2021年九年级中考数学三轮综合复习专题冲刺：二次函数综合（二）

2021年九年级中考数学三轮综合复习专题冲刺：

二次函数综合（二）

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①a+b+c＜0；②1≤a≤；③关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

2．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）

A．y＝x2+2x﹣3

B．y＝x2﹣2x﹣3

C．y＝﹣x2+2x﹣3

D．y＝﹣x2﹣2x+3

3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③4a﹣2b+c＞0；

④3a+c＜0．其中，正确结论的个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）8a+7b+2c＞0；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（，y2）、C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（）

A．abc＜0

B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5

C．b2﹣4ac＞0

D．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1

6．如图，抛物线y＝x2﹣2x+m交x轴于点A（a，0），B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①无论m取何值，CD＝恒成立；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣2，则b＝6；④P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＜y2．其中正确的有（）

A．①②③④

B．①②④

C．①②

D．②③④

7．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（）

A．（2，3）

B．（，）

C．（1，3）

D．（3，2）

8．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①5a+b+c＝0；②b＞2a；

③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论中，其中正确的结论的个数是（）

①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不等实数根．

A．1

B．2

C．3

D．4

10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有下列结论①abc＜0；②2c＜3b；③4a+2b+c＜0；④a+b＜m（am+b），其中正确的结论有（）

A．①②

B．②③

C．①④

D．②④

11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：

①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小；其中正确的个数有（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（）

A．①②

B．①③④

C．①②③④

D．①②③④⑤

13．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：

①a﹣b+c＞0；

②3a+b＝0；

③b2＝4a（c﹣n）；

④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根．

其中正确结论的个数是（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，1），B（2，﹣1），C（4，5）三点，下面四个结论中正确的是（）

A．抛物线开口向下

B．当x＝2时，y取最小值﹣1

C．当m＞﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根

D．直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是0＜x＜4

15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；

③3a+c＜0；

④当x≠1时，a+b＞ax2+bx；⑤4ac＜b2．其中正确的有（）个．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ax2+bx+c的图象与对称轴直线x＝m交于点A，与x，y轴交于B，C，D三点，下列命题正确的是（）

①abc＞0；

②若OD＝OC，则ac+b+1＝0；

③对于任意x0（x0≠m），始终有ax02+bx0＞am2+bm；

④若B的坐标为（﹣m，0），则C的坐标为（3m，0）．

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝2，图象如图所示，下面四个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）

A．4

B．3

C．2

D．1

18．如图，二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若AB＝4，则点C的坐标是（）

A．（0，4）

B．（0，5）

C．（4，0）

D．（5，0）

19．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（）

A．①②

B．②③

C．①③④

D．①②③

20．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，四人的说法如下，甲：若b＝﹣1，则点P的个数为3；乙：若b＝0，则点P的个数为1；丙：若b＝4，则点P的个数为1；丁：若b＝5，则点P的个数为0．

其中说法正确的有（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

参考答案

1．解：①若a+b+c＜0，则4a+2b+c＜0；

当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故①正确，符合题意；

②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，则c＝﹣a+b，由﹣4≤c≤﹣3，得﹣4≤﹣a+b≤﹣3，图象的对称轴为x＝1，故b＝﹣2a，得﹣4≤﹣3a≤﹣3，故1≤a≤正确，符合题意；

③y＝ax2+bx+c的顶点为（1，m），即当x＝1时y有最小值m．

而y＝m﹣1和y＝ax2+bx+c无交点，即方程ax2+bx+c＝m﹣1无解，∴关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根，故③正确，符合题意．

故选：D．

2．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，故选：B．

3．解：①由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故结论①正确；

②∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点在x轴下方，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故结论②正确；

③抛物线开口向上，对称轴x＝1，在对称轴左侧与x轴交点在﹣2和﹣1之间，该抛物线上横坐标为﹣2的点在x轴上方，∴4a﹣2b+c＞0，故结论③正确；

④由③分析可知a﹣b+c＜0，＝1，∴﹣b＝2a，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故结论④正确．

综上所述，①②③④都是正确的．

故选：D．

4．解：∵x＝﹣＝2，∴4a+b＝0，故①正确．

∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0

又∵b＝﹣4a，∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，故②正确；

∵抛物线的对称轴为x＝2，C（，y3），∴（，y3）．

∵﹣3＜﹣＜，在对称轴的左侧，∴y随x的增大而增大，∴y1＜y2＜y3，故③错误．

方程a（x+1）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣1或x＝5，过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故④正确．

故选：C．

5．解：A．函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；

B．由函数的对称性知，抛物线和x轴的另外一个交点为（﹣1，0），故不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故B错误，符合题意；

C．函数和x轴有两个交点，故C正确，不符合题意；

D．由B知，方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1正确，故D正确，不符合题意；

故选：B．

6．解：①∵y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，∴C（0，m），D（1，m﹣1），∴CD＝＝，故①正确；

②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（0，0）、B（2，0），顶点D（1，﹣1），∴AD＝BD＝，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；

③当a＝﹣2时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），∵对称轴x＝1，∴另一个交点坐标为（4，0），∴b＝4，故③错误；

