2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解中考模拟考试测试题

第一篇：2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解中考模拟考试测试题

2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解中考模拟考试测试题

数学 2018.3

本试卷共5页，120分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题 共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．下列各式中，计算正确的是（）A． 2x+3y=5xy

B． x÷x=x

C．（﹣2xy）=﹣8xy

D． xy•xy=xy

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）3

393

23A．

B．

C．

D．

3．下列运算正确的是（）A． 3a-2a=

1B． 2a﹣2=

C．（a-b）2= a2﹣b2

D． 6ab2÷(-2ab)=-3b

4．下列几何图形中，一定是轴对称图形的是（）A． 三角形

B． 四边形

C．平行四边形

D． 圆 5．分解因式x+4x的结果是（）

A． x（x+4）

B． x（x+2）（x﹣2）

C． x（x+2）

D． x（x﹣2）6．下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）2

23A．

B．

C．

D．

7．下列运算正确的是（）

试卷第1页，总5页 A． a6÷a2=a3

B． 3a2b﹣a2b=2

C．（﹣2a3）2=4a6

D． 8．有一条直的宽纸带折叠成如图所示，则∠1的度数为（）

A． 50°

B． 65°

C． 70°

D． 75° 9．下列计算正确的是（）

A． a2+a3=a

5B． a2•a3=a5

C．（2a）2=4a

D．（a2）3=a5

10．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H，若∠C=120°，则∠AHD=（）

A． 120°

B． 30°

C． 150°

D． 60°

二、填空题 共10小题，每小题3分，共30分。

11．下列分式化简运算中，每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是______．（只填写序号）

计算：+

解：原式=①同分母分式的加减法法则

=②合并同类项法则

=③提公因式法

=4④等式的基本性质

12．如图，已知▱ABCD的顶点A是直线l上一定点，过点B作BM⊥l于点M，过点D作DN⊥l于点N，AM=1，MN=3，则对角线AC长的最小值为_____．

试卷第2页，总5页

13．已知一个正多边形有一个内角是144°，那么这个正多边形是正_____边形． 14．如图，将直尺与含

角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是___.15．分解因式：

____________.16．如图，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC=3，EF=2，G为DE上一动点，把三角尺DEF绕直角顶点F旋转一周，在这个旋转过程中，B，G两点的最小距离为_____．

17．八边形内角和度数为_____．

18．等腰三角形的两边长为10，12，则顶角的正弦值是_____．

19．如图，□ABCD中，点E、F在直线BD上，连接AF、CE，不添加任何辅助线，请添加一个条件_____，使AF=CE（填一个即可）

20．分解因式：4x2﹣25=_____．

三、解答题 共10小题，每小题6分，共60分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

21．化简：22．如图，抛物线且.经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，（1）求抛物线的解析式；

试卷第3页，总5页（2）点在轴上，且，求点的坐标；

（3）点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.23．如图，在正方形ABCD中，CE=CF，求证：△AEF是等腰三角形．

24．（1）解方程：；

（2）解不等式：2x+1≤（x﹣1）25．计算：（1）（）+|﹣3|﹣（π+2）；

20（2）（x+2）﹣4（x﹣1）

26．天猫网的新时代书店准备购进甲、乙两种图书，已知甲种图书进价比乙种图书贵4元，用3000元购进甲种图书的数量与用2400元购进乙种图书的数量相同．（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

（2）若甲种图书每本售价30元，乙种图书每本售价25元，书店欲同时购进两种图书共100本，请写出所获利润y（单位：元）关于甲种图书x（单位：本）的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若书店计划用不超过1800元购进两种图书，且甲种图书至少购进40本，并将所购图书全部销售，共有多少种购进方案？哪一种方案利润最大？ 27．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是直线BC上一点，连接AE，过点C

试卷第4页，总5页 作CF⊥AE于点F，连接BF．如图①，当点E在BC上时，易证AF﹣CF=BF（不需证明），点E在CB的延长线上，如图②：点E在BC的延长线上，如图③，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

28．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO=OC=3AO．（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

29．先化简，再求值：，其中a=．

30．长春市绿园区环卫处在西安大路清扫上安排了A、B两辆清扫车．A车比B车每小时多清扫路面6km，若A车清扫路面42km与B车清扫路面 3 5km所用的时间相同，求B车每小时清扫路面的长度．

试卷第5页，总5页

参考答案

1．C 【解析】 【分析】

各选项一一计算即可.【详解】

2x+3y= 2x+3y≠5xy，故A错误.x6÷x2=x4，故B错误，x2y•x3y=x5y2，故D错误.选C.【点睛】

本题考查代数式的计算，解题的关键是掌握整式运算的法则.2．D 【解析】 【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一进行判断即可得答案.【详解】

A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意，B选项是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意，C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意，D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意，故选D.【点睛】

本题考查轴对称和中心对称，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180∘，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题关键.3．D 【解析】 【分析】

利用合并同类项的法则、负指数幂、整式除法、完全平方公式的知识求解即可求得答案.【详解】

3a-2a=a，故A选项错误，答案第1页，总21页

2a﹣2=，故B选项错误，（a-b）2= a2﹣2ab+b2，故C选项错误，6ab2÷(-2ab)=-3b，计算正确，故选D.【点睛】

本题考查合并同类项、完全平方公式、负指数幂及整式除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键.4．D 【解析】 【分析】

根据轴对称图形的定义分析即可.一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.【详解】

三角形、四边形、平行四边形不一定是轴对称图形，圆是轴对称图形，故选D.【点睛】

本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.5．A 【解析】 【分析】

提取公因式x即可.【详解】 x3+4x= x（x2+4）.故选A.【点睛】

本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.6．C

答案第2页，总21页

【解析】 【分析】

根据轴对称图形和中心对称的图形即可解出该题.【详解】

A.不是轴对称图形，故该选项错误；B.是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项错误；C.是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项正确；D.不是轴对称图形，故该选项错误.故选C.【点睛】

本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是本题解题的关键.7．C 【解析】 【分析】

A、根据同底数幂的除法法则计算； B、根据合并同类项法则进行计算； C、根据积的乘方法则进行计算； D、不是同类二次根式，不能合并.【详解】 A、B、C、.此选项错误．

此选项错误； 此选项正确；

D、不是同类二次根式，不能合并.此选项错误； 故选:C． 【点睛】

此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算和二次根式加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 8．D 【解析】 【分析】

如图，根据平行线的性质得出∠EDC=∠EFA=30°，∠1+∠BDC=180°，根据折叠求出

答案第3页，总21页

∠EDB=75°，代入求出即可． 【详解】 ∵AB∥CD，∴

根据折叠得出∵∴故选:D.【点睛】

本题考查了翻折变换，平行线的性质的应用，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键． 9．B 【解析】 【分析】

按照合并同类项、同底数幂的乘除法运算、幂的乘方的性质进行判断即可.【详解】

a2和a3不是同类项，不能合并，A项错误；a2∙a3＝a2＋3＝a5，B项正确；(2a)2＝4a2，C项错误；(a2)3＝a2×3＝a6，D项错误.故选B.【点睛】

本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方的性质，需熟练掌握并区分清楚，才不容易出错.10．C 【解析】 【分析】

答案第4页，总21页

利用基本作图可判断AH为∠CAB的平分线，即∠BAH=∠CAH，再根据平行线的性质得到∠C+∠BAC=180°，∠AHC=∠BAH，计算出∠CAB的度数，后得到∠BAH的度数，即可得出答案． 【详解】

解：由基本作图可得AH为∠CAB的平分线，即∠BAH=∠CAH，∵AB∥CD，∴∠C+∠BAC=180°，∠AHC=∠BAH，∴∠BAC=180°-∠C=180°-120°=60°，∴∠BAH=∠BAC=30°，∴∠AHC=30°，∴∠AHD=180°-30°=150°． 故答案为：C． 【点睛】

