古代的等差数列研究

第一篇：古代的等差数列研究

古代的等差数列研究

姚景峰

等差数列是一个古老的数学课题。在数学发展的早期已有许多人研究过这一课题。例如早在公元前1650年左右埃及数学的《莱因德纸草书》中，就记载着相关的问 题，其中一个问题大意是：

把100个面包分给5人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的七分之一是较 小的两份之和,则最小的一份为多少.如在巴比伦晚期的《泥板文书》中，也有按级递减分物的等差数列问题。其中有 一个问题大意是：

10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目。现知第8兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？

在我国公元5世纪写成的《张邱建算经》中，通过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤。

例1（卷上第二十三题）有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？

这是一个已知首项（a1）、末项（an），以及项数（n）求前n项和（Sn）的问题.对此，原书提出的解法是：Snn(a1an)2

这就是等差数列的前n项和公式.印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式，并给出了求末项公式：ana1(n1)d

例2（卷上第二十三题）有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织5尺，经一月共织39丈，问每日比前一日增织多少？

这是一个已知首项（a1），前n项和（Sn）以及项数（n），求公差（d）的问题。

2Sn2a1对此原书给出的解法是::d, n1

这个公式可变形为d(a1an)2a1ana1n1n1或者Snn[2a1(n1)d]n(n1)dna1.22

这样，实际上给出了等差数列前n项和的公式.我国自张邱建之后，对等差数列的计算日趋重视，特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究。

第二篇：等差数列专题

等差数列的运算和性质专题复习

【方法总结1】

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

【方法总结2】

1.一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．

2.将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn

题过程．

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇ndn为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 2n(a1an)结合在一起，采用整体思想，简化解

2【方法总结3】

1.公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．求等差数列前n项和的最值，2.常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 与其他知识点结合则以解答题为主.【规律总结】

一个推导：利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn

n(a1an)

.2

两个技巧：已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法：等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

热点一 等差数列基本量的计算

1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3,a72，则a9=（）

（A）6（B）4（C）2（D）2

2,【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7 _____.3．（2012年高考辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（）A．12

B．16

C．20

D．24

4．（2012年高考北京文）已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1,Sa3,则 22

a2________;Sn=________.5.（2012年高考重庆理）在等差数列{an}中,a21,a45,则{an}的前5项和S5=（）A．7B．15C．20D．25

6．（2012年高考福建理）等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为

A．1

B．2C．3

D．4

（）

27．（2012年高考广东理）已知递增的等差数列an满足a11,a3a24,则an______________.8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】

2等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3a2，且S1,S2,S4成等比数列，求{an}的通项公式.9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知等差数列an的公差d=1，前n项和为Sn(I)若1,a1,a3成等比数列，求a1；

10．（2012年高考（山东文））已知等差数列{an}的前5项和为105,且a202a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

(II)若S5a1a9，求a1的取值范围。

热点二 等差数列性质的综合应用

11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】在等差数列an中，若a1a2a3a430，则

a2a3．

12．（2012年高考辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（）

A．58

B．88

C．143

D．176

13．（2012年高考江西理）设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则a5b5__________ 14．（2012年高考四川文）设函数f(x)(x3)x1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)f(a2)f(a7)14,则a1a2a7（）

A．0 B．7 C．14 D．21

15.（2012年高考大纲理）已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列（）A．



1

的前100项和为

anan1

B．

101

C．

100

D．

16．（2012年高考山东理）在等差数列an中,a3a4a584,a973.(Ⅰ)求数列an的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列an中落入区间(9,9)内的项的个数记为bm,求数列bm 的前m项和Sm.m

2m

17.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列.（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.热点三 等差数列的定义与应用

18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：

p2:数列nan是递增数列； p1:数列an是递增数列；

a

p4:数列an3nd是递增数列； p3:数列n是递增数列；

n

其中的真命题为（）

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 19．（2012年高考四川理）设函数f(x)2xcosx,{an}是公差为

f(a1)f(a2)f(a5)5,则[f(a3)]a1a3（）

的等差数列, 8

A．0

B．

 16

C．

D．

132

 16

20．（2012年高考浙江理）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是（）．．A．若d<0,则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项,则d<0

C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0D．若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列

21.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________.

第三篇：古代送别诗的研究

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古代送别诗的研究

摘 要

中国古典诗歌中许多脍炙人口的名篇都与送别有关。除爱情这一永恒主题之 外，别离是历代诗人常唱不衰的又一主题。别离是令人感伤愁怨的，所以诗人创 作出了不少忍泪含悲的作品，但别离所包含的感情又是错综复杂的：有的充满了 亲情与友情，有的表达了乐观与进取，有的蕴涵了理想与抱负，几乎每一首送别 诗都是一个丰富多彩的情感世界。送别诗在艺术表现上也各具特色：有的工巧精 致，有的大气磅礴，有的辗转悱恻，有的浅显直白，有如百花齐放，美不胜收。好的送别诗往往以虚实相生的意境，在触景生情的基础上诱发和开拓审美想象的 空间，将历历在目的眼前景物与“见于言外”的虚化想象有机结合起来，达到“羚 羊挂角，无迹可求”的境地，浑然天成。同时，意象作为一种艺术符号也在送 别诗中占据着重要作用。无论是自然意象、地点意象还是悲凉意象，在送别诗中 都一脉相承，赋予了独特的艺术内涵。送别诗的创作原因作全篇的总结。

