第一篇：圆锥曲线题型总结
圆锥曲线题型
与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让同学们对这方面的知识有一个比较系统的了解，本文系统阐述一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”．
一、重、难、疑点分析
1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题．
2．难点：双圆锥曲线的相交问题．(应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．)3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题．(解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．)
二、题型展示
1．圆锥曲线的弦长求法
设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长|AB|为：
(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．
例1 过抛物线y14x的焦点作倾斜角为的直线l与抛物线交于A、B两点，旦
2|AB|=8，求倾斜角．
分析一：由弦长公式易解．解答为：
∵
抛物线方程为x2=-4y，∴焦点为(0，-1)．
设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．
将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． 由|AB|=8得:81k24k2或34414 ∴k1
又有tan1得:4.p2,BFy2p2分析二:利用焦半径关系.∵AFy1
∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．
2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题
在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．
例2已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值． 解一：将x2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y
由点(x，y)满足x2+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．
当y=0时，(x2+y2)min=0．
解二：分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，则将此代入x2+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．
令x+y=u，则有x=u-y,代入x2+4(y-1)2=4得：5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0． ∴15u15
当u15时,y1550,2;当u15时,y1550,2
∴xymax15;xymin15
3．与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．
例3.在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；(2)
1AF1BF为定值.证明：(1)∵抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1．
∴ A、B到准线的距离分别d1＝y1+1，d2=y2+1(如图2－46所示)．
由抛物线的定义：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1． ∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即A、B、F三点共线．(2)如图2－46，设∠AFK=θ．
∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 ∴AF又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ ∴BF21sin21sin
小结:与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质.4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题 直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后再讲)． 例4 已知曲线C1:x2ya22 1及C2:yx1有公共点,求实数a的取值范围．
2可得：y=2(1-a)y+a-4=0．
∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，∴a如图2－47，可知：
5222.椭圆中心0,a,半轴长a交时,a12.2a522,抛物线顶点为0,1,所以当圆锥曲线在下方相切或相综上所述,当1时, 曲线C1与C2相交.5．利用共线向量解决圆锥曲线中的参数范围问题 例5.已知椭圆xa22yb221(ab0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围；
解：（1）∵F1(c,0),则xMc,yMb2a，∴kOM2b2ac。
∵kABba,OM与AB是共线向量，∴bacba，∴b=c,故e22。
（2）设F1Qr1,F2Qr2,F1QF2,r1r22a,F1F22c，r1r24c2r1r2222cos(r1r2)2r1r24c2r1r222a2r1r21(a22r1r210)2当且仅当r1r2时，cosθ=0，∴θ[0,2]。
由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.6.利用向量的数量积解决圆锥曲线中的参数范围问题
例6.椭圆x29y241的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当∠F1P F2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。
解：由椭圆x29y241的知焦点为F1（－5,0）F2（5,0）.设椭圆上的点可设为P（3cos,2sin）.F1PF2为钝角 （∴ PF1PF2
53cos,2sin)(53cos,2sin)
=9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0 解得：55cos55 ∴点P横坐标的取值范围是（3535）.,55解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了.
第二篇：高考圆锥曲线题型归类总结50
高考圆锥曲线题型归类总结50 高考圆锥曲线的七种题型；题型一：定义的应用；
1、圆锥曲线的定义：；（1）椭圆；（2）椭圆；（3）椭圆；
2、定义的应用；（1）寻找符合条件的等量关系；（2）等价转换，数形结合；
3、定义的适用条件：；典型例题；例
1、动圆M与圆C1:(x+1)+y=36内切,；例
2、方程；题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程；
1、椭圆：由
2、双曲线：由，分母的大小决高考圆锥曲线的七种题型
题型一：定义的应用
1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆（2）椭圆（3）椭圆
2、定义的应用
（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合
3、定义的适用条件： 典型例题
例
1、动圆M与圆C1:(x+1)+y=36内切,与圆C2:(x-1)+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。
例
2、方程
题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
1、椭圆：由
2、双曲线：由，分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 表示的曲线是 2222
3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题 x2y2 例
1、已知方程??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 m?12?m x2y2 ??1的曲线： 例
2、k为何值时,方程9?k5?k(1)是椭圆;(2)是双曲线.题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题
1、椭圆焦点三角形面积S?btan2? 2 ；双曲线焦点三角形面积S?bcot2? 2
2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解
3、m?n,m?n,mn,m2?n2四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题
22xy例
1、椭圆22?，求1(a?b?0)上一点P与两个焦点FFPF?1，2的张角∠F12?ab 证：△F1PF2的面积为btan2?。2 例
2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且
．求该双曲线的标准方程
题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法
1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；，2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；
3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 x2y2 例
1、已知F1、F2是双曲线2?2?1（a?0,b?0）的两焦点，以线段F1F2为边作正ab 三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.4?2 B.?1 C.?1 D.?1 2 x2y2 例
2、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,ab 则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)B.?1,3? C.(3,+?)D.?3,??? x2y2 例
