数学证明的意义

第一篇：数学证明的意义

证明

假如现在有这么一个题目：“已知三角形内角和是180°，你能根据已学知识证明这个结论吗？”于是，人们就有了疑惑：“我们观察任意一个三角形，量出它的内角，都能得出它的内角和为180°，为什么还要证明这个结论呢？”

通过观察和试验等方法可以寻找规律，但是由于误差等因素，所产生的“结论”也未必正确。例如，让一个班的学生每人任意画一个三角形，再量出它的每个内角，计算三个内角的和，得到的结果未必全是180°。

而且仅仅通过观察和试验等就下结论有时也缺乏说服力，例如，即使不考虑误差等因素，当上面的所有结果都是180°时，人们还是会有疑惑：“不同形状的三角形有无数多个，我们画出并验证的只是其中有限多个，其余的三角形的内角和是多少呢？能对所有三角形进行验证吗？”事实上，不管我们经历多长时间，画出多少个三角形，观察，试验的对象也是有限多个。因此，要确认“三角形内角和等于180°”必须进行推理论证——从道理上得出“无论三角形的具体形状如何，它的内角和都一定等于180°”。

所以，一个命题是否正确，需要经过理由充足，使人信服的推理论证才能得出结论，这样的推理过程就叫“证明”。观察和试验等是发现规律的重要途径，而证明则是确认规律的必要步骤。

第二篇：[数学论文]数学证明的意义与方法

[数学论文]数学证明的意义与方法

摘要：数学证明是数学学习中非常重要的一部分，数学证明有核实作用，理解作用，发现作用和思维训练作用，数学证明常用的方法有综合法与分析法，直接法与间接法，数学归纳法等等，随着数学的发展，还出现了计算机证明。

关键词：数学证明；意义；方法

数学证明是数学学习中非常重要的一部分，在不同的情境中，数学证明有不同的意义与方法。1 数学证明的意义

1.1什么是数学证明

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的应用非常广泛，是学习现代科学技术必不可少的基础学科。学习数学，就离不开数学证明，这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。什么是数学证明呢？许多人认为数学证明是根据相应的公理，法则等来说明结论是正确的一种活动。比如证明三角形内角和是180，就是通过相应的公理和法则来证明的。我认为这个观点并不完整，它只是说出了数学证明的表面，我认为它是通过演绎推理的方式来证出的。也就是说，数学证明是根据相应的原理，法则，公式等，通过数学上的演绎推理来说明结论是正确的一种活动。

因为数学是一门演绎的科学，由于数学的本质及其组织以及构造方式的特点，决定了数学证明只能是一种演绎证明。由演绎证明的特点，又决定了数学证明具有很重要的意义。

1.2数学证明的意义

数学证明在数学学习过程中非常重要，在于数学证明的意义和作用，数学证明有下面四个主要的意义和作用：

1.2.1 核实作用——通过数学证明，可以核实一个命题的真假。

数学命题有真有假，在许多场合中，命题的真实性不是显然的，这时，要判断真假就需要借助于一些方法：观察，实验，数学证明等等。比如“两点之间线段最短”我们可以通过观察来看出它是真命题，通过实验的方法我们可以发现“三角形的内角和是180”这也是真命题。但是，这些方法并不严谨，因而没有说服力。而且，有许多命题通过观察和实验是无法论证的，比如“2是无理数”通过观察和实验就无法判断其真假。而数学证明通过引用一些真命题和特定的题设条件，经过严格的逻辑推理方法进行的，具有无可辩驳的说服力，可以核实一个命题的真假。

1.2.2 理解作用——数学证明有助于增进理解。

数学证明有助于增进理解包括增进对所证命题的理解以及在证明该命题过程中所用到的相关的数学知识的理解。同时，通过数学证明还可以使人们寻找新旧知识之间的联系，使人们获得的知识系统化。

证明一个命题的真假时，需要灵活的运用相应的公理，定理以及其它的条件。因而，通过数学 00

证明，在核实某个命题真假的同时，也增加了对证明过程中所涉及到的知识的理解。在证明某个命题的时候要用到另外的命题，那么，这些命题之间的一定有内在的联系，寻找它们之间联系的桥梁就是数学证明。同时，通过不断的数学证明，寻找到新旧知识之间的联系，使人们所学的知识有机的结合起来，从而趋于系统化。比如在证明梯形的中位线定理的时候，我们用到了三角形全等的判定定理（或推论），两直线平行内错角相等的定理以及三角形中位线定理等等。通过灵活的运用，可以加深对这些知识的理解。而且，在证明了梯形的中位线定理以后，我们可以发现：梯形的中位线定理和三角形的中位线定理有许多的相似之处，都存在平行和一半的关系。这样，就可以将这两个知识联系起来，使自己的知识趋于系统化。