前 言

在中国的古典诗歌中，许多脍炙人口、流传千古的辞章都与送别有关。可以 说，除了爱情这个永恒的主题外，别离，则是历代诗人所常唱不衰的又一主题。正所谓“尊前拟把归期说，欲语春容先惨咽。人生自是有情痴，此恨不关风与月。”(欧阳修《玉楼春》)送别诗成为古代文人志士创作中借以释怀的重要组成部分。本文结合古典送别诗作，从思想内容、艺术境界、表现手法等方面对古代送别诗作以全面综合地分析。

一、送别诗的定义及发展。

在古代，由于交通工具和通讯技术都不发达，人们往往一别数年便再难相见，因此古人很重离别。离别之际，人们不仅备酒饯行，折柳相送，还要作诗话别，这也使得古诗中以离别为题材的送别诗颇多感人之作。在中国诗歌发展史上，送别诗很早就有了。《诗经》里的《邶风•燕燕》、《秦风•渭阳》 与《邶风•绿衣》当是现存最早的送别诗。此后作品越来越多。清人沈德潜编《唐诗别裁集》，收入的1900 余首唐诗中就有送别诗近300 首；而历代著名诗人如潘岳、鲍照、韦韦应物、孟郊、元稹、李商隐、梅尧臣、苏轼、黄庭坚，一直到明代的于谦和清代的吴嘉纪、厉鹗等，都有送别诗流传。

二、送别诗中创造的生动感人、丰富多彩的感情世界。

送别诗中的情感世界是真实的、生动的、感人的，更是丰富多彩的，正如“古伤逝惜别之词，一披咏之，愀然欲泪者，其情真也。”由于古代文人所处的环境与条件的恶劣，人们离别后的重逢成为十分不易的事情，有的甚至成为永别。于是，离别表现了生命的不自由，为了生命价值的实现，人们不得不承受空间阻隔的痛苦，承受走向未知的恐惧，承受与亲朋好友故乡告别的感情折磨。就这样，离别的情感在诗中或表现为亲友离别时的忧愁与哀伤，或借诗表达远大的政治理想与抱负，更有的在诗中体现出一种积极进取、乐观向上的精神状态。

（一）送别诗中满载亲情、友情，饱含惜别之意，哀伤之情

生活中，没有任何人会把与自己的至亲好友的分别当作一件快乐的事，当面对“执手相看泪眼，竟无语凝咽”的情景时，人们的心中是伤感的、苦涩的、是“天涯一望断人肠”的痛彻心扉，而这种人间的至情至爱在送别诗中表现得尤为真切，成为表达情感的主体。离别，在人们心中蒙上一层悲切忧伤，痛苦迷茫的沙雾，使人黯然神伤。被称为文学史上送别诗先河的《诗经•秦风》中“渭阳”一诗，就生动地描绘了战国时秦康公与晋公子重耳这一甥舅别离时恋恋不舍，亲情难分的情形。“我送舅氏，曰至渭阳。何以赠之，路车乘黄。我送舅氏，悠悠我思。何以赠之，琼瑰玉佩。”诗中没有“默默无语 两眼泪”般的悲凉苦楚，也没有极

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力刻画别离后的苦痛，而是洋溢着亲人间真挚的悠悠思恋，送别时深厚的情意，是一首内容自然、审美价值颇高的诗歌。李益的《喜见外弟又言别》也是一首脍炙人口的名篇，它抒写了与外弟久别重逢后旋又分手的复杂感情，颈联“别来沧海事，语罢暮天钟”中“沧海事”用典贴切，“暮天钟”不只表现时间已晚，也暗示了亲友相间，喜出望外而忘乎所以，尾联“明日巴陵道，秋山又几重”虽未言别字，但别字自现，蕴 含着伤别的情怀。还有诗人韦应物的《赋得暮雨送李曹》中有“海门深不见，浦树远含滋。相送情无限，沾襟比散丝。”诚挚真切、感人至深；司空曙《云阳馆与韩绅宿别》中的“孤 灯寒照雨，湿竹暗浮烟。更有明朝恨，离杯惜共传。”其中借孤灯、寒雨、湿竹、浮烟以造 凄凉色彩，离别时依依不舍的深情借酒杯频频递传。对此诗，沈德潜盛赞云：“三四写久别 忽遇之情，五六夜中共宿之景，通体一气，无饾饤习尔，时已为高格矣。”像这样满载真情 实感，饱含离愁别绪的佳作还有很多：有送别席宴上借酒消愁以抒别离时的痛苦心情：“高 楼送客不能醉，寂寞寒江明月心。”（王昌龄《芙蓉楼送辛渐》其二）；“劝君更进一杯酒，西 出阳关无故人。”（王维《送元二使安西》）；“荆南渭北难相间，莫惜衫襟着酒痕。”（岑参《奉 送贾侍御使江外》）;有借送别以抒身世之感，表达主观感受：“心事同漂泊，生涯共苦辛。”（王勃《别薛华》）；“逍遥公后世多贤，送尔维舟惜此筵。念我能书数字至，将诗不必万人 传！时危兵革黄尘里，日短江湖白发前。古往今来皆涕泪，断肠分手各风烟。”（杜甫《公安 送韦二少府匡赞》）；“伤禽我是笼中鹤，沉剑君为泉下龙。”（元稹《六平春遣怀》）；也有的 借送别诗表达强烈的不满情绪，展现主体意愿与现实的矛盾，表现为“欲留不能，欲舍不忍”，更显悲凉：“罢归无旧业，老去恋朋时。独立三边静，轻生一剑知。茫茫江汉上，日暮欲何 之？”（刘长卿《送李中丞归汉阳别业》）；“世情已逐浮云散，离恨空随江水长。（贾至《巴 陵夜别王八员外》）；“晓月过残垒，繁星宿故关。寒禽与衰草，处处伴愁颜。”（司空曙《贼平后送人北归》）；更有的诗中没有明显的送别字样，但却做到了“不着一字，尽得风流”，“超以象外，尽得环中”，惜别之意，内蕴深情溢于言表：“飞鸟何处没？青山空向人。长江 一帆远，落日五湖春。谁见汀洲上，相思愁白苹。”（刘长卿《饯别王十一南游》）；“故人行 役向边洲，匹马今朝不稍留。长路关山何日尽，满堂丝竹为君愁。”（张渭《送人使河源》）；“万里辞家事鼓鼙，金陵驿路楚云西。江春不肯留行客，草色青青送马蹄。”（刘长卿《送李 判官之润洲行营》）。诸如此类的还有曹植的《送应氏》，李白的《赠汪伦》，都是感情炽热，情绪积极，构思精巧，它们以其真切诚挚，感人至深，又丝毫不带雕琢之痕的艺术魅力在送 别诗中放出耀眼的光芒。

