1平行线的证明

第一篇：1平行线的证明

平行线的证明

一．知识导学

本节是以一个公理作为基础，从而推出两个定理。

公理：同位角相等，两直线平行。

定理：同旁内角互补，两直线平行。

定理：内错角相等，两直线平行。

以上定理说明，在现阶段，我们证明两条直线平行的方法有三种。

二、例题：

例1．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。

（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，（2）∵∠1=∠2，∴AB//CD（两直线平行，内错角相等）

分析：根据“三线八角”的概念，对（1），（2）可从内错角的条件入手。

解：（1）因为没有直线CD//AB的条件，不能得出内错角∠1，∠2相等的结论。

（2）理由填错了，应改为：

∵∠１＝∠2，∴CD//AB（内错角相等，两直线平行）

例2．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？

分析：要判断EF与GH是否平行，只要能找到与EF，GH有关的一对角（同位，内错，同旁内角都可以）相等或互补即可。

解：∵∠1=∠2（已知）又∵∠CGE=∠2（对顶角相等）

∴∠1=∠CGE（等量代换）

又∵∠3=∠4（已知）

∴∠3+∠1=∠4+∠CGE（等量加等量，其和相等）

即∠MEF=∠EGH，∴EF//GH（同位角相等，两直线平行）。

说明：本题解答过程就是一种推理过程，每一步因果关系分明。由因导果的依据要在式子后面的括号内写明了。此题属于平行线判定类型。

例3．如图写出能使AB//CD成立的各种题设。

分析：应先找和AB，CD这二条直线有关的第三条截线所组成的“三线八角”来判定AB//CD。

解：使AB//CD成立的题设有：

（1）根据同位角相等，判定两直线平行有：∠EAB=∠EDC，∠FDC=∠FAB

（2）根据内错角相等，判定两直线平行有：∠3=∠4或∠7=∠8。

（3）根据同旁内角互补，判定两直线平行有：∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°。

例4．已知如图，AB//CD，∠1=∠3，求证：AC//BD。

分析：因为本题是判定两条直线平行的，应选用平行线的判定，应从给定的条件中去寻找角的关系，因为AB//CD，所以可知∠1=∠2，又因为∠1=∠3，可推出∠2=∠3，能判定AB与CD平行。

证明：∵AB//CD（已知）

∴∠1=∠2（两直线平行内错角相等）

又∵∠1=∠3（已知）

∴∠2=∠3（等量代换）

∴AC//BD（同位角相等，两直线平行）。

例5．已知如图∠1=∠2，BD平分∠ABC，求证：AB//CD

证明：∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠2=∠3（角平分线定义）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠3（等量代换）

∴AB//CD（内错角相等两直线平行）。

例6．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：a∥c

分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a//c。

法

（一）证明：

∵d是直线（已知）

∴∠1+∠4=180°（平角定义）

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠3=∠4（等角的补角相等）

∴a//c（同位角相等，两直线平行）

法

（二）证明：

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代换）

∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）

∴∠5+∠6=180°（等量代换）

∴a//c（同旁内角互补，两直线平行）

说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。

第二篇：平行线证明难题

第二章平行线的性质和判定拔高训练

1．(1)如图1所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D，C的位置．若∠EFB=65°，则AED等于__________．

(2)如图2所示，AD∥EF，EF∥BC，且EG∥AC．那么图中与∠1相等的角(不包括∠1)的个数是__________．

(3)如图3所示，AB∥CD，直线AB，CD与直线l相交于点E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，则GE与FH的位置关系为__________．

''

'

2．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是（）A．30°和150°

B．42°和138°

C．都等于10°

D．42°和138°或都等于10°

3．如图所示，点E在CA延长线上，DE、AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．则下列结论：①AB∥CD，②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度为定值．其中正确的结论有（）个数 A．1

B．2

C．3

D．4

4．如图所示，AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°，则∠GEF=__________．

5．已知：如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC． 6．如图所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．