此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的作法，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的做法． 11．④ 【解析】 【分析】

根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】

①：同分母分式的加减法法则，正确； ②：合并同类项法则，正确； ③：提公因式法，正确，④：分式的基本性质，故错误； 故答案为：④.【点睛】

考查分式的加减法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键.12．5 【解析】

答案第5页，总21页

【分析】

当C在l上时，AC长为最短，即AC与l重合时，AC长为最短，然后求出此时AC的长.【详解】

由分析可知，AC与l重合时，AC长为最短，再求AC的长，有题意可知，∠DNC＝∠AMB＝90°，而DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB，而DC＝AB，故△CDN≌△ABM，故AM＝CN＝1,而AC＝AM＋MN＋NC＝1＋3＋1＝5，故答案为5.【点睛】

本题主要考查了全等三角形的条件，解本题的关键在于了解到何时对角线AC长为最短，当AC最短时，求AC的步骤就只需证明全等三角形.13．十 【解析】 【分析】

需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出答案即可.【详解】

设这个正多边形的正n边形，根据题意得：（n－2）×180°÷n＝144°，解得：n＝10，故答案为10.【点睛】

本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键.14．50 【解析】 【分析】

根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，根据平行线的性质得到∠2的度数即可.【详解】 如图：

∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，∴∠BEF=∠1+∠F=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠BEF=50°，答案第6页，总21页

故答案为：50° 【点睛】

本题主要考查平行线的性质及三角形外角性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线性质是解题关键.15．—2m(m+2)(m-2)【解析】 【分析】

提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解即可.【详解】 2m3-8m =2m（m2-4）

=2m（m+2）（m-2）． 故答案为：2m（m+2）（m-2）【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，熟练掌握并灵活运用适当的因式分解的方法是解题关键.16．0． 【解析】 【分析】

由∠D=30°，EF=2，可知DE=4，从而在三角尺DEF绕直角顶点F旋转的过程中DE会经过点B，从而可求出B，G两点的最小距离为0.【详解】

∵∠D=30°，EF=2，∴DE=4，∴在三角尺DEF绕直角顶点F旋转的过程中DE会经过点B，答案第7页，总21页

∴B，G两点的最小距离为0.故答案为：0.【点睛】

本题考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，判断出三角尺DEF绕直角顶点F旋转的过程中DE会经过点B是解答本题的关键.17．1080°． 【解析】 【分析】

根据多边形的内角和计算即可.【详解】

（8-2）×180°=1080°.故答案为：1080°.【点睛】

本题主要考查多边形的内角和公式，n边形的内角和为：(n-2)×180°,熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.18．或．

【解析】 【分析】

分两种情况：腰长为4，底边为6；腰长为6，底边为4.运用三角函数定义求解.【详解】

腰长为10，底边为12.设AD＝x，则CD＝10－x，由勾股定理可知：

102－x2＝122－（10－x）2，解得x＝，∴BD＝＝，答案第8页，总21页

∴sinA＝＝；

（2）

腰长为12，底边为10.同理求得AD＝，∴BD＝＝

∴sinA＝＝.故答案为或【点睛】.本题考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，熟练掌握三角形性质和解直角三角形是本题解题的关键.19．DF=BE（答案不唯一）【解析】 【分析】

根据平行四边形的性质并结合全等三角形的判断方法即可求出本题答案.【详解】

DF＝BE，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ADE和△CBE中，AD＝DC，∠ADB＝∠CBE，DF＝BE，∴△ADF≌△CBE(SAS), ∴AF＝CE.故答案为DF＝BE.【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的答案第9页，总21页

关键.20．（2x+5）（2x﹣5）【解析】 【分析】

本题没有公因式，直接应用平方差公式进行因式分解． 【详解】 原式故答案为：【点睛】

本题考查因式分解．分解因式时多项式有两项时要考虑提公因式法和平方差公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．

21．-

【解析】 【分析】

原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母的减法法则计算，即可得到结果.【详解】 解：原式===﹣ •﹣

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.22．(1)抛物线解析式为【解析】 【分析】（1）根据当时，可知C（0，-3）根据，可知B（-1，0）利用待定系数

；（2）

或

；（3），.答案第10页，总21页

法求出抛物线的解析式即可.（2）如图：连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（-1，-3），可知∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|根据∠BDO=∠BAC=45°，即可得到结论；（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图：过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论.【详解】（1）当时，，.抛物线解析式为

.，（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A（2，-3），C（0，-3），∴AF∥x轴，∴F（-1，-3），∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D1（0，1），D2（0，-1）；

答案第11页，总21页

（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a-1|=3，∴a=4或a=-2，∴M（4，5）或（-2，5）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图，则N在x轴上，M与C重合，∴M（0，-3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（-2，5）或（0，-3）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 23．见解析 【解析】

答案第12页，总21页

【分析】

根据正方形的性质以及CE=CF可证明△ABE≌△ADF，根据全等三角形的对应边相等可求出AE=AF.【详解】 证明：

∵正方形ABCD中，∴AB=AD=BC=DC，∠B=∠D，∵CE=CF，∴BE=DF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形． 【点睛】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质.正方形的边长相等，四个角是直角；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

24．(1)x=8;(2)x≤﹣.【解析】 【分析】

（1）两边都乘以x(x-2)，化为整式方程求解即可，求出x的值后要检验；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可.【详解】

解：（1）去分母得：4x﹣8=3x，解得：x=8，经检验x=8是分式方程的解；

答案第13页，总21页

（2）去分母得：6x+3≤x﹣1，去括号得：3(2x+1)≤x﹣1，移项合并得：5x≤﹣4，解得：x≤﹣． 【点睛】

本题考查了分式方程和一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程和一元一次不等式的解题步骤是解答本题的关键.25．(1)4;(2)x+8.【解析】 【分析】

（1）根据算术平方根的意义，绝对值的意义，零指数幂的意义计算即可；

（2）先根据完全平方公式和单项式与多项式的乘法法则计算乘法，然后合并同类项即可.【详解】

解：（1）（）+|﹣3|﹣（π+2）=2+3﹣1 =4；

（2）（x+2）﹣4（x﹣1）=x+4x+4﹣4x+4 =x+8． 【点睛】

本题考查了实数和整式的混合运算，熟练掌握实数和整式的运算法则是解答本题的关键.解（2）时注意，括号前是“-”号时，把括号去掉后括号内各项的符号都要改变.26．（1）甲图书的单价为20元/本，乙图书的单价为16元/本；（2）y=x+900；（3）购买方案有11种．利润最大的方案是：购买甲种图书50本，购买乙种图书50本． 【解析】 【分析】

(1)设甲图书的单价为x元／本，则乙图书的单价为（x－4）元／本，根据用3000元购进甲种图书的数量＝用2400元购进乙种图书的数量列出方程求解即可.(2)因为购买甲种图书x本，则购买乙种图书（100－x）本，根据：总利润＝甲种图书的总

答案第14页，总21页 222

202

利润＋乙种图书的总利润可列函数关系式.(3)根据用不超过1800元购进两种图书，且甲种图书至少购进40本列出不等式组，解不等式组求出解集从而确定方案，进而求出利润最大的方案． 【详解】

（1）设甲图书的单价为x元/本，则乙图书的单价为（x﹣4）元/本，根据题意，得： =，解得：x=20，经检验x=20是原方程的根，则x﹣4=16，答：甲图书的单价为20元/本，乙图书的单价为16元/本；（2）根据题意，有：

y=（30﹣20）x+（25﹣16）（100﹣x）=x+900；

（3）根据题意，得：解得：40≤x≤50，∵x需取整数，∴x的值可以是：40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，故购买方案有11种． ∵y=x+900，k=1＞0，∴y随x的增大而增大，∴x取最大值50时，y有最大值，故购买方案有11种．利润最大的方案是：购买甲种图书50本，购买乙种图书50本． 【点睛】