3、椭圆G：2?2?1(a?b?0)的两焦点为F1(?c,0),F2(c,0)，椭圆上存在 ab 点M使F1M?F2M?0.求椭圆离心率e的取值范围； ?? x2y2 例
4、已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60?的直线 ab 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,??)（D）(2,??)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断
1、点与椭圆的位置关系 x2y2 点在椭圆内?2?2?1 ab x2y2 点在椭圆上?2?2?1 ab x2y2 点在椭圆外?2?2?1 ab
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题： ?>0?相交
?=0?相切（需要注意二次项系数为0的情况）?<0?相离
3、弦长公式： AB??k2x1?x2??k2(x1?x2)??k2? a AB??111? y?y??(y?y)??1212222kkka
4、圆锥曲线的中点弦问题：
1、伟达定理：
2、点差法：
（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简
（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系 典型例题
例
1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.例
2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=22，O为坐标原点，OC的斜率为2/2，求椭圆的方程。
题型六：动点轨迹方程：
1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
2、求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 例
1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线 的距离之和等于4，求P的轨迹方程．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
例
2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
例
3、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点0P的轨迹方程为
例
4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线 例
5、一动圆与两圆⊙M： 的轨迹为
(4)代入转移法：动点
在某已知曲线上，则可先用迹方程: 例
6、如动点P是抛物线则M的轨迹方程为__________(5)参数法：当动点 虑将
例
7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考上任一点，定点为,点M分所成的比为2，依赖于另一动点 的代数式表示的变化而变化，并且，再将又和⊙N：都外切，则动圆圆心的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ 代入已知曲线得要求的轨均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。程是
题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）
一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与；
二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出；
三、联立方程组；；
四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线；
五、根据条件重转化；常有以下类型：；①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是；?OA?OB?K1?K2??1?；②“点在圆内、圆上、圆外问题”；?“直角、锐角、钝角问题
一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）
二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
三、联立方程组；
四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
五、根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）?OA?OB ?K1?K2??1 ?OA?OB?0 ? x1x2?y1y2?0 ②“点在圆内、圆上、圆外问题”
?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?x1x2?y1y2>0；
③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（K1?K2?0或K1?K2）； ④“共线问题”
（如：AQ??QB ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B三点共线?直线OA与OB斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”
?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；
六、化简与计算；
七、细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想：
1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无
关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明
5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；
7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
典型例题：
例
1、已知点F?0,1?，直线l：y??1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP?QF?FP?FQ．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D?0,2?，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设DA?l1，DB?l2，求
例
2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为 线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上 运动且保持|PA|+|PB|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； l1l2?的最大值． l2l1(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设 求λ的取值范围.DM=λ，DN x2y2 例
3、设F1、F2分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点。ab（1）设椭圆C 上点到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线
PM，PN 的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM?KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
例
4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
例
5、已知椭圆两焦点F1、F2在y 轴上，短轴长为，P是椭圆在第一 2 ?象限弧上一点，且PF1?PF2?1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆
于A、B两点。（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值； 典型例题： 例
1、由①、②解得，x?a?2． 不妨设A?a?2,0?，B?a?2,0?，∴ l1? l2?．
l1l2l12?l222∴???l2l1l1l2 ? ? ③ l1l2?? ? l2l1 当a? 0时，由③得，当且仅当a?? 当a?0时，由③得，l1l2?? 2． l2l1 故当a??l1l2?的最大值为 l 2l1 例
2、解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222；设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=；x22；∴曲线C的方程为+y=1.；(2)设直线l的方程为y=kx+2,；x2222；代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=；Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞；DMx13；?.由图可知=λDNx25；20k?；x?x??122??1? ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222?12?2＞|AB|=4.∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=5,c=2,b=1.x22 ∴曲线C的方程为+y=1.5(2)设直线l的方程为y=kx+2, x2222 代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=0.5 Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞ 2 2 2 DMx13 ?.由图可知=λ DNx25 20k? x?x??122??1?5k由韦达定理得? 15?x?x? 12?1?5k2? 将x1=λx2代入得 ?400k222 ?(1??)x2??(1?5k2)2 ? ??x2?15 2?1?5k2?(1??)2400k280两式相除得 ??2?15(1?5k)3(5?)k2 3151208016 ?k2?,?0?2?,?5?2?,即4?? 1533kk?533(2?5)k(1??)216DM1?4??,0,?解得???3 ?3DN3 ① ② ??? x1DM?,M在D、N中间，∴λ＜1 x2DN 又∵当k不存在时，显然λ=综合得：1/3 ≤λ＜1.DM1 ?(此时直线l与y轴重合)DN3 例
