2021年鲁教版八年级数学下册《第8章一元二次方程》单元综合能力提升训练（附答案）
1．下列方程中，一元二次方程共有（）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2﹣＝4；④x2﹣3x＝4；⑤x2﹣+3＝0．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2．已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则k的值为（）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
3．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣1，则k的值为（）
A．﹣5
B．﹣4
C．﹣2
D．2
4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0（a≠0）的其中一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是（）
A．2022
B．2025
C．2027
D．2028
5．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调．某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为（）
A．10%
B．15%
C．20%
D．25%
6．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k满足（）
A．k≥0
B．k≤0且k≠﹣1
C．k＜0且k≠﹣1
D．k≤0
7．如果关于x的方程有正数解，且关于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则符合条件的整数m的值是（）
A．﹣1
B．0
C．1
D．﹣1或1
8．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则这两个相等的实数根是（）
A．﹣2
B．
C．2
D．
9．如图，学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽15米的长方形．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为252平方米，则小道的宽为（）
A．5米
B．1米
C．2米
D．3米
10．方程（9x﹣1）2＝1的解是（）
A．x1＝x2＝
B．x1＝x2＝
C．x1＝0，x2＝
D．x1＝0，x2＝﹣
11．已知关于x的方程mx2﹣3x+2＝0有两个实数根，那么m的取值范围是
．
12．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，则式子x12﹣2x1+x2的值为
．
13．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2021的值是
．
14．已知α，β方程x2+2x﹣5＝0的两根，那么α2+3α+β的值是
．
15．如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是
．
16．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程x2﹣8x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是
．
17．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值
．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值
．
19．方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是
．
20．一元二次方程x2﹣6x+5＝0化为（x+h）2＝k的形式是
．
21．解方程：（x+2）2﹣x﹣2＝0．
22．m为实数，关于x的方程x（x﹣2m）+m（m﹣1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若方程两实根的平方和为12，试求m的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根x1、x2，是否存在实数k，满足+＝﹣2，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
24．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
25．已知平行四边形ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的两个实数根．
（1）若AB＝2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
（2）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．
26．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了25%，每千克的平均批发价降低了1元，批发销售总额增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元．求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，当水果店一天的利润为7260元时，求这种水果的平均售价．（计算利润时，其它费用忽略不计）
27．某电脑销售店电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某校计划以促销价购买100台电脑．该店还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送12个月的免费保修费，免费保修费为每台每月10元．请问哪种方案更优惠？
参考答案
1．解：①3x2+x＝20，④x2﹣3x＝4，⑤x2﹣+3＝0符合一元二次方程的定义；
②2x2﹣3xy+4＝0中含有两个未知数，不是一元二次方程；
③x2﹣＝4不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
综上所述，一元二次方程共有3个．
故选：B．
2．解：把x＝1代入方程得：1﹣k﹣2＝0，解得：k＝﹣1，故选：B．
3．解：∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣1，∴（﹣1）2+k×（﹣1）﹣3＝0，解得，k＝﹣2，故选：C．
4．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0（a≠0）的一个解是x＝1，∴a+b+6＝0，∴a+b＝﹣6，∴2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021﹣（﹣6）＝2021+6＝2027，故选：C．
5．解：设这种药品平均每次降价的百分率是x，由题意得250（1﹣x）2＝160，解得x＝1.8（不合题意，舍去），x＝0.2，则这种药品平均每次降价的百分率是20%．
故选：C．
6．解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，∴，解得：k≤0且k≠﹣1．
故选：B．