本题主要考查分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用。27．证明AF=CF+BF．

BF．理由见解析；②如图③中，结论：CF+AF=

BF．理由见解如图②中，结论：CF﹣AF=析.【解析】 【分析】

答案第15页，总21页

如图①中，作BH⊥BF交AF于H．只要证明△BAH△BCF，即可解决问题.①如图②中，结论：CF－AF＝可解決问題.②如图③中，结论：CF＋AF＝【详解】

证明：如图①中，作BH⊥BF交AF于H．

BF，只要证明△BAH△BCF，即可解決问题.BF．作BH⊥BF交사F于H．只要证明△BAH△BCF，即

∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠EFC=∠EBA=90°，∠CEF=∠AEB，∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AF﹣AH=AF﹣CF，∴AF﹣CF=∴AF=CF+BF，BF．

答案第16页，总21页

①如图②中，结论：CF﹣AF=BF．

理由：作BH⊥BF交AF于H． ∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠CEF+∠FCB=90°，∠AEB+∠BAH=90° ∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH﹣AF=CF﹣AF，∴CF﹣AF=BF．

BF． ②如图③中，结论：CF+AF=

答案第17页，总21页

理由：作BH⊥BF交AF于H． ∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠BCF+∠BAF=180°，∵∠BAF+∠BAH=180° ∴∠BCF=∠BAH，在△BAH和△BCF中，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH+AF=CF+AF，∴CF+AF=【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质的综合，熟悉掌握是关键.28．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由见解析；符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣【解析】 【分析】

（1）先求出点C的坐标，在由BO＝OC＝3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式.2）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况利用两边相等建立方程求解即可.【详解】

（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3，答案第18页，总21页 BF．）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．

∴c=﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3，AO=1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵该抛物线与x轴交于A、B两点，∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，（2）存在，理由：设P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△PBC是等腰三角形，①当PB=PC时，∴=，∴m=﹣1，∴P（1，﹣1），②当PB=BC时，∴3=，）或P（1，﹣），∴m=±∴P（1，③当PC=BC时，∴3=，答案第19页，总21页

∴m=﹣3±∴P（1，﹣3+，）或P（1，﹣3﹣），）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，或P（1，﹣3﹣【点睛】）．

此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质.29．【解析】 【分析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】

原式=+•

==+，当a=1+【点睛】 时，原式===．

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先化简再代入计算.30．B车每小时清扫路面的长度为30（km）【解析】 【分析】

首先设B车每小时清扫路面的长度为xkm，则A车每小时清扫路面的长度为(x+6)km，根据“A车清扫路面42km与B车清扫路面 35km所用的时间相同”列出方程，从而得出答案． 【详解】

答案第20页，总21页

设B车每小时清扫路面的长度为x（km），则A车每小时清扫路面的长度为x+6（km），依题意，得：，解得：x=30，经检验x=30符合题意

所以B车每小时清扫路面的长度为30（km）

【点睛】

本题主要考查的是分式方程的应用，属于中等难度的题型．根据题意得出等量关系是解决这个问题的关键．

答案第21页，总21页

第二篇：2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解3月考试测试题

2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解3月考试测试题

数学 2018.3

本试卷共5页，120分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题 共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．下列方程有实数解的是（）

A．

B．

C．

D．

2．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，连接CE.有下列结论：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③AB=AC+CD；④D为BC的中点；⑤AD被CE垂直

平

分

.其

中

正

确的个

数

为

（）

A．

2B．

3C．

4D． 5

3．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为4，Q是OB上任一点，则

（）A． PQ≥4

B． PQ＞4

C． PQ≤4

D． PQ＜4

4．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中

等

腰

三

角

形的个

数

是

（）

A． 3个

B． 4个

C． 5个

D． 6个

5．到三角形三个顶点的距离都相等的点是三角形

（）A． 三条角平分线的交点

B． 三边中线的交点 C． 三条高的交点

D． 三边垂直平分线的交点

6．下列图形中不是轴对称图形的是

（）

试卷第1页，总5页 A．

B．

C．

D．

7．计算﹣（﹣2x3y4）4的结果是（）

A． 16x12y16

B． ﹣16x12y16

C． 16x7y8

D． ﹣16x7y8 8．计算x5m3n1÷（xn）2•（﹣xm）2的结果是（）++A． ﹣x7mn

1B． x7mn1

C． x7m﹣n1

D． x3mn1 ++

++

+

++9．如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE.若∠B＝80°，∠BAE＝26°，则∠EAD的度数为（）

A． 36°

B． 37°

C． 38°

D． 45°

10．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的（）

A． CB=CD

A． BCA=DCA

B． B=D=900

二、填空题 共10小题，每小题3分，共30分。

11．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，△ABC的面积是___________．

12．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD=AE，则∠EDC=________．

试卷第2页，总5页

13．已知等腰三角形的一个内角等于80°，则它的顶角度数为__________.14．若a，b，c，d均为有理数，现规定一种新的运算：

=ad﹣bc，例：

=2×5﹣3×4．已知=2，则的值为_____．

15．现有两张铁片：长方形铁皮长为x+2y，宽为x﹣2y（其中x﹣2y＞0）；正方形铁皮的边长为2（x﹣y），根据需要把两张铁皮裁剪后焊接成一张长方形的铁片，铁皮一边长为6x，则新铁片的另一边长为_____（不计损失）

16．已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5，则（a﹣2017）（a﹣2018）=_____ 17．计算（﹣9）3×（﹣）6×（1+）3=_____．

18．一个三角形的底边长为（2a+6b），高是（3a﹣5b），则这个三角形的面积是_____． 19．计算：2008×2010﹣20092=_____． 20．如图，在四边形形的面积为________

中，．，如果，则四边

三、解答题 共10小题，每小题6分，共60分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

21．（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由.（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，则

试卷第3页，总5页 刚才的结论还成立吗？请说明理由.22．（本题8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD．取BE中点F，连接DF.（1）求证：BD=DE；

（2）延长ED交边AB于点G，试说明：DG=DF

23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D为BC边上一点，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度数；（2）求证：AB=CD．

24．如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）（1）求t=1时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时的t值；

（3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示）

（4）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，直接写出所有满足条件的t值．

25．计算：

（1）﹣42×+|﹣2|3×

（2）3a2b﹣[2ab2﹣2（ab﹣26．计算：a•a2+a5÷a2﹣3a3．）+ab]+3ab2．

试卷第4页，总5页 27．已知长方形的长是（a+3b）米，宽是（a+2b）米．求它的周长和面积． 28．计算：（﹣2x2y3）2﹣x3y4•3xy2．

29．说明代数式[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y的值无关． 30．如图，拉机沿、为相交成度角的两条公路，在上距点

米有一所小学，拖方向以每小时千米的速度行驶，在小学周围米范围内会受到拖拉机噪音的影响．试问小学是否会受到拖拉机噪音的影响？若受到影响，影响时间有多长？

试卷第5页，总5页

参考答案

1．C 【解析】 【分析】

选项任何一个实数的算术平方根不可能是负数，因而方程一定没有实数解；

选项任何一个数的绝对值一定大于或等于零，再加上正数肯定要大于零，因而方程一定没有实数解；

选项是解分式方程，去分母得到：选项中，【详解】、、，因而，对任何实数都不能成立，即方程没有实数解；

一定成立，因而方程没有实数解；，经检验是方程的解；，则方程无实数解.，因而对任意实数、下列方程有实数解的是、故选：.【点睛】，去分母得到：，经检验是方程的解；，则方程无实数解.本题重点考查了二次根式，绝对值都是非负数，以及一元二次方程的根的判断，分式方程的解法，是一道较为基础的题目.2．B 【解析】 【分析】

