2 用解析法求解初等平面几何问题（五篇范文）

第一篇：2 用解析法求解初等平面几何问题

用解析法求解初等平面几何问题

在初等几何的教学中, 常常遇到不同类型的证明题, 一般情况下, 用初等几何有关定义、定理处理比较方便, 但有些题目却要添加辅助线, 发掘隐含条件等高技巧的特殊处理措施, 初学者解题时常遇到困难.如果采用解析法, 有些问题思路反而清晰简单, 具有独特的优点.以下将常见的不同类型证明题的思路加以罗列, 于读者共同研究分析.平面上建立直角坐标系后, 点与有序实数对(a,b)建立了一一对应关系, 直线和圆分别对应与某确定的二元方程.这样, 就可以将几何问题转化为代数问题.将代数问题解决而得到几何问题的证明, 这就是解析法的证明方法.平面解析几何是借助平面坐标系, 利用代数方法来研究平面图形性质的一门学科.通过建立平面坐标系,平面内的点均可用坐标表示出来, 从而平面图形的性质可以表示为图形上点的坐标之间的关系, 特别是代数关系, 以此实现几何问题与代数问题的相互转化.下面通过两个例题来分析解析法的基本思想方法和解题过程.例8 证明：三角形的三条高交于一点[3].已知AD, EF, CF分别是ABC的三边上的高, 求证：AD, BE, CF相交于一点.证明 如图4所示, 以BC边为x轴, BC边

上的高AD为y轴建立直角坐标系.不防设A,B, C三点的坐标分别为A(0a,), B(b,0), C(c,0).根

据斜率公式得, KABba, KCA, KBC0,ac

又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程, 容易求出三条高所在的直线方程分别为

AD:x0, BE:cxaybc0, CF:bxaybc0.这三个方程显然有公共解, x0, y

交与一点.bc, 从而证明了三角形的三条高相a

例9 一个面积为32cm2的平面凸四边形中, 两条对边与一条对角线的长度之和为16cm试确定另一个对角线的所有可能的长度[3].解 如图5, 建立直角坐标系, 并设平面凸四边形的4个顶点的坐标分别为 A(a,0), B(b,b), C(c,0), D(0,d).根据已知条件有

11SABCDca）d(ca)b32, 2

2|AB|

|CD||AC|

(ac)16.即有

（(db)64(1)ca）2222(2)(ab)bcd16(ac)

2(3)根据图5可知

bd由(1),(2),(3)得(ac)[16(ac)]64,即[(ca)8]0, 所以ca8.且上述不等式只能取等号, 于是得

bd8, c0, ab0.由此可知, a8,b8.所以, 另一条对角线BD的长度为2Y X

图5 |BD

|

cm).从上述两题的解题过程不难看出, 其解

法的关键在于通过建立坐标系, 把原来的几何问题转化成了代数(计算)问题.也就是借助于坐标系, 在点曲线与数组(方程)之间建立起对应关系,以次来实现几

何问题代数化.解析法证明初等几何问题一般步骤[4]：

(1)恰当地选择坐标系, 使题中某些点的坐标、直线和圆的方程呈较简单的形式.(2)根据题目要求, 求出有关点的坐标、直线或圆的方程.(3)从已知条件出发, 以求证的结论为目标, 通过运算、推理出要证的结果.在运用解析法证明初等几何问题时, 必须熟练掌握并善于使用在直角坐标下的有关公式, 定理和方程.如两点间的距离公式、定比分点公式, 直线的斜率公式, 两直线夹角公式, 两直线平行、垂直的充要条件, 直线和圆的各种类型的方程, 圆的切线方程等.以下分类型加以阐述：

2.1 等线段与等角的问题

证明线段的相等或不等, 线段的和差倍分及定值问题, 常用的方法是选定坐标后,再利用两点距离公式, 点到直线的距离等知识来进行运算.例10 如图6, 以RtABC的一条直角边