1.2.3 发现作用——数学证明有助于人们获得新的体验，发现新的结论，新的知识。

在数学史上，有许多发现就是从数学证明开始的。瑞士数学家欧拉在解决“哥尼斯堡七桥问题”的时候发现这个几何问题无法用以前的几何学的方法解决，因为按照人们所熟知的几何理论，都是与长短、大小这些量有关，而七桥问题与量无关。欧拉通过研究证明了这是个不可能问题，并且提出了一个新的几何学分支——拓扑学。由此可见数学证明的对于人们发现新的东西是有很大的帮助的。

再比如，非欧几何的发现就是源于对欧氏几何第五公设的证明。人们觉得第五公设“若两条直线与第三条直线相交，而且在同一侧所构成的两个同旁内角之和小于两个直角，则该两直线沿这一侧延长后必定相交。”比其它四条公设累赘多了，因而尝试从别的公理把它推出来。但是，所有的努力都以失败告终，人们不是证明时不知觉的用了与第五公设有关的定理，就是提出了与第五公设逻辑等价的新定理。不过，这些错误与失败却为后来的成功铺了路。1830年左右，匈牙利数学家鲍耶与俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在前人的基础上分别发现了非欧几何的存在。

1.2.4 思维训练作用——数学证明有助于良好思维能力的培养。

证明数学命题的过程可以训练和培养学生的逻辑思维能力以及数学的交流能力，使人们形成严谨的治学态度。数学证明是一种演绎证明，它的每一步都力求准确，这对人们良好的思维能力的培养是有很大的作用的。数学证明的方法

一个数学命题往往可以有不同的思路来思考证明，思路不同，所产生的影响不同，证明方法也不同，对于不同的数学命题的证明也可以有许多不同的思路，不同的方法。数学证明中有许多不同的证明方法。下面是一些常见的方法。

2.1综合法和分析法

综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到要证的结论的方法。分析法则是从要证的结论出发，一步一步的搜索下去，最后达到命题的已知条件的方法。

2.2直接法和间接法

直接法是从命题的条件出发，根据已知的定义，公理，定理等等直接推断结论的真实性的方法。凡是用演绎法证明命题真实性的证明方法都是直接法。如例1的四种方法就是直接法。有些命题用直接法证明比较困难，有的在特定的场合甚至找不到直接证明的根据，这时可证明与原论

题相矛盾的判断是假的，或考证它的等效命题，结果也能间接地达到目的。这种不是从正面证明论题真实性的方法叫做间接法。

间接法有反证法和同一法两种。

2.2.1反证法

通过证明论题的否定命题不真实，从而肯定论题真实性的方法叫做反证法。

反证法的一般步骤如下：

假设命题的结论不成立，即结论的否定命题成立。

从否定的结论出发，逐层进行推理，得出与公理或前述的定理，定义或题设条件等自相矛盾的结论，即说证明结论否定不成立。

据排中律，最后肯定原命题成立。

反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时如果与原命题结论相矛盾的方面只有一种可能情况，只要把这种情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫做归谬法。如果与原命题相矛盾的方面不止一种情况，就必须把矛盾方面的所有可能的情况一一驳倒，才能肯定结论成立，这种反正法叫做穷举法。

2.2.2 同一法

当一个命题的条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念是，这个命题与它的逆命题等效，这个原理叫做同一原理。

对于符合同一原理的命题当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆命题，这种证明方法叫做同一法。

同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。

例 4如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（勾股定理逆定理）

已知 如图△ABC中，ABACBC。

求证：△ABC是直角三角形

证明：分别以AB，AC为直角边，作直角三角形A'B'C'，使得222

ABA'B',ACA'C'

222则根据勾股定理有A'B'A'C'B'C'，由于A'B'

ABA'B',ACA'C'，所以AB2AC2BC2=B'C'2，即得BCB'C'

所以△ABC△A'B'C'

因为△A'B'C'是直角三角形，所以△ABC也是直角三角形。

在证明该题的过程中，用到了勾股定理，全等三角形的知识。所以，通过该题，也可以使人们加强对勾股定理以及三角形全等方面的知识的理解。

需要指出的是，同一法和反正法的适用范围是不同的，同一法的局限性较大，通常只适用于符合同一原理的命题，反证法则普遍适用，对于能够用同一法证明的命题一般都能用反证法证明。注②

