配方法与换元法(推荐5篇)

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第一篇:配方法与换元法

中考数学复习专题:配方法与换元法

一、配方法与换元法的特点:

把代数式通过凑配等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的,这种解题方法叫配方法.

配方法与换元法是初中数学中的重要方法,近几年的中考题中常常涉及。有时题中指定用配方法或换元法求解,而更多的则是隐含在题目当中,在分析题意的基础上,由考生自己确定选用配方法或换元法,把代数式配成完全平方式的形式,利用完全平方式的特性去求解,以达到快速解题的目的,这是种快捷也是很有效的方法,在初中代数中,占有很重要的地位和份量。

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。

二、配方法与换元法的方法:

配方法与换元法主要依据完全平方公式,由公式a2±2ab+b2=(a±b)2可知,如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和,加上或减去这两个数的积的2倍,则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。”由完全平方式的性质可知,任何一个实数的平方都是非负数,即(a-b)≥0,当a=b时,(a-b)=0。利用这条性质,并可以解决很多与之有联系的数学问题。

配方法解题的关键是恰当的“凑配”,应具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式.而配方法一般有两种形式,一是根据第一项和第二项的系数特点,确定第三项系数或常数项。如二次三项式4 x2+6x+k是完全平方式,试确定k值。这一类的问题只有一解。而更多的是由第一项和第三项的系数特点,确定第二项的系数。如二次三项式4x2+kxy+25 y2是完全平方式,试确定k值。这一类问题一定要考虑正、负值两种情况,结果应为两解才为正确,这一点为不少考生所忽视,一定要考虑周到方可取得好成绩。

三、例题精讲:

热身: 填空题:

1.将二次三项式x2+2x-2进行配方,其结果为。

222.方程x+y+4x-2y+5=0的解是。

3.已知M=x2-8x+22,N=-x2+6x-3,则M、N的大小关系为。

4.用配方法把二次函数y=2x+3x+1写成y=a(x+m)+k的形式。

5.设方程x2+2x-1=0的两实根为x1,x2,则(x1-x2)2=。

6.已知方程x2-kx+k=0的两根平方和为3,则k的值为。

7.若x、y为实数,且x22222y33(2x3),则y

1x1的值等于。

【例1】 分解因式:(1)a2b2-a2+4ab-b2+1 ;(2)(x2+2x+4)(x2+2x+6)-8

【例2】已知a,b∈R,则不等式①a+3>2a,②a+b≥2(a-b-1),③a+b>ab中一定成立的有_______. 2222

2【例3】已知:a、b为实数,且a2+4b2-2a+4b+2=0,求4a2-b的值。

【例4】求证:不论m、n为任何实数,关于x的一元二次方程mx2+(m+2n)x+2n=0总有两个实数根。

【例5】(技巧题)甲、乙两人同时从A到B,甲前一半路程用速度a,后一半路程用速度b;乙前一半时间用速度a,后一半时间用速度b,问哪个先到?

【例6】⑴已知M为△ABC的边AB上的点,且AM+BM+CM=2AM+2BM+2CM-3,则

AC2+BC2=。⑵已知△ABC的三边分别为a、b、c,且a2+b2+c2=ab+bc+ac,则△ABC的形状为。

x2x

6x2x

1【例7】、解方程:

【例8】已知:△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程

x(2k3)xk

3k20的两个实数根,第三边BC的长为5.

(1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长.

【例9】已知二次函数y =(k-1)x 2-2kx +k +2,(1)当k为何值时,图象的顶点在坐标轴上?(2)当k为何值时,图象与x轴的两交点间的距离为2 ?

【例10】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现在他采用提高出售价格,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨价一元,其销售量将减少10件,问他将出售价定为多少元时,才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?

四、闯关夺冠:

1.已知x+y+4x-2y+5=0,则3x-2y 的值是。

2.已知M=x-8x+22,N=-x+6x-3,则M、N的大小关系为。

x

1x

3x

2x的值为__________.

3、已知.则

4、把代数式a2+16加上一个单项式,使它能成为一个完全平方式,则所有符合条件的单项式是__________.

