杭州学思教育小升初数学圆的证明歌5篇

第一篇：杭州学思教育小升初数学圆的证明歌

圆的证明歌：

圆的证明不算难，常把半径直径连;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边;还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。

同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中若有弦切角，夹弧找到就好办;圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆;直角相对或共弦，试试加个辅助圆;

若是证题打转转，四点共圆可解难;要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线;四边形有内切圆，对边和等是条件;如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。圆中比例线段：遇等积，改等比，横找竖找定相似;不相似，别生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联系。

第二篇：杭州学思教育小升初数学复习要点一

杭州小升初数学复习要点：数和数的运算

数和数的运算

(1)数的意义；(2)数的读法和写法；(3)数的改写；(4)数的大小比较；(5)数的整除；(6)分数、小数的基本性质；(7)四则运算意义、法则、运算定律与简便算法、四则混合运算。

(1)数的意义包含的知识点

①自然数、整数；②分数；③百分数；④小数；⑤循环小数。

要求：理解并掌握这些概念，掌握自然数、分数、百分数、小数的计数单位，准确说出每个数包含的计数单位的个数，会进行数的分解与组成。认识这些数之间的关系。

(2)数的读法和写法

①整数读写法；②小数读写法；③分数读写法。

复习的重点是：整数的多位数读写。其中中间、末尾有零的数的读写是难点。要求：①正确读写整数、小数、分数。

②由于较大数目的读写比较抽象、枯燥，复习时要借助“分级线“加强指导，另外要创设现实的问题情境，增强趣味性。如：提供现实生活的报道数据，感受多位数与现实的联系，调动学习学习的热情，体验大数目的实际意义，增强学习和应用意识。

(3)数的改写

①把一个较大的多位数改写成以“万”或“亿”作单位的数。

②、求小数的近似数

③省略“万”或“亿”后面的尾数。

④假分数与整数、带分数的互相改写。

⑤分数、小数、百分数的互化(不包括循环小数化为分数)。

复习的难点是：“改写”与“省略”之间的区别

要求：①复习时侧重对比训练。如：把20098000改写成以万为单位的数是()，省略万后面的尾数是()。在对比训练中体验它们的联系与区别。②改写、互化时注意互化方法灵活性的训练

(4)数的大小比较

①整数大小比较；②小数大小比较；③分数大小比较；④百分大小比较；⑤整数、小数、百分数之间的比较。

复习难点：分数大小的比较。

要求：①掌握比较方法，会比较数的大小；

②给学生一定的时间与空间，让他们自己去探索每一类数的比较方法之间的联系、区别，培养学生自主学习的能力。

③拓展学生思维，培养个性化学习。通过复习，学生应该达到运用抽象的数进行比较的水平，但由于学生学习能力、水平不同，在比较数的大小中允许学生采取不同的比较方法。

④注重比较形式的多样化，让学生进一步认识数值的实际意义。如：在0.4与0.5之间插入一个两位小数；写出一个比1/4小的分数------

⑤整数、小数、分数、百分数之间的比较是一个难点，复习时教师应根据学生的特点，教师自身的特点采取适应的方法进行指导或学生之间相互交流自己的科学的比较方法。

(5)数的整除

①、整除、约数、倍数、质数、合数、质因数、分解质因数、互质数、最大公约数、最小公倍数。②、能被2、5、3整除的数的特征。

③、分解质因数。

④、求最大公约数和最小公倍数的方法。

数的整除这部分内容概念非常多，又很抽象，应该着重弄清它们之间的联系与区别。

要求：①以理解概念，正确应用概念为主要目的。

由于这部分概念抽象，学生复习时会有一定难度，为了降低学生的难度，不要求学生死记硬背概念，能在具体的问题情境中做出准确判断即可。如：10÷2=5——(整除)7÷2=3.5——(除尽)②掌握20以内的整数的特点(质数、合数、奇数、偶数、最大的、最小的)。

③加强概念辨析，深入理解掌握概念。

在概念辨析中应加强学生的自主活动，让他们在探索中理解每个概念的真正含义。

④注重问题的开放性，建立知识之间的联系，达到“举一反三”的目的。体现不同的学生学习的不同特点。如：针对7、14、21、25、49这些数，围绕数的整除知识你能提出什么样的数学问题？36□如果在方框内填一个数字，关于数的整除知识你可能提出什么样的问题？