7．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，求证：DA⊥EF

8．已知，如图所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论．

9．已知，如图所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．

10．如图所示，在△ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分线．求证：∠EDF=∠BDF．

11．如图，AB∥CD，∠ABF=∠DCE，求证∠BFE=∠FEC

第三篇：平行线证明练习

田野教育集团一对一辅导中心

证明题练习如图所示，若∠1=52°，问∠Ｃ为多少度时，能使直线AB∥CD？ 2 如图所示，∠1=45°，∠2=135°，l1∥l2吗？为什么？如图所示，∠1=120°，∠2=60°，问直线a与b有什么关系？

Ｅ

A

B

l1 2 l

3C

１题图

D

a３题图

４ 如图，已知直线AB、ＣＤ被直线EF所截且∠AGE=46°，∠EHD=134°，那么AB∥

CD吗？说明理由。如图，已知∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？如图所示，∠EFB=∠GHD=53°，∠IGA=127°，由这些条件你能找到几对平行线？说说你的理由。

E

4题图

F

F

I

B

D 6题图 F

E B

C

5题图

C D如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥CD，问CD∥AD吗？为什么？ 8 如图，∠1=∠2，能判断AB∥CD吗？为什么？

若不能判断AB∥DF，你认为还需要再添加一个条件是什么？写出这个条件，并说明你的理由？如图，AB∥CD，EF∥GH，CD与EF相交于点I，试探究∠1与∠2的关系，并说明理由。

F C E 7题图

C

D

D F

C

8题图 9题图

第四篇：平行线证明 2

第九讲平行线的证明

1、定义的概念：

对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义。例子：下列语句属于定义的是（）

A、明天是晴天

B、长方形的四个角都是直角

C、等角的补角相等

D、平行四边形是两组对边分别平行的四边形

2、命题：

判断一件事情的句子，叫做命题。

注意：（1）命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句，包括肯定句和否定句。

（2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。

（3）错误的判断性语句也是命题。

(4)一般命题都可以写成“如果....那么.....”的形式。

例子：下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？

（1）相等的角不是对顶角

（2）同位角相等，两直线平行

（3）过点O作直线AB的平行线

（4）若x2=y2，则x=y

（5）老师今天表扬你了吗？

3、正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。

4、公认的真命题称为真理。

5、演绎推理的过程称为证明。

6、经过证明的真命题称为定理。

7、平行线的判定

（1）同位角相等两直线平行。

（2）同旁内角互补两直线平行。

（3）内错角相等两直线平行。

8、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等

（2）两直线平行，内错角相等

（3）两直线平行，同旁内角互补

基础练习

一、选择题

1、下列图形中，由AB∥CD，能得到12的是（）

A B A BCD D C 2

2、如图，直线A． LB C．

D．

1∥L2 ,则∠α为（）.A.1500B.1400C.1300D.12003、下列命题：

1①不相交的两条直线平行； ②梯形的两底互相平行；

③同垂直于一条直线的两直线平行； ④同旁内角相等，两直线平行.（第2题图）其中真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、下列命题：

①两个连续整数的乘积是偶数；②带有负号的数是负数；

③乘积是1的两个数互为倒数；④绝对值相等的两个数互为相反数.其中假命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个 A

5、如图，AB∥CD，那么∠BAE+∠AEC+∠ECD =（）A.1800B.2700C.3600D.5400

6、下列说法中，正确的是（）

A．经过证明为正确的真命题叫公理B．假命题不是命题

E

C

D

C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可

D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可.7、下列选项中，真命题是（）.A．a＞b，a＞c，则b=cB．相等的角为对顶角

C．过直线l外一点，有且只有一条直线与直线l平行D．三角形中至少有一个钝角

8、下列命题中，是假命题的是（）

A．互补的两个角不能都是锐角B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．乘积为1的两个数互为倒数D．全等三角形的对应角相等，对应边相等.9、下列命题中，真命题是（）

A．任何数的绝对值都是正数B．任何数的零次幂都等于

1C．互为倒数的两个数的和为零 D．在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大

10、如图所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()