5.用配方法把二次函数y=2x2+3x+1写成y=a(x+m)2+k的形式。6.设方程x+2x-1=0的两实根为x1,x2,则(x1-x2)=。

7.将二次三项式x2+2x-2进行配方,其结果为最小值为

8、(08上海中考)用换元法解分式方程2x-1/x-x/2x-1=2时,如果设2x-1/x=y,并将原方程化为关于y的整式方程,那么这个方程为_____________。

9.已知方程x2-kx+k=0的两根平方和为3,则k的值为。10.代数式a2+5b2-4ab+2b+100的最小值为——————————。

x

y33(2x3),则

y

1x1的值等于。

11.若x、y为实数,且12、13、如果a、b、c为互不相等的实数,且满足关系式bc2a16a14与

bca4a5,那么a的取值范围范围是.

13、不论m、n为何值,代数式m2+n2-2m+4n+5的值总是()

A 非负数B 正数C 负数D 0

2xx214、已知关于x的方程x2axa2a20的两个实数根满足1=2,则a的值

2为()

A.-3B.-3,1C.3,-1D.1

15、已知一个四边形ABCD的边长分别为a、b、c、d,其中a、c为对边,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则四边形是()

A 任意四边形;B 梯形;C平行四边形;D 对角线互相垂直的四边形;

16、对于分式1/x2-2x+m,不论x 取何实数都有意义,则m的取值范围为()

Am≥1,Bm≤1,Cm>1,Dm<

117、若a、b、c是三角形的三边长,则代数式a2 –2ab+b2 –c2的值()

A 大于零B 等于零C 小于零D 不能确定

18、若2x-kx+9是一个完全平方式,求k的值.19、已知:菱形的两条对角线长之和为2,菱形的面积为2,求菱形的周长。

x

1x

x

1x

4020、解方程:(1)2x-6x+3=0(配方法)(2)

21、已知抛物线经过点A(2,4)和点B(-1,-8),且在x轴上截得的线段长为3,求抛物线的解析式。

22、已知a=2008x+2004,b=2008x+2006,c=2008x+2008,求代数式a2+b2+c2-ac-bc-ca的值。

23、试判断2005×2006×2007×2008+1是否是一个完全平方数。

222224、已知:△ABC的三这分别为a、b、c,且满足等式3(a+b+c)=(a+b+c),试说明该三角形是等边三角形。

25、已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根,且x12x22-x1-x2=115,(1)求k的值;(2)求x12+x22+8的值.262(1)求m的取值范围;

(2)若x12+ x22=10,求抛物线的解析式 ;

(3)设(2)中的抛物线与y轴于点C,在y轴上是否存在点P,使以P、0、B为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

27、观察下列各式的特点,并回答下列问题:

(1)用>、=、<填空: 32+42————2×3×4,(-1)2+82————2×(-1)×8,(-3)+(-5)—————2×(-3)×(-5),(-6)+(-6)——————2×(-6)×(-6)(2)若a、b为实数,则a2+b2、2ab的大小关系为a2+b2_______2ab,并证明其正确性。

28、已知二次函数图象经过A(-1,3).对称轴为x=1,抛物线与x轴两交点距离为4,求这个二次函数的解析式?

29.关于x的一元二次方程x+(k+1)x-k-3=0(1)求证:该方程一定有两个不相等的实数根;(2)若该方程的一根为2,求另一根的值.

30、(06南通中考)已知A=a+2,B=a2-2a+5,C=a2+5a-19,其中a>0.

(1)求证:B-A>0,并指出A与B的大小关系;(2)指出A与C哪个大,并说明理由.