⑤关于最大公约数、最小公倍的问题，要加强实际应用训练(参照单元调研题)。

(6)分数、小数的基本性质

分数小数的基本性质是分数、小数计算的基础。通过复习使学生巩固分数、小数的基本性质，并且建立起它们之间的联系。关于这部分内容教材中涉及的比较少。

复习时侧重的知识点：

①小数点位置的移动引起小数大小的变化；②约分、通分。

小数点位置移动是一个难点，复习时可根据本班学生实际情况有针对性地进行指导。

(7)四则运算意义、法则、运算定律与简便算法、四则混合运算

这三小节是把整数、小数、分数、四则运算放在一起进行整理和复习。分数、小数的四则运算是在整数四则运算的基础上扩展来的。它们既有联系又有区别。为了让学生更好地掌握这些运算的意义，教材中整理成表格，使学生很清楚地看出它们的联系与区别。

教学建议：①复习时这张表格应让学生完成，教师可给学生提供表格、思考的问题，让学生去解决问题，在解决问题中通过合作的方式，完成这张表格，让学业生经历这个过程，对于他们认识、了解四则运算的意义及联系是非常重要的，同时可培养他的分析、概括、总结能力，培养他们合作学习的意识。

②四则运算的法则的复习方法同四则运算的意义的复习方法是相同的，可以让学生通过计算回忆法则，体会整数、小数、分数加减法的相同点和不同点，乘除法的相同点与不同点。不需要用语言准

确概括出来。混合运算不超过三步，参加运算的数不宜过大，按照《课标》要求降低计算的难度，但要加强计算的准确度，计算方法的灵活度的训练。复习四则混合运算的重点：一是运算顺序、计算方法；二是学习习惯的养成，复习时严格要求学生作到下面四点：一看有无抄错数；二看顺序是否正确；三看计算结果是否合理；四看算法是否最优化

③关于加减法、乘除法各部分之间的关系的等量关系式，要求学生熟练掌握，它是解方程的基础。④运算定律与简便算法(除教材列表格中列出的运算定律外还应包括减法性质、商不变的规律)，复习时要要把这些定律应用到整数、小数、分数的运算中。除了应用定律进行比较典型的简算外，还应进行一些简算的基本技巧性的训练。参照教科书P90-7。

教学建议：六年级学生的思维正逐步向抽象思维过度，但他们仍需要借助形象去感受。所以复习时注意把这些数的概念放到现实有趣的具体情境中，在学生熟悉的生活中让他们去解决问题、参与活动，唤起学生对这些数的概念的回忆，使学生进一步感受数的意义，建立起数与数之间的联系。复习时要避免单纯就知识讲知识，更不要让学生死记硬背概念。要通过实践活动让学生感受、探索、理解、建立知识间的联系。如复习小数、分数、百分数之间的关系，我们可以给学生一个研究探索时间空间，让他们去发现其中的规律。

第三篇：圆的证明歌

圆的证明歌：

圆的证明不算难，常把半径直径连;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边;还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中若有弦切角，夹弧找到就好办;圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆;直角相对或共弦，试试加个辅助圆;若是证题打转转，四点共圆可解难;要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线;四边形有内切圆，对边和等是条件;如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法

第四篇：杭州学思教育教你怎样hold住小升初复习

杭州学思教育教你怎样hold住小升初的复习

正式步入12月份，小六的六年级上半学期已经接近尾声，对于家长们，对小升初也越发紧张焦虑起来，究竟孩子该上哪所中学，各门学科该如何复习备战，孩子在焦虑的时候家长能做些什么？不久前，浙江省教坛新秀省优秀教师、杭州市江城中学校长郑坚，杭州师范大学初等教育学院汪一敏教授，杭州市教科所信息与规划室金卫国主任等专家就学校管理、数学衔接、家庭教育三个角度，为孩子、家长剖析小升初过程中需要注意的问题，也一一对家长提出的困惑作了解答。郑坚：快乐成长，做更好的自己

初中三年是一个孩子人生观、价值观、世界观刚开始萌芽的时候，孩子的成长是非常辛苦的。一方面要承受身体的变化，同时要承受巨大的学业压力和升学压力。这时，家长该如何应对？郑坚认为，小升初过程中，学生会感受到各方面的压力，家长最先要做的就是和孩子进行主动沟通；其次，家长要多给孩子一些帮助，帮助他们客观分析现有基础，明确定位了解兴趣，学会交流寻求帮助，纵向发展并拒绝盲从。从学习方法上看，家长可以加强跟学校的沟通，对孩子多一些帮助，从而帮助他们形成良好的学习习惯。

“不要‘好高骛远’，也不要‘拔苗助长’，要寻找适合孩子的目标。”家长要努力打造富有文化气息的生活环境，从而让孩子用积极的眼光评价自身的点滴进步。

作为一所中学校长，郑坚推崇两个要点：一是让每个教师在以民主、平等、尊重、信任的基础上，建立良好的师生关系，从而帮助学生快乐成长；二是开发符合学生兴趣的课程，营造富有内涵的校园文化，为学生做更好的自己创造各种条件。