（二）送别诗中表达远大的政治理想与抱负 “黯然销魂者，为别而已矣！”南朝梁代著名文学家江淹认为离别最能令人心碎肠断，就连一贯豪放豁达的东坡居士也无限感慨地吟唱：“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古 难全。”都饱含着送别时不忍分离，两情相依的忧伤情绪，但也有许多人借送别亲友之际，吐露和抒写其“报国取龙庭”的理想，以及“所志在功名”的抱负，显示了其旷达的胸襟和 高尚的情操，为送别诗一贯塑造的情感氛围另辟蹊径。

高适的《送李侍御赴安西》就是这样的一首好诗：“行子对飞蓬，金鞭指铁骢。功名万里外，心事一杯中。虏障燕支北，秦城太白东。离魂莫惆怅，看取宝刀雄。”诗中不仅表现了作者对友人的惜别之情，而且用建功立业的壮志激励远赴安西的李侍御，表达了诗人希望友人有所作为的心愿。“离魂莫惆怅，看取宝刀雄”一句使全诗开朗昂扬，使一首送别诗成 为情绪高亢，斗志激扬的前进曲。陈子昂的《送魏大从军》也蕴含了这样的基调：“匈奴犹 未灭，魏绛复从戎。怅别三河道，言追六郡雄。雁山横代北，狐塞接云中。勿使燕然上，惟 留汉将归。”诗中借送别之时，用古人征战沙场的英雄事迹激励友人报效国家，立功塞外，全诗豪情激扬，全无“流泪眼观流泪眼，断肠人送断肠人”的凄恻哀伤，而是反映出陈子昂 放浪形骸、豪侠浪漫的性格，以及“感时思报国，拔剑起蒿莱”的远大政治抱负，收到了令 人鼓舞，使人奋发向前的艺术效果。岑参也有一首《送李副使赴碛西官军》：“火山六月应更 热，赤亭

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道口行人绝。知君惯度祁连城，岂能愁见轮台月。脱鞍暂入酒家垆，送君万里西击 胡。功名袛向马上取，真是英雄一丈夫。”其中描绘了前线的艰苦，战场的荒凉，使人联想 到李副使致命塞外，驰骋沙场，精忠报国的英雄气概，结尾“功名袛向马上取，真是英雄一 丈夫”是点睛之笔，语气高昂豪迈，宛如激动的赞叹之声：“只有那些舍生忘死，到边塞杀 敌立功的人，才是古今之真英雄大丈夫。全诗无“断肠分手各风烟”的依依惜别之离情，也 未吐露别后彼此遥相的思念，而是以明快流畅的笔调，豪迈奔放的艺术感召力，表达了诗人 对李副使的鼓励和期望，同时也寄予了自己的政治理想与远大抱负。在送别出征战士，振作士气的诗作中，岑参也有不俗的表现：有再现边塞的奇景和战况的危急，写出行军的劳苦和 将士的斗志，表现了强烈的爱国热情与必胜信念：“马毛带雪汗气蒸，五花连钱旋作冰，幕中草檄砚水凝。虏骑闻之应胆慑，料知短兵不敢接，军师西门伫献捷。（岑参《走马川行奉送封大夫出师西征》）;有借助想象与夸张，刻画唐军出征的雄壮气势，描绘戍边将士慷慨赴敌，精忠报国的英雄气概的：“亚相勤王甘苦辛，誓将报主静边尘。古来青史谁不见，今见功名胜古人。”（岑参《赴轮台歌奉送封大夫出师西征》）