31、已知抛物线经过点A(2,4)和点B(-1,-8),且在x轴上截得的线段长为3,求抛物线的解析式。

第二篇:数学换元法

换元法

解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4 +2 -2≥0,先变形为设2 =t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y= + 的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sin α,α∈[0, ],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x +y =r(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。

均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x= +t,y= -t等等。

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。

例:

1.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x +1)=log(4-x)(a>1),则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a }中,a =-1,a ?a =a -a,则数列通项a =___________。

4.设实数x、y满足x +2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。

5.方程 =3的解是_______________。

6.不等式log(2 -1)?log(2 -2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题:设sinx+cosx=t∈[- , ],则y= +t-,对称轴t=-1,当t=,y = + ;

2小题:设x +1=t(t≥1),则f(t)=log [-(t-1)+4],所以值域为(-∞,log 4]; 3小题:已知变形为 - =-1,设b =,则b =-1,b =-1+(n-1)(-1)=-n,所以a =- ;

4小题:设x+y=k,则x -2kx+1=0, △=4k -4≥0,所以k≥1或k≤-1;

5小题:设3 =y,则3y +2y-1=0,解得y=,所以x=-1;

6小题:设log(2 -1)=y,则y(y+1)<2,解得-2

第三篇:换元法及其应用

换元法及其应用

高一(2)班(C3)张宇

绪论:目的在于总结数学解题方法,灵活运用换元法解题。

(一)选题引入

【例一】

其中(>1),则

【分析】

一般得求出的值域比较容易,但当的自变量也是一个函数的时候求其值域相对比较困难,这时候换元法就大派用场了。

【解】 求的值域,首先要求出的表达式。的值域是_______。

函数一般我们习惯还是用

【例二】 解不等式:来表示,所以要把换成。

【分析】

这是包含对数函数的不等式,一般地对数函数或指数函数写起来都比较麻烦,当在一个等式或不等式中对数或指数出现次数很多的时候,一般可以考虑用换元法,把对数或指数换掉,这样可以简化计算的中间过程,减少因为写错写漏而引起的错误。

【解】 原不等式可以化为:

即,以2为底的对数函数是增函数。,以2为底的指数函数是增函数。

变量代换的一个共同的特点是:尽可能让外表结构简单明白,尽可能将新鲜的问题转化到熟悉的老问题中去。换元法关键的一步是变量代换,如何选择,如何代换直接影响计算的复杂度,甚至影响到能否解决问题。

(二)选题概述

解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

(三)选题分类

1、局部换元

又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4 +2 -2≥0,先变形为设2 =t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

2、三角换元

应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-X^2值域时,若x∈[-1,1],设x=sin α,sinα∈[-1,1 ],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x +y =r(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。

3、均值换元

如遇到x+y=2S形式时,设x= S+t,y= S-t等等。

(四)换元法典型题归纳

1、整体换元

求函数ysinxcosxsinxcosx的最大值.t21.• 解:设tsinxcosx(2y2),•则sinxcosx

2t211y当t2•时,•故yt(t1)21.•222、三角换元 求函数yx5x2的值域.解:令xmax12.25sin,•[,],• 2

2

4).则ysin|cos|sin5cossin(

因为

所以22,

443.4所以2sin()1,得sin() 424

所以函数的值域为[,].3、比值换元

y1z2,试问实数x,y,z为何值时,x2+y2+z2达到最小23已知x,y,z满足x-1=

值?

解:由比例可以设x1y1z2t,则 12

3x2y2z2(t1)2(2t1)2+(3t2)214t210t6.当t5时,即1

491213x,y,z时,•x2y2z2达到最小值.147144、不等量换元 ○

求证:111117.122233n2(n1)2

4111111().令22kk1(k1)(k1)2k1k

11111111117k=2,3,…n,n+1,则2232 1(1)222n1n24123n(n1)

证明:对通项公式进行变形

(五)分析结论

换元法贯穿于数学学习的始终,用这种方法可以让解题更具条理性;对于学生来说,可以使思路更清晰,提高正确率;还有对于一些难题来说,换元法不失为一种捷径。

(六)研究体会

数学虽为一门理科,但解题中的反复、归纳、积累是不可或缺的,生活中不经意的好习惯也许会成为你将来成功的筹码与阶梯。

第四篇:高一小班三角函数与换元法

高一数学三角函数与平面向量期末复习试题

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.设P(3,6),Q(5,2),R的纵坐标为9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为()A.9 B.6 C.9 D.6

2PP2, 则P点坐标为()2.己知P1(2,-1)、P2(0,5)且点P在P1P2的延长线上,PP1A.(-2,11)

B.(24,3)

C.(,3)

33D.(2,-7)3.下面给出四个命题:

① ② ③ ④ 对于实数m和向量a、b,恒有m(ab)mamb; 对于实数m、n和向量a,恒有(mn)amana; 若mamb(mR,m0),则ab;

若mana(a0),则mn.其中正确的命题个数是()

(A)(B)(C)(D)4 4.已知AB3(e1e2),CBe1e2,CDe12e2,则下列关系一定成立的是()(A)A,B,C三点共线

(B)A,B,D三点共线

(C)A,C,D三点共线

(D)B,C,D三点共线

3且是第三象限的角,则cos(2)的值是()54443A.

