高一数学集合与简易逻辑综合知识精讲

第一篇：高一数学集合与简易逻辑综合知识精讲

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高一数学集合与简易逻辑综合

【本讲主要内容】

集合与简易逻辑综合

集合、子集、交集、并集、补集等概念，绝对值不等式、一元二次不等式的解法，简易逻辑。

【知识掌握】 【知识点精析】

1.集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合； 2.子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，．．我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合；

3.交集：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集； 4.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集；

5.补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）；

6.xa(a0)的解集是。x|xxa；|x|a(a0)的解集是x|xa或xa； 7.一元二次不等式的解法； 8.简易逻辑：

命题：可以判断真假的语句叫做命题。逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。简单命题和复合命题

不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题。

由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。四种命题及它们的关系

【解题方法指导】

不大于20的质数，A，B是U的两个子集，且满足ACUB3,5，例1.已知全集UBCUA7,19，（CUA）(CUB)＝ 2,17。求集合A和B。

解法一：（直接解法）依题意，ACUB3,5，则3,5A，且3,5CUB。从而知3，5A，且B。

同理，由CUAB7,19，知7，19，且7，19A

由（CUA）（CUB）2,17，知2，17A，且2，17 B

因为U2,3,5,7,11,13,17,19，观察11和13这两个元素，不外乎下面几种情况：

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①若11，11，则

CUA，且

CUB，这与（CUA）（CUB）＝2,17矛盾；

②若11A，11B，则

③若11 A，11B，则

CUB，这与ACUB＝3,5矛盾； CUA，这与BCUA＝ 7,19矛盾；

④若11 A，11 B，则11（AB）。

同理，13（AB）。

于是我们可以把这些数字填入集合A，B，得

A3,5,11,13 B7,19,11,13。

解法二：（利用图）由图，知U2,3,5,7,11,13,17,19，ACUB＝3,5，BCUA＝7,19，（CUA）（CUB）＝ 2,17。可直接将U中元素一一填入图中各自的集合。

所以，A3,5,11,13，B7,19,11,13。

解法一充分利用已知条件，将肯定属于或肯定不属于集合A，B的元素确定下来，再逐一验证其他的元素分别属于哪个集合。这种方法比较抽象。

解法二数形结合，一目了然。

二种方法能培养我们不同的思维品质，都是学好数学不可缺少的。

例2.用反证法证明：如果ab0，那么ab。剖析：运用反证法证明这道题时，怎样进行反设？ 证明：假设 当 在

在

ab的反面是否仅有 ab？

a不小于 b，则或者 ab，或者 abab，因为 a0,b0，所以 a0,b0

ab的两边都乘以 a得aaab，aab ab的两边都乘以

b得babb，abb

所以ab

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http://www.xiexiebang.com 这与假设 ab矛盾，所以 当

ab不成立，这与假设ab矛盾 ab时可得到

ab 综上所述，所以

例3.设关于 范围。设计意图：通过对例题的剖析，使学生掌握如何在反证法中反设和归谬。的一元二次不等式，对一切实数均成立，求 的取值解：一元二次不等式，对一切 恒成立 二次函数 的图像全在

注：这里“

轴上方

”就是“二次不等式。

对一切的取值范围：

实数。都成立”的充要条件。

【考点突破】

【考点指要】

近年来，高考中关于集合和简易逻辑的试题可分为两大类，一类是集合、条件、命题本身的基本题，这类题多为选择、填空题；另一类是集合、条件、命题与其它知识的综合题。03年全国卷在最后一题中出现了集合。高考所占比重约15—20分。

【典型例题分析】

例4.（2000上海春，17）已知R为全集，A＝{x|log1（3－x）≥－2}，B＝{x|

25≥x21}，求CRAB。

解：由已知log1（3－x）≥log14，因为y＝log1x为减函数，所以3－x≤4 2223x4由，解得－1≤x<3.所以A＝{x|－1≤x<3} 3x0由55(x2)3x≥1可化为02

x2x2x2(x3)(x2)0解得－2

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http://www.xiexiebang.com 评述：本题主要考查集合、对数性质、不等式等知识，以及综合运用知识能力和运算能力。