此类的送别诗虽然不多，但却以其激越雄浑的笔调，慷慨豪壮的艺术风格，跳出以往 送别诗的俗套，表现出另具一格的艺术魅力。

（三）送别诗中体现一种积极进取，乐观向上的精神状态

人生短暂易逝，许多诗人常常能在慨叹生命有限而宇宙无穷中表达一种旷达乐观、积极进取的态度，这种平稳的心态，即使是面对人生最痛苦的离别时，也能表现为一种少有的 坦然与大度。那种豁达乐观的情绪常常在“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一栗”般的气魄中展现。王维的赠别名作《送杜少府之任蜀州》就与一般送别诗充满伤感情调迥然不同，给人 一种奋发有为的精神。“城阙辅三秦，风烟望五津”，诗的开始即以工整的对偶句写出了送别 的地点和友人要去的地方，暗示了朋友间恋恋不舍的深厚情恋。接着对友人进行劝慰：“与 君离别意，同是宦游人。”彼此处境相同，感情一致。使对方不致因和挚友分别而感到孤凄，宛若“两情若是长久时，又岂在朝朝暮暮”般的情韵。以下进一步宽慰友人:“海内存知己,天涯若比邻。”虽然天各一方，只要知心朋友存在，好象近在咫尺，保持着美好的友情。这 就使人的心胸为之开阔，一扫离情别绪。最后劝慰友人“无为在歧路，儿女共沾巾。”语壮 而情深，表现了诗人开朗的胸襟。全诗笔力矫健，格调高昂，气象壮阔。虽然是离别之时，但却没有伤情愁绪的情调，让人体味其高亢激昂的精神状态。

李白的《金陵酒肆留别》也写得轻松自如。诗中描写了江南酒店的热闹送行场面，散发着浓郁的乡土气息。“风吹柳花满店香，吴姬压酒劝客尝。金陵子弟来相送，欲行不行各尽觞。”开头即展现轻风吹拂，细柳花香满店的轻松场景，而后送别场面更是热闹欢快，吴姬压酒劝客，金陵子弟聚而相送，显得异常情畅。整首诗轻松明快，另人神思飞扬。高适的 《别董大》体现的则是另一种高昂情调：“千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷。莫愁前路无知己，天下谁人不识君。”诗中开头描写的是黄沙弥天，日光昏暗，北风狂啸，鸿雁纷飞的严冬景象，这就为送别定下了悲凉的基调，使分别者更添离愁别绪。但下句却斗然一转，如高压下的水流，冲开闸门，给人以激昂的斗志。“莫愁前路无知己，天下谁人不识君。”诗人以乐观、信心十足的口吻，鼓励董大勇敢地面对未来，迎接人生的挑战，创造属于自己的一 片天空，这就完全跳出送别诗中一贯的缠绵凄恻情调，唱出豪放的新声，给人耳目一新的感觉。李白的《渡荆门送别》在写与故乡惜别的情怀中，也脱出送别诗一贯情调低沉的窠臼，表现出喜悦和宽广胸襟。末联“仍怜故乡水，万里送行舟。”同江水产生的惜别之情，鲜明地反映了诗人“仗剑去国，辞亲远游”（《上安州裴长史书》）时乐观向上的精神。还有温庭 筠的《送人东游》，开头“荒戍落黄叶，浩然离故关。”其中“浩然”一词笔势一转，诗意陡 变，强调友人的胸怀豁达大度，尽扫衰残之风，毫无感伤情味。还有的送别诗则通过劝慰而 尽抛离别时的伤情，基调豁达而不过分，感情真挚而不哀伤。如送别时劝友人尽享所去之处 的山水之美，真正使

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大自然融会于心：“归山深浅去，须尽丘壑美。莫学武陵人，暂游桃源 里。”（裴迪《送崔九》）；有劝慰遭贬者不要因为离别而踟躇满志，只要彼此心灵相通，必有 相逢之日：“圣代即今多雨露，暂时分手莫踌躇。”（高适《送李白府贬峡中王少府贬长沙》； 也有送别时劝慰落第者切莫从此一蹶不振，才华与品德终究会有人赏识，鼓励之情溢于言表：“远树带行客，孤城当落晖。吾谋适不用，勿谓知音稀。”（王维《送綦毋潜落第还乡》）

这类送别诗不仅一扫一般送别之作中衰愁缠绵，凄婉低徊的情调，而且更为长亭柳色，南浦明月和渭城朝雨添上一笔坦荡的重彩。

三、送别诗阐述上的抒情性，表达上的叙事抒情相结合性分析。

诗最大的特点是抒情，通过抒情，诗中的韵味情趣得以展现，而送别诗以所以能在诗坛上“独领风骚”，也是因其有较新颖的表现手法，将送别时的叙事，抒情完美地结合在一 起，释放出巨大的情感容量，使人不得不为之陶醉。通常情况下，送别诗中常绘制虚实相生 的意境以及采用融入诗人主观情感的客观意象。

（一）虚实相生的意境

通常我们所说的“意境”是指：“抒情作品中呈现的那种情景交融，虚实相生，活跃着 生命律动的韵味无穷的诗意空间。”而送别诗中表现出来的意境常是情景交融基础上的虚实 相生。对于文学作品中的“虚实相生”理论，陈满铭在《国文教学论丛》中有这样一番界定：

所谓的“虚”，指的是“无”，是抽象；所谓的“实”，指的是“有”，是具体。通常一 个词章家在创作之际，在运材上，往往从两方面着手：一是就“有”，运用当时所见、所闻、所为的实际材料；一是就“无”，运用凭着个人内心的感觉或想象所捕捉或制造的抽象材料。同时他也进一步探讨了时间与空间的虚实：“虚实就时间来说，凡是叙事、写景或抒情，只限于过去或当前的，是“实”；透过想象，伸向未来的，则为“虚”，虚实就空间来说，凡穷尽目力，写眼前所见的，是实；而透过设想，写远处情况的，则是“虚”。而通常情况下，虚境是实境的升华，它体现着实境创造的意向和目的，体现着整个意境的艺术品位和审美效果，制约着实境的创造与描写。