B.

C.

D.

55555.已知sin()6.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,则△ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形

D.正三角形

7.设、、∈R,且sinsinsin,coscoscos,则()



C.或

D.

3336

3二、填空题(每小题4分,共16分)A.

B.8.已知a(2,1),b(k,3),若(∥ 则k的___________________.(2ab),a2b)9.函数ycos(x3)的增区间________________________。

sinα-2cosα10.若α满足=2,则sinα·cosα的值等于______________________.sinα+3cosα

三、解答题(第15题10分,第16,17题各11分,第18题12分,)

11.已知x2,(1)求函数ycosx的值域; 33(2)求函数y3sin2x4cosx4的最大值和最小值.12.已知sin((1)求sin

13.已知f(x)2sin(x4)772,cos2,2510cos的值;(2)求tan()的值.3)cos(x)23cos2(x)3

222(1)化简f(x)的解析式;

(2)若0,求使函数f(x)为奇函数;

(3)在(2)成立的条件下,求满足f(x)1,x,的x的集合.214。已知关于x的方程4x-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,求实数m的值.15.已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C的大小

17.(本小题满分10分)

设 a1,1,b4,3,c5,2(Ⅰ)若atb//c,求实数t的值;(Ⅱ)求c在a方向上的射影

18.(本小题满分12分)

已知向量asin,2与b1,cos互相垂直,其中0,(Ⅰ)求sin和cos的值;

(Ⅱ)若5cos35cos,0

19.(本小题满分12分)在ABC中,B.22,求cos的值.

3(Ⅰ)求sinAsinC的取值范围;

(Ⅱ)若A为锐角,求fA=sinAcosA2sinAcosA的最大值并求出此时角A的大小..20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)sinx3cosxcos(两条对称轴之间的距离为22x)(0),且函数yf(x)的图象相邻.2(Ⅰ)求fx的对称中心;

(Ⅱ)当x0,时,求fx的单调增区间.

21.(本小题满分12分)

3x3xxx,sin),b(cos,sin),x[0,] 22222(Ⅰ)用含x的式子表示ab及ab; 已知向量a(cos(Ⅱ)求函数fxab4ab的值域;

(Ⅲ)设gxabtab,若关于x的方程gx20有两个不同的实数解,求实数t的取值范围.

换元法

Ⅰ、再现性题组:

1.y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x+1)=loga(4-x)(a>1),则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{an}中,a1=-1,an1·an=an1-an,则数列通项an=___________。4.设实数x、y满足x+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。22413x5.方程=3的解是_______________。

13x6.不等式log2(2-1)·log2(2xx1-2)〈2的解集是_______________。

27.设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a的最大值和最小值。

8.已知f(x)=lgx(x>0),则f(4)的值为_____。A.2lg2 B.1lg2 C.2lg2 D.2lg4 3339.函数y=(x+1)4+2的单调增区间是______。

A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)C.(-10.函数y=2x+x1的值域是________________。3∞,-1]

第五篇:怎样用换元法证明不等式

怎样用换元法证明不等式

陆世永

我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。人们在证明不等式时创造了许多方法,其中有换元法。下面我们探索怎样用换元法证明不等式。

所谓“换元法”就是根据不等式的结构特征,选择适当的变量代换,从而化繁为简,或实现某种转化,以便证题。其换元的实质是转化,关键是构造和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

