第3章 2数学证明学案（共5则）

第一篇：第3章 2数学证明学案

§2数学证明

【学习目标】

1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性； 2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.【学习重点】运用演绎推理进行一些简单的推理.【学习难点】了解合情推理与演绎推理的联系、区别和各自所起的作用.【问题导思】阅读教材p58—59页内容，解决以下问题 1._________是最常见的演绎推理形式。2.演绎推理的模式

（1）演绎推理的模式采用“三段论”: ①大前提——已知的___________(M是P);②小前提——所研究的__________(S是M);③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断(S是P).（2）从集合的角度看演绎推理: ①大前提:x∈M且x具有性质P;②小前提：y∈S且SM ③结论__________.3.演绎推理的结论一定正确吗? 4.合情推理与演绎推理的关系:(1)从推理形式上看,归纳推理是由________到_______，由个别到一般的推理,类比是由_________到______的推理;演绎推理是由________到________的推理.(2)从推理所得的结论来看,合情推理的结论_____________,有待进一步证明;演绎推理在_______和___________都正确的前提下,得到的结论一定正确.【自学检测】 1.填空

（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以

；

（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此

；

（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C，所以在一个标准大气压下把水加热到100C时，；

（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以

；（5）三角函数都是周期函数，sin是三角函数，所以

；

（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么

.2.下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？ 所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形.（结

论）3.把下列演绎推理写成三段论的形式.①所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;②平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分；

③一次函数是单调函数,函数y3x2是一次函数,所以函数y3x2是单调函数.4.求证:函数f(x)x2x在(-∞,1)上为增函数.2

【当堂训练】

111.因为指数函数yax是增函数，y()x是指数函数，则y()x是增函数.这个结论是错误的，这是因为

22（）

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为（）

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误 3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误 ,f(an)仍是等比数列，则4.定义在(,0)(0,)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(,0)(0,)上的如下函数：①f(x)x；②f(x)2；③f(x)|x|；④f(x)ln|x|,则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为（）

A.①②； B.③④； C.①③； D.②④

5.设⊕是R的一个运算，A是R的非空子集.若对于任意的a,bA，有a⊕bA，则称A 对运算⊕封闭.那么下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）A.自然数集

B.整数集

C.有理数集

D.无理数集

2xx21(x0),有下列命题: 6.关于函数f(x)lg|x|①其图像关于y轴对称;②当x0时，f(x)是增函数；当x0时，f(x)是减函数 ③f(x)的最小值是lg2； ④当1x0或x1时，f(x)是增函数； ⑤f(x)无最大值，也无最小值.其中所有正确结论的序号是_____________ 7.用三段论证明：f(x)xx为奇函数.8.函数yf(x)的定义域为M，对于任意的x1,x2M，若|f(x1)f(x2)||x1x2|，则称函数为“平缓函数”，请判断函数f(x)3x21为平缓函数并说明理由

第二篇：数学归纳法证明不等式导学案一

河北饶阳中学学案编制人使用日期审核高二数学组书山有路勤为径 学海无涯苦作舟

选修4-5学案§4.1.1数学归纳法证明不等式姓名☆学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.☻

重点：应用数学归纳法证明不等式.知识情景：

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

.验证n取时命题(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题 归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题！(结论）

要诀: 递推基础, 归纳假设, 结论写明.☆ 数学归纳法的应用：

例1.用数学归纳法证明不等式sinn≤nsin.例2已知x> 1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,,an的乘积a1a2an1,那么它们的和a1a2an≥n.例4证明:1

1221321n221n

(nN,n≥2).第 1 页；

例5.当n≥2时,求证

:1





5、用数学归纳法证明

1

111111112342n12nn1n22n

2n6、.用数学归纳法证明41+3n+2能被13整除，其中n∈N

选修4-5练习§4.1.1值为()A.30

数学归纳法证明不等式（1）姓名

1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的B.26

C.36

D.62、.观察下列式子：1

3,2

21

115,22323

1

1117 223242

4…则可归纳出_____.7、求证：

3an13、已知a1, an1,则a2,a3,a4,a5的值分别为，由此猜想

an

32an_________.111

5(n2,nN)n1n23n64、用数学归纳法证明: An5n23n11(nN*)能被8整除.1118、已知，Sn1,nN，用数学归纳法证明：

23n

第 2 页

S1n

2(n2,nN

2n)