因而，“虚实相生”这一意境特征用于送别诗中就是在作者融景生情的基础上诱发和开拓审美想象的空间，大抵上是想象分别后对方途中所经历的特定环境，或所体验的离别的孤独与惆怅。将如在目前的较实的因素与“见于言外”的较虚的部分有机地结合起来，达到“羚羊挂角，无迹可求”般浑然天成。

王昌龄的《送魏二》便是送别诗中虚实相生的典型：“醉别江楼橘油香，江风引雨入舟凉。忆君遥在潇湘目，愁听清猿梦里长。”其中下句“忆君遥在潇湘目，愁听清猿梦里长。”虚拟了分别后友人下船泊潇湘，一“愁”字表现送别诗在原有画面的基础上，幻想友人因独在异乡而在梦里也不得安逸，借以加强表现送别诗的向前推想，构成眼前情境在时间和空间上的延续，是作者珍重友谊情感的外向伸展。诸如此类的还有：在对友人所去之处美景的向往中蕴含着不能同行的遗憾，虚实相映，委婉地传出惜别的情怀：“望君烟水阔，挥手泪沾巾。飞鸟没何处？青山空向人。长江一帆远，落日五湖春。谁见汀洲上，想思愁白苹。”（刘 长卿《饯别王十一南游》）；“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。孤帆远影碧空尽，惟见长 江天际流。”（李白《送孟浩然之广陵》）；有幻想友人归途中孤独寂寞，加倍表现出朋友间的 依依不舍及深厚友情：“上国随缘住，来途若梦行。浮天沧海远，去世法舟轻。水月通禅寂，鱼龙听梵声。惟怜一灯影，万里眼中明。”（钱起《送僧归日本》）；“扬子江头杨柳春，扬花 愁杀渡江人。数声风笛离亭晚，君向潇湘我向秦。”（郑谷《淮上与友人别》）；“此地一为别，孤蓬万里征。浮云游子意，落日故人情。”（李白《送友人》）；也有与历史相结合，意境慷慨 悲凉，风骨凛然：“此地别燕丹，壮士发冲冠。昔时人已没，今日水犹寒。”（骆宾王《与易 水送人》）；还有描写友人所去之地的自然环境，以表崇敬留恋的心情：“苍苍竹林寺，杳杳 钟声晚。荷笠带斜阳，青山独归远。”（刘长卿《送灵澈》）

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（二）意象世界

在中国古典诗歌中，意象作为一种艺术符号，占据着举足轻重的作用，可以说诗歌离不开意象。但历代研究者对意象这一概念却无定论，有称指意中之象，即意念中的形象，这 就要求作家进行创作时，头脑中必须先有清晰的意象，然后根据这意中之象下笔写作；有称 指意和象，即主观和客观两个方面；有称指意象接近于境界，即人境以外的其他境界；还有 的认为意象接近于今天所说的艺术形象。综观古人之说，其论异彩纷呈，但有一点是共同的，那就是象，即物象是组成意象的基本要素。

袁行霈先生在《中国古典诗歌的意象》一文中指出：“物象是客观的，它不依赖人的存在而存在，也不因人的喜怒哀乐而发生变化。但是物象一旦进入诗人的构思，就带上了诗人 的主观色彩。这时它要受到两个方面的加工：一方面，经过诗人审美经验的淘洗和筛选，以 符合诗人的美学思想和美学趣味；另一方面，又经过诗人思想感情的化合和点染，渗入诗人 的人格和情趣。经过这两方面加工的物象进入诗中就是意象。诗人的审美经验和人格情趣，即意象中的那个意的内容。„„因此可以说，意象是融入了主观情意的客观物象，或者是借 助客观物象表现出来的主观情意。”送别诗中的意象就是这样融入诗人主观情感的客观物象，或者是借助客观物象表现出来的主观情感。其常见的意象有：长亭、短亭、南浦、芳草、杨 柳、明月、夕阳、美酒等，本文中笔者将选取几种代表意象，结合诗歌，分别从自然意象、地点意象、悲凉意象三方面加以分析。

1、自然意象

自然景物是人类社会的组成部分，文学作品常常要描写它，借以抒发作家的感情，意 趣和心态，加强和深化主题，更好地反映社会现实，表现人类生活。自然景物描写的成功，的确能使作品为之生色，从而增强艺术效果，感染读者，教育读者。正如杜甫所说：“落絮 游丝亦有情。”王士禛也说：“夕阳芳草寻常物，解用都为绝妙词。”而徐增说得更为直接：“花开草长，鸟语虫声，皆天地间真诗。”可见，自然景物在文学作品中是十分受青睐的。这在送别诗中表现得尤为突出。送别之时，作者常常借助自然景物意象将送者与行者的感情 推向高潮。此时常用的意象为柳、水、月。

柳，众所周知，取谐音“留”意，古人为表送别时依依不舍的情怀，往往把杨柳作为 自己抒发离情别绪的载体，给杨柳罩上一层惜别的情愫，使之成为融景生情的景，睹物伤怀 的物，并加以艺术显影，表达“悲莫悲兮生别离”的动人场面。