7．解：∵关于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＝（﹣2）2﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣2且m≠0，关于x的方程去分母得﹣1﹣2（x﹣2）＝（1﹣mx），解得x＝﹣，∵关于x的方程有正数解，∴﹣＞0且﹣≠2，解得m＜2且m≠1，∴a的范围为﹣2＜m＜2且m≠0，m≠1，∴符合条件的整数m的值是﹣1．
故选：A．
8．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即（﹣2）2﹣4a×2＝0，解得，a＝，原方程可化为x2﹣2x+2＝0，整理得，x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，故选：C．
9．解：设该小道的宽为x米，依题意得
（20﹣2x）（15﹣x）＝252，整理得x2﹣25x+24＝0，即：（x﹣24）（x﹣1）＝0，解得x1＝24（舍去），x2＝1．
即：该小道的宽为1米．
故选：B．
10．解：∵（9x﹣1）2＝1，∴9x﹣1＝1或9x﹣1＝﹣1，解得x1＝0，x2＝，故选：C．
11．解：mx2﹣2x+1＝0有两个实数根，当m＝0时，方程化为﹣3x+2＝0，解得：x＝，不合题意；
故m≠0，则有b2﹣4ac＝9﹣4m×2≥0，解得：m≤，则m的取值范围是m≤1且m≠0．
故答案为：m≤且m≠0．
12．解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，∴x1+x2＝3，x12﹣3x1﹣1＝0，∴x12﹣3x1＝1，∴x12﹣2x1+x2＝x12﹣3x1+x1+x2＝1+3＝4．
故答案为：4．
13．解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，整理得，a2﹣a＝1，∴﹣2a2﹣2a+2021＝﹣2（a2﹣a）+2021＝﹣2×1+2021＝2019．
故答案是：2019．
14．解：∵α，β方程x2+2x﹣5＝0的两根，∴α2+2α﹣5＝0，α+β＝﹣2，∴α2+2α＝5，∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝5﹣2＝3．
故答案为：3．
15．解：设它们的相同根为t，根据题意得t2+t+k＝0①，t2+kt+1＝0②，②﹣①得（k﹣1）t＝k﹣1，∵t有且只有一个值，∴k﹣1≠0，∴t＝1，把t＝1代入①得1+1+k＝0，∴k＝﹣2．
故答案为﹣2．
16．解：∵x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，∴x1＝2，x2＝6．
∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，∴腰长是6，底边是2，周长为：6+6+2＝14，故答案为：14．
17．解：当a＝b时，由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，∴a+b＝8±2；
当a≠b时，a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8．
故答案为8或8±2．
18．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤，由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，故答案为﹣3．
19．解：∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，∴方程a（x+m+2）2+b＝0的两个解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1，故答案为：x3＝﹣4，x4＝﹣1．
20．解：移项，得x2﹣6x＝﹣5，配方得，x2﹣6x+9＝﹣5+9，（x﹣3）2＝4．
故答案为：（x﹣3）2＝4．
21．解：（x+2）2﹣x﹣2＝0，（x+2）（x+2﹣1）＝0，x+2＝0或x+2﹣1＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣1．
22．解：（1）已知方程整理为x2﹣2mx+m2﹣m＝0是一元二次方程
∵△＝4m2﹣4（m2﹣m）＝4m≥0，∴m≥0．即m的取值范围是m≥0；
（2）设方程两实根为x1，x2，则x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m，由x12+x22＝12，得（x1+x2）2﹣2x1x2＝12，∴4m2﹣2（m2﹣m）＝12，整理，得m2+m﹣6＝0，解得m＝2或m＝﹣3，∵m≥0，∴m＝2．
23．解：（1）∵此方程有两个实数根
∴△≥0即△＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k+1）＝﹣4k﹣4≥0，∴k≤﹣1；
（2）存在，∵x1+x2＝2k，∴，∴k1＝k2＝﹣1符合题意，即k＝﹣1．
24．解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，由，得，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于，由PQ2＝BP2+BQ2，即40＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为；
（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于7cm2，即，整理得：t2﹣5t+7＝0，由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．
25．解：（1）当x＝2时，4﹣2m+2＝0，解得：m＝3，∴x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1，∴平行四边形的周长为2×（1+2）＝6；
（2）∵当AB＝AD时，平行四边形ABCD是菱形，即：△＝0，∴m2﹣4×2＝0，解得：，又∵AB+AD＝m＞0，∴，∴方程为x2﹣2x+2＝0，解得，x1＝x2＝，∴菱形的边长为．
26．解：（1）设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则这种水果去年每千克的平均批发价是（x+1）元，依题意得：（1+20%）（x+1）＝（1+25%）x，解得：x＝24．
答：这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均销售价降低了y元，则每千克的平均利润为41﹣y﹣24＝（17﹣y）元，每天的销售量为300+＝（300+60y）千克，依题意得：（17﹣y）（300+60y）＝7260，整理得：y2﹣12y+36＝0，解得：y1＝y2＝6，∴41﹣y＝35（元）．
答：这种水果的平均售价为35元．
27．解：（1）设平均每次降价的百分率为x，依题意得：5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率为10%．
（2）选择方案①所需费用为4050×100×0.98＝396900（元）；
选择方案②所需费用为4050×100﹣100×10×12＝393000（元）．
∵396900元＞393000元，∴方案②更优惠．
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