利用角平分线的性质求解即可.【详解】

AD是角平分线，所以CD=DE，①正确.△ACD≌△AED，所以DA平分∠CDE，②正确.又因为AC=BC，所以AB=AC+CD，③正确.CDBD，④错误.CE被AD垂直平分，⑤错误.所以，正确的个数有三个.答案第1页，总14页

【点睛】

掌握角平分线的性质是解题的关键.3．A 【解析】 【分析】

点到直线的距离垂线段最短.【详解】

因为P到OA的距离为4，所以P到OA的最短距离为4，又因为P是角平分线上的点，所以PQ.【点睛】

掌握点到直线的距离垂线段最短是解题的关键.4．D 【解析】 【分析】

找出相等的角即可.【详解】

如图易知，△ABE，△ADE，△ADC，△AEC，△ADE，△ABC是等腰三角形，所以共有六个.【点睛】

画出图形是解题的关键.5．D

答案第2页，总14页

【解析】 【分析】

线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.【详解】

根据题意易知，到端点距离相等，容易联想到垂直平分线，由垂直平分线的性质易知D选项正确.【点睛】

掌握垂直平分线的性质是解题的关键.6．C 【解析】 【分析】

轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.【详解】

根据轴对称图形的定义可知，C选项不是轴对称图形，所以选C.【点睛】

掌握轴对称图形的定义是解题的关键.7．B 【解析】 【分析】

根据积的乘方法则计算:等于把积中的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘.【详解】

﹣（﹣2x3y4）4=-(-1)4*x3*4y4*4=﹣16x12y16 【点睛】

本题考查了积的乘方运算法则，掌握对应积乘方运算法则是解题关键.8．B 【解析】 【分析】

根据同底数的除法原则和同底数幂乘法原则可计算出.【详解】

答案第3页，总14页

【点睛】

本题考查了学生对同底数幂乘除运算法则，熟练掌握法则是本题结题的关键.9．B 【解析】 【分析】

利用三角形的内角和等于180°,求出∠AEB，再根据翻折变换的性质可得AE=CE，根据等边对等角可得∠EAD=∠C，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AEB=∠EAD+∠C，最后计算即可得解． 【详解】 ∵∴∵将△ABC折叠点C与点A重合，∴AE=CE，∴∠EAD=∠C，由三角形的外角性质得，∠AEB=∠EAD+∠C，∴∴故选:B.【点睛】

考查折叠的性质以及三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.10．C 【解析】 【分析】

本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．

答案第4页，总14页

【详解】

A.添加CB=CD,根据SSS,能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意； B.添加∠BAC=∠DAC,根据SAS,能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意； C.添加∠BCA=∠DCA时,不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意； D.添加故选：C.【点睛】

考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的5种判定方法是解题的关键.11．21 【解析】 【分析】

可把三角形ABC分成三个面积求解.【详解】 ,根据HL,能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；

易知O是角平分线的交点，且△OBC与△OAB和△OAC的面积分别为BCOD，ABOD，ACOD，所以，三角形ABC的面积为OD(AB+BC+AC)=21.【点睛】

熟记角平分线的性质及面积的转化是解题的关键.12．15° 【解析】 【分析】

∠EDC=90°–∠ADE.【详解】

因为AD=AE，所以，∠ADE=75°，所以，∠EDC=90°–∠ADE=15°.【点睛】

知道等腰三角形的性质是解题的关键.13．80°或20° 【解析】

答案第5页，总14页

【分析】

分清内角是顶角还是底角即可.【详解】

当顶角是80°时，符合题意；当底角是80°是，顶角是20°，也成立；所以顶角度数为80°或20°.【点睛】

学会分类讨论是解题的关键.14．-6 【解析】 【分析】

根据新运算列出方程，求出x，再根据新运算列出算式，求出后代入即可求出答案． 【详解】

解：∵，∴解得：x=3，∴，=-4x-3（1-x）=-x-3=-3-3=-6．

故答案为：-6． 【点睛】

本题为一个小型的材料分析题，需要同学们有一定的阅读分析能力，将其转化为关于x的一元一次方程．

15．【解析】 【分析】

根据两张铁皮的面积与焊接后的新长方形的面积相等列式，再利用平方差公式和完全平方公式、多项式除单项式的运算法则计算即可． 【详解】

答案第6页，总14页

解：原来两张铁皮的面积为：（x+2y）（x﹣2y）+[2（x﹣y）]2，=x2-4y2+4x2-8xy+4y2，=5x2-8xy，新铁皮的宽=面积÷长=（5x2-8xy）÷6x=

．

故答案为：【点睛】 ．

本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，多项式除单项式的法则，根据铁皮的面积的等量关系列式比较关键． 16．﹣2 【解析】 【分析】

先发现完全平方式（a﹣2017）2+（2018﹣a）2+2（a﹣2017）（a﹣2018）=1，进而由给出的式子求出答案.【详解】（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5

①，（a﹣2017）2+（2018﹣a）2+2（a﹣2017）（a﹣2018）=1

②，②—①=2（a﹣2017）（a﹣2018）=—4，（a﹣2017）（a﹣2018）=—2 【点睛】

本题考查多项式求解，解题的关键应用完全平方公式.17．﹣216 【解析】 【分析】

根据乘方的定义运算可计算出结果.【详解】

【点睛】

答案第7页，总14页

本题考查了乘方的运算性质，转化同指数幂相乘是解题的关键.18．3a2+4ab﹣15b2 【解析】 【分析】

根据三角形的面积公式和多项式的乘法法则计算.【详解】

S=0.5*（2a+6b）*（3a﹣5b）=3a2+4ab﹣15b2 【点睛】

本题主要考查学生对多项式乘法的掌握情况，三角形面积公式是解本题关键.19．﹣1 【解析】 【分析】

根据平方差公式可以先将本题化简计算.【详解】

2008×2010﹣20092=(2009-1)*(2009+1)=20092-1-20092=-1 【点睛】

本题考查了学生对平方差公式的运用，将题目进行平方差公式化简是解本题的关键.20．6 【解析】 【分析】

如图，作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题． 【详解】

如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；

答案第8页，总14页

∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAN； 在△ABM与△ADN中，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等； ∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积； 由勾股定理得：AC2＝AM2＋MC2，而AC＝2∴2λ2＝12，λ2＝6，故答案为：6． 【点睛】

该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、正方形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和正方形． 21．见解析 【解析】 【分析】

利用边角关系求解即可.【详解】

(1)因为OB，OC分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，所以∠EOB=∠EBO=∠OBC，∠FOC=∠FCO=∠OCB，所以BE=EO，OF=FC，所以EF=BE+CF.(2)不成立.因为FO=CF,BE=EO，此时，BE=EF+CF.【点睛】

利用边角关系是解题的关键.22．见解析 【解析】 【分析】

利用边角关系求解即可.【详解】

；

答案第9页，总14页

(1)由题意可知2∠DBC=∠DCB，又因为DC=CE，所以，∠DCB=2∠E，所以∠E=∠DBC，所以BD=DE.(2)因为BD=DE，∠GBD=∠E，∠GDB=∠EDF，所以△EDF≌△BGD，所以DG=DF.【点睛】

利用边角关系是解题的关键.23．（1）75°（2）见解析 【解析】 【分析】

利用边相等求解即可.【详解】

（1）因为AB=AC，∠B=30°，所以，∠BAC=120°，又因为∠DAB=45°，所以∠DAC=75°.（2）因为∠DAC=75°，∠B=∠C=30°，所以∠ADC=75°，所以DC=AC=AB.【点睛】

