第13章
全等三角形检测题
（时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列命题：①
邻补角互补；②
对顶角相等；③
同旁内角互补；④
两点之间线段最短；⑤直线都相等.其中真命题有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（）
A.小于直角
B.等于直角
C.大于直角 D.不能确定
3.已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为3，斜边为4，则另一个直角三角形斜边上的高为（）
A.B.C.D.6
4.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）
A．∠1=50°，∠2=40°
B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45°
D．∠1=40°，∠2=40°
第6题图
5.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）
A．垂直
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线垂直于同一条直线
6.如图所示，在△中，＞，∥=,点在边上，连接DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△与△全等（）
A.∥
B.第7题图
C.∠=∠
D.∠=∠
7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE，上述结论一定正确的是（）
A.①②③
B.②③④
C.①③⑤
D.①③④
8.如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（）
A.AB=AC
B.∠BAE=∠CAD
C.BE=DC
D.AD=DE
9.已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）
A．∠A与∠D互为余角
B．∠A=∠2
C．△ABC≌△CED
D．∠1=∠2
第9题图
10.如图所示，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）
A.△ACE≌△BCD
B.△BGC≌△AFC
C.△DCG≌△ECF
D.△ADB≌△CEA
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是，它是一个
命题.12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2
cm,CD⊥AB，在AC上取一点E,使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5
cm，则AE＝
cm.13.命题：“如果，那么”的逆命题是________________，该命题是_____命题（填真或假）．
14.如图所示，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是
．
第14题图
第12题图
15.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下面结论中①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有：
.16.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=
.17.如图所示，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE是
度.18.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=
.三、解答题（共46分）
第20题图
19.（6分）
下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题，同时判断原命题和逆命题的真假．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直.20.（8分）已知：如图，AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.求证：BC=ED.21.（8分）如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
22.（8分）如图所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，第20题图
PF⊥AC，垂足分别为E，F，AE=AF．
求证：（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的平分线上．
23.（8分）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF.证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．
24.(8分)已知：在△中，点是的中点，点是边上一点．
（1）垂直于点，交于点（如图①），求证：.第24题图
（2）垂直，垂足为，交的延长线于点（如图②），找出图中与相等的线段，并证明．
第13章
全等三角形检测题参考答案
1.C
解析：①②④是真命题；对于③，只有两条平行直线被截得的同旁内角才互补；对于⑤，直线不能测量长度，所以也不存在两条直线相等的说法，故选C.2.C
解析：因为在△ABC中，∠ABC+∠ACB＜180°，所以所以
∠BOC＞90°.故选C.3.C
解析：设面积为3的直角三角形斜边上的高为h，则×4h=3，∴
h=.4.C
解析：当∠1=∠2=45°时，∠1+∠2也等于90°.故选C.5.D
解析：题设为两条直线垂直于同一条直线，结论为这两条直线互相平行.故选D.6.C
解析：A.∵
∥，∴
∠=∠.∵
∥∴
∠=∠.又∵，∴
△≌△，故本选项可以证出全等．
B.∵
=，∠=∠，∴
△≌△，故本选项可以证出全等．
C.由∠=∠证不出△与△全等，故本选项不可以证出全等．
D.∵
∠=∠，∠=∠，∴
△≌△，故本选项可以证出全等．故选C．
7.D
解析：∵
AB=AC，∴
∠ABC=∠ACB．
∵
BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴
∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE．
又BC=CB,∴
①△BCD≌△CBE（A.S.A.）.由①可得BE=CD，∴
AB-BE=AC-CD，即AE=AD.又∠A=∠A，∴
③△BDA≌△CEA（S.A.S.）.由①可得BE=CD，∠BEO=∠CDO，又∠EOB=∠DOC，所以④△BOE≌△COD
（A.A.S.）．
故选D.8.D
解析：∵
△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，∴
AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确．
AD的对应边是AE而非DE，∴
D错误．故选D．
9.D
解析：因为
B、C、E三点在同一条直线上，且AC⊥CD，所以
∠1+∠2=90°.因为∠B=90°，所以∠1+∠A=90°，所以∠A=∠2.故B选项正确.在△ABC和△CED中，因为
