数学归纳法学案

第一篇：数学归纳法学案

课题：数学归纳法及其应用举例

一、教学要求：

（1）了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导；

（2）理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.二、基础梳理：

1.什么叫数学归纳法？

2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

总结：

三、例题

类型一 证明等式

例1 用数学归纳法证明

分析 1427310n(3n1)n(n1)

21）第一步应做什么？此时n0=，左，2)当n=k时，等式左边共有项，第k项是。

假设n=k时命题成立，即________________________________

3）当n=k+1时，命题的形式是

4）此时，左边增加的项是

5)从左到右如何变形？证明：

变式训练

1、用数学归纳法证:

11113n1n22n2

4(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（）：

1(A);2(k1)11(B);2k12k2111(D).2k12k2k1 11(C);2k2k

12、用数学归纳法证:

11111nn2342

1(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（）：

2项 Ａ.１项Ｂ.kk2Ｃ.项Ｄ.21项

k1

类型二 证明整除问题

例2证明：n25n(nN)能被6整除

分析：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证n1时命题成立；第二步应明确目标，即在假设k35k能够被6整除的前提下，证明（k1)5(k1)也能够被6整除

证明：

变式训练:用数学归纳法证明:An5231(nN)能被8整除.类型三 证明不等式问题 nn1*

例3:用数学归纳法证明:

11113(n2,nN*).n1n22n2

4分析： 此题关键在于从n=k到n=k+1不等式左端的变化

证明：

变式训练

求证: 111112(nN,n2).22223nn

四、小结 ：

1、数学归纳法有哪些应用？

2、第二步中从n=k到n=k+1应注意哪些问题，有哪些技巧方法？

五、课后作业：

（一）、必做题

1、用数学归纳法证明下式

111111111 2342n12nn1n22n

(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；

(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项；

(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；

(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?

左边增加两项:_____________

右边增加两项:__________,减少一项:________

2、用数学归纳法证明用数学归纳法证明4

3（其中n∈N*）

3、用数学归纳法证明当

（二）、选做题

1、用数学归纳法证明:当n为正偶数时x, y能被x+y整除.2、平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.nnn2能被13整除，n5时，2nn2

第二篇：2013-2014学年九年级数学上册 1.2.3 公式法导学案

1·2·3公式法(2)

学习目标：

1、熟练运用求根公式解一元二次方程。

2、运用根的判别式判断一元二次方程根的情况。

学习过程：

一、快乐自学：

1、自学教材P17-P18，关注b²－4ac的大小与方程根的情况的关系。

2、自学检测：(1)解方程：

①x²-4x+3=0② x²-4x+4=0③x²-4x+5=0

(2)上面三个方程：方程①的解的情况为，方程②的解的情况为，方程③的解的情况是。

（3）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的跟的情况为：

①当﹥0时，②当﹤0时，③当=0时，（4）不解方程,判断下列方程根的情况：

①2x²-3x-5=0② 9x²=30x-25③ x²+6x+10=0

解a=b=c=∵b²-4ac=

∴方程。

解 a=b=c=∵b²-4ac=

∴方程。

解 a=b=c=∵b²-4ac=

∴方程。

三、合作探究：

当k为何值时方程x²-kx+4=0有两个相等实数根，并求此时方程的根。

四、课堂小结

五、当堂检测：

1、不解方程判断下列方程根的情况

①x²+9x=0②4y+2y²+3=02、判断关于x的方程mx²+(2m+1)x+（m+1）=0的根的情况。

第三篇：2013-2014学年九年级数学上册 1.2.3 公式法导学案

1·2·3公式法（1）

学习目标：

运用求根公式解一元二次方程。

学习过程：

一、课前热身：

方程x²－2x=1化为一般形式为，a=，b=，c=。b²－4ac=。

二、快乐自学：

1、自学P15-P17的内容。重点掌握求根公式的推导过程。

2、把一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的二次项系数化为1得，把方程左边配方得

即为。

把方程左边因式分解得

由此得出或

解得，3、一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）当b²－4ac≧0时，此方程的根为。

三、合作探究：

解方程（1）x²+ 2x-4=0（2）5x²=2x +

1(1)解 a=b=c=(2)解

b²－4ac=

因此x=

从而 x =, x=

四、课堂小结：

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）的求根公式是。

五、当堂检测：

A组题

1、解方程 x²-x-5=02、x为何值时，3x²-7的值与x-3的值相等？

B组题

3、已知一个矩形的长比宽多3㎝，其面积为18㎝²，则矩形的周长为多少？

第四篇：数学放缩法

放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。

（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。

使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

先介绍工具

柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）

均值不等式

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

绝对值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

常用放缩思想

这几个务必牢记

不常见不常用的不等式

这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂项部分

当年apucng与V_First研究的题

二项平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

第五篇：因式分解公式法(导学案)

因式分解(二)(导学案)（公式法因式分解）

学习目标：

1、会用公式法进行因式分解。

2、了解因式分解的步骤。

学习重点：会用公式法进行因式分解。学习难点：熟练应用公式法进行因式分解。学习过程

一、提出问题，创设情境

探讨新知：(ab)(ab)

(ab)2

把这两个公式反过来，就得到：

（1）（2）把它们当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。

二、深入研究，合作创新

例

1、因式分解：4x2

25例

2、因式分解：x2

6ax9a2

自主练习，小组交流：

216a29b2

81x4y

m2mn1

n2239

x24y4xy







三、小组合作，应用新知 1.辨析运用

（1）下列多项式能否平方差公式进行因式分解的是

①4x2+9y2②81x4-y4③-16x2+y2④-x2-y2⑤a2+2ab+b2

归纳：可运用平方差公式进行因式分解的多项式特点是：①恰好两项 ②一项正，一项负③可化为的形式。2.下列各多项式能否运用完全平方公式分解因式？

①-2xy+x2+y

2②

②-x2+4xy-4y

2③

③a2

+2ab+4b2

④a2

+a+1

4归纳：完全平方式的特征是：①三项 ②两平方项同号 ③另一项可化为的形式。3.因式分解：

1、a2b20.25c22、9(ab)26(ba)

13、a4x24a2x2y4x2y24、(xy)212(xy)z36z25、(x2y)2(x2y)2

6计算：992+198+17.982-2

2四、课堂反馈，强化练习

1、因式分解：

（1）(3a2b)2

(2a3b)2

（2）(m2

n2

1)2

4m2

n2

（3）(x2

4x)2

8(x2

4x)16

1(x2

2y2)22(x22y2)y22y4

（4）2（5）（x2+x+1）2-1(6)36(x+y)2-49(x-y)

2(7)(x-1)+b2(1-x)（8）3a2(2a+b)2-27a2b2(9)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2

(10)(x+y)(x-1)-xy-y2(11)(x+2)(x+4)+x2-4(12)2m3-8m2、多项式4x2

x加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？多项式0.25x2

1呢？

3.已知a,b,c,是三角形ABC的三边长，试判断b2

+c2

-a2

+2ab的正负。

4.若a2b2

+a2

+b2

+1-2ab=2ab，求a+b的值。

5.已知a,b是有理数，试说明a2

+b2

-2a-4b+8的值是正数。