利用角相等求边相等是解题的关键.24．（1）点P 所表示的有理数是﹣3；（2）4（3）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，t值的值为1秒或3秒或5秒或7秒 【解析】 【分析】

(1)根据P点的速度，有理数的加法，可得答案；

(2)根据两点间的距离公式，可得AB的长度，根据路程除以速度，可得时间；(3)根据分类讨论：0≤t≤4，4≤t≤8，速度乘以时间等于路程，可得答案；

(4)根据绝对值的意义，可得P点表示的数，根据速度与时间的关系，可得答案． 【详解】

（1）﹣6+3×1=﹣3，当t=1时，点P所表示的有理数是﹣3；（2）当点P与点B重合时，点P所运动的路程为|6﹣（﹣6）|=12，由路程除以速度得：t=12÷3=4；

（3）点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，点P与点A的距离分为两种情况：

当点P到达点B前，即0≤t≤4时，点P与点A的距离是3t；

当点P到达点B再回到点A的运动过程中，即4≤t≤8时，点P与点A的距离是：

答案第10页，总14页

12-3（t-4）=24﹣3t；

（4）当点P表示的有理数与原点（设原点为O）的距离是3个单位长度时，P点表示的数是-3或3，则有以下四种情况：

当点P由点A到点O时：OP=AO﹣3t，即：6﹣3t=3，t=1； 当点P由点O到点B时：OP=3t﹣AO，即：3t﹣6=3，t=3； 当点P由点B到点O时：OP=18﹣3t，即：18﹣3t=3，t=5； 当点P由点O到A时：OP=3t﹣18，即：3t﹣18=3，t=7，即：当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，t值的值为1秒或3秒或5秒或7秒． 【点睛】

本题考查了数轴，利用了速度与时间的关系，分类讨论是解题的关键． 25．（1）-2（2）ab2+ab 【解析】 【分析】

（1）利用有理数的运算法则进行计算，要注意运算顺序．其中：-42=-16；|-2|3=8．（2）将原式去括号后合并同类项得到最简结果即可． 【详解】

（1）原式=﹣16×+8×（=﹣1﹣1 =﹣2．）

（2）原式=3a2b﹣（2ab2﹣2ab+3a2b+ab）+3ab2 =3a2b﹣（2ab2﹣ab+3a2b）+3ab2 =3a2b﹣2ab2+ab﹣3a2b+3ab2 =ab2+ab． 【点睛】

本题考查的是有理数的运算能力以及整式的加减—化简．在有理数的运算中，要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算；在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．整式的加减，其实质就是去括号和

答案第11页，总14页

合并同类项，其一般步骤为：如果有括号，那么先去括号；如果有同类项，再合并同类项。注意：整式加减的最后结果中不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止． 26．﹣a3 【解析】 【分析】

根据四则运算法则进行计算即可.【详解】 a•a2+a5÷a2﹣3a3 =a3+a3﹣3a3 =﹣a3． 【点睛】

本题考查整式的加减和多项式乘多项式，解题的关键是细心.27．a2+5ab+6b2 【解析】 【分析】

根据长方形的周长=2（长+宽），长方形的面积=长×宽，据此列式计算.【详解】

周长=[（a+3b）+（a+2b）]×2 =（2a+5b）×2 =（4a+10b）； 面积=（a+3b）（a+2b）=a2+2ab+3ab+6b2 =a2+5ab+6b2． 【点睛】

本题考查整式的加减和多项式乘多项式，解题的关键是读懂题意.28．x4y6 【解析】 【分析】

根据幂的乘方与积的乘方以及单项式乘单项式的运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】

答案第12页，总14页

（﹣2x2y3）2﹣x3y4•3xy2=4x4y6﹣3x4y6=x4y6． 【点睛】

本题考查幂的乘方与积的乘方和单项式乘单项式，解题的关键细心去括号.29．见解析 【解析】 【分析】

原式中括号中第一項利用完全平方公式展幵,第二項利用平方差公式化筒,去括号合并后利用多項式除以単項式法則計算,合并得到結果,即可做出判断.【详解】

原式=（x2﹣2xy+y2﹣x2+y2）÷（﹣2y）+y =（﹣2xy+2y2）÷（﹣2y）+y =x﹣y+y =x，所以该式的值与y无关． 【点睛】

本题考查代数式运算，解题的关键是明白整式的混合运算顺序和法则则将原式化简.30．受影响，受影响的时间为【解析】 【分析】

要判断是否会受影响，只需求得点A到ON的最小距离AD，和100比较，即可判断；如果受影响，则在AD的两侧一定存在两点B，C，使AB=AC=100；根据勾股定理即可求得受影响的路程，进一步求得受影响的时间． 【详解】

作AD⊥ON于D．

秒．

根据30°所对的直角边是斜边的一半，得AD=OA=80＜100，所以受影响； 设在点D的两侧各有一点B，C．

且AB=AC=100，根据勾股定理得BD=CD=60，则BC=120． ∵18千米/时=5米/秒，∴受影响的时间=120÷5=24（秒）．

答案第13页，总14页

【点睛】

本题要根据点到直线的最短距离，进行分析判断是否受噪音的影响；根据勾股定理求得受噪音影响的路程，然后根据时间=路程÷速度进行计算．注意：18千米/时=5米/秒．

答案第14页，总14页

第三篇：初中数学证明三角形全等找角

初中数学证明三角形全等找角、边相等的方法

【摘要】“全等三角形的证明”是初中平面几何的重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中时有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。证明三角形全等找角、边相等是最关键的步骤。如何找对应角、对应边相等，做如下总结。

【关键词】全等三角形相等角相等边

我们在初中课本上学过的三角形全等的证明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，对于直角三角形还有“HL”。在做题的过程中我们时常发现，全等的条件往往隐藏在复杂的图形中，要找的条件就是相等的角、相等的边，初中阶段找相等的角、相等的边有以下几种情况。

一、相等的角

1、利用平行直线性质

两直线平行的性质定理：1.两直线平行，同位角相等

2.两直线平行，内错角相等

例、如图一所示，直线AD、BE相交于点C，AB∥DE，AB=DE

求证：△ABC≌△DBC

此题知道AB∥DE，根据平行线的性质可得

∠A=∠D ,∠B=∠E(两直线平行，内错角相等)

由ASA可证全等。图一

2、巧用公共角

要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角。

例、如图二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求证：△ABE≌△ADC

此题∠A是公共角，利用ASA可证全等。

3、利用等边对等角图二 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利

用等边对等角

例.、如图三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线

求证：△ABD≌△ACD

此题已知AB=AC，由等边对等角可得

∠B=∠C.4、利用对顶角相等图三 例、已知：如图四，四边形ABCD中, AC、BD交于O点,AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分别为A , C．

求证：AB=CD图四 此题利用对顶角相当可得∠AOB=∠DOC.利用AAS

可得△AOB≌△COD,再根据全等三角形对应边相等得到

AB=CD5、利用等量代换关系找出角相等

（1）∠A+公共角=∠B+公共角

例1.已知：如图五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：△EAD≌△CAB．

由图形可知：

∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC

因此可得∠DAE=∠BAC图五

利用SAS可证△EAD≌△CAB

例

2、已知:如图六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

由图形可知：

∠DAB=∠BAC-∠DAC

∠EAC=∠DAE-∠DAC

因此可得∠DAB=∠EAC

利用SAS可证△BAD≌△CAE图六

(2)同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等

已知:如图,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直线BF上．

求证:∠A=∠D

由图形可知：图七 B

由等角的补角相等可得∠DEC=∠ACE

利用SAS可得△ABC≌△DEF

(3)同角（等角）的余角相等 D

在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如图八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作

