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s，则有ap+aq=ar+as（4）对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有ap+ar=2aq（5）对于任意正整数n>1，有2an=an－1+an+1

（6）对于任意非零实数b，若数列{ban}是等差数列，则数列{an}也是等差数列（7）已知数列{bn}是等差数列，则{an±bn}也是等差数列（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n}，{a3n－1}，{a3n－2}等都是等差数列

（9）S3m=3（S2m－Sm）

（10）若Sn=Sm(m≠n)，则Sm+n=0（11）若Sp=q,Sq=p，则Sp+q=－(p+q)(p≠q)

（12）Sn=an2+bn，反之亦成立 5.等比数列（1）定义：an1－=q(常数q为公比)

（2）通项公式：an=a1qn1 anq1q

1特别注意q=1时，Sn=na1这一特殊情况。

－m（3）前n项和公式

na1Sn=a1(1qn)1q（4）通项公式推广：an=am·qn6.等比数列{an}的一些性质（1）对于任意正整数n，均有

an1a2= ana1（2）对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p+q=r+s，则ap·aq=ar·as（3）对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则ap·ar=aq2（4）对任意正整数n>1，有an2=an－1·an+1（5）对于任意非零实数b,{ban}也是等比数列

（6）已知{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列（7）如果an>0，则{logaan}是等差数列

（8）数列{logaan}成等差数列，则an成等比数列

（9）{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比数列 7.数列极限

（1）极限的定义“ε—N”

（2）极限的四则运算

若liman=A，lim bn=B，则

nn 2

lim(an±bn)= liman±limbn=A±B

lim（an·bn）=liman·limbn=A·B nnnnnnlim（an/bn）=liman/limbn=nnnA(B≠0)B（3）两个重要极限

c0|r|1001①limc=c0

②limrn=1

r1 nnn不存在不存在c0|r|1或r1中学数学中数列求极限最终都化成这两类的极限问题。由①我们可以得到多项式除多项式的极限。

a0b pq0a0npa1np1aplim=0 pq

其中p,q∈N,a0≠0，b0≠0。nbnqbnq1a01q不存在 pq（4）无穷递缩等比数列各项和公式

S=limSn=

na1（|q|<1）1q应用：化循环小数为分数。8.递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列{21}即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。

（3）代换法。包括代数代换，对数代换，三角代换。

（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。9.数列求通项与和 nsnsn1n2（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=

sn11（2）求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列。

②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1 ③归纳、猜想法。（3）数列前n项和 ①重要公式

1+2+…+n=13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=

11n(n+1)

12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)261

2n(n+1)2 4 3

②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd ③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn ④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：

1111=－

n·n！=(n+1)!－n!

=cotα－cot2α

sin2αn(n1)nn1Cn－1r1=Cnr－Cn－1r

－

1n1=－等。n!(n1)!(n1)!⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。10.数学归纳法

（1）数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°p(n0)成立（奠基）；

2°假设P(k)成立(k≥n0)，若可以推出P（k+1）成立（归纳），则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立。

（2）数学归纳法的应用

数学归纳法适用于有关自然数n的命题。具体来讲，数学归纳法常用来证明恒等式，不等式，数的整除性，几可中计数问题，数列的通项与和等。

四、思想方法

数列、极限、数学归纳法中，主要注意如下的基本思想方法：

1.分类讨论思想。如等比数列的求和分公比等于1和不等于1两种情形；已知数列前n项和求通项分n=1和n≥2两种情形；求极限时对两个参数进行大小比较的讨论等。

2.函数思想。将数列视为定义域为自然数或其子集的函数。

3.数形结合思想。如等差数列的通项公式和前n项和公式分别视为直线、二次曲线的方程。

4.转化思想。如将非等差数列、非等比数列转化为等差数列、等比数列。5.基本量思想。如把首项及公差、公比视为等差数列、等比数列的基本量。6.构造思想。如由旧数列构造新数列。

7.特殊化思想。为研究一般问题可先退化到特殊问题的研究。在这部分内容中，处处充满了由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证法，这就要求我们在思考问题时要用辩证的观点，由具体认识抽象，由特殊窥见一般，由有限逼近无限。其中，我们常用的“归纳——猜想——证明”法就体现了这一点。

8.一般化思想。为研究一个特殊问题，我们先研究一般的情形。我们采用的数学归纳法，就主要体现一般化思想，先证命题对一般值成立，然后再证对每一个特殊的n值也成立。

第四篇：2018考研数学：二重极限

东莞中公教育

2018考研数学：二重极限

以下是中公考研数学研究院的老师为大家整理了2018考研数学:二重极限的题型讲解，供大家复习参考。

高等数学的研究对象是函数，而极限则是研究函数的最重要的工具，对于一元函数如此，对于多元函数亦是如此。那么在学习多元微分学之前，首先来认识多重极限的概念，在此以二重极限为例进行说明。东莞中公教育

2.考试要求会计算二重极限，最直接的想法就是一元函数求极限的方法中哪些还可以继续使用，其中四则运算法则，等价无穷小替换和夹逼定理及其推论(无穷小量乘以有界量等于无穷小量)可以使用。

【注记】1.取路径的方法只是用来验证函数的极限不存在，不能用于求极限。并且路径一般取为直线，便于计算。

2.考试不会直接考查二重极限的计算，而是在研究函数的连续性、可导性和可微性的时候需要计算二重极限。

最后，中公考研祝全体考生考研成功!