3、解：（1）由于点? 2 2 ?1b2 得2a=4, ?2分 x2y2 ??1椭圆C的方程为 43x2y2??1把K的坐标代入椭圆43，焦点坐标分别为(?1,0),(1,0)??4分
（2）设KF1的中点为B（x, y）则点K(2x?1,2y)?5分(2x?1)2(2y)2 ??1中得 43 ?7分 12y2 ?1线段KF1的中点B的轨迹方程为(x?)?2 4 设M(x0,y0)N(?x0,?y0), ?8分
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 p(x,y), x02y02x2y2 M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得2?2?12?2?1 ??10分 ababb2y?y0y?y0y2?y02 =?2 ???13分 kPM?KPN=??2 2 ax?x0x?x0x?x0 故：kPM?KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，??14分 x2y2 ??1．（5分）例
4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为43（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，?y?kx?m，?222 联立?x2y2得(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，?1.?? 43? ? ???64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，即3?4k2?m2?0，则? 8mk? x?x??，?122 3?4k? ?4(m2?3).?x1?x2? 3?4k2? 3(m2?4k2)又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?，2 3?4k 2 2 0)，因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2，?kADkBD??1，即 y1y 2??1，x1?2x2?2 3(m2?4k2)4(m2?3)16mk ???4?0，?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，? 3?4k23?4k23?4k2 ?9m2?16mk?4k2?0． 解得：m1??2k，m2?? 2k22，且均满足3?4k?m?0，7
1、当m1??2k时，l的方程为y?k(x?2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m2??
2、2k2??2?? 时，l的方程为y?k?x??，直线过定点?，0?． 77??7?? 所以，直线l过定点，定点坐标为?，0?．（14分）?2 ?7?? y2x2 ??1例
5、解（1）F1F2(0,，设P(x0,y0)(x0?0,y0?0)42。
??22则PF1?PF2?x0?(2?y0)?1 1?(?x0y0),PF2?(?x0,y0), ?PF 222 x0y04?y02 ?1.?x0? ?点P(x0,y0)在曲线上，则? 2422 4?y02 ?(2?y0)? 1，得y0?P 的坐标为 从而2（2）由（1）知PF1//x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k?0)，?y?k(x?1)? 则PB 的直线方程为：y?k(x?1)由?x2y2得 ?1?? ?24(2?k2)x2?2kk)x?k)2?4?0 2k(k?k2??2 ?1?设B(xB,y B),则xB? 22 2?k2?kx?x? 同理可得xA?，则AB(xA?1)?k(x1 yA?yB??kB? 所以：AB 的斜率kAB? 8k 2 2?k yA?yB ? xA?xB sin? 4例
6、解：（1）由23?1|OF|?|FP|?sin?,得|OF|?|FP|?43,由cos??tsin?，2 分
得tan??4.3分 t ?4?t?43?1?tan?[0,?] ∴夹角?的取值范围是（?? ,）??643（2）设P(x0,y0),则(x0?c,y0),?(c,0).?OF?FP?(x0?c,y0)?(c,0)?(x0?c)c?t?1)c2 ?1???S?OFP?|OF|?|y0|?y0?2?x08分
?|OP|?10分 ∴当且仅当3c? 4,即c?2时,|OP|取最小值26,此时,OP?(23,?23)c ?? 3(2,23)?(0,1)?(2,3)33 或?(2,?23)?(0,1)?(2,?1)12分 椭圆长轴 2a?(2?2)2?(3?0)2?(2?2)2?(3?0)2?8 ?a?4,b2?12 或2a?(2?2)2?(?1?0)2?(2?2)2?(?1?0)2?1??a? 1?21? ,b? 22 x2y2 ??1.或x2?y2?1 14分 故所求椭圆方程为 16129?1?2 2
第三篇：完美版圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；
②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
（2）双曲线的性质
①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。
②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。
令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；
2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：
；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时交点在轴，当时焦点在轴上。
⑥注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
方程叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是；
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
轴
轴
轴
轴
顶点
离心率
说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。
4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y
0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点{方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：
1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2
(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半径是。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2=
②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-,-);
③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.（3）
点与圆的位置关系
已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=。
（4）
直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之
比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线：
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0 1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件 点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a}.点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形 方 程 标准方程 (>0) (a>0,b>0) 参数方程 (t为参数) 范围 ─a£x£a，─b£y£b |x| ³ a，yÎR x³0 中心 原点O（0，0） 原点O（0，0） 顶点 (a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b) (a,0),(─a,0) (0,0) 对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴; 实轴长2a,虚轴长2b.x轴 焦点 F1(c,0),F2(─c,0) F1(c,0),F2(─c,0) 准 线 x=± 准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=± 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=- 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距 2c （c=） 2c （c=） 离心率 e=1 【备注1】双曲线： ⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为 .【备注2】抛物线： （1）抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=-，开口向右；抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=-，开口向上； 抛物线=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.