通常我们认为最早写到杨柳，并且对后世产生很大影响的诗作是《诗经》中《小雅•采 薇》篇，其中“昔我往矣，杨柳依依；令我来思，雨雪霏霏”四句，最为后人所称道，门前杨柳婀娜多姿，迎风摆拂，宛如依依不舍的样子，令人产生无限感慨。像这样在送别诗中借 柳抒情的例子可谓“汗牛充栋”，信手拈来，现以李白的《劳劳亭》共赏：“天下伤心处，劳劳送客亭。春风知别苦，不遣柳条青。”诗中作者移情于物，托物言情，联想和奇想结合为一，别具一格。他从送别时柳条未发青而生奇想，想到这是春风故意不吹杨柳，故意不让它 发青，而春风之所以不让柳条发青，是因为它深知离别之苦，不忍看到人间折柳相送的悲切 场面。诸如此类的诗作不胜枚举：“暂凭樽酒送无谬，莫损愁眉与细腰。人世死前惟有别，春风争拟惜长条。”（李商隐《离亭》）；“杨柳青青著地垂，扬花漫漫搅天飞。柳条折尽花飞 尽，借问行人归不归。”（隋代无名氏《送别》）；“渭城朝雨浥轻尘，客舍青青柳色青。”（王 维《渭城曲》）；“上马不促鞭，反折杨柳枝，碟座吹长笛，愁杀行客儿。”（南朝乐府民歌）等等。“一丝柳，一寸柔情”就这样在送别诗中释怀。此外，春草意象也是常出现的：如盛唐诗人王维有《送别》诗曰：“山中相送罢，日暮掩柴扉。春草绿不绿，王孙归不归？”；白居易的《赋得古原草送别》中有“远方侵古道，晴翠接荒城。又送王孙去，萋萋满别情。”；还有《楚辞•招隐》中“王孙游兮不归，春草生兮萋萋。”。其将春草与离思合二为一，叙述 伤别情绪则另有一番风味。

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流水意象在送别诗中也特别突出。海外学人指出：

“临水送别”这一主题最早可能是楚辞中的“登山临送将归”和“超北梁兮永辞，送美人兮南浦。”汉至六朝的别诗多以临水送别为旨，………（所以李白《送友人》中此类句子的写作）是要藉着这些声音的同时，呈现受诗者的意识里（受诗者是李白的友人，必然也是一个熟识这些诗的诗人），和他同时跃入古代这些空间，和其中各个独例的“别绪”里，来诉说他们之间仿佛总合前人的别情。

这样，流水意象有机地融入到送别主题，将“临水送别”中所含的特定寓意与伤感通 过淳厚的人伦情味、深刻的生命意蕴表达出来。河水涓涓不断流于远方，宛如离别的人分手 时恋恋不舍，彼此嘱托珍重，而双方终究相看日远，内心别易会难的苍凉情绪就这样表达：“相思无日夜，浩荡若流波。”（李白《杂诗》其五）；“寄情与流水，但有长相思。”（《泾川 送族弟》）；“请君试问东流水，别意与之谁短长。”（李白《金陵酒肆留别》）；“中流欲暮见湘烟，苇岸无穷接楚田，去雁远冲云梦雪，离人独上洞庭船，**尽日依山转，星汉通宵向水 连。”（李频《湖口送友人》）；“水国蒹葭夜有霜，月寒山色共苍苍。谁言千里有今夕，离梦 杳如关塞长。”（薛涛《送友人》）

月亮，在中国人心目中一直占有十分重要的地位，据笔者统计，《唐宋词鉴赏辞典》后 面附录的名句索引里共收录名句1921 句，其中与月有关的183 句，占9.6%左右，而《唐诗 鉴赏辞典》里的名句索引共收名句954 句，有97 句与月有关，约占10%左右，而在谢枋得 辑录的通行本《千家诗》里，这个比率则占得更高，它选录了各朝七言绝句共94 首，有20首与月有关，占 21%左右。从这些惊人的数字可以看出中国的文人墨客们对月情有独钟，他们如痴如醉地写下了大量与月有关的篇章。而综观古代诗歌中，用月的意象来抒情的情感 模式很多，主要有用“淡月”、“残月”等来抒发别离、羁旅之情的；有用月阴晴圆缺来感怀 人世悲欢离合的；有借一轮明月来寄托人们的相思的；还有用月来观照历史沧桑，人世变幻，抒发由此带来的万千感慨的。可见，诗中的月亮有着深厚的文化内涵。

送别诗中常用“残月”“淡月”、“新月”、“斜月”、“霜月”、“落月”、“黄昏月”、“缺月”等表达的是与人分别时难舍难分的缱绻悲伤，以及别离的惆怅怨恨之情，更有的借月之阴晴圆缺来抒发作者对人世间悲欢离合的感慨，表达人们希望月长圆，人长聚的良好愿望。这几种月象的出现，总的来说是比较固定的。与它们所体现的凄清落寞的情感相连的诗作有如：韦庄的“残月出门时，美人和泪辞”；柳永的“今霄酒醒何处，杨柳岸晓风残月”，“别岸扁舟三两只，沙汀宿雁破烟飞，溪桥残月何霜白”；又有曹组的“何处今霄孤馆里，一声征雁，半窗残月，总是离人泪”，还有秦观的“乱山何处觅行云，又是一钩新月照黄昏”，苏轼的“人有悲欢离合，月又阴晴圆缺，此事古难全”等等。