第五篇：数学中常用极限方法总结

【1】 忽略高阶无穷小方法。

很多极限看起来很复杂，而且也不好使用洛必达法则，但是如果忽略掉次要部分，则会很容易计算。

比如

再比如斐波那契数列，忽略掉比x低的无穷小项后为√x / √2x = 1/√2

忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要项后，可以求得lim a(n+1)/a(n)=(1+√5)/2

再比如 lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))当x->∞的时候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高阶无穷小 所以lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))= lim(x->∞)sinh(x)/2Cosh(x)

= lim(x->∞)(e^x-e^(-x))/ 2(e^x+e^(-x))= lim(x->∞)e^x / 2e^x =1

【2】 取对数与洛必达法则

洛必达法则是求极限的时候用的最多的方法，但是很多题目都会饶下弯子，需要先对代数式进行一些变形，否则计算起来会越来越烦，常见的的代换包括取对数，等价无穷小代换，省略高阶无穷小部分，在用完这些方法后，再使用洛必达法则，可以有效的解决这类问题。

比如

这个直接用等价无穷小代换后会因为损失了高阶无穷小导致结果不正确，取对数后就会化成容易计算的形式了 lim(x->∞)x^2*ln(1+1/x)1)/ 2t =-1/2 所以原式极限为e^(-1/2)

再比如 tanx ^(1/lnx)在x->0+的时候的极限 这个极限是0^∞的形式

直接取对数得 ln(tanx)/ lnx，现在是∞/∞的形式

用洛必达法则得 = x /(sinx cosx)= x/sinx * 1/cosx = 1 所以tanx^(1/lnx)在x->0+的时候的极限为e

【3】 常用等价无穷小

经常用到的等价无穷小有

(1)tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x)~ acsinh(x)~ x(x->0)(2)1-cosx ~ x^2/2(x->0)(3)e^x1 ~ ax(x->0)(6)esinx)/ x^3在x->0处的极限，这个可以使用多次洛必达求得，或提取sinx后用两个等价无穷小代换，也可以用tanx和sinx的级数代入求得 =(x+x^3/3 + O(x^4)(13 x^7)/210 + O(x^9)sin(tan(sin(tan(x))))在x=0处的幂级数展开为x + x^3/3 + x^5/302)/ x^2在 x->0处的极限 用泰勒公式就比较简单

√(1+x)~ 1+x/2x/2x^2/4(e x)/2 +(11 e x^2)/24 + O(x^3)(1+1/x)^x在x=0处的级数展开为1-x lnx +(1+(lnx)^2)x^2 + O(x^3)

【6】 中值定理

有些极限用常见的方法处理比较困难，但是可以很容易的看出这是某个函数在两个很近的点处的割线的斜率或两个点之间的面积，那么这个时候可以考虑使用微分中值定理或积分中值定理。

比如求sin(√(x+1)sin√x)/(√(x+1)-√x)所以lim(sin(√(x+1)arctan a/(x+1))在x->∞处的极限

令f(x)= arctan a/x那么存在x< ξ

由于x^2/(a^2+(x+1)^2)< x^2/(a^2+ξ^2)< x^2 /(a^2+x^2)，取极限得1 <= lim x^2/(1+ξ^2)<= 1 所以原式极限是a

再比如求(Pi/2arctanx = ∫ 1/(1+t^2)dt(积分限为[x,∞])所以存在x<ξ<∞使得 ξ/(1+ξ^2)= Pi/2(n-1)^(k+1)] =n^k / [ n^(k+1)C(k+1,2)n^(k-1)+....] =n^k / [C(k+1,1)n^kln(n!)+ n ln(n))/(n+1-n)=lim [ ln(n+1)ln(n+1)+ n ln(n)] =lim n * ln(n/(n+1))=-1

【8】 利用定积分的数值公式

有些求和的极限用夹挤定理只能得到级数收敛，但不能求出具体的极限值，而一些题刚好是利用定积分的数值公式（主要是矩形公式）分解而来，这个时候可以考虑凑定积分的方式来对级数求和。

比如求

可以写成1/n ∑1/(1+(k/n)^2)

所以这个刚好是1/(1+x^2)在[0,1]上的定积分 所以极限为Pi/4

再如上面出现过的(1^k+2^k+...+n^k)/ n^(k+1)这个可以写成1/n ∑(i/n)^k

所以可以看成是 x^k在[0,1]上的定积分 所以极限是1/(k+1)

【9】 利用级数展开

某些涉及到求和的极限可能刚好是某个函数的级数展开的特殊值 比如交错级数 1-1/2+1/3-1/4+...这个刚好是ln(1+x)= xx^4/4 +...在x=1处的值 所以极限是ln2 而对于其他一些级数也可能是函数展开的特殊值 比如1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^ + 1/n^2 +...考虑正弦函数的无穷积展开为 sinx = x ∏(1-x^2/k^2Pi^2)取对数后求导数得

Cot[x] = 1/x1/4 + 1/7-1/11 +...(-1)^(3k+1)/(3k+1)+....也是可以计算出来的，结果留给你们算