作直径作圆O, 此圆与斜边AC交于D,过D引圆O的切线交BC于E.求证：BE=CE[4].分析 以B为坐标原点, BA所在直线为

图6 X轴, 建立直角坐标系, 设A（2a,0）, B(0,0),C(0,b), E(0,y0), 则圆O和直线AC的方程可

求, 由AC交圆O可求得出D点的坐标, 再由BE=ED, 可求得E为BC的中点.利用直线斜率公式, 两直线平行、垂直条件及两直线夹角公式, 可证明一些与角的度量有关的题目.处理的方法一般较简单, 只需在选定坐标系以后, 求出有关点的坐标或方程, 进行一些斜率和角度的计算即可

.例11 如图7, 在ABC中, AD⊥BD于D, 且CD=AB+BD, 求证∠ABC=2∠ACB[4].简证 以BC, DA所在直线为坐标, 建立直角坐标系, 设A(0,a), B(-b,0), D(0,0), 则AB=a2b2由CD=AB+BD得出C点坐标(ba2b2,0)

故tan∠ABC=kABa b2a

aba2b2tan2∠ACB==, ab1()ba2b

2又∠ABC及∠ACB均为锐角,所以∠ABC=2∠ACB.2.2 三点共线与三线共点和共点圆的问题

证三点共线, 常用的方法有：(ⅰ)先建立过两点的直线方程, 再验证第三点也适合这个方程;(ⅱ)若能证得kABkBC, 则A, B, C三点共线;(ⅲ)点Ai(Xi,Yi)(i=1, 2, 3)共线的充要条件为

x

1x2

x3y1y20.y3证明三线共点, 常用的方法有：ⅰ)利用定比分点公式, 分别求出三条线上某分点坐标, 若求得相同, 因直角坐标平面上的点和坐标一一对应, 故三线共点;ⅱ)三条互不平行直线li:AixBiyCi0(i1, 2, 3)若

A1

A2

A3B1B2B3C1C2=0, C

3则l1, l2, l3相交于一点.解析法证诸点共圆, 可先求出有关各点坐标, 再利用两点间距离公式证这点

到某一定点的距离相等;也可先建立过三点的圆的方程, 再证其余点适合圆的方程.例12 如图8, 正方形ABCD的边长等于a, 在边BC上取线段BE=a3在边DC的延长线上取CF等于a2, 试证：直线AE和BF的交点M与A、B、C、D共圆.分析 以AD, AB为坐标轴, 引进直角坐标系,因A、B、C、D各点坐标为已知, 故可求出E, F两X

点的坐标然后求出直线AE, BF的方程, 它们的交点M坐标由此可求出, 最后把点M的坐标代入正方形ABCD的外接圆方程, 即可得证.从以上的例子可看出, 解析法证明的优点在于解决几何问题时有一个比较固定的思考步骤, 思路较明显.由一系列的运算与推理即可得到证明的结果.所以, 有些类型的初等几何问题, 用解析法证明较为简便.

第二篇：解析法证明平面几何经典问题--举例

五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？

例

1、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引两条直线分别交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）

B N

（例1图）（例2图）

例

2、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

【部分题目解答】

例

1、(难度相当于高考压轴题)

如图，以MN为x轴，A为原点，AO为Y轴建立坐标系，设圆的方程为：x2(y-a)2r2,设直线AB的方程为：ymx,直线AD的方程为：ynx,点B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；则B、C222x(y-a)r,消去y得：（1m2)x2-2amxa2-r2{ymx2ama2-r

2由韦达定理知：x1x22;x1x22,m1m12ana2-r2

同理得：x3x42;x3x42, n1n1直线CD方程为：y-y2y2-y3(x-x2), x2-x

3x3y2-x2y3, y2-y3由此得Q点横坐标：xQ

同理得P点横坐标：xPx1y4-x4y1 ,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要证明APAQ，只需证明：xQ-xP3223-1441, y2-y3y4-y1