（2）抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离；抛物线=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离 （3）设抛物线的标准方程为=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=+p或(α为直线AB的倾斜角)，(叫做焦半径).五、坐标的变换： （1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。 （3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 或 叫做平移(或移轴)公式.（4） 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表： 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 椭圆 +=1 (±c+h,k) x=±+h x=h y=k + =1 (h,±c+k) y=±+k x=h y=k 双曲线 -=1 (±c+h,k) x=±+k x=h y=k -=1 (h,±c+h) y=±+k x=h y=k 抛物线 (y-k)2=2p(x-h) (+h,k) x=-+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-+h,k) x=+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h,+k) y=-+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- +k) y=+k x=h 六、椭圆的常用结论： 1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6.若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式,(,).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。 12.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是； 【推论】： 1、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是。椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2、过椭圆 (a＞0,b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.3、若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点，，则.4、设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记，，则有.5、若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6、P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.7、椭圆与直线有公共点的充要条件是.8、已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.9、过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.10、已知椭圆（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.11、设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .12、设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，，，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .13、已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论： 1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 5、若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.6、若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7、双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8、双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(,）当在右支上时，,；当在左支上时，,。 9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11、AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。 12、若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13、若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.【推论】： 1、双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2、过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.3、若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F 2是焦点，，则（或）.4、设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记，，则有.5、若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6、P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.7、双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.8、已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.9、过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 .10、已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或.11、设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .12、设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，，，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .13、已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.八、抛物线的常用结论： ①顶点.②则焦点半径;则焦点半径为.③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.④（或）的参数方程为（或）（为参数）.图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 （0,0） 离心率 焦点 圆锥曲线的性质对比 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 y^2=2px p>0 范围 x∈[-a,a] y∈[-b,b] x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R x∈[0,+∞) y∈R 对称性 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴对称 顶点 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点 (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2-b^2】 (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2+b^2】 (p/2,0) 准线 x=±(a^2)/c x=±(a^2)/c x=-p/2 渐近线 —————————— y=±(b/a)x ————— 离心率 e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1 焦半径 ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣ ∣PF∣=x+p/2 焦准距 p=(b^2)/c p=(b^2)/c p 通径 (2b^2)/a (2b^2)/a 2p 参数方程 x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参数 x=a·secθ y=b·tanθ,θ为参数 x=2pt^2 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线上一点 (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0,y0)的切线方程 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 y0·y=p(x+x0) 斜率为k的切线方程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k 与圆锥曲线有关的几种典型题 一、教学目标(一)知识教学点 使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线相交问题等． (二)能力训练点 通过对圆锥曲线有关的几种典型题的教学，培养学生综合运用圆锥曲线知识的能力．(三)学科渗透点 通过与圆锥曲线有关的几种典型题的教学，使学生掌握一些相关学科中的类似问题的处理方法． 二、教材分析 1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题． (解决办法：先介绍基础知识，再讲解应用．)2．难点：双圆锥曲线的相交问题． (解决办法：要提醒学生注意，除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．)