B图八 ECF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于

D.求证:AE=CD;

由图形中可以看出：

∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°

由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE6、结合旋转和对称图形的性质。

例1．如图九，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD•交于点F．图九

求证：△ABF≌△EDF；

根据对称的性质我们可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以证明△ABF≌△EDF。

二、相等的边

1、利用等角对等边 ADAC

3CB

（注意：必须在同一个三角形中才能考虑）

例、如图十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

已知∠3=∠4，根据等角对等边可得OB=OC

利用AAS证明出△ABO≌△DCO。

2、利用公共边相等图十 A

（若果要证明的两个全等三角形有两个相同的对应点，那么可么马上得出它们具有公共边）

D例、如图十一，已知AB=AC，DB=DC，求证：∠BAD=∠CAD CB由图形可知AD是△ABD和△ACD的公共边，利用SSS可得 AB△ABD

≌△ACD

F3、利用等量代换

图十一 F

AB+公共边=DE+公共边

例，如图十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：∠B=∠C

E图中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF

利用SSS可证△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用线段中点或三角形中线定理，或者等边三角形的性质

例、如图十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足

图十二

分别为E、F，M是BC的中点。求证：ME=MF

M是BC的中点，则可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF

C例题、如图十四，△ABE和△ACF是等边三角形，求证：CE=BF图十三 F △ABE和△ACF是等边三角形，则AE=AB，AC=AF

∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.则∠EAC=∠BAF

那么△AEC≌△ABF,则可得CE=BF

C

图十四

5、利用三角形角平分线定理

（三角形角平分线上的点到角两边的距离相等）

注意、必须是角平分线上的点

例题、如图十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分别为E、F。求证：AE=AF

AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,则根据角平分线

性质可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

则可得到AE=AF

图十五 例题、已知：如图十六，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD

于M，•PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

A由题意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分线，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分线的性质

可得PM=PN

全等三角形的证明是初中数学几何证明中最重要的一部分，是证明线段相等和角相等最常用的方法。结合全等三角形的判定，全等的条件一般隐藏在已知当中，以上是证明全等隐藏条件的方法总结。

第四篇：中考数学三角形全等证明习题50题

探索三角形全等的条件练习题

1、已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE=CF吗？说明理由。

A BC B CC2、已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，问AE∥CF吗？

3、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？

4、已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，问AB∥CD吗？说明理由。CEA5、已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，问ABD≌⊿ACE.吗？为什么？

6、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。

7、已知BE=CF，AB=CD，∠B=∠C.问AF=DE吗？

D AB F M CB E B

8、已知AD=CB，∠A=∠C，AE=CF，问EB∥DF吗？说明理由。

9、已知，M是AB的中点，∠1=∠2，MC=MD，问∠C=∠D吗？说明理由。F D A BA

A CC10、已知，AE=DF，BF=CE，AE∥DF，问AB=CD吗？说明理由。

11、已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC=AD吗？说明理由。

12、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。

13、已知ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由。C EM E FA C D D14、在⊿ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，问⊿BHD≌⊿ACD，为什么？

15、已知∠A=∠D，AC∥FD，AC=FD，问AB∥DE吗？说明理由。

16、已知AC=AB，AE=AD，∠1=∠2，问∠3=∠4吗？

A AF E EE D C DDB C17、已知EF∥BC，AF=CD，AB⊥BC，DE⊥EF，问⊿ABC≌⊿DEF吗？说明理由。

18、已知AD=AE，∠B=∠C，问AC=AB吗？说明理由。

19、已知AD⊥BC，BD=CD，问AB=AC吗？

20、已知∠1=∠2，BC=AD，问⊿ABC≌⊿BAD吗？

D A D B B C E

21、已知AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，问⊿ABD≌⊿ACE.说明理由。

22、已知BE∥DF，AD∥BC，AE=CF，问⊿AFD≌⊿CEB吗？

23、已知AD=AE，BD=CE，∠1=∠2，问⊿ABD≌⊿ACE吗？

BC

EF B C AB D E C E AD24、已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，问CE=BD吗？

25、已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC∥DB，AC=BD，问CE=DF吗？说明理由。

26、如图，AD=BC，AE=BE，问∠C=∠D吗？

D

D C BB F E AB C D27、已知∠1=∠2，AC=BD，E，F，A，B在同一直线上，问∠3=∠4吗？

28、已知DO⊥BC，OC=OA，OB=OD，问CD=AB吗？

29、已知CE=DF，AE=BF，AE⊥AD，FD⊥AD，问⊿EAB≌⊿FDC吗？

C DA F BE A EC B BC30、已知AB与CD相交于点E，EA=EC，ED=EB，问⊿AED≌⊿CEB吗？

31、已知AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点。问BE=CD吗？说明理由。

32、已知DE=FE，FC∥AB，问AE=CE

吗？ BD CFE F C C33、已知CE⊥AB，DF⊥AB，CE=DF，AE=BF，问⊿CEB≌⊿DFA吗？说明理由。

34、如图，D，E，F，B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE，问(1)AE=CF(2)AE∥CF。

35、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗？说明理由。AE 1A B2 B36、已知，E、F是AB上的两点，AE=BF，又AC∥DB，AC=DB，问CF=DE吗？说明理由。

37、已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠DEC=900，问BD=AB+ED吗？

38、⊿ABC≌⊿A′B′C′，AD与A′D′分别是中线，问AD=A′D′吗？

C BDC39、如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，请你添加一个条件，判断△CDF与△BDE是否全等，并写出证明过程．

40、如图，在△ABC中，AB=AC，点E在高AD上，找出图中所有的三角形，并说明它们为什么全等？

41、如果，AE=AD，AB=AC，那么△ABE与△ACD是否全等，为什么？ 42.如图：AB=AD，CB=CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？

43、如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AC=DF，请你添加一个条件,AB=DE或∠ACB=∠DFE或

∠

B=

∠DEF使△ABC和△DEF全等，并说明的理由．

44、（2002•吉林）如图，△ABC、△ECD都是等腰直角三角形，且C在AD上．AE的延长线与BD交于F．请你在图中找出一对全等的三角形，并写出证明它们的过程．

45、已知：如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．问：△ADF与△CBE全等吗？请说明理由．