2、地点意象

提到送别诗中的地点意象，凡是具有一定中国文学修养的人都会说出“长亭”、“短亭”、“阳关”、“古道”等等，而其中的“长亭”、“短亭”、“南浦”则是尤为常见。

古代社会生产力不发达，人们的交通工具只有两类,一是车马，一是舟船。早在秦汉时，便有在牛马所行的古道旁开始置亭，供行旅停息休憩或送别饯行之用，这便有了“水毒秦泾，山高赵陉；十里五里，长亭短亭。”（北周庾信《哀江南赋》）；“玉阶空伫立，宿鸟归飞急。何处是归程，长亭连短亭。”（李白《菩萨蛮》）等诗词的流传。所以，在送别诗中我们常看到“长亭”“短亭”等意象，它们让人联想到古道、长亭、斜阳衰柳中古人设宴饯行的情景。这是在

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北方，多山脉丘陵，黄土高原，以陆路为主，所以送别诗中常用的是“长亭”“短亭”。南方的交通以水路为主，平原广阔，江河湖泊，纵横交错，所以在送别诗中“南浦”的意象相对颇多。对“南浦”的解释，大体可分为两类，或是实指某一具体地名，或是指在某一地区中位于这个地区南侧的水浦，而“南浦”真正广泛用于送别诗中，并成了水路登舟送别地点的泛称，则是在南朝宋齐之后，如南朝梁诗人谢朓的《鼓吹曲•送远曲》有：“北梁辞欢 宴，南浦送佳人。”梁之后的陈诗人张正见又有“凤吹临南浦，神驾饯东平„„歧路一回首，流襟动眷情”等等。这样用“南浦”来表达离愁别绪的情怀的送别诗作，在以后朝代可谓屡 见不鲜。如盛唐诗人王维《送别》诗曰：“送君南浦泪如丝，君向东州使我悲。”李贺《黄头 郎》中“黄头郎，捞拢去不归。南浦芙蓉影，愁红独自垂。”宋代词人柳永也有《倾杯》词 曰：“离宴殷勤，兰舟凝滞，看看送行南浦„„算人生，悲莫悲于轻别,最苦正欢娱，便分鸳侣。”清人沈树荣《送别》诗也写道：“落叶枫叶两岸秋，曾于南浦动离愁，只今一片江头日，不照归舟照去舟。

3、悲凉意象

送别诗中常常有诸如“黄昏”、“大雁”、“残阳”等的悲凉意象，因为它们本身有着难以言喻的凄苦与黯然神伤，所以用于送别诗中更是将哀婉之音与愁苦之韵的离别情感表现得 淋漓尽致：

黄昏：“渐霜风凄紧，关河冷落，残照当楼” 古代文学作品中，对于日暮黄昏的吟咏频频出现，特别是在送别诗作中，“黄昏”意象 表现的是古人心目中特定情感与生命意识的独有情结，面对斜日暮霭，分别的人心中无限感 慨：唐代诗人王维就有一首《送綦毋落第还乡》：“远树带行客，孤城当落晖。吾谋适不用，勿谓知音稀。”；李颀《送陈章甫》中“青山朝别暮还见，嘶马出门思泪乡。„„东门酤酒饮我曹，心轻万事如鸿毛。醉卧不知白日暮，有时空望孤云高。”；王维《送别》中“山中相 送罢，日暮掩柴扉。”这些送别诗借助“黄昏”表达着这样的情绪：为了追求功业，求学求 仕的游子浪迹异乡，在一天的律动中怀归黄昏情炽；为了施展抱负，奔走在人生之旅上的行人于黄昏时顿感人生途远；为了实现理想，那些受挫失意的文人又每每于黄昏时深感孤独索 寞。就这样，“黄昏”在送别诗中，将生命个体的内心与现实相结合，朝往夕至周而复始地 牵动着人们心中独有的情愫。

鸿雁：“寒雁行行天际横，偏伤旅客情。”

《诗经•小雅•鸿雁》中有这样的诗句“鸿雁于飞，哀鸣嗷嗷”，表现周使臣四处召集流民回归故土，于是“哀鸿”就成为历代流民离乡背井四处漂泊的代名词，这样的寓意用在送别诗中，则常常寄托着作者对即将远行的游人重返故土的渴望。如高适的《送李少府贬峡中王少府贬长沙》中：“巫峡啼数行泪，衡阳归雁几封书，青枫江上秋天远，白帝城边古木 疏。圣代即今多雨露，暂时分手莫踌躇。”其中“衡阳归雁”用典摹状友人被贬之地的荒远，有切盼友人多来信之意，将伤别之情推至高潮，李频也有一首《湖口送友人》中这样写道：“中流欲暮见湘烟，苇岸无穷接楚田。去雁远冲云梦雪，离人独上洞庭船。”夜晚行船，暮 霭烟云，此时分别已是悲感交集，而再仰视长空，雁行成阵，冒雪冲云，翱翔天际之景，那份蕴藏在字里行间的惜别之情就沁入心脾了。鸿雁意象发展到后来逐渐成为表达乡愁的载体，特别是游子远离故乡，远离亲友，在 异乡倍思亲的时候“鸿雁”格外引人动情：如沈约《咏湖中雁诗》：“悬飞竟不下，乱起未成 行。刷羽同摇漾，一举还故乡。”，其中明显不是单纯写物咏物；庾信则用《咏雁》表达自己 身处北国心系故乡的矛盾心理：“南思洞庭水，北朝雁门关。稻梁俱可恋，飞去复飞还。”； 杜甫的《归雁》诗也情思凄切：“夜来万里客，乱定几年归？肠断江城雁，高高正北飞。”还 有杜牧的《秋浦途中》：“为问寒沙新到雁，来时还下杜陵无。”等等，借助“鸿雁”将乡愁 中所蕴含的凄切氛围与感染力轻易地表现出来，不可不谓之“高妙”。