A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD

二、填空题

11、观察如图所示的三棱柱.用符号表示下列线段的位置关系：

ACCC1 ,BCB1C1 ；

C

B（第13题图）（第12题图）

（第11题图）

12、如图三角形ABC中，∠C = 900，AC=23,BC=32,把

AC、BC、AB的大小关系用“>”号连接：.13、如图，直线AB、CD相交于点E ,DF∥AB，若∠AEC=1000，则∠D的度数等于.D

（第14题图）

14、如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠

15、图中有对对顶角.三.解答题

16、如图，AB∥CD,AD∥BC,∠A﹦∠B.求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.D

C17、如图，AB∥CD,直线EF交AB、CD于点G、H.如果GM平分∠BGF,HN平分∠CHE，那么，GM与HN平行吗？为什么？

EA B

CH

F 0018、如图，AB∥CD，∠BAE=30,∠ECD=60,那么∠AEC度数为多少？

A

E

D C19、如图，B处在A处的南偏西450方向，C处在B处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD∥AB，D处应在C处的什么方向？（12分）

D20、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?•为什么?（13分）

de

abc

参 考 答 案

一、1.B2.D3.B4.B5.C6.C7.C8.B9.D10.D

二、11.（1）⊥

12.AB >BC >AC13.80014.115015.9

三、16.1350,450,1350,450

提示：可以用方程.设∠B=x0 ,根据AD∥BC，得x+3x=180（两直线平行，同旁内角互补）,解得x=45.以下略.17.GM∥HN.理由：因为GM平分∠BGF,HN平分∠CHE，所以∠MGF= ∠BGF，∠NHE=

∠CHE,又因为AB∥CD，所以∠BGF=∠CHE（两直线平行，内错角相等），所以∠MGF=2

∠NHE.所以GM∥HN（内错角相等，两直线平行）.18.如图，过E作EF∥AB，则∠1=∠A=300

（„„）；

因为AB∥CD，所以EF∥CD（如果两条直线 都与第三条直线平行，那么这

两条直线也互相平行）,C 所以∠2=∠C=600（„„）,那么∠AEC=∠1＋∠2=300＋600=900.19.（1）∠ABC=800－450=350.（2）要使CD∥AB，D处应在C处的南偏西450方向.20.解:平行.∵∠1=∠2, ∴a∥b,又∵∠3+∠4=180°, ∴b∥c, ∴a∥c.D

第五篇：平行线证明基础训练

例

1、已知，如图，EF//BC,AD,AOB70，1C150,求B的度数．

解：

EFBC,AD(已知)

ABCD（内错角相等，两直线平行）



COE1180（两直线平行，同旁内角互补）



AOBCOE70（对顶角相等）



118070110（等式的性质）



1C150（已知）



C150-11040（等式的性质）



CB（两直线平行，内错角相等）



B40（等量代换）

例

2、已知：如图，AC//BD,AD，求证：EF.证明：

ACBD(已知)



ABDBAC180，BOCACD180（两直线平行，同旁内角互补）1（两直线平行，内错角相等）2AO（已知）

ABDACD（等式的性质）



1AE180



2DF180（三角形内角和定理）

EF（等式的性质）

练习：

1、如右图,AB //CD ,AD // BE ,试说明∠ABE=∠D.∵ AB∥CD(已知)

∴ ∠ABE=___________(两直线平行,内错角相等)∵ AD∥BE(已知)

∴ ∠D=_________()∴∠ABE=∠D(等量代换)

2、已知：如图，AB∥CD，EF为直线，∠1=67°，∠2=23°，求证：EF⊥CD．证明：因为AB∥CD（），所以∠1=∠3=67°（）．又因为∠2=23°（），所以∠2+∠3=90°

故EF⊥CD（垂直的定义）．

3、已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2，求证：EF∥CD．证明：因为AB∥CD（），所以∠A=∠）．又因为∠1=∠A（），所以∠1=∠FCD（）．