9、.求证：用数学归纳法证明

2n2n2(nN*)．

答案:

1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取第一个值时命题成立(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题都成立！(结论）

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1 ⑴当n1时,上式左边sin

右边,不等式成立.⑵设当nk(k≥1)时,不等式成立,即有sink≤ksin.那么,当nk1时,sin(k1)=

例2证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x

2∵ x0，∴ 1+2x+x2

>1+2x=右,∴n=2时不等式成立（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即(1+x)k

>1+kx当n=k+1时，因为x> 1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+

1右边=1+(k+1)x．

因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1

>1+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.例3 证明:⑴当n1时,有a11，命题成立.⑵设当nk(k≥1)时，命题成立，即若k个正数a1,a2,,ak的乘积a1a2ak1,那么它们的和a1a2ak≥k.那么当nk1时,已知k1个正数a1,a2,,ak,ak1满足a1a2akak11.若k1个正数a1,a2,,ak,ak1都相等,则它们都是1.其和为k1,命题成立.若这k1个正数a1,a2,,ak,ak1不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数(否则与a1a2akak11矛盾).不妨设a11,a21.第 3 页

例4证:(1)当n=1时,左边=1

12254 ,右边=21322 ,由于

5342

故不等式成立.(2)假设n=k(kN,k≥2)时命题成立,即11111

2232k22k

.则当n=k+1时, 1

12211111

32k2(k1)22k(k1)

21k1(k1)221k1k(k1)21k(111

kk1)2k1

.即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切nN,n≥2都成立.例5（1）当n2时，左式1

11

17.2右式当n2时，不等式成立（2）假设当nk（2)时，不等式成立，即1



则当nk

1时，左式1









右式

当nk1时，不等式成立。

由（1）（2）可知，对一切nN，且n2，不等式都成立。

练习

1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－

2(k≥2)

f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C

1

12、解析：

2232即11(11)

2

21

111 1

11511222323,即1(11)2(21)2



21

21 归纳为1

1221321(n1)2



2n1

n1(n∈N*)答案:1

1221321(n1)2



2n1

n1(n∈N*)3

3.解析:a3a12a3

33同理,137252

a3a233333333a5,a4945,a51055,猜想an

2383n

5答案:337、8、39、310

3n

54、证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即Akk523k11是8的倍数.那么: A

1k1

5k23k15(5k23k11)4(3k11)5Ak4(3k11)

因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.111

15．证明： 1当n=1时，左边=1-2=2，右边=11=2，所以等式成立。

2假设当n=k时，等式成立，1

1111即

2342k112k1k11k212k。

第 4 页

那么，当n=k+1时，111112342k112k112k12k2 11111k1k

22k2k1

2k2 1111111111234k2k32k2k1(k12k2)



k21k312k12k11

2(k1)

这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n都成立。6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.111．1

7证明：（1）当n=2时，右边=34566，不等式成立．

111

5（2）假设当nk(k2,kN*)时命题成立，即k1k2

3k6．则当nk1时，1(k1)11(k1)21111

3k3k13k2

3(k1)1k11k2111113k(3k13k23k3k1)516(3k113k213k31k1)511116(3k33k33k3k1)56(313k31k1)56.所以则当nk1时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，原不等式对一切n2,nN*

均成立．

8.证明：

S1

1213141131212

（1）当n=2时，222，∴命题成立．

nk(k2,k*

S（2）假设当

N)时命题成立，即 2k1

11231k

2k12．

则当nk1时，S112131111

1

2k2k2k12k22k1

1

k212111k111

k2k22k1122k12k12k11k2k1k1k122k112212.所以则当nk1时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，原不等式对一切n2,nN*