汪一敏：做好小学初中的数学衔接

经常有家长碰到这样的问题，就是小学数学好的孩子，到了初中不适应，成绩不大好，逐渐会跟不上。在汪一敏看来，这都是衔接出了问题。

从小学数学的特点来看，小学数学侧重的是数学的实用性。从初中数学的特点来看，相比小学数学，初中数学侧重的是逻辑抽象和逻辑推理。

小升初的学生在数学学习上会容易产生领悟和接受新事物不够快、凭老本吃饭等问题。另外，解题时书写不够规范也要引起重视。数学题的解答、推理的书写是一种能力，如果不会书写推理，到了初中阶段，孩子是非常吃亏的。

如何解决以上问题，汪一敏认为要先培养良好的计算能力，可多做一些四则混合运算题；在解题指导时，尽量往灵活性上靠；还要多测试孩子的书面表达能力，从而规范它的书写。金卫国：“小升初”不需“备战” 家长首先要HOLD住

现实中，很多家长都有这样一种攀比的心理，都希望孩子小学毕业时走向好的学校，而放弃自己所应该进入的学校。正是有了潜意识的比较，才会有“备战小升初”的想法。所以，这个家长和孩子都会非常辛苦。金卫国认为，“小升初”不是一场战役，进入民办学校也不是孩子发展的唯一。孩子的学习发展是多样化的，幸福人生的过程才是最重要的。

究竟如何正确对待小升初，金卫国则提出了三个观点：一是小升初是孩子学习与发展的一个阶段，它在特定阶段具有一定意义，但不能把这个作为人生的转折点；二是始终对孩子的学习和生活的过程和结果保持信心，不要唠叨，少抱怨，要成为孩子承受失败的“最后港湾”；三是在做选择的时候要

尊重孩子的意愿，切忌用自己的意愿替换孩子的意愿，更不要用“完美人生”的期望来“绑架”孩子的学习与发展。

家长互动提问

家长提问一：小学阶段孩子是老人家管得多，比较宠，有些生活习惯不大好，有点懒。怎么改变这个情况？

江城中学校长郑坚：要尽量有时间跟孩子做沟通，其实孩子很容易改变的；

抚宁巷小学校长柴莺：家长做智慧的“懒者”。家里有些事情，可以让孩子去做。家长可以懒一点，让孩子多做一点。把责任还到孩子身上。

杭州教科所信息与规划室主任金卫国：如果孩子已经懒了，就应该顺其自然。懒也是个很好的福气，是这种消极对待事物的方法，减轻压力的方法。当家长发现这种情况的时候，不要盯着“懒”，要盯着其他途径去。

家长提问二：孩子是有上进心的。但是学习上有惰性，自控能力不好，家长怎么帮他纠正？紫阳小学校长陆爱萍：小孩子有惰性，是很正常的。我是做法就是，率先垂范，让孩子感同身受。现在孩子的压力大的，家长要理解孩子，要身体力行的支持。

紫阳小学书记韩瑾：孩子的自控能力要慢慢培养。让孩子有缓冲的过程，让孩子感觉，我是在对自己负责任。

家长提问三：家长也想让孩子学得轻松点。但是对各个学校来说，升学压力还是大的。家长要选适合自己的学校，想了解江城中学的学生学习时间、作业量、课余安排如何？

江城中学校长郑坚：近几年升学率不是第一就是第二。规定每周周二下午，学生上选修课。下学期开始，准备推出教师自主研发的选修课。孩子的成长，第一位还是品德。其次是人格的健全。

家长提问四：现在的孩子，都喜欢玩游戏。禁止也禁止不了，怎么样找一个平衡点？

抚宁巷小学校长柴莺：：建议学习大禹治水，疏堵结合。在合适的时候，可以适当玩游戏。同时玩游戏小孩子有一个惰性，会放不下来，这时候家长要HOLD住，要坚持原则。

江城中学校长郑坚：有些人把“游戏成瘾，网络成瘾”当做一种病。我认为，游戏成瘾最好还是“防患于未然”。家长一定要在孩子玩游戏这块，预防为主。如果成瘾，要改是难了。这时候，要区别对待，建议分步走。要给他们一些动力，进行改变。父母亲要跟孩子成为朋友知己。好习惯的培养要1个月，一个不良习惯的改掉要半个月。