例5.（’04潍坊市统考）已知函数f（x）＝ x2+（a+1）x+lg︱a+2︱（A∈R，且a≠-2）

（1）设f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；

（2）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞]上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数。如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围。

解：（1）因为f（x）＝ x2+（a+1）x+lg︱a+2︱＝ g（x）+ h（x）而g（x）是奇函数，满足g（-x）＝-g（x）h（x）是偶函数，满足h（-x）＝ h（x）

所以g（x）＝（a+1）x，h（x）＝ x2+lg︱a+2︱ 若命题P为真，则命题Q假，有

a1(a1)2

解得a1 2a10若命题Q为真，则命题P假，有

a1(a1)23

解得a1 22a10

综上得：a3 2评述：任何一个非奇非偶函数都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和。

【综合测试】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1.（2002北京，1）满足条件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的个数是（）A.4

B.3

C.2

D.1 2.（1999全国，1）如图1，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）

图1 A.（M∩P）∩S

B.（M∩P）∪S C.（M∩P）∩CIS

D.（M∩P）∪CIS 3.（1996上海，1）已知集合M＝｛（x，ｙ）｜x＋ｙ＝2｝，N＝｛（x，ｙ）｜x－ｙ＝4｝，那么集合M∩N为（）

A.x＝3，y＝－1

B.（3，－1）

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http://www.xiexiebang.com C.{3，－1}

D.{（3，－1）} 4.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）

A.真命题的个数一定是奇数

B.真命题的个数一定是偶数 C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数

D.上述判断都不正确

5.（1996上海文，6）若y＝f（x）是定义在R上的函数，则y＝f（x）为奇函数的一个充要条件为（）

A.f（x）＝0 B.对任意x∈R，f（x）＝0都成立

C.存在某点x0∈R，使得f（x0）+f（－x0）＝0 D.对任意的x∈R，f（x）+f（－x）＝0都成立 6.（1995上海，9）“ab<0”是“方程ax2+by2＝c表示双曲线”的（）A.必要条件但不是充分条件

B.充分条件但不是必要条件 C.充分必要条件

D.既不是充分条件又不是必要条件

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7.设T＝{（x，y）|ax+y-3＝0}，S＝{（x，y）|x-y-b＝0}。若S∩T＝{（2，1）}，则a＝_______，b＝_______。

8.（2002上海春，3）若全集I＝R，f（x）、g（x）均为x的二次函数，P＝{x|f（x）＜0

f(x)0＝，Q＝{x|g（x）≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为_____。

g(x)09.（2000上海春，12）设I是全集，非空集合P、Q满足PQI。若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是

（只要写出一个表达式）。

图2 10.（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n ②α⊥β

③n⊥β

④m⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_____。．．

三、解答题（本大题共4题，共50分）

11.已知A＝{x|x2-ax+a2-19＝0}，B＝{x|x2-5x+8＝2}，C＝{x|x2+2x-8＝0}。若A∩B，且

A∩C＝，求a的值。（13分）12.解不等式13.解关于 的不等式

。（12分）

（

）。（12分）

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http://www.xiexiebang.com 14.已知（，且），求实数p的取值范围。（13分），综合测试答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1.C 提示：M＝{2，3}或M＝{1，2，3} 2.Ｃ

提示：由图知阴影部分表示的集合是M∩P的子集且是CIS 的子集，故答案为Ｃ。3.D

xy2,x3提示：方法一：解方程组得故M∩N＝｛（3，－1）｝，所以选D。

xy4,y1方法二：因所求M∩N为两个点集的交集，故结果仍为点集，显然只有D正确。

4.B 提示：一个命题与它的逆否命题同真同假。5.D 提示：由奇函数定义可知：若f（x）为奇函数，则对定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），即f（－x）+f（x）＝0，反之，若有f（x）+f（－x）＝0，即f（－x）＝－f（x），由奇函数的定义可知f（x）为奇函数。6.A

x2y2cc提示：如果方程ax+by＝c表示双曲线，即1表示双曲线，因此有0，ccabab即ab<0。这就是说“ab<0”是必要条件；若ab<0，c可以为0，此时，方程不表示双曲线，即ab<0不是充分条件。