3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题． (解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．) 三、活动设计 演板、讲解、练习、分析、提问． 四、教学过程(一)引入 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的了解，今天来讲一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”． (二)与圆锥曲线有关的几种典型题 1．圆锥曲线的弦长求法 设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为： (2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角α． 分析一：由弦长公式易解． 由学生演板完成．解答为： ∵ 抛物线方程为x2=-4y，∴焦点为(0，-1)． 设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． ∴ k=±1． ∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，由学生课外完成． 2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围． 例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值与最小值；(2)x+y的最大值与最小值． 解(1)： 将x2+4(y-1)2=4代入得： x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y 由点(x，y)满足x2+4(y-1)2=4知： 4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1． ∴0≤y≤2． 当y=0时，(x2+y2)min=0． 解(2)： 分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，则将此代入x2+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值． 令x+y=u，则有x=u-y． 代入x2+4(y-1)2=4得： 5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0． 3．与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法． 例3 在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证： (1)A、B和这抛物线的焦点三点共线； 证明： (1)∵抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1． ∴ A、B到准线的距离分别d1＝y1+1，d2=y2+1(如图2－46所示)． 由抛物线的定义： |AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1． ∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|． 即A、B、F三点共线．(2)如图2－46，设∠AFK=θ． ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2 =|AF|sinθ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ． 小结：与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质． 4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题 直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0” 与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后再讲)． 实数a的取值范围． 可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0． ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，如图2－47，可知： (三)巩固练习(用一小黑板事先写出．) 2．已知圆(x-1)2+y2=1与抛物线y2=2px有三个公共点，求P的取值范围． 顶点． 请三个学生演板，其他同学作课堂练习，教师巡视．解答为： 1．设P的坐标为(x，y)，则 2．由两曲线方程消去y得：x2-(2-2P)x=0． 解得：x1=0，x2=2-2P． ∵0＜x＜2，∴0＜2-2P＜2，即0＜P＜1． 故P的取值范围为(0，1)． 四个交点为A(4，1)，B(4，-1)，C(-4，-1)，D(-4，1)． 所以A、B、C、D是矩形的四个顶点． 五、布置作业 1．一条定抛物线C1∶y2=1-x与动圆C2∶(x-a)2+y2=1没有公共点，求a的范围． 2．求抛线y=x2上到直线y=2x-4的距离为最小的点P的坐标． 3．证明：从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长． 作业答案： 1．当x≤1时，由C1、C2的方程中消去y，得x2-(2a+1)x+a2=0，离为d，则 似证明． 六、板书设计 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： ； 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程： 3、双曲线： （1）轨迹定义： （θ为参数）； ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 。则椭圆的 3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段也可认为是椭圆在e=1时的特例。 4、利用焦半径公式计算焦点弦长：若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点的坐标分别为，则弦长，此时 这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。 5、若过椭圆左（或右）焦点的焦点弦为AB，则 ； 6、结合下图熟记双曲线的：“四点八线，一个三角形”，即：四点：顶点和焦点；八线：实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线PQ。三角形：焦点三角形。 7、双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 8、双曲线的焦点到渐近线的距离为b。 9、共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三常数a、b、c中a、b不同（互换）c相同,它们共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。 10、过双曲线点的情况如下： 外一点P（x,y）的直线与双曲线只有一个公共（1）P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； （2）P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； （3）P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； （4）P为原点时不存在这样的直线； 11、结合图形熟记抛物线：“两点两线，一个直角梯形”，即：两点：顶点和焦点；两线：准线、焦点弦；梯形：直角梯形ABCD。 12、对于抛物线上 13、抛物线则有如下结论： 的点的坐标可设为的焦点弦（过焦点的弦）为AB，且，以简化计算； ，14、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线； 15、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：即设 为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系： 16、当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，即把直线方程代入曲线方程，消元后，用韦达定理求相关参数（即设而不求）；二是点差法，即设出交点坐标，然后把交点坐标代入曲线方程，两式相减后，再求相关参数。在利用点差法时，必须检验条件△＞0是否成立。 5、圆锥曲线： （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：为定点，d为点P到定直线的l 距离，e为常数，如图。，其中F （2）当0＜e＜1时，点P的轨迹是椭圆；当e＞1时，点P的轨迹是双曲线；当e=1时，点P的轨迹是抛物线。 （3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质，不因为位置的改变而改变。 ①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 ⅰ椭圆及双曲线：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称； ⅱ椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称，关于中心为中心对称； ⅲ抛物线的对称轴是坐标轴，对称中心是原点。 ②定量： （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变） 以焦点在x轴上的方程为例： 6、曲线与方程： （1）轨迹法求曲线方程的程序： ①建立适当的坐标系； ②设曲线上任一点（动点）M的坐标为(x,y)； ③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0； ④化简方程f(x,y)=0为最简形式； ⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上； （2）曲线的交点： 由方程组确定，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点。第四篇：圆锥曲线教案
第五篇：高中数学圆锥曲线知识点总结
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