一、利用对称性换元,化繁为简

例1设a,b,cR,求证:abcbcacababc.分析:经过观察,我们发现,把a,b,c中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令xbca,ycab,zabc,则原不等式可化为:

xyyzzx8xyz.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。

证明:令xbca,ycab,zabc,则

a

12yz,b12xz,c12xy.a,b,cR,当xyz0时,有

xyyzzx8xyz;

当xyz0时,有x,y,zR(否则x,y,z中必有两个不为正值,不妨设x0, y0,则c0,这与c0矛盾), 因此

yz0,zx2zx0, xy2xy0,yz

2xyyzzx8xyz,综上所述,恒有

xyyzzx8xyz,把x,y,z代入上式得:

abcbcacababc.例2设a,b,cR,求证:

a

bc

a

bc

abbcca



abc2a2

bcabbcca.

分析:类似于例1,我们不难发现,这也是一个对称不等式,因此可考虑令

xabc,yabc,zabbcca,则原不等式可化为2yzz20.这是一个简单的不等式,由已知条件可证该不等式,因此我们可按上述换元证明原不等式。

证明:令xabc,ya2b2c2,zabbcca,则

x

y2z,yz

ab

bcca

0,原不等式可化为:

yyz



x

yz2,将x2y2z,代入上式得:

yyz

y2zyz,yzy2

yzy2zyz0,

2yzz0,又由已知条件可知,2yzz20成立,而上述过程可逆,因此原不等式成立。对于类似于例1与例2的对称不等式,可以结合不等式的具体形式换元,简化不等式的结构,使得不等式容易证明。

二、借助几何图形换元

例3已知a,b,c是ABC三边的长,求证:

abbccaabbcca

.分析:(如图)作ABC的内切圆,设D,E,F为切点,令xBD,yCD,zAE,(其中x,y,zR

则原不等式可转化为:

y2zz

z2

xx

x2



yy2x2y2z.

利用重要不等式:ab2ab可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。

证明:设D,E,F为切点,令xBD,yCD,zAE,则原不等式可转化为:

y2

zz

z2

xx

x2

2x2y2z.1 yy

又因为x,y,zR,则有

y

z

z2y,z

x

x2z,x

y

y2x,所以(1)式成立,因此原不等式成立。

从例3可以看出,在证明不等式时,我们可以根据题意结合几何图形进行分析、换元,从而借助几何图形的性质来证明不等式。

三、借助三角函数的性质换元

例4已知:a1,b0,ab1,求证:0

1a

a

11b1.ab

分析:由于a1,b0,ab1,并且不等式中有a,b,因此我们联想三角函数的平方关系:sec2tan21.经过对比,发现a相当于sec2,b相当于

tan,因而可令:asec2,btan20





.2

证明:令asec2,btan20

1a

1a



, 则 2

ab

1 b

sec1tan

1

2sectansec

sin1,可见原不等式成立。

例5若x2y21,求证:x22xyy2

.分析:由x2y21,知点x,y在圆x2y21的内部或边界上,因此可以考虑变换:xrsin,yrcos 0r1,02.证明:设xrsin,yrcos 0r1,02, 则

x2xyy

rcos2sin2

2

2rcos2

42r

2.从例4,例5可以看出,证明不等式时,我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析,利用三角函数换元,从而借助三角函数的性质来证明不等式。

四、借助均值不等式换元

例6n个正数x1,x2,xn,它们的和是1,求证:

xn1xn1xn

x1

x1x2

x2

x2x3



xn

xnx1

.分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式,但是直接用均值不等

式却难以证明这个不等式,因此我们把分子变为两项,可令x1

x2x3

xnx1

n

x1x2

m1,x2

m2,,xn

mn(其中mi0).i1

证明:令x1

n

x1x2

m1,x2

x2x3

m2,,xn

xnx1

mn,则

m

i1

i

0.x1

x1x2

x2

x2x3



xn1xn1xn

xn

xnx1

1

xxm1n2n

xnx1

1

xxm2121

x1x2

1

xxm3222

x2x3



x1x2

x2x3

4mn



xnx1

m1m2mn

m1

x1x2

m2

x2x3



xnx1

2x1x2xn

,因而原不等式成立。

例6说明,在证明不等式时,可以从不等式的形式出发,借助均值不等式进行换元。

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