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7.答案：1，1。

22axy30a1，x2解析：由S∩T＝{（2，1）}，可知为方程组的解，解得

xyb0b1。y18.答案：P∩CIQ

f(x)0解析：∵g（x）≥0的解集为Q，所以g（x）<0的解集为CIQ，因此的解集

g(x)0为P∩CIQ。

9.答案：P∩CIQ 解析：阴影部分为CIQ（如下图）

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显然，所求表达式为CIQ∩P＝，或CIQ∩（Q∩P）或CIQ∩（Q∪P）＝。10.答案：②③④①

三、解答题（本大题共4题，共50分）11.解：∵B＝{x|（x-3）（x-2）＝0}＝{3，2}，C＝{x|（x+4）（x-2）＝0}＝{-4，2}，又∵A∩B，∴A∩B≠

又∵A∩C＝，∴可知-4A，2A，3∈A ∴由9-3a+a2-19＝0，解得a＝5或a＝-2

①当a＝5时，A＝{2，3}，此时A∩C＝{2}≠，矛盾，∴a≠5；

②当a＝-2时，A＝{-5，3}，此时A∩C＝，A∩B＝{3}≠，符合条件 综上①②知a＝-2。

12.解：解法一 原不等式等价于

（Ⅰ）

或（Ⅱ）

解（Ⅰ），得

，或。

解（Ⅱ），得解集为空集。

所以，原不等式的解集为

13.解：若 若，即m，即m。

1，则 2恒不成立，此时原不等式无解；，所以 1mxm

1，则 2亿库教育网

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http://www.xiexiebang.com 综上，当 m1时，原不等式的解集为 2；当 m1时，原不等式解集为 2。

14.解：由

知，关于 的二次方程

无正根。

（1）若方程无实根：，得

（2）若方程有实根 韦达定理，；，但无正根；此时由，得

或，而由，由

因此p0

由上述的（1），（2）得 的取值范围是p4。知两根均为正或均为负，由条件显然须，于是∴p2

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第二篇：高一数学集合与简易逻辑测试卷(A)

高一数学检测题——集合与简易逻辑

班级姓名学号分数

一、选择题 ：本大题共8题；每小题5分共40分。

1、已知M{xR|x2}，a，则下列四个式子 ① aM② {a}M

③ aM④ {a}M，其中正确的是（）

A、①②B、①④C、②③D、①②④

2、设全集U{2,1,0,1,2},A{2,1,0},B{0,1,2}则(CUA)B（）

A、{0}B、{2,1}C、{1,2}D、{0,1,2}

3、已知p:a0,q:ab0, 则p是q的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

4、已知集合A{1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是（）

A、15B、16C、3D、45、如果命题“p或q”是假命题,那么（）

A、命题“非p”与命题“非q”的真值相同B、命题p与命题“非q”的真值相同

C、命题q与命题“非p”的真值相同D、命题“非p且非q”是真命题

6、不等式x12的解集是（）x

A、{x|x1}B、{x|x1}C、{x|x1或x0}D、{x|1x0}

7、已知M{x|11},N{y|yx2},则MN（）x

A、B、{x|x1}C、{x|x0}D、{x|x0或x1}

8、方程ax22x10至少有一个负的实根的充要条件是（）

A、a1B、0a1C、a1D、a0或0a1

二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分。

9、若不等式x2mx40对一切x恒成立，则实数m的取值范围是是。

10、如果甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，则甲是丙的11、若不等式ax2bx60的解集是{x|2x3}，则a+b的值是

12、有下列四个命题：①命题“若ac2bc2则a>b”的逆命题;②命题“面积相等的三角-1-

形全等”的否命题；③命题“若m1则x22xm0有实根”的逆否命题；④命题“若ABB则AB”的逆否命题；其中真命题的序号是。

三、解答题：本大题共40分。

13、（10分）已知集合A{x|x2x60},B{x||x2|2}

求：(1)AB(2)(CUA)(CUB).14、(15分)已知xR，集合A{x|x23x20}，集合B{x|x2mx20}，若ABB，求实数m的取值范围。

15、（15分）已知p:|1x1|2,q:x22x1m20，且p是q的必要不充分条件，3

求实数m的取值范围.