故EF∥CD（）．

E

A

B

2C

3DF

.cn

E

O

F

D

.cn

A

例

1、如图，（1）根据同位角相等，两直线平行，若要EF∥AC，只要∠=∠，或者∠=∠；

（2）根据内错角相等，两直线平行，由∠4=∠，可得 EF∥；由∠4=∠，可得ED∥；

（3）根据同旁内角互补，两直线平行，由∠4+∠=1800，可得EF∥； 由∠4+∠=1800，可得ED∥；

 例

2、如图所示，由下列条件，，，可以判定那两条直线平行，BEDB180AAODACBF

并说明判定的依据。

解：（）AAOD

//（）（）ACBF

//（）（）ACBF

//（）



（）BEDB180

AD

//（）例

3、如图,已知:∠1=∠2,∠A=760,求∠ABC的度数.解:∵∠1=∠

2()

AD∥

BC()∠ABC=1800－∠A()∵∠A=76()

∠ABC=_______－______=_______度.例

3、如图,已知:AB∥CD.说明∠2=∠B－∠D的理由.解:过点E画EF∥CD.∵ AB∥

CD()

AB∥

EF()∠BEF=∠B,∠1=∠

D.()∠BEF－∠1=∠B－∠D.()即 ∠___=∠B－∠D.例

4、一个角的余角与这个角的补角的一半互为余角，求这个角。

0A)，外角为(180A)A，则它的余角为(9解：设这个角为

D

CA

A

B

C

D

E

F

1

由题意得：(解得 90A)(180A)90A60

例

5、已知如下图，若∠BED=∠B+∠D，则直线AB与CD平行吗？为什么？解：过点E作EF∥AB．

所以∠BEF=∠B（），又因为∠BED=∠B+∠D（），∠BED=∠BEF+∠DEF，所以∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（），所以∠D=∠DEF（）所以EF∥CD（）所以AB∥CD（）

例

6、如图所示，已知AB//CD，BAE40，ECD62，EF平分，求AECAEF的度数。

解：过E作EG//AB

D

AB//CD（已知）

EG//CD（）



（）AEGBAE40CEGECD60 AECAEGCEG406210

2（已知）AECEF平分

AEF

AEC51（角平分线定义）2

练习

1、如图所示，已知AB//CD， 12AB//CD（），1______（）（），122_____（）BD是的________.ABC2、如图所示，已知， AFCD（）AF

AC//DF（）

DC

AB

DEF

ABC

D______（）CD（）

1C（）

BD//CE（）

作业：1.如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠8=180°.其中能判断a∥b的是（）.（A）①③（B）②④（C）①③④（D）①②③④

2.如图，AB∥CD，P为AB、CD之间的一点，已知∠1=∠2=250，求∠BPC的度数？

析解：由于此图不是“三线八角”的基本图形，需要添加辅助线构造基本图形。

过点P作射线PN∥CD，因为AB∥CD（），所以PN∥AB（），所以∠1=∠3=250

（）。

由PN∥CD（已作），所以∠2=∠4=250

（）。所以∠BPC=∠3+∠4=500。

说明：通过作辅助线构造图形，使图形满足某些性质，从而达到解决问题的目的。3.如图，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F，∠l=∠2．试说明：∠AGD=∠ACB．

析解：要说明两个角相等，其方法很多，但由于∠AGD=∠ACB是同位角，这样问题转化为说明GD∥CB。

因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥。

所以∠3=∠2（），而∠l=∠2（已知），所以∠3=∠l（），所以GD∥CB（），所以∠AGD=∠ACB（）。4.如图,已知:DE∥AC,EF∥CD.说明∠1=∠2的理由.解: A DF

BC

A

5.如图,已知:AC∥DE,DC∥EF, ∠1=∠2.说明∠3=∠4的理由.解:

F

B

E

A

B

6.如图, 已知∠1=∠2, BE∥CF, 说明

BA∥CD的理由.EFC

D