④观察二次函数图象可知：

当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则1﹣x1＜x2﹣1

∴y1＜y2．

故④正确．

故选：B．

7．解：对于y＝﹣x2+x+2，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，则y＝2，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点H的坐标为（x，﹣x+2），则△BCP的面积＝S△PHB+S△BHC＝PH×OB＝×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故△BCP的面积有最大值，当x＝2时，△BCP的面积有最大值，此时，点P的坐标为（2，3），故选：A．

8．解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，过（1，0）点，把（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a+b+c＝0，a≠0，所以5a+b+c≠0，因此①错误；

对称轴为直线x＝﹣1，即：﹣＝﹣1，整理得，b＝2a，因此②错误；

由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；

由图可得，抛物线有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故④正确；

故选：B．

9．解：补图：由题可知，抛物线与x的另一个交点应该在（﹣1，0）和（﹣2，0）之间，①当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，①正确；

②对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，则3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，②错误；

③题目中只有顶点坐标出现字母n，则一定跟顶点坐标的纵坐标有关，由顶点纵坐标，化简得b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），③正确；

④选项④的题意是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，如图可知④正确；

综上所述，正确的结论为①③④，故选：C．

10．解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①正确；

②当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9×（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故②正确；

③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③错误；

④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≥am2+bm+c，故a+b≥am2+bm，即a+b≥m（am+b），故④错误．

故正确的结论有①②．

故选：A．

11．解：①如图所示，抛物线开口向下，则a＜0．

抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．

所以ac＜0．

故结论不正确；

②如图所示，对称轴x＝﹣＜1，a＜0，则2a+b＜0，．

故结论不正确；

③如图所示，抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以4ac＜b2，故结论正确；

④如图所示，当x＝1时，y＞0，所以a+b+c＞0，故结论不正确；

⑤如图所示，设对称轴是直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小．

故结论不正确．

综上所述，正确的结论有1个．

故选：A．

12．解：由图象可知，a＜0，c＝1，对称轴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，①∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故正确；

②∵当x＝﹣1时，y＞1，∴a﹣b+c＞1，故正确；

③abc＝2a2＞0，故正确；

④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，故正确；

⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；

∴①②③④⑤正确，故选：D．

13．解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故①结论正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，∴2a+b＝0，∵a≠0，∴3a+b≠0，故②结论错误；

∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝n有唯一一个交点，即方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，∴b2＝4a（c﹣n），故③结论正确；

∵抛物线的开口向下，∴y最大＝n，∴直线y＝n﹣1与抛物线有两个交点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，故④结论正确；

综上所述，正确的结论有3个．

故选：C．

14．解：A．将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x+1，函数图象如下：

∵a＝1＞0，故抛物线开口向上，故A错误，不符合题意；

B．抛物线开口向上，则x＝﹣＝时，取得最小值，当x＝时，y＝x2﹣3x+1＝﹣，故B错误，不符合题意；

C．由B知，函数的最小值为﹣＜﹣1，故m＞﹣1时，直线y＝m和y＝ax2+bx+c有两个交点，故一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根，故C正确，符合题意；

D．观察函数图象，直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜0或x＞4，故D错误，不符合题意；

故选：C．

15．解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，∴abc＜0，故①错误；

②∵对称轴x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，故②正确；

③当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，由②知﹣b＝2a，故3a+c＜0，故③正确；

④∵抛物线开口向下，对称轴x＝1，∴当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，∴a+b+c＞ax2+bx+c（x≠1），即a+b＞ax2+bx，故④正确；

⑤图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故⑤正确；

综上所述正确的个数为4，故选：D．

16．解：由图象得：a＞0，b＜0，c＜0，故①正确；

∵OD＝OC，∴xc＝﹣c，∴a（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，∴ac﹣b+1＝0，故②错误，∵a＞0，∴对于任意x0（x0≠m），始终有，故③正确，∵对称轴x＝m，∴，∴xc＝3m，故④正确，故选：C．

17．解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故②③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．

18．解：令y＝x2+6x+c＝0，则设点A、B的横坐标分别为m、n，则m+n＝﹣6，mn＝c（c＞0），则AB＝|m﹣n|＝＝＝4，解得：c＝5，故点C的坐标为（0,5），故选：B．

19．解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，解得：a＝﹣，∴h＝﹣（t﹣3）2+40．

①∵顶点为（3，40），∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；

②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；

③令h＝20，则20＝﹣（t﹣3）2+40，解得t＝3±，故③错误；

④令t＝2，则h＝﹣（2﹣3）2+40＝m，故④错误．

综上，正确的有①②．

故选：A．

20．解：甲：当b＝﹣1时，（4﹣a）＝﹣1，整理得：a2﹣4a﹣1＝0，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，方程有两个不相等的实数根，即此时点P的个数为2，故甲的说法错误；

乙：当b＝0时，a（4﹣a）＝0，解得：a＝0或4，即此时点P的个数为2，故乙的说法错误；

丙：当b＝4时，a（4﹣a）＝4，整理得：a2﹣4a+4＝0，△＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，方程有两个相等的实数根，即此时点P的个数为1，故丙的说法正确；

丁：当b＝5时，a（4﹣a）＝5，整理得：a2﹣4a+5＝0，△＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，方程没有实数根，即此时点P的个数为0，故丁的说法正确；

所以正确的个数是2个，故选：C．