家长提问五：怎么样处理好这个小升初青春叛逆期的关系。

杭州教科所信息与规划室主任金卫国：家长要注意跟孩子之间的关系，要跟孩子平等的交流，有了这层关系，才能解决叛逆期的一些问题。否则，家长在后续做的很多工作，就会事倍功半。

家长不要用自己的意愿来替换孩子的意愿，要以征询的语气跟孩子做交流。“可不可以”、“好不好”啊等等最好别出现，不要用命令式的口吻，这是处于这个阶段的孩子最烦的事情。

其实，很多问题，不出在孩子身上，而是出在家长身上。很多家长不了解这阶段孩子的特征，用一些命令式的方式来对待，从而造成孩子的叛逆心理。家长和孩子保持畅通的交流，这点是非常重要的。

第五篇：中考数学与圆有关的证明问题

与圆有关的证明问题

一、选择题

1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）

A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形

2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（）

A．3对B．2对C．1对D．0对

（1）(2)(3)(4)

3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（）

A．①②③④B．①③②④

C．①④②③D．②③①④

4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，•2.3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；•③以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

5．在⊙O中，C是AB的中点，D是AC上的任意一点（与A、C不重合），则（）

A．AC+CB=AD+DBB．AC+CB

C．AC+CB>AD+DBD．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定

6．如图2，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于点C，则图中与∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．如图3，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．•下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正确的有（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

9．如图5，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，•垂足是P，DH⊥

；③AP=BH；④DH为圆的切线，其中ADBDBH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②

一定成立的是（）

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

(5)(6)(7)(8)10．如图6，在⊙O中，AB=2CD，那么（）

;B．;A．AB2CDAB2CD

;D．AD与2CD的大小关系可能不确定C．AB2CD

二、填空题

11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB为直径，MN•为弦，•试写出一个你认为正确的结论：_________．

12．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm，6cm，OO的长为3cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________．

13．如图7，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请你根据图中所给的条件（不再标字母或添辅助线），写出一个你认为正确的结论____________． 14．已知⊙O的直径为10，P为直线L上一点，OP=5，那么直线L与⊙O•的位置关系是_______． 15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是△ABC的外心，现以O为圆心，•分别以2，2．5，3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________．

16．以等腰△ABC的一腰AB为直径作圆，交底边BC于D，则∠BAD与∠CAD•的大小关系是∠BAD________∠CAD． 17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C为圆心，以

AB•的位置关系是____________．

18．如图8所示，A、B、C是⊙O上的三点，当BC平分∠ABO时得结论_________．

三、解答题19．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．

20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．

21．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．

22．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，ABAF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．

23．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．

（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．

24．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．

（1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．

25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？（2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？

答案：

一、选择题

1．D2．A3．B4．D5．C6．D7．B8．B9．D10．A

二、填空题

11．BM=BN等12．内含13．∠ADO=∠BDC等14．相交或相切15．在圆外、•在圆上、在圆内16．=17．相交18．OC∥AB等

三、解答题

19．证明：过点O作OE∥AB于E，则AE=BE．在△OCD中，OE⊥CD，OC=OD，∴CE=•DE．•∴AC=BD．

20．证明：∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠DEC=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=CD．∴△DEC为等腰三角形．

21．证明：连结BC，由AB是直径可知，ACB90∠ABC=60°．

A30

CD是切线∠BCD=∠A=30°∠D=30°=∠AAC=CD． 22．证明：连结AB，AC，BC是直径BAC90ABCACB90



ADBCADB90ABCBAD90

ACBBAD

∠BAD=∠ABFAE=BE． ABAFACBABF

23．证明：（1）连结OD，AO是直径（2）连结O1D，ADO90

AD=DC．

AOCO

O1DO1AAADO1



OAOCACCADO1





DECECCDE90

ADO1CDE90O1DE90

DE是切线．

D在O1上

24．解：（1）连结BC，AB是直径ACB90

∠B=62°．

A28

MN是切线∠ACM=∠B=62°．

（2）过点B作BD⊥MN，则

BDC190ACB



△ACB∽△CNB

MN是切线BCNA

ACAB

AB·CD1=AC·BC． CD1BC



过点A作AD2⊥MN，则

AD1C90ACB



△ABC∽△ACD2

MN是切线MCACBA

ACCD2

CD2·AB=AC·CB ABCB



25．解：（1）过点C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式得AB·CH=AC·BC，ACBC6060

=，即圆心到直线的距离d=． AB131360

∵d=>3，∴⊙O与AB相离．

∴CH=

（2）过点O作OE⊥AB于E，则OE=3．

∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，OEAB31313

 =

BC124

137

∴OC=AC-OA=5-=． 447

∴当OC=时，⊙O与AB相切．

∵OA=