均成立．

9、证明：（1）当n=1时，21212，不等式成立；当n=2时，22222，不等式成立；当n=3时，23232，不等式成立．

（2）假设当

nk(k3,kN*)时不等式成立，即 2k2k2．则当nk1时，2k122(2k2)22k22(k1)2k2

2k3，∵k3，∴k2

2k3(k3)(k1)0，（*）

第 5 页

k122222(k1)k2k3(k1)从而，k1222(k1)∴．

即当nk1时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，2n2n2对一切nN*

都成立．

第 6 页

第三篇：数学归纳法证明不等式巩固学案

数学归纳法证明不等式巩固学案

1.用数学归纳法证明“111111≥,(n∈N+)”时，由n=k到n=k+1n1n2n3nn2

4时，不等式左边应添加的项是（）A.1111111111B.C D.2k12k2k1k22(k1)2k12k22k12k2k

1111++…+1)时，第一步需证（）232n1

1111A.1<2B.1+<2C.1++<2D.1+<2 223

31113.用数学归纳法证明“1+++…+n1)”时，由n=k（k>1）不等式成立，23212.用数学归纳法证明1+

推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）

A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1

4.关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是（）

A.n∈N+B.n≥4C.n>4D.n=1或n>4

5、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,对任意n∈N,都使m整除f(n)，则最大的m为()

A.306、若不等式B.26C.36D.6 111m对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的n1n22n2

4最大值为（）

A.12B.13C.14D.不存在7、设n为正整数，f(n)=1+111357++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观23n222察上述结果，可推测出一般结论（）

2n1n2n2B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不对 22218、如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数n都成立，4A.f(2n)>

a，b的值应该等于（）

A.a=1,b=3B.a=-1,b=1C.a=1,b=2D.a=2,b=

3anbnabn()（A.，B.是非负实数，n∈N）时，假设n=k命题

9、用数学归纳法证明2

2成立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是__________.10、用数学归纳法证明11111，假设n=k时，不等式成立之2222n223(n1)

15(n2,nN)3n6后，证明n=k+1时，应推证的目标不等式是_______________.11、求证：11n1n2

12、互不相等正数a、b、c成等差数列，当n＞1,n∈N*，试证明：an+cn＞2bn.1113、已知，Sn12

314.证明：对一切大于1的自然数n，不等式（1+

立.15.设数列{an}满足a1=2,an+1=an+n1,nN，证明：S2n1(n2,nN)2n1112n1）（1+）…（1+）>成532n121(n=1,2,3,…)求证：an>2n1对一切正整数n成立.an

na2xa216.设f(x)=是奇函数如果g(n)=(n∈N+)，比较f(n)与g(n)的大小（n∈N+).xn12

1n(n1)(n1)

2223n(n1)17.求证：(n∈N+)22

数学归纳法证明不等式拓展--数列、不等式中数学归纳法

1、已知数列{A.n}的各项都是正数，且满足：A.0=1,A.n+1=1A.n(4-A.n),n∈N.证明：

2A.n

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于719a,如果b=a,972那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2=0.30）.3、已知数列{B.n}是等差数列，B.1=1,B.1+B.2+…+B.10=145.(1)求数列{B.n}的通项公式B.n;

(2)设数列{A.n}的通项A.n=logA.(1+1)(其中A.＞0且A.≠1)，记Sn是数列{A.n}的前n项和.bn

试比较Sn与

1logA.B.n+1的大小，并证明你的结论.34、已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145(n∈N+)

(1)求数列{bn}的通项.（2）设数列{an}的通项an=loga(1+1)(其中a>0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和，试比bn

较Sn与

1logabn+1的大小，并证明你的结论.35、已知函数f(x)=x3(x≠-1).设数列{A.n}满足A.1=1,A.n+1=f(A.n)，数列{B.n}满足x