第三篇：高一数学集合与简易逻辑3教案

第三教时证明：设 x 是 A 的任一元素，则xA

教材:子集

目的:让学生初步了解子集的概念及其表示法,同时了解等集与真子集的有关概念.过程:

一 提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系.二 “包含”关系—子集

1.实例: A={1,2,3}B={1,2,3,4,5}引导观察.结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作AB(或BA)

也说: 集合A是集合B的子集.2.反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB(或BA)

注意: 也可写成；也可写成； 也可写成。

3.规定: 空集是任何集合的子集.φA

三“相等”关系

1.实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

2.① 任何一个集合是它本身的子集。AA

② 真子集：如果AB ,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB 

③ 空集是任何非空集合的真子集。

④ 如果 AB, BC ,那么 AC

 AB,xB又 BCxC从而AC同样；如果 AB, BC ,那么 AC ⑤ 如果AB同时 BA 那么A=B四例题： P8 例一，例二（略）练习P9补充例题 《课课练》 课时2 P3 五小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号几个性质：AA AB, BC AC ABBA A=B作业：P10习题1.21,2,3《课课练》 课时中选择

第四篇：高一数学集合与简易逻辑2教案

第二教时

教材：

1、复习

2、《课课练》及《教学与测试》中的有关内容

目的： 复习集合的概念；巩固已经学过的内容，并加深对集合的理解。过程：

一、复习：（结合提问）

1．集合的概念含集合三要素

2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3．集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集

4．关于“属于”的概念

二、例一 用适当的方法表示下列集合：

1．平方后仍等于原数的数集

解：{x|x2=x}={0,1}

2．比2大3的数的集合解：{x|x=2+3}={5}

3．不等式x2-x-6<0的整数解集

解：{xZ| x2-x-6<0}={xZ|-2

4．过原点的直线的集合解：{(x,y)|y=kx}

5．方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集

解：{(x,y)| 4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)|(2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)|(1/2,-2/3)}

6．使函数y=

四、处理《课课练》

五、作业 《教学与测试》 第一课 练习题 1

x2x6有意义的实数x的集合解：{x|x2+x-60}={x|x2且x3,xR}

三、处理苏大《教学与测试》第一课含思考题、备用题

第五篇：高一数学 集合与简易逻辑教案1 苏教版

江苏省白蒲中学2013高一数学 集合与简易逻辑教案1 苏教版 教材：集合的概念

目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。过程：

一、引言：（实例）用到过的“正数的集合”、“负数的集合”

如：2x-1>3x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。

如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

如：自然数的集合 0，1，2，3，„„

如：高一（5）全体同学组成的集合。

结论： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。

二、集合的表示： { „ } 如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

常用数集及其记法：

1． 非负整数集（即自然数集）记作：N

2． 正整数集N*或 N+

3． 整数集Z

4． 有理数集 Q

5． 实数集 R

集合的三要素： 1元素的确定性；2元素的互异性；3元素的无序性

（例子 略）

三、关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A 记作 aA，相反，a不属于集A 记作 aA（或aA）

例：见P4—5中例

四、练习P5 略

五、集合的表示方法：列举法与描述法。。

1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来。

例：由方程x-1=0的所有解组成的集合可表示为{1，1}

例；所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为{1，3，5，7，9}

2． 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

① 语言描述法：例{不是直角三角形的三角形}再见P6例

② 数学式子描述法：例不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}或

{x:x-3>2}再见P6例

六、集合的分类

1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合例题略

3．空集不含任何元素的集合

七、用图形表示集合P6略

八、练习P6

小结：概念、符号、分类、表示法

九、作业 P7习题1.1