2.3数学归纳法

我们采用记号p(n)表示一个与自然数n有关的命题，把它们都写出来 p(1)，p(2),p(3)…… 事实上，如果满足下面两个条件：

（1）p(1)成立（即当n1时命题成立）

（2）只要假设p(k)成立（归纳假设），由此就可得p(k1)也成立（k是自然数）就能保证这一大串（无数多个）命题p(1)，p(2),p(3)……都成立。

我们把此叫做数学归纳法原理。

根据数学归纳法原理，我们在证明时可以相应的按照以下两步进行：

（1）验证p(1)是成立的。

（2）假设p(k)成立，证明出p(k1)也成立。

由（1），（2）可得对于任意的自然数n，命题p(n)都成立。

这是数学归纳法最基本的形式，通常称作第一数学归纳法。

第三篇：学习数学的意义

学习数学的意义

数学是以量和量变为研究对象的科学，是内容具体、形式抽象、理论严谨、结论确定、应用广泛、方法精巧和地位特殊的一门基础学科。数学教育作为教育的组成部分，基础的数学教育在学校教育中占着非常特殊的地位，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。

数学教育的目的，从根本上来说，不在于或主要不在于培养未来的数学家，而在于培育人的数学思想和解决问题的方法，开拓头脑中的数学空间，进而促进人的全面发展和提高。具体而言，义务教育阶段的基础数学教育“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观念等多方面得到进步与发展。”而且，《新课程标准》明确指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。也就是说一定要让学生学习生活中的数学，促使数学学习更有意义。

数学教育的功能，是指在提高学生的素质，为其步入社会、终身学习和发展方面所能产生的作用。从社会对数学本质的认识以及数学在整个社会科学文化系统中的地位，可以从以下三个方面来看学习数学的现实意义。

（一）、学习数学的社会意义——广泛的应用性

数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正如已故著名数学家华罗庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现量的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。数学贯穿到一切科学部门的深处，成为它们的得力助手与工具。

现在随便翻开报纸，“数字地球” “随机变化”、“线性规划” 等名词赫然在目，什么“股市走势图”、“价格分析表”更是随处可见。还有，譬如某个权威部门说：“今年前六个月的居民款比去年同期增速下降1个百分点。”这条消息是什么意思?与去年相比，居民存款数究竟发生了什么变化?是不是居民开始不存款了?又如，天气预报中说“今天降水概率是50%气是否意味着如果上午不下雨的话，下午一定下雨?又如“信息高速公路”、“数字信息”等新名词不断出现，那么“信息”究竟是什么?它和数字如何联系起来，又如何来度量信息的多少等等。其实数学就在我们身边，每一个生活在地球上的人越来越离不开数学。

数学的广泛渗透与应用，是它一贯的特点。数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透；纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用其中最抽象的一些分支也参与了渗透；现代数学对生产技术的应用变得越来越直接；现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科。这些学科以数学方法与数学理论为基础，譬如；数理统计、运筹学、控制论等等。我们用一些实际例子来说明它的广泛应用。

现代的科学技术发展十分迅速，他们有一个共同的特点，就是都有大量的数据问题。比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星世纪开始到发射、回收为止，科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产，这里面就有许许多多的数据要进行准确的计算。发射和回收的时候，又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行精确的计算。又如，在高能加速器里进行高能物理试验，研究具有很高能量的基本粒子的性质、它们之间的相互作用和转化规律，这里面也有大量的数据计算问题。计算问题可以数是现代社会各个领域普遍存在的共同问题，工业、农业、交通运输、医疗卫生、文化教育等等，那一行那一业都有许多数据需要计算，通过数据分析，以便掌握事物发展的规律。研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科就叫做计算数学。计算数学属于应用数学的范畴，它主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决

数学知识的产生不外乎实际的需要和数学内部的需要，所以现在对教材作了一系列的变革。新教材中的内容也和实际生活联系密切。学生通过数与计算、空间与图形、量与计量、统计与概率、方程与关系，运筹与优化各个领域的学习，来观察、发现、了解现实世界，从而使学生充分认识到数学是从人类实践活动中产生和发展起来的，同时又广泛地应用于实践。高中阶段所学的知识大都是来源于实际生活，许多的数学知识都有具体直接的应用。如每一章的序言，都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。如在第三章《数列》以趣味话题：“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数”的计算作为每一章的开头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。新教材中提高了应用题的比例，而且突出了内容产生于现实生活的需要。如在《一元一次方程》这一章中，以“你今年几岁了”的丰富的实例引出建立一元一次方程这个数学模型的必要性，然后让学生经历建立方程模型解决丰富多彩、贴近学生生活的实际问题（如打折销售，教育储蓄，“希望工程”义演等），让学生感到数学真正地成为了我们的身边事，充分实践和体验这些知识是如何使用的，在其基础上让学生感受和体验数学的应用价值。