1B.n=|A.n-3|,Sn=B.1+B.2+…+B.n(n∈N*).(1)n

（1）用数学归纳法证明:B.n≤;2n1

（2）证明:Sn<23.36、已知曲线Cn:x22nxy20(n1,2,)．从点P(1,0)向曲线Cn引斜率kn(kn0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)．

（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式；（2）

证明：x1x3x5

x2n1xn.yn

x3f(x)(x1), 设数列{a}满足a1,af(a)，7、已知函数n1n1nx

1{b

n}满足bn|an|,Snb1b2bn(nN*)

（Ⅰ）用数学归纳法证明bn（Ⅱ）证明Sn.8、已知不等式23n2[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数.设数列{an}的各项为正，且满足a1b(b0),an

证明:an

nan1,n2,3,4, nan111112b,n3,4,5, 2b[log2n]

第四篇：数学归纳法证明不等式学案

§2.3用数学归纳法证明不等式

学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

10.验证n取时命题(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）

20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题！(结论）

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：

例1.用数学归纳法证明不等式sinn≤nsin.（nN）

例2证明贝努力（Bernoulli）不等式:

已知xR,且x> 1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.1；

例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,,an的乘积a1a2an1,那么它们的和a1a2an≥n.三、当堂检测

1、（1）不等式2nn4对哪些正整数n成立？证明你的结论。

（2）求满足不等式(11n

n)n的正整数n的范围。

2、用数学归纳法证明

2n2n2(nN*)．

§2.3用数学归纳法证明不等式作业纸班级姓名

1、用数学归纳法证明3≥n(n≥3,n∈N)第一步应验证()

A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4

2、观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。

｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… k

2n3、用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式1221321n1n

n都成立。

4、若a、b、c三个正数成等差数列，公差d0，自然数n2，求证：ancn2bn。

第五篇：数学选修4-5学案 §2.1.3不等式的证明

§2.1.3不等式的的证明(3)学案姓名☆学习目标： 1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法;

2.☻知识情景：

1.不等式证明的基本方法：10.比差法与比商法(两正数时)．

20.综合法和分析法．

30.反证法、换元法、放缩法

2.综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论.这种证明方法叫做综合法.又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：AB1B2BnB 3.分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执索.BB1B2BnA用分析法证明不等式的逻辑关系： 结(步步寻求不等式已

论成立的充分条件)知

☻新知建构：

1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.例1已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0.2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有： 1．已知xya，可设，； 022

220．已知x2y21，可设，0r1)； 22xy30．已知a2b21，可设，.例2 设实数x,y满足x2(y1)21，当xyc0时，c的取值范围是（）A.1,)B.(1]C.1,)D.(1] 例3 已知x2y2

1，求证：yax

3.放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小

由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.a21a，n(n1)n，0a111 2n(n1)nn(n1)bm0aam

bbm

④利用基本不等式，如：lg3lg5(⑤利用函数的单调性)2lg4；

⑥利用函数的有界性：如：sinx≤1xR；

⑦绝对值不等式：ab≤a

b≤ab；



2nkN,k

1，*2kN,k1 * ⑨应用贝努利不等式：(1x)1nxn(n1)2xxn1nx.12

例4当 n > 2 时，求证：logn(n1)log(n1)n

例5求证：1

11113.112123123n

例6 若a, b, c, dR+，求证：1

abcd2 abdbcacdbdac

§2.1.3不等式的证明(3)练习姓名

11、设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于.212、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大于

43、已知ab0，求证：a（nN且n1）.4、若x, y > 0，且x + y >2，则

1y1x和中至少有一个小于2。xy5、已知 1≤x2y2≤2，求证：≤x2xyy2≤3

26、设f(x)x2x13，xa1，求证：f(x)f(a)2a1；

7、求证：1

8、求证

x11 x2x13ab1aba1ab1b.9、设n为大于1的自然数，求证

11111.n1n2n32n210、若n是自然数，求证

11112.122232n

2311111222(n≥2)

11、求证：2n12nn12、求证：21nN *