所以△ABC≌△CED，故C选项正确.因为∠2+∠D=90°，所以∠A+∠D=90°，故A选项正确.因为AC⊥CD，所以∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，∠1与∠2不一定相等,故D选项错误．故选D．
10.D
解析：∵
△ABC和△CDE都是等边三角形，∴
BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴
∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，∵
∴
△BCD≌△ACE，故A成立.∵
△BCD≌△ACE，∴
∠DBC=∠CAE.∵
∠BCA=∠ECD=60°，∴
∠ACD=60°.在△BGC和△AFC中，∵
∴
△BGC≌△AFC，故B成立.∵
△BCD≌△ACE，∴
∠CDB=∠CEA.在△DCG和△ECF中，∵
∴
△DCG≌△ECF，故C成立.故选D．
11.有两个锐角的三角形是直角三角形
假
解析：“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是“有两个锐角的三角形是直角三角形”，假设三角形一个角是30°，一个角是45°，有两个角是锐角，但这个三角形不是直角三角形．故是假命题．
12.3
解析:由条件易判定△ABC≌△FCE，所以
AC=EF=5
cm，则AE=AC-CE＝EF-BC＝5-2=3（cm）.13.如果，那么
假
解析：根据题意得，命题“如果，那么”的条件是“”，结论是“”，故逆命题是“如果，那么”，该命题是假命题．
14.31.5
解析：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，∵
OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴
OD=OE=OF.∴
=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB
=×OD×（BC+AC+AB）
=×3×21=31.5．
15.①②③④
解析：在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，已知DE⊥AB，DF⊥AC，可证△ADE≌△ADF.故有∠EDA=∠FDA，AE=AF，DE=DF，①②正确.AD是△ABC的角平分线，在AD上可任意设一点M，可证△BDM≌△CDM，∴
BM=CM，∴
AD上的点到B、C两点距离相等，③正确.根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确．故填①②③④．
16.135°
解析：观察图形可知：△ABC≌△BDE，第16题答图
∴
∠1=∠DBE.又∵
∠DBE+∠3=90°，∴
∠1+∠3=90°．
∵
∠2=45°，∴
∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．
17.60
解析：∵
△ABC是等边三角形，∴
∠ABD=∠C，AB=BC.∵
BD=CE，∴
△ABD≌△BCE，∴
∠BAD=∠CBE.∵
∠ABE+∠EBC=60°，∴
∠ABE+∠BAD=60°，∴
∠APE=∠ABE+∠BAD=60°．
18.55°
解析：在△ABD与△ACE中，∵
∠1+∠CAD=∠CAE
+∠CAD，∴
∠1=∠CAE.又∵
AB=AC，AD=AE，∴
△ABD
≌△ACE.∴
∠2=∠ABD.∵
∠3=∠1+∠ABD=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，∴
∠3=55°．
19.分析：根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面．再将题设与结论互换写出它的逆命题.解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；
逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，真命题.（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，真命题；
逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交，真命题.（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，假命题；
逆命题：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角，假命题.（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，真命题；
逆命题：如果两条射线垂直，那么这两条射线是邻补角的角平分线，假命题.20.分析：要证BC=ED,需证△ABC≌△AED.证明：因为∠1=∠2，所以∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠BAC=∠EAD.又因为AB=AE，∠B=∠E，所以△ABC≌△AED，所以BC=ED.21.分析：由△ABC≌△ADE，可得∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B.由∠FAB=∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形外角性质可得∠DGB=∠DFB
-∠D，即可得∠DGB的度数．
解：∵
△ABC≌△ADE，∴
∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD）=．
∴
∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°，∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．
22.证明：（1）连接AP，因为AE=AF，AP=AP,PE⊥AB,PF⊥AC,所以Rt△APE≌Rt△APF，所以PE=PF.（2）因为Rt△APE≌Rt△APF，所以∠FAP=∠EAP，所以点P在∠BAC的平分线上.23.分析：（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF=EB.（2）利用角平分线性质证明△ADC≌△ADE，∴
AC=AE，再将线段AB进行转化．
证明：（1）∵
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴
DE=DC．
又∵
BD=DF，∴
Rt△CDF≌Rt△EDB，∴
CF=EB.（2）∵
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴
△ADC≌△ADE，∴
AC=AE，∴
AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
24.（1）证明：因为垂直于点,所以，所以.又因为，所以.因为,，所以.又因为点是的中点，所以.所以∠DCB
=∠A.因为，所以△≌△，所以.(2)解：.证明如下：
在△中，因为,，所以.因为，即,所以,所以.因为为等腰直角三角形斜边上的中线,所以.在△和△中，,所以△≌△,所以.
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