46、如图，已知∠BAC=∠BDC=90°，AC与BD交于点G，且AG=DG．

求证：AB=DC．

48、如图，在△

ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．

49、如图：△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．

50、如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，求证：∠1=∠2．

第五篇：中考数学专题特训第十七讲：三角形与全等三角形（含详细参考答案）

2013年中考数学专题复习第十七讲

三角形与全等三角形

【基础知识回顾】

三角形的概念：

1、由

直线上的三条线段

组成的图形叫三角形

2、三角形的基本元素：三角形有

条边

个顶点

个内角二、三角形的分类：

按边可分为

三角形和

三角形，按角可分为

三角形

三角形

三角形

【赵老师提醒：等边三角形属于特殊的三角形，锐角三角形和钝角三角形有事称为

三角形】

三、三角形的性质：

1、三角形的内角和是

三角形的任意一个外角

和它不相得两个内角的和三角形的一个外角

任意一个和它不相邻的内角

2、三角形任意两边之和

第三边，任意两边之差

第三边

3、三角形具有

性

【赵老师提醒：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的组成的角，三角形有

个外角，三角形的外角和事，是其中

各外角的和

2、三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判断限度间不等关系的主要依据】

四、三角形中的主要线段：

1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形

部

且交于一点，这些是三角形的心

它到

得距离相等

2、中线：三角形的三条中线都在三角形

部，且交于一点

3、高线：不同三角

形的三

条高线位置不同，锐角三角形三条高都连三角形

直角三角形有一条高线在部，另两条河

重合，钝角三角形有一条高线在三角形

部，两条在三角形

部

4、中位线：连接三角形任意两边的线段叫做三角形的中位线。

定理：三角形的中位线

第三边且等于第三边的【赵老师提醒：三角形的平分线、中线、高线、中位线都是

且都有

条】

五、全等三角形的概念和性质：

1、的两个三角形叫做全等三角形

2、性质：全等三角形的、分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应

【赵老师提醒：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】

一、全等三角形的判定：

1、一般三角形的全等判定方法：①边角边，简记为

②角边角：简记为

③角角边：简记为

④边边边：简记为

2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用

来判定

【赵老师提醒：1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组

对应相等，用SAS判定全等，切记角为两边的2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】

【重点考点例析】

考点一：三角形内角、外角的应用

例1

（2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）

A．360°

B．250°

C．180°

D．140°

思路分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．

解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．

故选B．

点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．

对应训练

1．（2012•泉州）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则∠1=

°．

1．80

分析：先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据对顶角相等求出∠1的度数即可．

解：∵△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°，∴∠1=∠ACB=80°．

故答案为：80．

点评：本题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是180°．

考点二：三角形三边关系

例2

（2012•泸州）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（）

A．13

B．11

C．11

或13

D．12或15

2．分析：首先从方程x2-6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．

解：由方程x2-6x+8=0，得：

解得x1=2或x2=4，当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；

当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13．

故选A．

点评：考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．

对应训练

1．（2012•义乌市）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（）

A．2

B．3

C．4

D．8

思路分析：根据三角形三边关系，可令第三边为X，则5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6．问题可求．

解：由题意，令第三边为X，则5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6．

∴三角形的三边长可以为3、5、4．

故选：C．

点评：此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．

考点三：三角形全等的判定

例3

（2012•乐山）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；

②四边形CEDF不可能为正方形；

③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；

④点C到线段EF的最大距离为．

其中正确结论的个数是（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

思路分析：①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；

②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；

③由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变；

④△DEF是等腰直角三角形DE=

EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．

解：①如图，连接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；

∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF；

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；

②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；

③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；

④△DEF是等腰直角三角形DE=EF，当EF∥AB时，即EF取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离为．故此选项正确；

故正确的有2个，故选：B．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．

例4

（2012•珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．

求证：（1）△ADA′≌△CDE；

（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．

思路分析：（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED；

（2）首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，进而得到点E也在AA′的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠A′DE=90°，根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°，∴A′D=DE，在△AA′D和△CED中：

AD=CD，∠ADA′=∠EDC，A′D=ED，∴△AA′D≌△CED（SAS）；

（2）∵AC=A′C，∴点C在AA′的垂直平分线上，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAE=45°，∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D，在△AEB′和△A′ED中：∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，∴△AEB′≌△A′ED，∴AE=A′E，∴点E也在AA′的垂直平分线上，∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．

点评：此题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，关键是熟练掌握正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；找准旋转后相等的线段．

对应训练

3．（2012•鸡西）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=

BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3．分析：先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB=

BC，从而判断①；

设AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面积公式得出S△AEF=-（x-a）2+a2，S△ABC=×a2=a2，再根据二次函数的性质即可判断②；

由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为a，而AD=a，所以EF≥AD，从而④错误；

先得出S四边形AEDF=S△ADC=AD，再由EF≥AD得到AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF，所以③错误；

如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时DF∥AB，DE∥AC，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断⑤．

解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，∵∠MDN=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF．

在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE=CF，在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=．

故①正确；

设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x．

∵S△AEF=AE•AF=x（a-x）=-（x-a）2+a2，∴当x=a时，S△AEF有最大值a2，又∵S△ABC=×a2=a2，∴S△AEF≤S△ABC．

故②正确；

EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2（x-a）2+1

a2，∴当x=a时，EF2取得最小值a2，∴EF≥a（等号当且仅当x=

a时成立），而AD=a，∴EF≥AD．

故④错误；

由①的证明知△AED≌△CFD，∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=1

AD2，∵EF≥AD，∴AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF

故③错误；

当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．

故⑤正确．

综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．

故选C．点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积，函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．

4．（2012•肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．

求证：（1）BC=AD；

（2）△OAB是等腰三角形．

4．分析：（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD，（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．

证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形，在△ABC和△BAD中，∵

AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠ADB，∴△ABC≌△BAD，∴BC=AD，（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴△OAB是等腰三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．

考点四：全等三角形开放性问题

例5

（2012•义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是

．（不添加辅助线）．

思路分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；

解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．

（2）证明：在△BDF和△CDE中

∵，∴△BDF≌△CDE．

点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

对应训练

5．（2012•衡阳）如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．

5．分析：首先由AF=DC可得AC=DF，再由BC∥EF根据两直线平行，内错角相等可得∠EFD=∠BCA，再加上条件EF=BC即可利用SAS证明△ABC≌△DEF．

解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：

∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中，EF=BC

∠EFD=∠BCA

EF=BC，∴△EFD≌△BCA（SAS）．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．

【聚焦山东中考】

1.（2012•烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为

度．

1.85

分析：先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．解答：解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°-∠ADF-∠EDF=180°-100°-30°=50°，∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-45°-50°=85°．

故答案为：85．点评：本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．

2．（2012•聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）

A．75°

B．90°

C．105°

D．120°

2．分析：先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论．解答：解：∵图中是一副直角三角板，∴∠BAE=45°，∠E=30°，∴∠AFE=180°-∠BAE-∠E=105°，∴∠α=105°．

故选C．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．

3．（2012•德州）不一定在三角形内部的线段是（）

A．三角形的角平分线

B．三角形的中线

C．三角形的高

D．三角形的中位线

3．分析：根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．解答：

解：因为在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角形的外部．

故选C．

点评：本题考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟悉它们的性质方可解答．

4．（2012•济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）

A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．角平分线上的点到角两边距离相等

4．分析：连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．

解：如图，连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，故选A．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．

5．（2012•滨州）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=

．

5．40°

分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．

解：∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B==80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC，∴∠C==40°．

点评：本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．

6．（2012•潍坊）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）

6．∠BDE=∠BAC

分析：根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“角边角”“边角边”“角角边”分别写出第三个条件即可．

解：∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE，∵AB=DB，∴①用“角边角”，需添加∠BDE=∠BAC，②用“边角边”，需添加BE=BC，③用“角角边”，需添加∠ACB=∠DEB．

故答案为：∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（写出一个即可）

点评：本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一边与一角，根据不同的证明方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出的地方．

7．（2012•临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=

cm．

7．3

分析：根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC-CE，代入数据计算即可得解．

解：∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中，∠ECF=∠B

EC=BC

∠ACB=∠FEC=90°，∴△ABC≌△FEC（ASA），∴AC=EF，∵AE=AC-CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5-2=3cm．

故答案为：3．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．

8．（2012•济宁）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=

．

8．分析：根据等边三角形性质和三线合一定理求出∠BAF=30°，推出AB=AE，根据SAS证△BAO≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∠ABC=60°，AB=BC，∵BF⊥AC，∴∠ABF=∠ABC=30°，∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE，∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO，∵在△BAO和△EAO中

∵

AB=AE，∠BAO=∠EAO，AO=AO，∴△BAO≌△EAO，∴∠AEO=∠ABO=30°，∴tan∠AEO=tan30°=，故答案为：．点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点的应用，关键是证出∠AEO=∠ABO，题目比较典型，难度适中．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）

A．40°

B．45°

C．50°

D．55°

1．分析：首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．

解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°

∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°

故选A．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．

2．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）

A．150°

B．210°

C．105°

D．75°

2．分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．

解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．

故选A．

点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3．（2012•漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）