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四、送别诗创作繁荣的原因分析。

综上所述可以看出，在中国诗歌发展的旅途中，除了爱情诗外，送别诗又是历代诗人 常唱不衰，久写不厌的又一创作主题，那么为什么在古代会有如此多的诗人偏爱送别题材,又为什么有如此多的送别佳作留传于世呢？笔者在参阅前代学者的讨论研究中，综合论述，得出以下结论：

（一）地理原因

古代交通不便，而疆域辽阔，路途艰难，每有行旅，动不动就要经年累月，甚至有时 亲友间的一别将是今生今世的永别，正所谓离别时易相逢时难，诗人们只有将离别聚散，别 易聚难的沧凉感受付诸于笔端，才能尽情抒发心中郁结的忧伤，因而别离主题被人们看重。

（二）社会原因

古代社会是个动荡不安的社会，几乎每隔一二百年，朝代更替便会使社会发生大的战 乱，军阀混战，朋党之争，农民起义，统治阶级内部的勾心斗角，互相倾轧等动荡不安的因素使人们产生了强烈的忧患意识，因而面对离别时，难免会产生“黯然销魂”的情绪，此种 情况下，别离主题更为人们所看重。

（二）政治原因

古代提倡“学而优则仕”，许多文人志士渴望通过科举考试而谋得一官半职，实现其建功立业的政治理想，他们往往离开家园，云游四方，也有的因科考失利而浪迹天涯，终年行无定所，还有的因得罪朝廷而被贬边疆，这些都使得新朋老友难逃别离时的忧伤，因而送别诗又被看作是宣泄感情的最佳方式。

结 论

卡尔•萨根地《伊甸园的飞龙》中有这样一段话：“如果没有意识到生命的可贵与短暂，作家们又如何会产生种种离愁别恨，甚至因离别而痛不欲生呢？人，作为最高级的灵长动物，它区别于其它动物的一个重要特征便是能清楚地知晓自己必定死亡。”正是人类能清醒地意 识到自己的幸福与快乐，痛苦与哀伤，这才懂得去珍惜有限生命中的稍纵即逝的快乐，而别 离却恰恰是人类无法避免，无法摆脱的缺憾，也正是因为这样的缺憾，使得人们对相聚倍感 珍惜。“悲莫悲兮生别离”，古代的送别诗就是以其独特的表现手法拨动着人们的心弦，唱出 了人们心灵的歌，流出了人们心底的情感真意，它是“哀婉愁苦的主旋律，也是刚健昂扬的 变奏曲。”（萧瑞峰《宋词中的别离主题》）给人以情感的释放，美的享受，可以说，古代送 别诗确实是中国文学作品中不可多得的珍品。

参考文献

（1）《中国古代诗歌鉴赏》„„„„„„„„„„„凤凰出版社（2）《古代诗歌史论》„„„„„„„„„„„„„巴蜀书社（3）《中国古代诗歌欣赏辞典》„„„„„„„„„汉语大词典出版社（4）《中国古代诗歌流变》„„„„„„„„„„„京华出版社

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第四篇：如何证明等差数列

如何证明等差数列

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列

等差：an-(an-1)=常数(n≥2)

等比：an/(an-1=常数(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4

下面用数学规纳法来证明：

1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立

2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是S(k+1)=a(k+1)+Sk

而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1时，推测仍成立。

在新的数列中

An=S

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

A(n-1)=S

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d为原数列公差)

20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。

A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差为3/4An除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列

那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)²=(a+2b)²

所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²

化简得a²=2ab+3b²

两边同时除以b²

解得a/b=3即a=3b

所以三边可以写为3b，3b+b。3b+2b

所以三边之比为3：4：5

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

第五篇：等差数列及习题

等差数列

通项公式 a(n)=a(1)+(n-1)×d项数n=（末项-首项）/公差+1，是正整数，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上； 递推公式 如果一个数列的第n项an与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的，这个关系就称为该数列的递推公式，如：等差数列递推公式：an=a(n-1)+d

前N项和(梯形公式)S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2或S(n)=d/2*n2+（a1-d/2）*n 由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0，二次项和 一次项的系数分别为d/2，a1-d/2；

性质 1在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，即:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=...2若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)

3若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)a(m)=a(n)+(n-m)*dm,n∈N*

等差数列的判定

1.a(n+1)--a(n)=d(d为常数、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列;

2.2a(n+1)=a(n)+a(n+2)[n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列;.a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列;.S(n)=A(n)^2 +B(n)[A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

递推公式求通项公式a(n+1)=a(n)+f(n)累加 如:a(n+1)=a(n)+2n-1或1/（n+n2）

练习：

等差数列的第五项等于10，前三项的和胃3，则首项和公差分别是

在等差数列40，36，32中，第一个负数项是第几项

等差数列共2n+1项，奇数项之和为132，偶数项之和为120，则n的值为

在等差数列{an}中，a2+a5=19,S5=40,则a10的值为

{an}是等差数列，若a2+a4+a9+a11=36，则a6+a7的值是

若三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数

三个数成等差数列，平方和为450，两两之积的和为423，则其中间数为

等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和

已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和

等差数列{an}中，a1=-60,a17=-12,求其前n项绝对值之和

成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数

已知a1=1，Sn=a(n)*n2(n≥1)求a(n)，Sn

数列{an}对于任意自然数n均满足Sn=n/2(a1+an),求证: {an}是等差数列.