其实，数学从它的诞生之日起，就是人类认识世界改造世界的有力工具。现代科学技术的迅猛发展，极大地推进了应用数学与数学应用的发展，使得数学几乎渗透到每一个领域及人们生活的方方面面。自然科学的深入发展越来越依赖于数学，而社会科学，人文科学也越来越多地借助于数学知识及其思想方法。数学作为科学的语言，作为推动科学向前发展的重要工具，在人类发展史上具有不可替代的作用，并将在未来的社会发展中发挥更大的作用。

因此，培养和提高中学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科，生产、生活中的数学问题，准确而灵活地运用数学语言研究和表述问题，是中学数学教育教学的迫切要求，在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养，加大应用问题的教学力度，提高实践探索能力。

第四篇：数学意义和作用

数学的意义：

“我教你们数学，不是想让你们将来都成为数学家。数学，并不仅仅是让你们学会算题、解方程，这些东西在考试结束后就会成为你们记忆中的盲点。重要的是，在学习数学过程中培养起来的能力和对世界的感受，这才是伴随你们一生的财富。这也是你们必须学好这门课的原因。”

《数学课程标准》阐明了数学的意义与作用。

数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。

数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。

数学帮助人们探求客观世界的规律，为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学是人们在对客观世界逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行应用的过程。

数学是抽象性很强的学科，数学的抽象性是来源于现实生活中的许多具体问题，为了更好地理解和认识具体问题而抽象出数学模型。

课程标准把数学当做解决问题的一种工具，可以通过数学去认识其他学科。

二、数学意义：科学的立场

(一)时代的特征

(二)美妙的乐章

(三)从皇后到伙伴

三、数学意义：教育的立场

(一)数学素质——人的基本素质

(二)数学——促进人的发展

第五篇：数学证明方法

数学证明方法 直接证明法

从正面证明命题真实性的证明方法叫做直接证法．凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法．它是中学数学中常用的证明方法．综合法、分析法、分析综合法、比较法。

（1）综合法：从已知条件入手，运用已经学过的公理、定义、定理等进行一步步的推理，一直推到结论为止．这种思维方法叫综合法．这种方法是“由因导果”，即从已知到可知，从可知到未知的思维过程．

（2）分析法：从问题的结论入手，运用已经学过的公理、定义、定理，一步步寻觅使结论成立的条件，一直“追”到这个结论成立的条件就是已知条件为止．可见分析法是“执果求因”的思维过程，它与综合法的思维过程相反．分析法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆。

分析法的步骤为未知需知已知。在操作中“要证”、“只要证”、“即要证”这些词语也是不可缺少的。分析法的书写形式一般为“因为......，为了证明......，只需证明......，即......，因此，只需证明......，因为......成立，所以‘......（结论）’成立”。（3）分析综合法：把分析法和综合法“联合”起来，从问题的两头向中间“靠拢”，从而发现问题的突破口．这种思维方法叫做分析综合法．对于比较复杂的题目，往往采用这种思维方法．在证明的过程中，往往分析法、综合法常常是不能分离的。分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。

（4）比较法 间接证明法

不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题的不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯定论题真实性的证明方法，叫做间接证明法．反证法、同一法、归纳法（不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法）、类比法、换元法、放缩法、判别式法、函数法（1）反证法：反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设（即结论的否定成立）；

第二步，归谬：从否定结论出发，逐层进行推理，得出与公理或前述的定理、定义或题设条件，或与临时假设等自相矛盾（即说明结论不能否定）；

第三步，结论：根据排中律，说明反设不成立，从而肯定原命题成立。（2）同一法：两个互逆或互否的命题不一定是等效的，只有当一个命题的条件和结论都唯一存在，且它们所指的概念是同一概念时，该命题与其逆命题才等效，这个原理叫做同一原理．对符合同一原理的命题，当直接证明有困难时可以改证与它的等效的逆命题，这种证明方法叫做同一法．

1当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时，先作出符合命题结论的所有图形；同一法的步骤：○2证明所作图形符合已知条件；3根据唯一性，4最后肯定○○确定所作图形或所作图形与已知图形重合；○原命题成立．

（3）不完全归纳法：从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫做普通归纳法。

（4）完全归纳法：是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。

（5）数学归纳法