A．45°

B．60°

C．75°

D．90°

3．分析：根据直角三角形的两锐角互余求出∠1的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

解：如图，∠1=90°-60°=30°，所以，∠α=45°+30°=75°．

故选C．

点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

4．（2012•广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）

A．5

B．6

C．11

D．16

4．分析：设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．

解：设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．

故选C．

点评：本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

5．（2012•郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A．1cm，2cm，4cm

B．4cm，6cm，8cm

C．5cm，6cm，12cm

D．2cm，3cm，5cm

5．分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．

解：根据三角形的三边关系，知

A、1+2＜4，不能组成三角形；

B、4+6＞8，能够组成三角形；

C、5+6＜12，不能组成三角形；

D、2+3=5，不能组成三角形．

故选B．

点评：此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．

6．（2012•玉林）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有（）

A．4对

B．6对

C．8对

D．10对

6．分析：根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案．

解：图中全等三角形有：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO；

△AOD≌△COD，△AOD≌△COB；

△DOC≌△BOC；

△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC，共8对．

故选C．

点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的性质，注意掌握全等三角形的几个判定定理，在查找时要有序的进行，否则很容易出错．

7．（2012•贵阳）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）

A．∠BCA=∠F

B．∠B=∠E

C．BC∥EF

D．∠A=∠EDF

7．分析：全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．

解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

B、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；

C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．

故选B．

点评：本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．

三、填空题

8．（2012•呼和浩特）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=

．

8．66.5°

分析：根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+

ACF=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=

；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．

解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；

又∵∠B=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+

ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=（外角定理），∴∠AEC=180°-（∠DAC+ACF）=66.5°；

故答案是：66.5°．

点评：本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”．

9．（2012•娄底）如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE=

度．

9．56

分析：先根据平行线的性质得出∠NOE=∠FEO，再根据角平分线的性质得出∠NOE=∠EOF，由三角形外角的性质即可得出结论．

解：∵FE∥ON，∠FEO=28°，∴∠NOE=∠FEO=28°，∵OE平分∠MON，∴∠NOE=∠EOF=28°，∵∠MFE是△EOF的外角，∴∠MFE=∠NOE+∠EOF=28°+28°=56°．

故答案为：56．

点评：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．

10．（2012•白银）如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=

度．

10．50

分析：根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠A+∠B=∠ACE，∴∠A=∠ACE=×100°=50°．

故答案为：50．

点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．

11．（2012•绥化）若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是

．

11．11或13

分析：题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；

②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．

故答案为：11或13．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

12．（2012•柳州）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC=

°．

12．40

分析：根据角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC进而得出∠DBC的度数．解答：解：∵BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=80°，∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=×80°=40°，故答案为：40．

点评：此题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线性质得出∠ABD=∠DBC是解题关键．

13．（2012•绵阳）如图，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件

为

．（答案不唯一，只需填一个）．

13．AC=CD

分析：根据∠1=∠2，求出∠BCA=∠ECD，根据SAS证明亮三角形全等即可．解答：解：添加的条件是AC=CD，理由是：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，∴∠BCA=∠ECD，∵在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE，故答案为：AC=CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力，本题题型较好，是一道具有开放性的题目，答案不唯一．

三、解答题

14．（2012•铜仁地区）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．

14．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB，进而得出DE=BF，利用SAS得出即可．

证明：∵AE∥CF

∴∠AED=∠CFB，∵DF=BE，∴DF+EF=BE+EF，即DE=BF，在△ADE和△CBF中，AE=CF

∠AED=∠CFB

DE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定，利用两边且夹角对应相等得出三角形全等是解题关键．

15．（2012•赤峰）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．

（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．

15．分析：（1）以A为圆心，以任意长为比较画弧，分别交AB和AC于一点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和A作射线，交BC于D，则，AD为所求；

（2）推出∠BAE=∠CAE，根据SAS证△BAE和△CAE全等即可．

（1）解：如图所示：

（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵在△ABE和△ACE中

AB=AC

∠BAE=∠CAE

AE=AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作图-基本作图的应用，主要考查学生的动手操作能力和推理能力．

16．（2012•重庆）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．

16．分析：由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED．

证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中：∠B=∠E，AB=AE，∠BAC=∠EAD，∴△ABC≌△AED（ASA），∴BC=ED．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．

1．（2012•扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE=DE．

考点：

全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质。810360

专题：

证明题。

分析：

作CF⊥BE，垂足为F，得出矩形CFED，求出∠CBF=∠A，根据AAS证△BAE≌△CBF，推出BE=CF即可．

解答：

证明：作CF⊥BE，垂足为F，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴四边形EFCD为矩形，∴DE=CF，在△BAE和△CBF中，有∠CBE=∠BAE，∠BFC=∠BEA=90°，AB=BC，∴△BAE≌△CBF，∴BE=CF=DE，即BE=DE．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，关键是求出△BAE≌△CBF，主要考查学生运用性质进行推理的能力．

2．（2012•镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．

（1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．

考点：

全等三角形的判定与性质。810360

专题：

证明题。

分析：

（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；

（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代换得到∠GDF=∠BFE，利用等角对等边得到GF=GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．

解答：

（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∵E为AB的中点，∴AE=BE，在△AED和△BFE中，∴△AED≌△BFE（AAS）；

（2）解：EG与DF的位置关系是EG⊥DF，理由为：连接EG，∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，由（1）△AED≌△BFR得：DE=EF，即GE为DF上的中线，∴GE⊥DF．

点评：

此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

3．（2012•佛山）如图，已知AB=DC，DB=AC

（1）求证：∠ABD=∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．

（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？

考点：

全等三角形的判定与性质。810360

分析：

（1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论；

（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形．

解答：

证明：（1）连接AD，在△BAD和△CDA中

∴△BAD≌△CDA（SSS）

∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）

（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题，相对比较简单．

4．（2012•滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．

（1）求证：△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面积；

（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．

考点：

全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；正方形的性质。810360

专题：

几何综合题。

分析：

（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB；

（2）由ASA定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+SH正方形EGF即可得出结论；

（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，进而得出结论．

解答：

（1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB；

（2）解：∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH

又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°

∴△ABH≌△BCE，同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF

=4××2×1+1×1

=5；

（3）解：由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF

=4×（h1+h2）•h1+h22=2h12+2h1h2+h22．

点评：

本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质及平行线之间的距离，熟知判定全等三角形的SSS、SAS、ASA及HL定理是解答此题的关键．

5．（2012•长春）感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）

拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．

应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为　6　．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。810360

分析：

拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性质得出∠4=∠ABE，进而利用AAS证明△ABE≌△CAF；

应用：首先根据△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，得出△ABD与△ADC面积比为：1：2，再证明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积得出答案即可．

解答：

拓展：

证明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS）．

应用：

解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，∵△ABC的面积为9，∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6；

∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴△ABE与△CAF面积相等，∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，∴△ABE与△CDF的面积之和为6，故答案为：6．

点评：

此题主要考查了三角形全等的判定与性质以及三角形面积求法，根据已知得出∠4=∠ABE，以及△ABD与△ADC面积比为：1：2是解题关键．

6．（2012•阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；

②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．

甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；

乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；

丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

考点：

全等三角形的判定与性质。810360

专题：

几何综合题。

分析：

（1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；

②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°；

（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适．

解答：

解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE；

②结论：BD=CE，BD⊥CE…1分

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAD﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分

在Rt△ABD与Rt△ACE中，∵

∴△ABD≌△ACE…2分

∴BD=CE…1分

延长BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF与△HCF中，∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE…3分

（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角形全等的定理．

注意：在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：直角三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等．

7．（2012•内江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质。810360

专题：

几何综合题。

分析：

（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；

（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；

（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．

解答：

（1）证明：∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD．

（3）AC=CD﹣CF．理由是：

∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．