即证明：（x3y2-x2y3）（y4-y1）（-x1y4-x4y1）（y2-y3）

将上式整理得：y3y4(x1x2)y1y2(x3x4)x1y2y4x2y1y3x3y2y4x4y1y3

注意到：y1mx1,y2mx2;y3nx3,y4nx4，代入整理得：

左边m2x1x2(x3x4)n2x3x4(x1x2),右边mn[x1x2(x3x4)x3x4(x1x2)] 把上述韦达定理的结论代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(mn)2a-r左边m22n22 22m1n1n1m1(m1)(n1)2

a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(mn)右边mn(2)m1n21n21m21(m21)(n21)

可见：左边=右边，故xQ-xP，即APAQ.证毕！

【此题充分体现：化归思想、设而不求思想方法、数形结合方法、以及分析计算的能力】 标系.例

2、分析：如右图，建立坐

总体思路：设点A、B、C、D坐标后，求出直线AD、从而求出两个角度的正切值，证明这两个角度问题的关键是：如何设点C、D而C、D两点是相互独立运动的，故把点C、D设AD=BC= r，则C点可以看作是以B为圆心，r上的动点，类似看待D点，故，设

C(arcosθ,rsinθ)、D(-arcos,rsin), 从而得N(cosθcossinθsin,)22

易得：kBCtan,kADtan【此处充分展现了圆的,参数方程的美妙之处】kMN

sinθsintan;cosθcos2

第三篇：2.3 用公式法求解一元二次方程教学设计

第二章

一元二次方程

３．用公式法求解一元二次方程

（一）一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此，本节课的教学目标是：

①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析

本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

第一环节；回忆巩固

活动内容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2

x273x022

x2 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

77493x()2024162

即:

725(x)20416725(x)2416

两边开平方取“±” 得：

x7544 7544

x1 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=2

第二题： 3x2+2x+1=0 解：两边都除以一次项系数:3

x221x033

x2 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

2113x()203392

即:

125(x)20318

125(x)2318

∵

25018

∴原方程无解

活动目的：

（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。

（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习.活动的实际效果：

通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

第二环节 探究新知

（1）活动1：自主推导求根公式。

提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.解：两边都除以一次项系数:a x2bxcaa0

问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0 3 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

bbbc2x2ax(2a)24a2a0即:

b2b24ac(x)0a4a2b2b24ac(x)a4a2 问：现在可以两边开平方吗？

答：不可以，因为不能保证 b4ac0

24a2 问：什么情况下 b4ac0

24a2 学生讨论后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b4ac0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得： xbb4ac

2a4a2bb24ac

xa2a xbb4ac

2a2abb24ac x2a问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？ 答：方程无解

如果b2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。

活动的实际效果：

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：

4（1）

中b2c运算的符号出现错误和通分出现错误 bb2b2cxx()204a2aa2a4aa2（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方（3）两边开平方，忽略取“±”。

大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。（2）活动2：归纳总结公式法定义和根的判别式。第三环节：巩固新知 活动内容：

１、判断下列方程是否有解：（学生口答）

(1)2x2+3=7x

（2）x2-7x=18

（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0 学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。

问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，哪种方法更简捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 学生口述，教师板书第（1）题，第（4）题

例：解方程 2x2+3=7x 先将方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 确定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判断方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×

3=25>0 ∴

bb4acx2a725752242

写出方程的根 即x1=3,x2=-1

2问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？

例：解方程 9x2+6x+1=0 确定a,b,c的值 解：a=9, b=6, c=1 判断方程是否有根 ∵b2-4ac=62-4×9×1=0 5

bb24acx2a60 ∴ 29601813（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）

３、课本随堂练习1、2.活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。

活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。第四环节：收获与感悟

活动内容： 提出问题：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、如何判断一元二次方程根的情况？

3、用公式法解方程应注意的问题是什么？

4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。

活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。

第五环节：布置作业

用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）

1、课本47页1,2题。

2、程解应用题

（1）已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?（2）一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽

四、教学反思

1、要创造性的使用教材

教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。

2、要为学生的终身学习奠基

这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.7

第四篇：2.3 用公式法求解一元二次方程教学设计

第二章

一元二次方程

３．用公式法求解一元二次方程

丹东市凤城市四门子九年一贯制学校

徐晓丹

一.教材

本节是北师大版九年级上册第二章一元二次方程中第3节《用公式法求解一元二次方程》。本章是一元一次方程和二元一次方程的深入和发展，也是以后学习方程及函数等数学知识的基础。“一元二次方程的解法”是初中数学“方程”中的一个重要内容，特别是对于系数不特殊的一元二次方程，学习用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的重要内容。通过本节课的学习，使学生明确公式法是解一元二次方程的通法，应该根据题目选择合适的方法解决问题。

二.学情分析

本节课的学习至关重要，为了完成教学计划，让学生更好的掌握握知识，应了解学生和学生对知识掌握情况。这要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发，他们有强烈的好奇心和求知欲，而方程对学生来说是比较难的，配方法又是刚刚学完，并不熟练，应着手让学生练习配方法并掌握公式法解一元二次方程相关知识。

三.教学目标

为了更好的完成教学计划，我制定以下教学目标

1.知识与技能：理解一元二次方程求根公式的推导过程，熟练用

公式法解一元二次方程。

2.过程与方法：通过求根公式的推导进一步使学生熟练掌握配方法。培养学生数学推导的严密性和逻辑性。

3.情感态度与价值观：培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。培养学生快速准确的计算能力。

四.重难点

基于配方法的不熟练，本节课应该以配方法为基础，熟练运用公式法及判别式相关知识，重难点为：

重点：掌握用公式法解一元二次方程一般步骤，正确、熟练用公式法解一元二次方程。

难点：理解求根公式的推导和判别式与根的情况的关系。

五.教法、学法

确定了重难点，本节课借助多媒体辅助教学，采用引导发现式自主探究和交流讨论相结合的方法，发挥教师的主导作用，体现学生主体地位。利用学生已有的知识，启发诱导学生深入思考问题，多交流，主动参与到活动中。

学生对配方法还不是很熟练，让学生用配方法解练习题，回顾配方法再解一般形式。学生用分析讨论和分类归纳的方法提出问题并尝试解决问题，使思维能力得到提升。

六.教学过程

本节课设计以下六个环节：

复习引入—讲授新课—例题讲解—巩固练习—课堂小结—布置

作业

第一环节：复习引入

活动内容：

①用配方法解下列方程：(1)2x237x(2)3x22x10 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题：2x237x

解：将方程化成一般形式: 2x27x30

两边都除以一次项系数:2

x2732x20

配方:加上再减去一次项系数一半的平方

x272x(74934)21620 即:(x7254)2160

(x7254)216

两边开平方取“±” 得：

x7544

x7454

写出方程的根 ∴ x1=3 , x2

第二题：3x22x10

解：两边都除以一次项系数:3

1=2

21x2x033

配方:加上再减去一次项系数一半的平方

2113x2x()20

3392即: 125(x)20

3181225(x)318 25018∵

∴原方程无解 活动目的：

（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。

（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习.第二环节：讲授新课

（1）活动1：自主推导求根公式。

提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.解：两边都除以一次项系数:a

bc2xx0

aa 问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

bb2b2cxx()20 a2a4aa2即:(xb)a2b24ac0 4a2b2b24ac(x)2a4a 问：现在可以两边开平方吗？

答：不可以，因为不能保证 b 问：什么情况下 b224ac 024a4ac 024a 学生讨论后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0

要使b24ac 024a只要 b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得：

2bb4ac

xa4a2bb24ac xa2abb24ac xa2abb24ac x2a问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？ 答：方程无解

如果b2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。（2）活动2：归纳总结公式法定义和根的判别式。第三环节：例题讲解 活动内容：

１、判断下列方程是否有解：（学生口答）

(1)2x2+3=7x（2）x2-7x=18（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0

学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，哪种方法更简捷？

２、上述方程如果有解，求出方程的解 学生口述，教师板书第（1）题，第（4）题 例：解方程 2x2+3=7x 解：先将方程化成一般形式 2x2-7x+3=0 确定a，b，c的值 a=2, b=-7, c=3 判断方程是否有根

∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0 ∴ xbb24ac2a

72522754写出方程的根，即

x1=3,x2=-1

2问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？例：解方程 9x2+6x+1=0 确定a，b，c的值 解：a=9, b=6, c=1 判断方程是否有根 ∵b2-4ac=62-4×9×1=0 7

bb24acx2a60 ∴29601813

（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）

３、课本随堂练习1、2.活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。第四环节：巩固练习

活动内容：x2x60，8y(2y5)25

活动目的：在这个环节我遵循巩固与发展相结合的原则，引导学生做练习题，在学生做练习时进行巡看，及时掌握学生做题情况，以便进行有针对的评价。让学生以小组为单位进行比赛，看哪组又快又准。在提高做题速度的同时，学生之间相互交流查缺补漏。

第五环节：课堂小结 活动内容： 提出问题：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、如何判断一元二次方程根的情况？

3、用公式法解方程应注意的问题是什么？

4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。第六环节：布置作业

用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）

1、课本47页1,2题。

2、程解应用题

（1）已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?（2）一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽

七、教学反思

1、要创造性的使用教材

教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。

2、要为学生的终身学习奠基

这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初

步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.10

第五篇：2.3+用公式法求解一元二次方程教学设计

第二章

一元二次方程

2．3用公式法求解一元二次方程

（一）一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.教学重点：一元二次方程求根公式的推导及应用 教学难点：一元二次方程求根公式的推导过程

二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此，本节课的教学目标是：

①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析

本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

第一环节；回忆巩固

活动内容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2

x273x022

x2 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

77493x()2024162

即:

725(x)20416725(x)2416

两边开平方取“±” 得：

x7544 7544

x1 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=2

第二题： 3x2+2x+1=0 解：两边都除以一次项系数:3

x221x033

x2 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

2113x()203392

即:

125(x)20318

125(x)2318

∵

25018

∴原方程无解

第二环节 探究新知

（1）活动1：自主推导求根公式。

提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.解：两边都除以一次项系数:a x2bxcaa0

问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

bbbc2x2ax(2a)24a2a0即:

b2b24ac(x)0a4a2b2b24ac(x)a4a2 问：现在可以两边开平方吗？

答：不可以，因为不能保证 b4ac0

24a2 问：什么情况下 b4ac0

24a2 学生讨论后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b4ac0 24a2 3 只要 b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得： xbb4ac

2a4a2bb24ac xa2a xbb4ac

2a2abb24ac x2a问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？ 答：方程无解

如果b2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。第三环节：巩固新知 活动内容：

１、判断下列方程是否有解：（学生口答）

(1)2x2+3=7x

（2）x2-7x=18

（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0 学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。

问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，哪种方法更简捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 学生口述，教师板书第（1）题，第（4）题

例：解方程 2x2+3=7x 先将方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 确定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判断方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×

3=25>0 ∴

bb4acx2a725752242

写出方程的根 即x1=3,x2=-1

2问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？

例：解方程 9x2+6x+1=0 确定a,b,c的值 解：a=9, b=6, c=1 判断方程是否有根 ∵b2-4ac=62-4×9×1=0

bb24acx2a60 ∴ 29601813（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）

３、课本随堂练习1、2.第四环节：收获与感悟

活动内容： 提出问题：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、如何判断一元二次方程根的情况？

3、用公式法解方程应注意的问题是什么？

4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。第五环节：布置作业

用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）

1、课本47页1,2题。

2、程解应用题

（1）已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?（2）一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽

四、教学反思

1、要创造性的使用教材

教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。

2、要为学生的终身学习奠基

这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.6